Extension au cas multi-étage à nombres d aubes quelconques

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1 Chapitre 5 Extension au cas multi-étage à nombres d aubes quelconques Nous venons de voir comment l utilisation de la propriété de périodicité chorochronique de l écoulement permettait de traiter des calculs instationnaires pour les configurations multi-étages à étages répétitifs, comme c est le cas dans la turbine à 1.5 étages rwth 1, et ce d une manière analogue au traitement qui était utilisé lors des simulations mono-étage. Malheureusement il s agit là d un cas particulier, les configurations réalistes étant généralement composées de roues à étages non-répétitifs, les nombres d aubes étant même souvent premiers entre eux afin de se protéger d éventuelles intéractions aéroélastiques. Les solutions rencontrées dans la littérature pour réaliser des simulations instationnaires sur des configurations multi-étages sont au nombre de deux : calculer la géométrie dans son intégralité (Callot [9]); si dans ce cas, aucune hypothèse n est faite sur la fréquence des phénomènes instationaires, les ressources informatiques nécessaires obligent l utilisation de maillages peu raffinés et de modèles de fermeture de la turbulence au premier ordre (type longueur de mélange), ce qui risque de nuire à la qualité des résultats obtenus ; modifier la géométrie afin d appliquer des conditions de simple périodicité, en modifiant le nombre et la taille (pour conserver la solidité) des aubes d une ou plusieurs rangées, et modéliser plusieurs aubes par rangée afin d obtenir un rapport entre le nombre d aubes modifié et le nombre d aubes réel proche de 1 (Yang et Lin [104], Hall [50]); des études menées sur l influence de la modification du nombre d aubes ont montré que non seulement les fréquences des phénomènes instationnaires allaient être modifiées (Arnone et Pacciani [7]) mais également la structure de l écoulement et en particulier des écoulements secondaires (Yao et al. [105]). Nous allons présenter dans ce chapitre une alternative à ces deux solutions. La méthode que nous allons introduire reste basée sur l utilisation de la périodicité chorochronique (Chapitre 2) mais avec la prise en charge des fréquences instationnaires liées aux roues adjacentes de chaque rangée d aubes, alors que les fréquences des roues non-adjacentes vont être filtrées au niveau des interfaces axiales. L avantage de cette technique est qu elle permet d effectuer des calculs instationnaires multi-étages sur des configurations à nombres d aubes quelconques pour le même coût de calcul que pour des configurations à étages répétitifs, puisque l utilisation des relations de périodicité chorochronique nous permet de conserver une modélisation mono-canal de l écoulement au sein d une turbomachine. 5.1 Principe de la méthode Le problème des simulations instationnaires multi-étages provient de la multiplication du nombre de fréquences instationnaires à prendre en compte (une par rangée d aubes en rotation relative), et du fait que deux rangées d aubes fixes l une par rapport à l autre présentent des périodicités spatiales différentes si les nombres d aubes ne sont pas égaux. De ce fait, les relations de périodicité chorochronique telles qu elles ont été définies au chapitre 2 101

2 102 CHAPITRE 5. EXTENSION AU CAS MULTI-ÉTAGE À NOMBRES D AUBES QUELCONQUES ne sont plus applicables puisque valables uniquement pour 2 rangées d aubes en rotation l une par rapport à l autre, c est à dire un seul étage. De ce fait, les conditions aux limites à appliquer aux frontières périodiques du domaine de calcul posent problème, ce qui conduit aux solutions présentées précedemment, à savoir modifier la géométrie pour obtenir des conditions de simple périodicité ou calculer la géométrie complète. La méthode présentée ici ne modifie pas la géométrie tout en conservant la modélisation mono-canal. Pour ce faire, un nombre limité de fréquences doivent être prises en compte par domaine de calcul, ce qui impose notamment certaines hypothèses simplificatrices : pour une rangée n BR donnée, seules les fréquences u f nbr et d f nbr liées au défilement des aubes des roues adjacentes n BR 1 (upstream blade-row) et n BR + 1 (downstream blade-row) sont considérées ; les fréquences provenant des rangées d aubes non-adjacentes sont filtrées au niveau des interfaces axiales amont et aval du domaine de calcul de la rangée n BR ; afin de pouvoir utiliser correctement les relations de périodicité chorochronique propres à chaque fréquence dans une rangée donnée n BR, le signal est découplé entre les fréquences amont et aval u f nbr et d f nbr. Cette méthode correspond donc pour les simulations instationnaires, un peu à l équivalent de ce que la technique des plans de mélange est aux simulations stationnaires. Nous allons maintenant revoir plus en détail les différents points abordés précédemment et en particulier quelles sont les modifications qui vont être entraînées par rapport aux simulations instationnaires mono-étage Décomposition du signal sur 2 fréquences L idée de gérer plusieurs fréquences instationnaires au sein d un même domaine de calcul a été initialement suggérée par les travaux de He [57]. Ce dernier, lors d études sur le flottement des aubes, a présenté une méthode de traitement des conditions aux limites de périodicité permettant de prendre en compte des perturbations multiples au sein d un calcul instationnaire mono-canal. Lors de calculs instationnaires en aéroélasticité, l écoulement est également périodique mais avec des fréquences induites cette fois-ci, non pas par le défilement des aubes des autres rangées, mais propres aux phénomènes de flottement considérés. L idée introduite par He [57] consiste à identifier chacune des perturbations et à appliquer au niveau des frontières périodiques du domaine de calcul, des conditions de périodicité spatio-temporelles propres à chaque fréquence. C est cette idée que nous allons reprendre et adapter au cas de l interaction instationnaire entre plusieurs rangées d aubes. Dans un premier temps, il va falloir definir combien et quelles sont les perturbations que nous allons prendre en compte dans chaque domaine de calcul, ces derniers étant rattachés à une rangée d aubes en particulier. Théoriquement, pour une rangée d aubes donnée, chaque roue en rotation relative par rapport à cette dernière va apporter une nouvelle fréquence temporelle. De plus, les roues fixes par rapport à cette rangée donnée vont générer des phénomènes avec une fréquence spatiale différente si les nombres d aubes des deux rangées sont différents, ce qui va remettre en cause l utilisation d un seul canal par rangée pour modéliser l écoulement. Pour s affranchir de ce problème, nous ne considererons donc que les fréquences instationnaires liées au défilement des aubes des roues adjacentes à une rangée d aubes donnée. D un autre point de vue, cette méthode peut donc se voir comme le couplage de plusieurs calculs instationnaires mono-étages. Pour le domaine de calcul de la roue n BR [1; N BR 1], la fréquence instationnaire et le déphasage inter-aube liés à la roue aval n BR + 1 (downstream) sont donnés par : d f nbr = N Bn BR +1 Ω nbr Ω nbr+1 ; 2π d β rnbr = 2π N Bn BR N B n BR +1 N B n BR sign[ω nbr Ω nbr+1] (5.1) et dans cette même roue aval n BR + 1, la fréquence instationnaire et le déphasage inter-aube liés à la roue amont n BR (upstream) s écrivent : u f nbr+1 = N Bn BR 2π Ω n BR+1 Ω nbr ; u β rnbr +1 = 2π N Bn BR +1 N BnBR N BnBR +1 sign[ω nbr+1 Ω nbr ] (5.2) Considérons par exemple, le cas d une configuration à 3 rangées d aubes comme cela est présenté à la figure 5.1, dont le domaine de calcul est composé d un maillage amont en h (uh), de trois domaines en o (o 001, o 002 et

