TP MICRO : Séance 1 Le Consommateur

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1 TP MICRO : Séance 1 Le Consommateur A. Choix individuel Description des préférences 1. * Qu est-ce qu une courbe d indifférence? 2. (Rappel 1 ère candi) Le capitaine Chester n aime que le whisky pur, l eau minérale ne lui apporte aucune satisfaction. Tintin, quant à lui, ne boit pas d alcool, mais exclusivement de l eau minérale. Le capitaine Haddock, par contre n apprécie que le mélange de whisky et d eau minérale tel qu il y a dix fois plus de whisky que d eau minérale, les mélanges réalisés en d autres proportions n étant pas à son goût. Jacky Ickx ne considère ces deux boissons que comme deux liquides équivalents dont la seule fonction possible est de remplir le radiateur de sa voiture. Représentez sur quatre graphes différents les courbes d indifférence eau-whisky de ces personnages. Préférences normales 3. * Quand peut-on dire que les préférences sont «normales»? (formulez et discutez les axiomes et leur implication sur la forme des courbes d indifférence) 4. * Soit un consommateur caractérisé par les relations de préférences suivantes : a. X=(50,50) Y=(51,50) b. X=(10,30) Y=(30,10) Z=(20,20) A partir de chacune de ces relations (prise une à une), peut-on conclure que ses préférences ne sont pas normales? 5. * Randy Ratpack déteste étudier l histoire aussi bien que l économie. Plus il passe de temps à travailler chacune de ces deux matières, moins il est heureux. Mais Randy a des préférences convexes. Comment sont ses courbes d indifférence? + 6. (examen juin 2005) Luc ne fait que deux choses dans la vie : jouer à la console et étudier. Il aime jouer à la console mais n aime pas étudier. Luc a des préférences strictement convexes. Tracez une courbe d indifférence quelconque pour Luc et montrez à l aide d une flèche dans quelle direction il atteint des courbes d indifférence plus élevées. + Issus de Exercices de Microéconomie, vol 1, Bergstrom et Varian, traduction de la 5 édition américaine, De Boeck université

2 B. Consommation et marché Contrainte budgétaire 7. * Que se passe-t-il au niveau de la droite de budget si le prix du bien 2 augmente mais que le prix du bien 1 et le revenu restent inchangés? 1 8. Si le prix du bien 1 double et que le prix du bien 2 triple, la pente de la droite de budget augmente-t-elle ou diminue-t-elle en valeur absolue? 1 9. Que se passe-t-il au niveau de la droite de budget si tous les prix et le revenu augmentent dans la même proportion? (par exemple de 30%) 10. * Considérons la droite de budget suivante : p 1 x 1 + p 2 x 2 = m. Le gouvernement décide d imposer une taxe forfaitaire de u, une taxe à l unité sur le bien 1 d un montant t, et un subside à l unité sur le bien 2 d un montant s. Quelle est l expression de la nouvelle droite de budget? 1 Choix optimal du consommateur (représentation graphique) 11. * Si le prix des deux seuls biens d une économie est p 1 et p 2, représentez le choix optimal d un individu disposant d un revenu R qui a les courbes d indifférence suivantes : a) préférences convexes et monotones x 2 x 1 1 Exercice extrait du chapitre 2 de H.R. Varian, Introduction à la microéconomie,5 ème édition De Boeck Université (traduction de la 6 ème édition américaine).

