chap 6 : Systèmes linéaires en taille 2 et 3

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1 chap 6 : Systèmes linéaires en taille 2 et 3 Vous pouvez si vous le souhaitez rajouter quelques dessins pour illustrer les notions abordées comme dans le cours. Notation : Dans tout ce chapitre K = R ou C. But : Savoir résoudre un système 2 2 et 3 3. Connaitre l interprétation géométrique des solutions dans le cas où on est sur R. 0) Addition de vecteurs Savoir additionner deux vecteurs. Savoir décomposer les vecteurs selon les parties en "x" et les parties en "y". I) Méthode du pivot de Gauss I.1) Matrice d un système linéaire Définition : Systèmes et matrice associée Un système linéaire à p équations et q inconnues est la donnée de p équations de la forme : a 11 x 1 + a 12 x a 1q x q = b 1 L 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2q x q = b 2 L 2 (S)... a p1 x 1 + a p2 x a pq x q = b p L p (i, j) J1, pk J1, qk, a ij K, j J1, qk, b j K. On appelle matrice du système linéaire la matrice A = (a ij ) 1 i p,1 j q. On appelle second membre du système linéaire le vecteur K p, le vecteur colonne B = Notation symbolique : AX = B. b 1 b 2. b p. On appelle système homogène ou système sans second membre associé au système (S) le système suivant : a 11 x 1 + a 12 x a 1q x q = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2q x q = 0. a p1 x 1 + a p2 x a pq x q = 0 NB : Celà revient au cas B = 0. On dit qu un système linéaire est compatible s il admet au moins une solution, sinon on dit qu il est incompatible. Opérations élémentaires sur les lignes du système : Proposition : On ne change pas les solutions du système linéaire en effectuant les opérations suivantes : 1. Echange de lignes i et j : L i L j 2. Multiplier une ligne L i par un scalaire α non nul : L i αl i (α 0) 3. Additionner à la ligne L i un multiple de la ligne L j : L i L i + λl j 1

2 Remarque : 1. L opération précédente se généralise : L i L i + (λ 1 L λ i 1 L i 1 + λ i+1 L i λ n L n ) 2. On peut combiner 2. et 3. pour obtenir L i αl i + λl j avec α 0. I.2) Résolution par pivot de Gauss BIEN COMPRENDRE CE QU EST UN SYSTEME TRIANGULAIRE Méthode de résolution On procèdera en 4 étapes : 1. Mise en place du pivot. 2. On se sert du pivot pour éliminer tous les termes sur la colonne. 3. On réitère le procédé jusqu à arriver à un système triangulaire. 4. On trouve les solutions en réinjectant dans les équations du système. BIEN MEDITER LES DIFFERENTS EXEMPLES DU COURS Bilan : Un système de taille 2 2, 3 3 peut admettre une unique solution ou bien aucune solution ou bien une infinité de solutions. Bilan : Quand on a un système de taille 2 2 et qu on le met sous forme triangulaire, on peut être ramené à étudier un système à une équation et deux inconnues. Quand on a un système de taille 3 3 et qu on le met sous forme triangulaire, on peut être ramené à étudier un système à une équation et trois inconnues ou à un système à deux équations et trois inconnues. Nous allons donc maintenant détailler comment expliciter ces différents cas. II) Système à une équation II.1) Notation V ect( u ) Définition : Vect( u ) Soit u K 2 (resp. K 3 ) et M 0 un point de K 2 (resp. K 3 ). 1. Notation : On définit Vect( u ) comme la droite passant par l origine et dirigée par u. C est à dire que l on a l ensemble des vecteurs s écrivant sous la forme λ u avec λ K. ie : V ect( u ) = {λ u /λ K} 2. Notation : On définit M 0 + Vect( u ) comme la droite passant par le point M 0 et dirigée par u. BIEN COMPRENDRE les manipulations sur le Vect(..) Définition : Vect( u, v ) Soit u, v K 3 et M 0 K On définit V ect( u, v ) comme le plan passant par l origine et dirigée par les vecteurs ( u, v ). C est à dire que que l on a l ensemble des vecteurs s écrivant sous la forme : λ u + µ v avec λ, µ K. ie : V ect( u, v ) = {λ u + µ v /λ, µ K} 2. On définit M 0 + V ect( u, v ) comme le plan passant par M 0 et dirigée par les vecteurs ( u, v ). II.2) Une équation deux inconnues 2

3 Définition : Equation cartésienne d une droite Soit α, β, γ K et (α, β) (0, 0). On définit la droite D par l ensemble des points M(x, y) K 2 vérifiant l équation : αx + βy + γ = 0. ie : D = {(x, y) K 2 /αx + βy = γ} Pour déterminer totalement une droite, on a besoin d un point M 0 (x 0, y 0 ) sur la droite D et d un vecteur directeur u de D. Notation : On notera la droite D : M 0 + V ect( u ) Réciproquement si on connait un point sur la droite et un vecteur directeur alors on connaît totalement D. Bilan : Pour déterminer totalement une droite, on a besoin d un point sur la droite et d un vecteur directeur. Méthode pour trouver à partir de l équation cartésienne un vecteur directeur et un point sur la droite : L équation de D est : αx + βy = γ. On met le système sous forme triangulaire : αx = γ βy. On a une inconnue principale qui est X et une variable libre qui est Y. Pour trouver une solution particumière, on annule TOUTES les variables libres. Donc ici, comme nous en avons qu une seule, on prend Y = 0, on a donc X = γ α, donc on a comme point sur la droite : ( γ α, 0). Pour trouver un vecteur directeur de la droite, on "annule" les constantes et on prend Y la première variable libre égale à 1 puis les autres valent 0, puis la seconde variable libre vaudra 1 et les autres 0 et ainsi de suite jusqu à la dernière. Ici, comme on a une seule variable libre, on prend Y = 1. Donc, on a : X = β α. ( ) β Donc un vecteur directeur est : α, 1 ou encore ( β, α). Ainsi D = ( γ, 0) + V ect(( β α γ, 1). II.3) Une équation trois inconnues Définition : Equation cartésienne d un plan Soit α, β, γ, δ K et (α, β, δ) (0, 0). On définit le plan P par l ensemble des points M(x, y, z) K 3 vérifiant l équation : αx + βy + γz + δ = 0. ie : P = {(x, y, z) K 3 /αx + βy + γz = δ} 3

