Introduction aux jeux combinatoires

Transcription

1 Laurent Beaudou Institut Fourier - CNRS Université Joseph Fourier Grenoble, France Semaine Sport-Etude des MIM Les 7 Laux, Janvier / 39

2 De quoi il parle déjà? Les Jeux combinatoires : Grande famille Contours flous Nécessité d un cadre précis d étude 2 / 39

3 De quoi il parle déjà? Les Jeux combinatoires : 1 joueur : Pas de cadre général d étude, astuces. 2 joueurs : Fonction de Grundy. 3+ joueurs : Alliances etc... Equilibre de Nash. 2 / 39

4 Définitions utiles Noyau d un graphe Situation gagnante le Mex 3 / 39

5 Définition d un jeu à deux joueurs 1. 2 joueurs 2. Configurations finies 3. Règles 4. Interdit de passer 5. Information totale 6. Pas de hasard 7. Perdant = bloqué 8. Nécessité d une fin. 4 / 39

6 Jeu du jeu ou pas jeu Echecs Go Nim (tas d allumettes) Poker Monopoly Belote Morpion Démineur Gendarme et voleur 5 / 39

7 Jeu du jeu ou pas jeu Echecs Go Nim (tas d allumettes) Poker Monopoly Belote Morpion Démineur Gendarme et voleur 5 / 39

8 Grundy, premier contact Les 0 de la fonction de Grundy sont les éléments du noyau du graphe Les 1 de la fonction de Grundy sont les éléments du noyau du graphe privé des 0 etc... 6 / 39

9 Grundy, premier contact Les 0 de la fonction de Grundy sont les éléments du noyau du graphe Les 1 de la fonction de Grundy sont les éléments du noyau du graphe privé des 0 etc... Et ça sert à quoi? 6 / 39

10 Grundy, premier contact Les 0 de la fonction de Grundy sont les éléments du noyau du graphe Les 1 de la fonction de Grundy sont les éléments du noyau du graphe privé des 0 etc... Et ça sert à quoi? Problème du calcul! 6 / 39

11 Octal games Un ruban de case On enlève des cases consécutives Pas n importe où (codage sur 3 bits) 7 / 39

14 Codage 0 ne pas enlever 1 à gauche 2 à droite 3 les deux bords 4 à l intérieur 5 intérieur + gauche 6 intérieur + droite 7 partout Exemples : (considéré pour la suite) 007 (James Bond game) etc... 8 / 39

15 Problématique Quid de la somme de deux configuratons de jeu S + S? P + G P + P donc P + P = P et P + G = G On ne sait pas répondre pour G + G 9 / 39

16 Un soupçon d algèbre SRS si S + S est Perdant R est une relation d équivalence. 10 / 39

17 Un soupçon d algèbre SRS si S + S est Perdant R est une relation d équivalence. Calculons tout ça / 39

18 Unification Tout est la même chose : Grundy les classes d équivalence Le Mex des situations atteignables 11 / 39

19 Somme de deux situations 12 / 39

20 Somme de deux situations Le retour du Mex... Et l apparition de la somme binaire Pratique par rapport aux noyaux de graphe 12 / 39

21 Jeu de Nim G(T ) = taille du tas. Les situations perdantes sont celles avec deux répliques d un même jeu. 13 / 39

22 Culture break Conjecture de R.K. Guy : tous les octal games sont quasi-périodiques Prouvé pour 07 (période 34) encore ouvert pour 007 et les autres. Conclusion : Il y a de la place 14 / 39

23 Clobber Un jeu solitaire 15 / 39

24 Introduction Règles Les Règles Objectif 16 / 39

30 Introduction Règles Les Règles Objectif La k-réductibilité 16 / 39

31 Enoncé du théorème Théorème [Itai, Papadimitriou, Swarcfiter 82] Le problème du cycle Hamiltonien dans les sous-graphes de grilles est NP-complet. 17 / 39

32 Corollaires Corollaire 1 Le problème de chemin Hamiltonien sur un graphe de grille est NP-complet. 18 / 39

33 Corollaires Corollaire 1 Le problème de chemin Hamiltonien sur un graphe de grille est NP-complet. Corollaire 2 Le problème de 1-réductibilité d une configuration quelconque de Clobber est NP-complet 18 / 39

34 Un cycle Hamiltonien dans une grille m n. Proposition 3 Il existe un cycle Hamiltonien dans une grille de taille m n (m, n 2) si et seulement si m ou n est pair. 19 / 39

35 Preuve de la proposition n b = nn n b = nn + 1 Un peu de dénombrement. 20 / 39

36 Preuve de la proposition Un peu de dénombrement. Si m est pair. 20 / 39

37 Preuve de la proposition Un peu de dénombrement. Si m est pair. 20 / 39

38 Les chemins Hamiltoniens Existence. 21 / 39

39 Les chemins Hamiltoniens Existence. Extrémités fixées. 21 / 39

40 Les chemins Hamiltoniens Existence. Extrémités fixées. Une extrémité fixée? 21 / 39

41 Une extrémité fixée Grille paire : il existe un chemin hamiltonien au départ de n importe quelle case. Grille impaire : il existe un chemin hamiltonien uniquement au départ des cases de la couleur dominante. 22 / 39