3 b) préférences concaves et monotones x 2 c) substituts parfaits x 1 x 2 (0,1) (1,0) x 1 d) compléments parfaits x 2 x Représentez les choix optimaux des personnages décrits dans l exercice 2 (chacun dispose d un revenu m, et est confronté à des prix p w et p e )

4 Choix optimal du consommateur : détermination analytique 13. * Les préférences d un consommateur pour les biens 1 et 2 sont représentées par la fonction d utilité u(x 1, x 2 ) = x 1 2.x 2 a) Calculez les fonctions de demande pour les biens 1 et 2. Quelles variables influencent la demande de chaque bien? Est-ce que cela vous paraît intuitif? b) Quel est le panier de biens (x 1, x 2 ) qui maximise la satisfaction du consommateur s il dispose d un revenu m = 10 et si les prix des biens sont p 1 = 1 = p 2? 14. Montrez que si u(x 1,x 2 ) = x 1 + (x 1.x 2 ), on trouve x 1 * = x 1 * (p 1,p 2,R). Est-ce que le rôle de chaque variable exogène (p 1, p 2 et R) dans la détermination de la demande de bien 1 est intuitive? 15. (Examen septembre 2005) Supposons qu un consommateur prenne toujours 2 morceaux de sucre avec chaque tasse de café. Si le prix d un morceau de sucre s élève à p 1 et celui d une tasse de café à p 2 et que le consommateur dépense m dollars pour le sucre et le café, combien de café sucré pourra-t-il consommer? ** 16. Gaspard consomme du cacao et du fromage. Son revenu est de 16. Le cacao est vendu de manière inhabituelle. Il y a seulement un vendeur et plus on lui achète de cacao, plus il augmente le prix à payer par unité. Ainsi, x unités de cacao coûteront à Gaspard x 2. Le fromage est vendu comme d habitude et coûte 2 l unité. La droite de budget de Gaspard est par conséquent x 2 +2y = 16, x étant la consommation de cacao et y représentant le fromage. La fonction d utilité de Gaspard est U(x,y) = 3x + y. a. Faites un graphique. Tracez les limites de l ensemble budgétaire de Gaspard en bleu. En rouge, dessinez 2 ou 3 de ses courbes d indifférence. b. Comment Gaspard allouera-t-il son budget entre les 2 biens à l optimum? La détermination des prix dans une économie d échange 17. * On considère une économie d échange (pur) composée de deux consommateurs A et B, dont les fonctions d utilité, définies sur les deux biens 1 et 2, sont respectivement U A (x 1,x 2 ) = x 1 3/4 x 2 1/4 U B (x 1,x 2 ) = x 1 7/8 x 2 1/8 On en déduit que les fonction de demande du consommateur A est donnée par : x A 1* = 3R A /4p 1 x A 2* = R A /4p 2, et celles du consommateur B par : x B 1* = 7R B /8p 1 x B 2* = R B /8p 2 La répartition initiale des biens disponibles est la suivante: ϖ A =(ϖ A 1, ϖ A 2 ) = (4,0) ϖ B =(ϖ B 1, ϖ B 2 ) = (0,4) ** Exercices extrait du chapitre 5 et 6 de H.R Varian, Introduction à la microéconomie, 5 ème édition De Boeck Université (traduction de la 6 ème édition américaine).

5 a) Le vecteur de prix (p1,p2) = (2,1) rend-il compatibles les plans de consommation des deux individus? b) Calculez le système de prix relatif qui garantit l'équilibre concurrentiel. Comparez la satisfaction des individus avant et après échange. c) Justifiez la valeur du prix relatif que vous obtenez en b) en observant attentivement les fonctions d utilité des deux individus. d) Les dotations de l individu B changent : il est initialement propriétaire de 4 unités supplémentaires de bien 2 (ϖ B =(ϖ B 1, ϖ B 2 ) = (0,8)). Calculez le nouveau prix relatif (p 1 /p 2 ) * qui équilibre le marché. Expliquez pourquoi celui-ci change. 18. A partir d une même répartition initiale du stock de ressources que celle de l exercice 17, comment se modifient les prix et les quantités échangées à l équilibre si les fonctions d utilité sont : U A (x 1,x 2 ) = x 1 2 x 2 U B (x 1,x 2 ) = x 1 x 2 2 (Commencez par calculer les fonctions de demande de chaque bien!)