3 5.1. PRINCIPE DE LA MÉTHODE 103 R u f UH d f UH u f 1 d f 1 u f 2 d f 2 u f 3 d f 3 u f DH d f DH N B 1 N B2 N B3 Ω 1 Ω 2 Ω 3 uh o 001 o 002 o 003 dh x Figure 5.1: Décomposition du signal sous la forme de 2 fréquences dans chaque bloc du domaine de calcul pour, par exemple trois rangées d aubes (N BR = 3) o 003) et d un domaine aval en h (dh). En appliquant les formules définies précédement (Eqs. 5.1 et 5.2) à cet exemple pour n BR [1; N BR 1], c est à dire n BR = 1 et n BR = 2, on obtient : d f 1 = N B2 2π Ω 1 Ω 2 ; u f 2 = N B1 2π Ω 2 Ω 1 ; d f 2 = N B3 2π Ω 2 Ω 3 ; u f 3 = N B2 2π Ω 3 Ω 2 ; d β r1 = 2π N N B1 B2 sign[ω 1 Ω 2 ] (5.3) N B 1 u β r2 = 2π N B2 N B1 sign[ω 2 Ω 1 ] (5.4) N B 2 d β r2 = 2π N B2 N B3 N B2 sign[ω 2 Ω 3 ] (5.5) u β r3 = 2π N N B3 B2 sign[ω 3 Ω 2 ] (5.6) N B 3 que nous complétons, pour les domaines en h amont et aval, par : u f UH = d f UH = u f 1 = d f 1 ; d f DH = u f DH = d f 3 = u f 3 ; u β ruh = d β ruh = u β r1 = d β r1 (5.7) d β rdh = u β rdh = d β r3 = u β r3 (5.8) On peut remarquer que pour l exemple présenté (N BR = 3), il n y a que dans le domaine de calcul de la roue du milieu (o 002) que les fréquences amonts et avals u f et d f sont différentes. Néanmoins, afin de conserver le traitement des différents blocs du domaine de calcul à l aide d une seule et même boucle, l écriture sous la forme de deux fréquences a été introduite dans l ensemble des blocs du domaine de calcul. Les modifications par rapport au code instationnaire mono-étage ne conçernant que le traitement des frontières périodiques et le post-traitement embarqué, le surcoût numérique engendré reste très faible par rapport à la simplicité des modifications à apporter au programme. En d autres termes, notre approche consiste à considérer que, dans le domaine de calcul d une rangée d aubes ayant deux roues adjacentes, l une en amont et l autre en aval, le signal temporel peut se réduire à la somme des intéractions dues aux deux rangées voisines. Cette manière de procéder néglige donc l influence des roues non-adjacentes, ainsi que les perturbations induites par l interaction non-linéaire entre les deux fréquences (fréquences composées de la somme ou de la différence des fréquences fondamentales u f et d f). Néanmoins, il s agit de la seule manière simple de réaliser des simulations instationnaires multi-étages pour un coût de calcul raisonnable, c est à dire en conservant une modélisation mono-canal. Nous supposerons donc que, dans le domaine de calcul d une rangée donnée, toute grandeur F (t; x, R, θ) peut s écrire comme la somme entre une partie provenant de l interaction avec la roue amont et une autre partie provenant de l interaction avec la roue aval : F (t; x, R, θ) = u F (t; x, R, θ) + d F (t; x, R, θ) (5.9) où les signaux u F (t; x, R, θ) et d F (t; x, R, θ) doivent vérifier les conditions de périodicité chorochronique (Eqs. 3 et 4,