4 Soit P un plan. Pour déterminer totalement un plan, on a besoin d un point M 0 (x 0, y 0 ) sur le plan P et de vecteurs directeurs u, v non colinéaires de P. Notation : On notera la droite P : M 0 + V ect( u, v ) Réciproquement si on connait un point sur la droite et deux vecteurs directeurs non colinéaires, on connait totalement P. Bilan : Pour déterminer totalement un plan, on a besoin d un point sur le plan et de deux vecteurs directeurs non colinéaires. Méthode pour trouver à partir de l équation cartésienne un vecteur directeur et un point sur la droite : L équation de D est : αx + βy + γz = δ. On met le système sous forme triangulaire : αx = δ βy γz. On a une inconnue principale qui est X et deux variables libres qui sont Y et Z. Pour trouver une solution particumière, on annule TOUTES les variables libres. Donc ici,on prend Y = Z = 0, on a donc X = δ α, donc on a comme point sur la droite : ( δ α, 0, 0 ). Pour trouver un premier vecteur du plan, on "annule" les constantes et on prend Y la première variable libre égale à 1 puis les autres valent 0, pour avoir un second vecteur du plan la seconde variable libre vaudra 1 et les autres 0 et ainsi de suite jusqu à la dernière. Dans notre cas, nous n avons que deux variables libres. * Ici, le premier cas est donc pour Y = 1 et Z = 0. Donc, on a : X = β α. ( ) β Donc un premier vecteur directeur est : α, 1, 0 ou encore ( β, α, 0). * Ensuite on prend : Y = 0 et Z = 1. Donc, on a : X = δ α. ( ) γ Donc un second vecteur directeur est : α, 0, 1 ou encore ( γ, 0, α). Ainsi P = ( δ, 0, 0) + V ect(( β, α, 0), ( γ, 0, α)). α II.4) Deux équations, trois inconnues Définition : proposition Soit α, β, γ, δ, α, β, γ, δ K avec (α, β, γ) (0, 0, 0) et (α, β, γ ) (0, 0, 0). On suppose les vecteurs (α, β, γ) et (α, β, γ ) non colinéaires. Alors l ensemble des points (x, y, z) K 3 vérifiant le système suivant forme une droite. { αx + βy + γz = δ α x + β y + γ z = δ De la même façon que précédemment, on pourrait montrer que pour connaitre totalement la droite D, il faut et il suffit de trouver un point du plan et un vecteur directeur. Méthode pour trouver à partir de l équation cartésienne un vecteur directeur et un point sur la droite : 4

5 On met le système sous forme triangulaire : { αx + βy + γz = δ β y + γ z = δ { αx + βy = δ γz β y = δ γ z On a donc deux variables principales (x et y) et une variable libre (z). Pour trouver une solution particumière, on annule TOUTES les variables libres. Donc ici,on prend Z = 0 et on résout le sytème. On trouve alors les valeurs de x et y. Pour trouver un premier vecteur du plan, on "annule" les constantes et on prend la première variable libre égale à 1 puis les autres valent 0. Dans notre cas, nous avons une variable libre qui est Z. On prend donc z = 1 puis on résout le système suivant : { αx + βy = δ γ β y = δ γ Nous obtenons donc les valeurs de x et y et par voie de conséquence notre vecteur directeur. III) Systèmes linéaires III.1) Systèmes linéaires en taille 2 Pour la suite, on pose le système de taille 2 2 suivant : { ax + by = s cx + dy = t avec a, b, c, d, s, t( K, (a,) b) (0,( 0) et )(c, d) (0, ( 0) ) a b x s On a donc A =, X = et B = c d y t Définition : Déterminant d une matrice 2 2 : On appelle det(a) le réel noté a b c d défini par : det(a) = a c b d = ad bc Si det(a) 0 alors le système admet une unique solution quelque soit le second membre B. On dit que le système est de Cramer. Si det(a) = 0 alors le système admet pour solution l ensemble vide, une droite (ou le plan entier) selon le second membre B. III.2) Systèmes linéaires en taille 3 On considère un système à 3 équations et à 3 inconnues : a 1 x + b 1 y + c 1 z = s 1 (S) a 2 x + b 2 y + c 2 z = s 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = s 3 On a donc A = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 5

6 Définition : On définit le déterminant de A, que l on note det(a) ou A = det(a) = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = a 1 b 2 c 2 b 3 c 3 a 2 b 1 c 1 b 3 c 3 + a 3 b 1 c 1 b 2 c 2, par : Si det(a) 0 alors (S) admet une unique solution (on dit que le système est de Cramer) Si det(a) = 0 alors l ensemble des solutions est soit vide, soit une droite, soit un plan. 6