6 Exercices non résolus de la séance 1 2. eau eau Chester Tintin whisky whisky eau eau Haddock Ickx whisky 1 2 whisky 6. Les courbes d indifférence de Luc peuvent être représentées comme ceci : étude C B A console Explication : La CI de Luc est croissante (partant de A sur le dessin, si A~B sur le dessin, B doit être en haut à droite de A). En effet, si on fait étudier Luc plus, pour garder son U constante il faut le laisser jouer plus longtemps aussi. La CI est donc toujours croissante si un des biens est

7 désirable, l'autre pas. Définissons C = αa+(1-α)b. On peut dire que C? A~ B vu que Luc a des préférences strictement convexes. Pour que C soit sur une courbe d indifférence plus élevée que A ou B, il faut que la courbure de la courbe d indifférence soit comme sur le graphe. 8. Elle diminue en valeur absolue (pente moins forte) 9. rien 12. Les Courbes d indifférence (CI) sont en noir. Les Contraintes Budgétaires (CB) sont en orange et le choix optimal est un petit cercle. eau eau Chester Tintin whisky whisky eau eau Haddock Ickx whisky 1 2 whisky Le choix optimal du capitaine Haddock est tel que tout son revenu est dépensé et qu il achète exactement 10 fois plus de whisky que d eau. En d autres termes, le choix optimal du Capitaine Haddock sera toujours le coude d une de ses courbes d indifférence (le point où la dérivée n est pas définie). Pour Jacky Ickx, son choix optimal dépendra des prix. Vu qu il veut simplement le plus de liquide possible, il achètera le liquide le moins cher. Deux cas sont distingués sur le graphe : la CB orange représente une situation où l eau est moins chère et la CB rose représente le cas où le whisky est moins cher! Remarquez que si le prix des deux substances est identique, la CB de Jacky Ickx se confond avec une de ses courbes d infférence et il est indifférent entre

8 tous les points de la frontière de sa contrainte budgétaire (il y a une infinité de choix optimaux). Si vous ne voyez pas ceci, travaillez avec un exemple : Supposez que le revenu de Jacky Ickx est de 2 et que le prix d 1 litre d essence = 1 = prix d 1 litre d eau. On en déduit que sa CB est confondue avec sa CI qui passe par les points (2,0) et (0,2). Avec son revenu, il peut acheter les paniers (eau, essence) = (0,2) ; (1,1) ; (2,0) ; (0,5,1,5), On constate que tous les paniers qui sont tels que tout son revenu est dépensé lui donne une quantité totale de liquide identique, égale à 2. Il est donc indifférent entre toutes ces possibilités. 14. En maximisant la fonction d utilité sous la contrainte budgétaire, on trouve x 1 * = (p 2 + R) / 2p 1 Intuitif car p 2 et R affectent positivement x 1 *, contrairement à p Notons le café par c et le sucre par s (et donc p c est le prix du café et p s, le prix du sucre). A l optimum on doit avoir c = s/2. (cette condition impose que s il achète 1 café, il doit acheter 2 sucres). En utilisant cette relation et la contrainte budgétaire, on trouve aisément que c * = R/(p c +2p s ) ; s * = 2c * et la quantité de café sucré = c * 16. En maximisant la fonction d utilité sous la contrainte budgétaire, on trouve : x * = 3 ; y * = 3,5 18. Les fonctions de demande sont : x A 1* = 8/3 x A 2* = 4p 1 / 3p 2 x B 1* = 4p 2 / 3p 1 x A 2* = 8/3 On en déduit que (p 1 /p 2 ) * = 1