4 104 CHAPITRE 5. EXTENSION AU CAS MULTI-ÉTAGE À NOMBRES D AUBES QUELCONQUES page 27) propres à l interaction entre la rangée considérée et la rangée amont ou aval : u β r u F (t; x, R, θ) = u F (t + 2π u f d F (t; x, R, θ) = d F (t + ; x, R, θ 2π N B ) (5.10) d β r 2π 2π d ; x, R, θ ) (5.11) f N B Ce type de décomposition du signal sera utilisé afin de traiter les conditions aux limites aux frontières périodiques du domaine de calcul et dans le post-traitement embarqué afin de stoker le signal à différentes nappes radiales sous la forme de séries de Fourier Frontières azimutales La mise à jour des conditions aux limites aux frontières périodiques des domaines de calcul fait appel au champ qui a existé à un instant t différent de celui du calcul. Pour avoir accès à cette information, nous supposons que toute grandeur F (t; x, R, θ) peut être décomposé entre une partie provenant de l interaction avec la roue amont et une autre partie provenant de l interaction avec la roue aval : F (t; x, R, θ) = u F (t; x, R, θ) + d F (t; x, R, θ) (5.12) où les parties u F (t; x, R, θ) et d F (t; x, R, θ) sont décomposés sous la forme de séries de Fourier temporelles tronquées en N t : { +Nt } u u F (t; x, R, θ) = R ˇF (nt ; x, R, θ)e i2πntu ft (5.13) où les harmoniques u ˇF et d ˇF : d F (t; x, R, θ) = R u ˇF (nt ; x, R, θ) = C(n t ) u f d ˇF (nt ; x, R, θ) = C(n t ) d f n t=0 { +Nt n t=0 d ˇF (nt ; x, R, θ)e i2πntd ft t0+ u f 1 t 0 t0+ d f 1 t 0 } (5.14) u F (t; x, R, θ)e i2πnt u ft dt (5.15) d F (t; x, R, θ)e i2πnt d ft dt (5.16) avec C(0) = 1 et C(n t ) = 2 pour n t = 1, 2,, sont mis à jour à chaque itération par la technique des moyennes mobiles. L actualisation des conditions aux limites s effectue alors en reconstruisant le signal au temps adéquate et en l imposant aux frontières du domaine de calcul à l aide de nœuds fantômes. En fait, les nœuds fantômes des frontières azimutales (Fig. 2, page 28) sont mis à jour à partir des nœuds correspondants du domaine de calcul en θ ± 2π/N B. Pour cela le signal temporel en chaque nœud du domaine de calcul P générant un nœud fantôme est stocké sous la forme de séries de Fourier temporelles tronquées en N t (Eqs et 5.14), où N t = O(10) harmoniques sont généralement suffisants pour obtenir une description satisfaisante des signaux temporels. Les relations de périodicité chorochronique (Eqs et 5.11) propres à chaque signal sont utilisées pour mettre à jour les nœuds fantômes (plus précisement les harmoniques temporels des nœuds fantômes) : u ˇF (nt ; x, R, θ ± 2π ) = u ˇF (nt ; x, R, θ)e ±int u β r (5.17) N B d ˇF (nt ; x, R, θ ± 2π ) = d ˇF (nt ; x, R, θ)e ±int d β r (5.18) N B Ces relations peuvent s appliquer dans n importe quelle rangée, que les fréquences u f et d f soient différentes ou non. L implémentation numérique de ces conditions ne nécessite le calcul des harmoniques qu uniquement aux nœuds générant les nœuds fantômes, comme cela était déjà le cas lors des simulations instationnaires mono-étage.

5 5.1. PRINCIPE DE LA MÉTHODE Interface axiale chorochronique Le traitement des interfaces axiales est strictement identique à celui utilisé lors des simulations de l interaction rotor/stator mono-étage, et permet ainsi d assurer un filtrage des fréquences instationnaires provenant des roues non-adjacentes au domaine de calcul d une rangée d aubes donnée. Par exemple, lorsque l on considère l interface axiale séparant les rangées d aubes n BR = 1 et n BR = 2, la décomposition du signal à l aide d harmoniques chorochroniques servira à échanger les signaux d F 1 (t, θ 1 ; x, R) et u F 2 (t, θ 2 ; x, R), alors que les signaux u F 1 (t, θ 1 ; x, R) et d F 2 (t, θ 2 ; x, R) seront filtrés : d F 1 (t, θ 1 ; x, R) = +N t +L θ d ˆF1 (n t1, d n θ1 ; x, R)e i2πnt d 1 f 1t+i d n θ1 θ 1 (5.19) u F 2 (t, θ 2 ; x, R) = n t1 = N t l θ1 = L θ +N t +L θ u ˆF2 (n t2, u n θ2 ; x, R)e i2πnt u 2 f 2t+i u n θ2 θ 2 (5.20) avec n t2 = N t l θ2 = L θ d n θ1 (n t1, l θ1 ) = l θ1 N B 1 n t 1 (N B 1 N B2 )sign[ω 1 Ω 2 ] l θ1 Z (5.21) u n θ2 (n t2, l θ2 ) = l θ2 N B2 n t2 (N B1 N B2 )sign[ω 1 Ω 2 ] l θ2 Z (5.22) Dans la suite, nous allons rappeler briévement la méthode utilisée pour échanger les informations au niveau de l interface axiale, telle qu elle était déjà employée pour les simulations instationnaires mono-étage, mais avec n BR = 1 n BR = 2 s M P θ 1 M..M 1 M 2 M 3 triangle d interpolation Q Q + θ ABS zoom Q + θ 2 surface où le signal est traité avec des harmoniques chorochroniques Figure 5.2: Illustration du traitement de l interface axiale amont de la rangée n BR grâce à l utilisation de la périodicité chorochronique ; maillage classique autour des aubes de 2 roues adjacentes n BR = 1, 2 (en rouge) et noeuds fantômes de la roue n BR = 1 (en bleu)