42 Induction pour une extrémité fixée 23 / 39

45 Conclusion On sait jouer sur les grilles lorsqu une seule pierre est de couleur blanche. 24 / 39

46 Conclusion On sait jouer sur les grilles lorsqu une seule pierre est de couleur blanche. Rappel du Corollaire 2 Le problème de 1-réductibilité d une configuration quelconque de Clobber est NP-complet 24 / 39

47 Conclusion On sait jouer sur les grilles lorsqu une seule pierre est de couleur blanche. Rappel du Corollaire 2 Le problème de 1-réductibilité d une configuration quelconque de Clobber est NP-complet Que se passe-t-il entre les deux? 24 / 39

48 L invariant Définition 25 / 39

49 L invariant Définition Nombre de pierres p : / 39

52 L invariant Définition Nombre de pierres p : I = = 17 2 (mod 3) 25 / 39

53 Passer par les bords 26 / 39

54 Résultat Proposition 4 Une bande de hauteur 2 et de longueur non multiple de 3 est 1-réductible. De plus, la dernière pierre peut être placée dans le coin symétrique de l appendice. 27 / 39

55 Résultat Proposition 5 On peut 1-réduire les bandes de hauteur 3 augmentées d un appendice. Qui plus est, si la longueur est supérieure à 3, on peut conclure sur le coin opposé à celui de l appendice. 28 / 39

56 Enoncé du théorème Théorème 6 Toute grille alternée de dimensions non-multiples de 3 est 1-réductible. 29 / 39

57 Enoncé du théorème Théorème 6 Toute grille alternée de dimensions non-multiples de 3 est 1-réductible. m = 3k / 39

63 Enoncé du théorème Théorème 6 Toute grille alternée de dimensions non-multiples de 3 est 1-réductible. m = 3k + 1 n = 3l / 39

71 Passer par les bords 30 / 39

72 Extension à la dimension d Théorème 7 Ce résultat est aussi vérifié pour la dimension d. 31 / 39

73 Extension à la dimension d Théorème 7 Ce résultat est aussi vérifié pour la dimension d. On résout chaque hyperplan de la même façon en n effectuant pas le dernier mouvement. On obtient alors une bande de taille 2 traitée précédemment 31 / 39

74 Extension à la dimension d 32 / 39

75 Propriété anodine Propriété 8 Deux pierres adjacentes de couleurs distinctes peuvent se vider dans leurs voisines. ou Etude locale possible / 39

76 Chemin hamiltonien en dimension d Problème Dans un bloc de dimension d 3, on se donne deux sommets A et B. Existe-t-il un chemin hamiltonien dont les extrémités sont ces deux points? 34 / 39

77 Chemin hamiltonien en dimension d Problème Dans un bloc de dimension d 3, on se donne deux sommets A et B. Existe-t-il un chemin hamiltonien dont les extrémités sont ces deux points? Réponse 34 / 39

78 Chemin hamiltonien en dimension d Problème Dans un bloc de dimension d 3, on se donne deux sommets A et B. Existe-t-il un chemin hamiltonien dont les extrémités sont ces deux points? Réponse Non, si les deux points ne vérifient pas la condition de coloration. 34 / 39

79 Chemin hamiltonien en dimension d Problème Dans un bloc de dimension d 3, on se donne deux sommets A et B. Existe-t-il un chemin hamiltonien dont les extrémités sont ces deux points? Réponse Non, si les deux points ne vérifient pas la condition de coloration. Oui sinon. 34 / 39

80 Pourquoi rester dans la grille? Clobber se joue aussi sur un graphe quelconque Pas mal de résultats sur les graphes bipartis (invariant valable) Peu de choses connues ailleurs. 35 / 39

81 Arbres couvrants d une grille 36 / 39

82 Arbres couvrants d une grille 36 / 39

83 Arbres couvrants d une grille Conditions de couleurs. Condition de connexité. Condition de liberté. 36 / 39

84 Conjecture Un certain nombre de configurations interdites. Conjecture Si un problème est compatible au niveau des couleurs, connexe, compatible au niveau des libertés, et qu il n est pas interdit, alors il est résoluble. Montré pour le problème à 3 feuilles. 37 / 39

85 Conclusions Conclusions : C est très compliqué mais pas tout le temps. Les configurations pleines suffisamment grandes sont 1 ou 2 réductibles. 38 / 39

86 L heure de la promo Et vous faites quoi avec ça? de la mission de Maths à Modeler 39 / 39

87 L heure de la promo Et vous faites quoi avec ça? de la mission de Maths à Modeler What about skiing now? 39 / 39