9 A. Détermination de l équilibre MICRO - TP 2 : L Equilibre Général Concurrentiel * 1. Déterminez l équilibre concurrentiel de l économie d échange suivante : Deux biens (1et 2) et deux consommateurs (C et D) dont les fonctions d utilité et les dotations sont: U C (x 1,x 2 ) = x 1 x 2 U D (x 1,x 2 ) = x 1 + x 2 ϖ C =( ϖ C 1, ϖ C 2 ) = (2,0) ϖ D =( ϖ D 1, ϖ D 2 ) = (0,2) Conseil : utilisez la boîte d'edgeworth 2. Déterminez l équilibre concurrentiel de l économie d échange suivante : Deux biens et trois consommateurs, dont les fonctions d utilité et les dotations sont : U A (x 1,x 2 ) = U B (x 1,x 2 ) = U C (x 1,x 2 ) = x 1 x 2 ϖ A = (2,0) ; ϖ B = ϖ C =(0,2). 3. Considérez l'économie d'échange constituée de deux biens et deux consommateurs, définie par: U A (x 1,x 2 ) =α x 1 + x 2 et U B (x 1,x 2 ) = x 1 +α x 2 ϖ A = (1,0) ; ϖ B = (0,1). Déterminez le(s) équilibre(s) concurrentiel(s) de cette économie d'échange a) si α vaut 0 b) si α vaut ½ c) si α vaut 2. * 4. Soit une économie au sein de laquelle les deux seuls biens 1 et 2 sont disponibles dans les quantités suivantes : ϖ 1 = 3 et ϖ 2 = 2. Les deux consommateurs, A et B, ont les fonctions d utilité suivantes : U A (x 1,x 2 ) = x 1 U B (x 1,x 2 ) = x 2 Déterminez l équilibre concurrentiel de cette économie d'échange dans les cas suivants : a) ϖ A = (3,0) et ϖ B = (0,2) b) ϖ A = (0,2) et ϖ B = (3,0) c) ϖ A = (3,1) et ϖ B = (0,1) * 5. Dans une économie d'échange, il existe deux consommateurs, C et D, dont les fonctions d utilité sont identiques : U i (x 1,x 2 ) = min (x 1,x 2 ) i = C, D Déterminez l équilibre concurrentiel de cette économie d'échange dans les cas suivants :

10 a) ϖ C = (11,0) et ϖ D = (0,11) b) ϖ C = (10,0) et ϖ D = (0,11) B. Equilibre Concurrentiel et Optima de Pareto 6. Robinson (que nous appellerons l'individu R) et Vendredi (l'individu V) sont les seuls habitants d'une île. Robinson dispose de 28 unités de bien 1 et Vendredi de 14 unités de bien 2. Il s'agit là de leurs seules possessions. Connaissant les goûts de chacun pour le bien 1 et le bien 2, on peut s'attendre à ce qu'ils s'échangent une partie des biens qu'ils détiennent initialement afin d'accroître leurs satisfactions respectives. Ils décident pour cela d'utiliser un système de prix qui les mettra d'accord sur les quantités à échanger. Sachant que leurs préférences pour les biens 1 et 2 sont reflétées par des fonctions d'utilité Cobb-Douglas : U R (x 1,x 2 ) = x 1 2 x 2 5 U V (x 1,x 2 ) = x 1 3 x 2 4 a) Calculez les quantités de chaque bien qui seront échangées et le rapport de prix qui permet cet accord sur l'échange. b) Représentez cela de manière aussi complète que possible dans une boîte d'edgeworth c) La répartition des biens, après échange, est-elle Pareto optimale? d) Calculez l'équation de la courbe qui reprend toutes les répartitions Pareto Optimales des deux biens. Représentez son allure dans la boîte d'edgeworth dessinée au point 2. * 7. On considère deux consommateurs, A et B, et deux biens dont les quantités disponibles dans l'économie sont ϖ 1 = 10 = ϖ 2. Les fonctions d utilité des consommateurs sont : U A (x 1,x 2 ) = (x 1 ) 1/2 (x 2 ) 1/2 U B (x 1,x 2 ) = (x 1 )(x 2 ) a) Calculez les utilités des deux consommateurs pour des états de l économie tels que les quantités de biens 1 et 2 attribuées au consommateur 1 sont: Q 1 = (10 ; 10), Q 2 = (4 ; 6), Q 3 = (3 ; 3), Q 4 = (1 ; 9), Q 5 = (4.5 ; 2), Q 6 = (0 ; 0). Classez les états Q i, ( i=1, 2,, 6) selon le critère de Pareto. b) Représentez également les états Q i, ( i=1, 2,, 6) dans une boîte d'edgeworth. Quels sont ceux qui appartiennent à la courbe des contrats? 8. Dans une économie où les deux seuls biens 1 et 2 sont disponibles en quantités suivantes: ϖ 1 = 20 et ϖ 2 = 10, il existe deux consommateurs, C et D, dont les fonctions d utilité sont U C (x 1,x 2 ) = (x 1 )(x 2 ) 1/2 U D (x 1,x 2 ) = (x 1 )(x 2 ) a) Déterminez les optima de Pareto de cette économie et tracez la courbe de contrat. b) Vérifiez que la distribution qui attribue le panier (x 1,x 2 )= (15,6) au consommateur C (et le solde au consommateur D) est un optimum de Pareto.