6 106 CHAPITRE 5. EXTENSION AU CAS MULTI-ÉTAGE À NOMBRES D AUBES QUELCONQUES les notations appropriées au cas multi-étages. Le traitement de l interface axiale séparant les deux roues est aussi basé sur l utilisation de nœuds fantômes (Fig. 5.2), associée à une décomposition du signal sous la forme de doubles séries de Fourier (Eqs et 5.20). Les nœuds fantômes sont situés sur N PH (avec dans notre cas N PH = 5) surfaces de révolutions. Dans la suite, nous considérerons le traitement de l interface aval de la rangée n BR = 1 (Fig. 5.2), l interface amont de la roue n BR = 2 étant traitée de manière similaire, de même que les interfaces amonts ou avals pour des valeurs supérieures de n BR. L utilisation de plusieurs (N PH ) nœuds fantômes dans la direction axiale permet non seulement de transmettre les grandeurs de l écoulement mais également leurs gradients axiaux. Considérons un nœud fantôme P de l interface aval de la rangée n BR = 1 (Fig. 5.2). Ce nœud fantôme P ne correspond à aucun nœud existant du maillage de la rangée adjacente (n BR = 2). En effet le maillage de la roue n BR = 2 se déplace par rapport à celui de la roue n BR = 1 à cause de la rotation relative des deux rangées (Ω 1 Ω 2 0). De plus il n y a pas forcément de recouvrement entre le maillage fantôme de la roue n BR = 1 et le maillage de la roue n BR = 2 étant donné qu un seul canal est modélisé par rangée. Les variables de l écoulement aux nœuds fantômes, comme le point P, doivent être actualisées à chaque itération à partir d informations provenant de nœuds réels (non fantômes) du maillage. Pour réaliser cela, nous utilisons les harmoniques chorochroniques (Eqs et 5.20) calculés sur le cercle θ [0, 2π] qui passe par le point P. Si ces harmoniques sont connus dans le repère lié à la rangée adjacente n BR = 2, alors le calcul des grandeurs de l écoulement au point P vient directement à cause de l égalité entre les signaux exprimés dans chaque repère relatif au niveau de l interface, en utilisant des séries de Fourier tronquées en N t en temps, et en L θ en espace : d F 1 (t, θ 1P ; x P, R P ) u F 2 (t, θ 2P ; x P, R P ) = +N t +L θ u ˆF2 (n t2, u n θ2 ; x P, R P )e i2πnt u 2 f 2t+i u n θ2 θ 2P (5.23) n t2 = N t l θ2 = L θ avec θ 2P = θ ABS Ω 2 t = θ 1P + (Ω 1 Ω 2 )t et n θ2 = n θ2 [n t2, l θ2 ] (Eq. 5.22). L idée sous-jacente est donc de calculer les harmoniques chorochroniques nécessaires à la reconstruction de l écoulement au point P (nœud fantôme de la rangée n BR = 1) à partir des valeurs aux nœuds du maillage de la roue adjacente n BR = 2. Le cercle passant par le point P (plus précisement au point [x P, R P ] du plan méridien) coupe le contour du maillage de la roue n BR = 2 aux points Q et Q +, de telle manière qu à chaque itération l information pour le calcul des harmoniques chorochroniques est disponible sur le secteur Q Q + (θ Q+ θ Q = 2πN 1). Des points auxiliaires M (points noirs sur la Fig. 5.2) sont utilisés pour discrétiser B2 ce secteur ([x M, R M ] = [x P, R P ]), et les valeurs instantanées des variables de l écoulement en chaque point M sont calculées par interpolation surfacique (Zienkiewicz [108]) dans le triangle M 1 M 2 M 3 formé des nœuds avoisinants du maillage de la rangée n BR = 2. Le nombre de points auxiliaires M est pris égal au nombre de nœuds du maillage de la rangée n BR = 2 à l interface (les points M sont équidistants selon θ). Les valeurs obtenues aux points M sont utilisées en conjonction avec la technique des moyennes mobiles pour mettre à jour les harmoniques chorochroniques u ˆF2 (n t2, n θ2 ; x P, R P ), qui vont à leur tour servir à actualiser les nœuds fantômes de la frontière axiale comme le point P par exemple (Eq. 5.23) Technique des moyennes mobiles pour un signal bi-fréquencé La mise à jour des harmoniques, aussi bien temporels que chorochroniques, est effectuée à chaque itération à l aide de la technique des moyennes mobiles. Le traitement des interfaces axiales étant inchangé par rapport au cas mono-étage, il en est également de même pour la technique des moyennes mobiles appliquée aux harmoniques chorochroniques, décrite dans le chapitre 2 page 36. Nous allons donc nous intéresser dans la suite, uniquement aux mofifications à apporter au calcul des harmoniques temporels par la technique des moyennes mobiles dans le cas où le signal est décomposé par rapport à 2 fréquences d interaction u f et d f. Considérons par exemple le cas des harmoniques temporels u ˇF. Le calcul de ces derniers s obtient par une intégration du signal sur la période u f 1, approchée par la méthode des trapèzes : u ˇF (nt ; n t) = C(n t ) u f n+ 1 2 t u F (t)e i2πnt u ft dt = C(n t ) u f n+ 1 2 t u f 1 n l=n u N PP+1 [ u F ( l t)e i2πnt u f l t ] t (5.24) où C(0) = 1 et C(n t ) = 2 pour n t = 1, 2, et où N PP et le nombre d instants par période. En réécrivant l expression précédente à l itération suivante, i.e. au temps n+1 t et en faisant la différence entre les deux