11 Solutions TP 2 2. Vous devez résoudre cet exercice analytiquement (calculez les fonctions de demande des 3 individus (elles sont identiques) et puis trouvez p1/p2 qui garantit que offre = demande sur 1 des 2 marchés! Remarque : la demande sur 1 marché est la somme des demandes individuelles des trois consommateurs) (p 1 /p 2 ) * = 2 ; x A 1* = 1 ; x A 2* = 2 ; x B 1* = ½ = x C 1* ; x B 2* = 1 = x C 2*. 3. Utilisez la boîte pour répondre à cette question (je ne refais pas toutes le étapes que lon a fait au tp mais si vous le faites, vous trouverez: a) (p1/p2) * = 1 ; x A 1* = 0 ; x A 2* = 1 ; x B 1* = 1 ; x B 2* = 0. b) (p1/p2) * = 1 ; x A 1* = 0 ; x A 2* = 1 ; x B 1* = 1 ; x B 2* = 0. c) Pour tout 2> (p 1 /p 2 ) * > ½, il y a équilibre concurrentiel sans échange. 4. Remarquez que dans chacun des cas, le choix optimal de A sera toujours d acheter uniquement du bien 1 alors que B n achètera que du bien 2. Autrement dit, on aura systématiquement x A 1* =R A /p 1 ; x A 2* =0 ; x B 1* =0 ; x B 2* =R B /p 2. a) Pour tout p 1 >0 et p 2 >0, on a R A = 3p 1 et R B = 2p 2 et donc on a un équilibre concurrentiel sans échange. b) R A = 2p 2, R B = 3p 1. Pour avoir un équilibre concurrentiel, il faut que x A 1* +x B 1* = w A 1 +w B 1 (ou que x A 2* +x B 2* = w A 2 +w B 2 d après la loi de Walras). Le rapport des prix p 1 /p 2 = 2/3 satisfait cette équation. c) Pour éviter que x A 1* > 3, il faut que p2 =0. Cependant, lorsque p 2 =0, x B 2* =. Il n y a donc jamais d EC dans ce cas. 5. a) X 2 D X 1 C X 1 W=(11,0)= (0,11) X 2 Graphiquement, le choix optimal d un individu ayant ce type de courbe d indifférence est le point de la frontière de sa courbe de budget qui touche le coude d une de ses courbes d indifférence. Pour tout p1, p2, le choix optimal de chaque individu sera le même point dans la boîte (le point d intersection entre la contrainte budgétaire de chaque individu et la diagonale

12 représentée sur ce graphique. Par exemple, si p1 = p2, x C 1* = 5,5 ; x C 2* = 5,5 ; x D 1* = 5,5 ; x D 2* = 5,5. D une manière générale, ce type de courbe d indifférence implique x C 1* = x C 2* (idem pour D) (vu que votre utilité est le minimum des 2, ça ne sert à rien d acheter plus d un bien!). En injectant cette relation d équilibre dans votre contrainte budgétaire, vous trouvez x C 1* = x C 2* = R A /(p 1 +p 2 ) = 11p 1 /(p 1 +p 2 ). De même, pour l individu D, on trouve x D 1* = x D 2* = 11p 2 /(p 1 +p 2 ). Vous obtenez donc D 1 = x C 1* + x D 1* = 11 pour tout p 1, p 2, ce qui correspond à l offre de bien 1. Tout rapport de prix garantit donc qu un équilibre concurrentiel existe. Remarque : même p1=0 et p 2 > 0 (ou l inverse) garantit qu un EC existe! En effet, a) Que fait l individu C? R C = 0. Il ne pourra donc pas s acheter de bien 2. Par contre il pourra s offrir une quantité illimitée de bien 1 vu que celui-ci est gratuit. Sa contrainte budgétaire est notée CB C sur le graphe. Parmi les points de sa contrainte budgétaire, tous sont sur la même courbe d indifférence (associée à une utilité de 0 vu qu il n a jamais de bien 2). Il est donc indifférent entre tous les points de sa contrainte budgétaire. b) Que fait l individu D? R D = 11p 2. Il pourra donc s acheter au plus 11 unités de biens 2 et y rajouter une quantité illimitée de bien 1. Sa contrainte budgétaire est notée CB D sur le graphe. Parmi les points de la frontière de sa contrainte budgétaire, tous ceux qui lui donnent au moins 11 unités de biens 1 sont des paniers optimaux (associés à une utilité de 11). Il existe donc un point qui est tel que pour p1=0 et p2>0, chaque individu maximise son utilité étant donné sa contrainte budgétaire et les marchés sont équilibrés (dans le sens où z 1 = 0 = z 2 ). Ce point est l origine, de coordonnée (0,0) pour l individu C [ou (11,11) pour l individu D] X 2 D X 1 CB D C X 2 W=(11,0)= (0,11) X 1 CB C Si p 1 >0 et p 2 =0, la logique est la même. L équilibre aurait été dans ce cas le point (11,11) du point de vue de l individu C [ou (0,0) pour l individu D].

13 5.b) X 2 D X 1 C X 1 W=(10,0)= (0,11) - Dans ce cas-ci, vous pouvez vérifiez à l aide de quelques exemples que tant que les prix sont positifs, il n y a pas d équilibre concurrentiel (le choix optimal de chaque individu n est pas le même point dans la boîte!). - Si p1=0, C sera indifférent entre tous les points de sa contrainte budgétaire (vu qu il ne pourra pas s acheter de bien 2, sa satisfaction vaudra 0 quel que soit sa consommation de bien 1!). Par contre lorsque p1 = 0, D voudra acheter (recevoir!) au moins 11 unités de bien 1 pour que son utilité soit maximisée. Or il n y a pas 11 unités de bien 1 disponible dans l économie. - Si p2 = 0, D sera indifférent entre tous les points de sa contrainte budgétaire (vu qu il ne pourra pas s acheter de bien 1, sa satisfaction vaudra 0 quel que soit sa consommation de bien 2!). Par contre lorsque p1 = 0, C voudra acheter (recevoir!) au moins 10 unités de bien 2 pour que son utilité soit maximisée. Ceux-ci sont disponibles. p 2 = 0 et p 1 >0 garantit donc qu un EC existe. Les consommations d équilibre sont x C 1* = 10; x C 2* = 10+t ; x D 1* = 0 ; x D 2* = t ; pour tout 0 t 1. X (p1/p2) * = 3/10 ; x R 1* = 8 ; x R 2* = 6 ; x V 1* = 20 ; x V 2* = Oui, voir premier théorème du bien-être Pour trouver la courbe des contrats (ensemble des points Pareto optimaux), vous devez trouver l ensemble des points où il y a tangence entre les courbe d indifférence de R et celles de V (dans ce cas vu que les courbe d indifférence sont convexes). Pour rappel, la pente d une courbe d indifférence est le tms. On cherche donc l ensemble des points où les tms sont égaux pour les 2 individus. Définition: Tms = -Um1/Um2, où Um1 est l utilité marginale associée à la consommation de bien 1.