7 5.1. PRINCIPE DE LA MÉTHODE 107 expressions, on obtient la formule suivante : u ˇF (nt ; n+1 t) = u ˇF (nt ; n t) + C(n t ) u f t [u F ( n+1 t) u F ( n+1 t u f 1 ) ] e i2πntu f n+1 t (5.25) Cette formule montre que les harmoniques temporels à l itération n + 1 peuvent être mis à jour à partir de leur valeur à l itération précédente n, moyennant une correction fonction de la différence entre la valeur du signal au temps de l itération n+1 t et sa valeur à la période précédente, c est à dire au temps n+1 t u f 1. Cette formulation pose deux problèmes : à l itération courante, nous ne disposons pas du signal u F ( n+1 t) mais de F ( n+1 t). Nous allons donc écrire u F ( n+1 t) = F ( n+1 t) d F ( n+1 t) et approximer la valeur de d F ( n+1 t) à l aide d une reconstruction à partir des harmoniques temporels d ˇF (nt ; n t) : d F ( n+1 t) = R [ Nt m t=0 d ˇF (mt ; n t)e i2πmtd f n+1 t ] (5.26) de plus afin de ne pas avoir à stocker l ensemble des valeurs du signal sur une période complète, u F ( n+1 t u f 1 ) est approximée par sa valeur issue de la reconstruction au temps n+1 t u f 1, égale à celle au temps n+1 t puisque la fonction est périodique en u f 1 : u F ( n+1 t f 1 ) = R [ Nt m t=0 u ˇF (mt ; n t)e i2πmtu f n+1 t ] (5.27) En intégrant ceci dans l équation 5.25, nous aboutissons à la formule correctice pour les harmoniques temporels au temps n+1 t suivante : u ˇF (nt ; n+1 t) = u ˇF (nt ; n t) (5.28) { [ Nt [ +C(n t ) u f t F ( n+1 t) R u ˇF (mt ; n t)e i2πmtu f n+1t + d ˇF ]]} (mt ; n t)e i2πmtd f n+1 t e i2πntu f n+1 t m t=0 Le même raisonnement appliqué aux harmoniques temporels d ˇF permet d aboutir à la formule correspondante : d ˇF (nt ; n+1 t) = d ˇF (nt ; n t) (5.29) { [ Nt [ +C(n t ) d f t F ( n+1 t) R u ˇF (mt ; n t)e i2πmtu f n+1t + d ˇF ]]} (mt ; n t)e i2πmtd f n+1 t e i2πntd f n+1 t m t=0 Notons que les mêmes remarques que celles faites au paragraphe (page 39) concernant la technique des moyennes mobiles sont valables. À savoir, principalement que les approximations introduites aux équations 5.26 et 5.27 rendent le processus itératif, et que ce dernier nécessite donc deux à trois périodes pour converger vers la solution périodique du calcul Continuité du signal entre les interfaces axiales et azimutales L écriture du signal comme fonction d une seule fréquence au niveau des interfaces axiales du domaine de calcul d une rangée d aubes (fonction de u f à l interface amont et de d f à l interface aval) pose un problème de continuité avec les frontières circonférentielles où le signal imposé est lui fonction des deux fréquences u f et d f. Cette écriture différente pour chaque interface, fait que le signal imposé à chaque itération comme condition aux limites au niveau des nœuds fantômes présente une discontinuité à la jonction entre les interfaces axiales et azimutales. Afin de conserver une continuité du signal imposé à chaque itération aux nœuds fantômes (Fig. 5.3), nous avons choisi d introduire des coefficients au niveau de la reconstruction des signaux temporels aux frontières azimutales, de manière à introduire progressivement l influence de l interaction avec la roue aval du côté amont du domaine de calcul et de même avec le signal dû à l interaction avec la roue amont du côté aval du domaine de calcul.

8 108 CHAPITRE 5. EXTENSION AU CAS MULTI-ÉTAGE À NOMBRES D AUBES QUELCONQUES F (t; x, R, θ) = u F (t; x, R, θ) + d F (t; x, R, θ) = R { u ˇF (0; x, R, θ) + d ˇF (0; x, R, θ) + +N t [ u u n t=1 C liss ˇF (nt ; x, R, θ) + d d C liss ˇF (nt ; x, R, θ) ]} } }{{} F (t, θ; x, R) = u F (t, θ; x, R) = +N t n t= N t +Lθ l θ = L θ u ˆF (nt, u n θ ; x, R)e i2πnt u ft+i u n θ θ Figure 5.3: Vue dans le plan aube à aube d un zoom sur l un des coins amont du maillage en o autour d une aube, avec en rouge le maillage régulier et en bleu les noeuds fantômes de l interface axiale amont et de la frontière azimutale supérieure n BR = 1 n BR = 2 n BR = 1 n BR = 2 sans coefficient d C liss avec coefficient d C liss Figure 5.4: Influence du coefficient de lissage d C liss introduit dans la reconstruction du signal aux frontières azimutales, vue de l entropie s s ISA dans la turbine rwth 1 modifiée, signal reconstruit à partir d harmoniques de post-traitement

9 5.2. VALIDATION : COMPRESSEUR TRANSSONIQUE ECL Nous avons donc choisi d introduire un coefficient de lissage s appliquant uniquement aux harmoniques de rang supérieur ou égal à 1, afin de conserver la valeur moyenne donné par les harmoniques de rang 0. L écriture initiale du signal reconstruit au niveau des frontières périodiques (Eqs ) a dons été remplacée par la suivante : { +N t [ u F (t; x, R, θ) = R ˇF (0; x, R, θ) + d ˇF (0; x, R, θ) + u C liss (x) u ˇF (nt ; x, R, θ) + d C liss (x) d ˇF (nt ; x, R, θ) ]} (5.30) n t=1 où le coefficient d C liss (x) varie progressivement de 0 à 1 selon une loi en sinus 1 pour l ensemble des nœuds fantômes des frontières azimutales dont la position axiale est comprise entre l interface amont et 10% de la distance axiale du domaine de calcul, puis reste constant et égal à 1 pour le reste des nœuds fantômes. Inversement, le coefficient u C liss (x) est égal à 1 pour les nœuds fantômes dont la position axiale est comprise entre 0 à 90% de la distance axiale du domaine de calcul, puis est progressivement rammené à 0 selon la même loi que pour le cefficient d C liss (x). Ce problème de continuité entre les signaux imposés aux interfaces axiales et azimutales a initialement été mis en évidence lors de tests préliminaires réalisés sur la configuration de la turbine à 1.5 étages rwth 1 présentée dans le chapitre 3, composée de deux stators identiques entourant un rotor. Les fréquences instationnaires dans le rotor, u f liée à l interaction avec le premier stator et d f due à l interaction avec le second stator, sont donc identiques puisques les deux stators sont composés du même nombre d aubes. Un premier calcul sur la turbine rwth 1 utilisant la méthode présentée dans ce chapitre a permis de montrer l équivalence de cette dernière lorsque les fréquences u f et d f sont identiques avec l extension de la méthode mono-étage au cas multi-étages à étages répétitifs ne prenant en compte qu une seule fréquence par domaine de calcul. Nous avons ensuite réalisé un second calcul en modifiant le nombre d aubes du second stator afin de tester la méthode dans le cas général où les fréquences u f et d f sont différentes. Ce second essai a montré une génération non physique d entropie à la jonction entre les interfaces axiales et azimutales du domaine de calcul du rotor (Fig. 5.4, image de gauche). L utilisation des coefficients u C liss et d C liss au niveau de la reconstruction du signal temporel à imposer aux frontières périodiques a permis de corriger ce problème, comme on peut le voir sur l image de droite de la figure 5.4. Sur cette dernière, les discontinuités apparentes au niveau des interfaces sont dues à une convergence insuffisante du calcul, en particulier du calcul des harmoniques de post-traitement. La méthode a ensuite été appliquée à une configuration plus délicate, celle d un compresseur transsonique également composé de 1.5 étages et présentant notamment de nombreuses interactions choc-sillages entre les différentes roues. 5.2 Validation : compresseur transsonique ecl Présentation du cas test Le compresseur transsonique que nous allons présenter a été dessiné au début des années 1990 par snecma et a été étudié expérimentalement à l École Centrale de Lyon (Escuret et al. [22], Ottavy et al. [76][77]), d où son appellation ecl 4. Il se compose d une roue directrice d entrée (igv 2 ), suivie d un étage de compresseur composé d un rotor et d un stator, représentatif du premier étage d un compresseur haute-pression moderne. Il se caractérise notamment par une très forte charge aérodynamique des aubes du rotor. Le point de fonctionnement calculé correspond à un fonctionnement désammorcé du rotor, ce qui se traduit par la remontée des ondes de choc qui se forment en amont du bord d attaque des aubes du rotor, dans le passage de l igv. De plus, le caractère transsonique de l écoulement fait que l extrados des aubes du stator présente une poche supersonique qui interagit avec les sillages du rotor. Le tableau 5.1 regroupe les caractéristiques des différentes roues, à savoir les nombres d aubes, les vitesses de rotation ainsi que les fréquences fondamentales d interaction qui en découlent (Eqs. 5.1 et 5.2). Contrairement x x u 0.1(x d x u) 1 du type 1 2 sin(π(x liss 1 2 )) avec pour d x xu C liss (x), x liss = lorsque 0.1 et pour x d x u C u liss (x), x liss = x d x 0.1(x d x lorsque x d x 0.9 avec x la position axiale du nœud fantôme considéré, x u) x d x u la position axiale de la limite amont du u domaine de calcul et x d la position axiale de la limite aval du domaine de calcul 2 Inlet Guide Vane

10 110 CHAPITRE 5. EXTENSION AU CAS MULTI-ÉTAGE À NOMBRES D AUBES QUELCONQUES Table 5.1: Caractéristiques des différentes rangées d aubes Nombre d aubes par rangée N B 1 N B 2 N B Vitesse de rotation (rpm) Ω 1 Ω 2 Ω fréquences instationnaires (Hz) u f 1 / d f 1 u f 2 / d f 2 u f 3 / d f / / / au cas de la turbine rwth 1 où les nombres d aubes des stators entourant le rotor étaient identiques, les nombres d aubes de l igv et du stator (Tab. 5.1) sont différents ce qui conduit à des fréquences d interaction amont u f 2 et aval d f 2 dans le rotor distinctes. Ce cas test va donc nous permettre de montrer la validité de la méthode à gérer deux fréquences dans le domaine de calcul du rotor en présence d interactions chocs-sillages. La capacité du traitement des interfaces axiales à gérer correctement la transmission de l information en présence d ondes de chocs a été montrée par Hanisch [52] et par Gerolymos et al. [31] lors de simulations instationnaires de la configuration ecl 4 sans le stator. Des résultats d un calcul instationnaire mono-étage de l interaction entre l igv et le rotor sont présenté dans la publication de Gerolymos et al. [31], reproduite dans le chapitre 2 de ce mémoire (page 34) Paramètres du calcul instationnaire Le but de ce calcul était d obtenir rapidement un premier résultat afin de montrer la viabilité de la méthode présentée dans ce chapitre. De ce fait, le maillage utilisé (Tab. 5.2) est extrèmement grossier avec en particulier, seulement 41 nappes dans la direction radiale pour les domaines principaux et 11 nappes radiales pour modéliser les jeux d extrémité des aubes du rotor et du stator, pour un total inférieur à points. Ces valeurs sont à comparer avec celles du maillage utilisé par Gerolymos et al. [31], comportant 65 nappes radialement et dont le jeu de rotor est discrétisé à l aide 25 nappes, pour un total de plus de points uniquement pour simuler l interaction entre l igv et le rotor. Suite au raffinement lâche du maillage, la distance adimensionnée de la première maille à la paroi n + w présente des valeurs élevées laissant présager un comportement altéré du Table 5.2: Caractéristiques du maillage utilisé ecl 4 uh o 001 o 002 tc 002 oz 002 o 003 hc 003 oz 003 dh nombre total de points : axialement tangentielement radialement sans les points du domaine en o juxtaposées par le oz autour de l aube en partant de l aube radialement Table 5.3: Résumé des principaux paramètres utilisés dans le calcul instationnaires Paramètres instationnaires N t = 5 L θ = 5 N PP = 72

11 5.2. VALIDATION : COMPRESSEUR TRANSSONIQUE ECL e MF e MF e MF T 4T 6T 8T 10T 12T 14T 16T 18T 0 2T 4T 6T 8T 10T n it t (T= d f 1 2 ) t (T=bpf ROTOR) Figure 5.5: Convergence du calcul instationnaire modèle de turbulence rsm dans les zones proches des parois. L utilisation d un maillage grossier présente néanmoins un avantage certain en terme de coût et de rapidité de calcul. Dans le même souci d économie, le nombres d harmoniques temporels et spatiaux utilisés dans le traitement spectral de l information aux différentes interfaces et dans le post-traitement embarqué, a été limité à un nombre de 5 (Tab. 5.3). Après convergence du calcul stationnaire en 850 itérations, le calcul instationnaire a débuté. Ce dernier a été poursuivi jusqu à l obtention d une solution périodique au bout de 17 cycles, utilisant chacuns 72 instants par période (Tab. 5.3), soit un total de 1224 itérations instationnaires comprenant chacunes 3 sous-itérations pseudo-stationnaires en moyenne. La période utilisée pour déterminer le pas de temps des simulations instationnaires correspond à la plus courte des différentes périodes, donc à la plus élevée des fréquences, c est à dire d f 2, la fréquence de défilement des aubes du stator dans le repère relatif au rotor. Ces 17 périodes correspondent 3 à un peu moins de 11 périodes de passage des aubes du rotor dans le repère absolu et à un peu plus de 9 périodes de passage des aubes de l igv dans le repère relatif au rotor. La figure 5.5 présente le tracé de la variation relative e MF (Eq. 1.70, page 17) des grandeurs de l écoulement entre deux itérations. Un agrandissement de la partie correspondant au calcul instationnaire (non représentatif de la précision du calcul mais de son évolution) est également présenté, où l axe des abscisses a été regradué en fonction de d f2 1 = N PP t pour la figure du milieu et en fonction de la fréquence de passage des aubes du rotor (bpf ROTOR = d f1 1 = u f3 1 ) pour la figure de gauche, montrant la prédominance de la la fréquence de passage du rotor dans l interaction instationnaire entre les rangées d aubes. Remarquons que la périodicité réelle des phénomènes instationnaires correspond au temps nécessaire pour obtenir une révolution complète de 2π, diminuée d un facteur égal au plus grand diviseur commun des nombres d aubes des différentes roues lorsque la géométrie présente une périodicité spatiale inférieure à 2π (facteur 2 dans notre cas). Il faudrait donc théoriquement réaliser plusieurs fois ce cycle 4 pour obtenir une solution convergée. Le découplage des fréquences instationnaires dans chaque domaine de calcul, opéré lors du traitement spectral de l information, permet de ne considerer la convergence du calcul que par rapport à la plus grande des périodes d interaction propres aux différentes rangées d aubes Résultats Quelques résultats issus de ce premier calcul instationnaire multi-étages vont être présentés dans cette section. Tous les résultats présentés sont issus de la reconstruction des différentes grandeurs à l aide d harmoniques temporels pour les plans aube à aube et d harmoniques chorochroniques pour les interfaces axiales, à l exception de la figure 5.6 où une comparaison entre le champ issu de l itération courante du calcul est comparé avec une reconstruction temporelle à l instant correspondant. Cette comparaison vise à montrer la convergence des harmoniques de post-traitement, actualisés à chaque itération du calcul par la technique des moyennes mobiles (paragraphe 5.1.4). L écart entre la valeur reconstruite du nombre Mach absolu dans le repère relatif du rotor 3 17 d f 1 2 = 17 N B 1 N B3 u f 1 2 = 17 N B 2 4égal à 1 2 NB 3 d f 1 2 = 1 2 NB 1 1 = 17 N B 2 u f 1 2 = 1 2 NB 2 N B3 d f 1 N u f 1 B3 3 d f 1 1 = 1 2 NB 2 u f 1 3

12 112 CHAPITRE 5. EXTENSION AU CAS MULTI-ÉTAGE À NOMBRES D AUBES QUELCONQUES Champ instantané, i.e. issu du calcul à l itération courante 2 Champ reconstruit en utilisant N t = 5 harmoniques Figure 5.6: Comparaison entre le champ issu de l itération courante et la reconstruction à l aide de N t = 5 harmoniques de post-traitement ( M [0.4; 1]) M Figure 5.7: Continuité entre le nombre de Mach M reconstruit sur une nappe radiale à partir des harmoniques temporels et le nombre de Mach reconstruit à l interface à l aide d harmonique chorochroniques

13 5.2. VALIDATION : COMPRESSEUR TRANSSONIQUE ECL t = 0 t = 1 4 d f 1 1 p t = 1 2 d f 1 1 t = 3 4 d f 1 1 Figure 5.8: Pression statique p à 4 instants équi-répartis d une période de passage des aubes du rotor dans le compresseur ecl 4

14 114 CHAPITRE 5. EXTENSION AU CAS MULTI-ÉTAGE À NOMBRES D AUBES QUELCONQUES t = 0 t = 1 4 d f 1 1 M t = 1 2 d f 1 1 t = 3 4 d f 1 1 Figure 5.9: Nombre de Mach absolu M à 4 instants équi-répartis d une période de passage des aubes du rotor dans le compresseur ecl 4

15 5.2. VALIDATION : COMPRESSEUR TRANSSONIQUE ECL t = 0 t = 1 4 d f 1 1 s s ISA t = 1 2 d f 1 1 t = 3 4 d f 1 1 Figure 5.10: Entropie s s ISA compresseur ecl 4 à 4 instants équi-répartis d une période de passage des aubes du rotor dans le

16 116 CHAPITRE 5. EXTENSION AU CAS MULTI-ÉTAGE À NOMBRES D AUBES QUELCONQUES et sa valeur issu du champ instantané du calcul présente une variation relative inférieure à 0.5% sur l ensemble des points du maillage où le post-traitement a été appliqué. La figure 5.7 montre la bonne continuité obtenue entre une reconstruction du nombre de Mach absolu M à partir d harmoniques temporels (plan aube à aube de l igv) et le signal reconstruit à l aide d harmoniques chorochroniques (interface axiale séparant l igv du rotor). La remontée des ondes de choc du rotor dans le canal de l igv puis en amont de celle-ci est clairement visible. L interaction des ondes de choc avec les sillages de l igv est également visible et l on notera en particulier l épaissisement important des sillages émanant des aubes de l igv au passage de l onde de choc puis dans la zone d expansion qui suit. Il semble cependant que, par rapport au calcul instationnaire mono-étage igv/rotor sur maillage fin présenté par Gerolymos et al. [31] (page 34 de ce mémoire), il y ait une dissipation importante des ondes de choc et des sillages due à la finesse insuffisante dans le plan aube à aube du maillage utilisé (Tab. 5.2) dans la présente simulation. Afin d illustrer l écoulement instationnaire dans l ensemble du compresseur ecl 4, des cartographies instantanées de la pression statique p (Fig. 5.8), du nombre de Mach absolu M (Fig. 5.9) et de la variation d entropie s s ISA (Fig. 5.10) sont présentées pour quatre instants équi-répartis sur une période de passage des aubes du rotor. Il s agit de nappes radiales prises à mi-hauteur de la veine quelque soit la position axiale considérée. L allure de la pression statique permet de bien mettre en évidence le système complexe formé par les ondes de choc qui se forment devant le bord d attaque des aubes du rotor, caractéristiques du fonctionnement désamorcé (stalled) du compresseur. Les ondes de choc se réfléchissent sur les aubes de l igv avant de croiser celles issues des aubes précedentes du rotor, donnant cette impression de quadrillage dans le passage de l igv. Les ondes de chocs réfléchies ressortent ensuite de l igv et continuent de se propager en amont de celle-ci selon un schéma inversé à cause de la réflexion. Les tracés du nombre de Mach absolu à la figure 5.9 et de l entropie à la figure 5.10 permettent d affiner les observations, en pariculier sur l interaction entre les ondes de chocs et les sillages. La remontée des ondes de chocs du rotor dans l igv provoque un épaississement des couches limites des aubes de l igv ainsi que des sillages au passage de l onde de choc, conduisant à une oscillation périodique des sillages. De plus, l onde de choc qui se forme devant le bord d attaque des aubes du rotor va venir impacter l extrados de l aube précedente, provoquant une forte interaction avec la couche limite entrainant un épaississement important de cette dernière sur l extrados des aubes du rotor. En aval du rotor, les sillages issus de ce dernier vont interagir avec la poche supersonique de l écoulement qui se forme sur l extrados des aubes du stator, atténuant celle-ci au passage des sillages. Le passage des sillages du rotor le long des aubes du stator va épaissir localement les couches limites, épaississement qui va s ajouter à celui dû à la présence d une onde de choc sur l extrados des aubes. La convection plus rapide des sillages du rotor du côté extrados des aubes du stator que du côté intrados va entraîner un déphasage au niveau de leur arrivée au bord de fuite. Il s en suit une oscillation importante des sillages du stator. Certes, de nombreuses discontinuités sont à noter, en particulier sur le tracé de l entropie (Fig. 5.10), ainsi qu une dissipation trop rapide des sillages de l igv et du rotor. Ces effets sont probablement à imputer au raffinement insuffisant du maillage, au nombre d harmoniques trop faible pris lors du traitement spectral de l information, ainsi qu à une discrétisation temporelle insuffisante. Un calcul sur maillage fin ( 2 millions de points) avec des nombres d harmoniques N t 10 et L θ 10 associés à N PP = 144 instants par période, devrait permettre de vérifier si ces discontinuités proviennent bien des restrictions faites afin d obtenir rapidement un premier résultat, ou bien si certains points de la méthode présentée ici sont à revoir. 5.3 Conclusions Nous avons proposé dans ce chapitre une méthode originale permettant de réaliser des simulations instationnaires pour des configurations multi-étages à nombres d aubes quelconques, tout en conservant une modélisation monocanal de l écoulement. Pour ce faire, seules les fréquences instationnaires liées à la rotation relative des rangées adjacentes au domaine de calcul d une rangée donnée sont prises en compte. Un filtrage des fréquences liées au rangées d aubes non-adjacentes est réalisé au niveau des interfaces axiales séparant les domaines de calcul. Le traitement spectral du signal au niveau des interfaces azimutales du domaine de calcul d une rangée donnée, est réalisé en découplant les signaux par rapport aux fréquences u f et d f d interaction avec les roues amont et aval. De ce fait, les relations de périodicité chorochronique définies au chapitre 2 pour une interaction mono-étage sont applicables par rapport à chaque fréquence.

17 5.3. CONCLUSIONS 117 Cette méthode peut donc se voir comme le couplage de calculs instationnaires mono-étages au sein d un unique calcul instationnaire multi-étages. L intérêt est donc de pouvoir réaliser des simulations instationnaires multi-étages pour un coût de calcul abordable. Par contre, des cas présentant de fortes interactions non-linéaires entre les fréquences u f et d f d un domaine de calcul, risqueraient de conduire à des résultats erronés du fait du découplage des fréquences lors du traitement spectral. La méthode a été testée sur un compresseur transsonique haute-pression composé d une roue directrice d entrée suivie d un rotor et d un stator. L écoulement au sein de ce compresseur présente de nombreuses interactions instationnaires entre les différentes roues, dues notamment à la remontée des ondes de choc du rotor et à la convection des sillages au sein de la machine. Un calcul sur un maillage grossier a été entrepris et une solution périodique a été obtenue au bout de 17 cycles instationnaires, correspondant à la plus courte des périodes (période de passage des aubes du stator dans le repère relatif au rotor), et équivalente à un peu plus de neuf fois la période la plus longue (période de passage des aubes de l igv dans le repère relatif au rotor). Il est intéressant de noter que le filtrage et le découplage des fréquences permet de ne considérer la convergence du calcul que par rapport à la plus grande des périodes d interaction propres à chaque rangée d aubes, et non relativement à la périodicité réelle de la configuration, égale à une rotation de 2π modulo le plus grand diviseur commun entre les nombres d aubes des différentes rangées. Le but de ce premier calcul était uniquement de montrer les possibilités offertes par la méthode présentée dans ce chapitre. De ce fait, les résultats présentés n ont pour seul intérêt que d illustrer la bonne prise en compte des différentes interactions entre les roues et non de réaliser une analyse fine de la structure de l écoulement instationnaire. Un calcul sur maillage fin et utilisant une meilleure discrétisation temporelle devrait permettre de confirmer les résultats encourageants obtenus dans cette étude.

18 118 CHAPITRE 5. EXTENSION AU CAS MULTI-ÉTAGE À NOMBRES D AUBES QUELCONQUES