14 Tms R = - 2 x R 1 (x R 2 ) 5 / 5 (x R 1 ) 2 (x R 2 ) 4 = - 2x R 2 / 5x R 1 Tms V = - 3x V 2 / 4x v 1 Il faut maintenant utiliser la relation x v 1 = 28-x R 1 (ce que V consomme en bien 1, c est l offre totale à laquelle on retire ce que R consomme de ce bien), et x V 2 = 14-x R 2 (idem pour le bien 2). 1 En égalisant les tms, on trouve alors : x R = 32 x 2 R / (30 - x 2 R ). Remarquez que la courbe des contrats passe toujours par les extrémités de la boîte lorsque les fonctions d utilité sont des Cobb-Douglas (si un seul individu [disons l individu A] a une fonction Cobb-Douglas, la courbe des contrats passera par l origine de cet individu). 1 Vérifiez donc tjs que cette propriété est vérifiée. Dans cet exercice, elle passe bien par les points (x 1 R,x 2 R ) = (0,0) et (x 1 R,x 2 R ) = (28,14). 7. a) U A U B Q Q2 24 1/2 24 Q Q4 3 9 Q Q Selon le critère de Pareto, Q 3 domine Q 5 qui à son tour domine Q 4. D autre part, Q 2 domine Q 4. C est tout ce que l on peut dire du point de vue de la dominance au sens de Pareto. c) La courbe des contrats a pour équation x A 1 = x A 2 (pour trouver ce résultat, vous devez procéder comme à l exercice 6. Vous devez donc calculer le Tms de chaque joueur, ensuite utiliser les relations x B 1 = 10-x A 1 et x B 2 = 10-x A 2 dans Tms B et puis poser Tms A = Tms B. Les points Q 1, Q 3 et Q 6 appartiennent donc à la courbe des contrats. 8. a) On calcule la courbe des contrats en appliquant la même méthode qu à l exercice 6. Cela nous donne l équation x c 1 = 40 x c 2 / (10+x c 2 ). b) Il suffit de vérifier que si x c 2 = 6, alors la courbe des contrats prédit effectivement que x c 1 doit être égal à 15. Ce qui est le cas. 1 Cela s explique par le fait que l utilité de A est nulle si il possède une quantité nulle d au moins un des deux biens (disons x A 1 = 0). La situation dans laquelle il possède une quantité positive de l autre bien (x A 2 >0) est donc Pareto dominée par celle où il possède une quantité nulle des deux biens si l individu B retire une satisfaction à augmenter sa consommation de bien 2 au point (x B 1,x B 2 ) = (w 1,w 2 - x A 2 ).

15 Une introduction au modèle de Cournot TP 3. Economie industrielle 1. * Soit deux producteurs produisant un même bien au moyen d'une même technologie représentée par la fonction de coût suivante : C(q)=2q La demande pour ce bien est donnée par : Q D (p)= 20-p a) Déterminez l'équilibre de Cournot. b) Supposez que 2 producteurs identiques aux 2 premiers entrent sur le marché. Déterminez l équilibre de Cournot dans ces nouvelles condition de concurrence. c) A partir de vos réponses en a) et en b), déduisez une formule générale pour décrire la production d une firme si N firmes dont la fonction de coût est donnée par l équation ci-dessus sont présentes sur le marchés. Que vaut alors l offre de marché? Au fur et à mesure que le nombre de firme, observez que l offre de marché se rapproche de l offre qui prévaudrait sur un marché concurrentiel. 2. Soit un duopole de Cournot où la fonction de demande est donnée par : P D (q) = 10 - (q A +q B ) et les fonctions de coût total de chaque firme sont : C(q A ) = 2q A C(q B ) = 4q B. Déterminez l'équilibre de Cournot. Une introduction au modèle de Stackelberg 3. * Soit deux producteurs produisant un même bien au moyen d'une même technologie représentée par la fonction de coût suivante : C(q)=2q La demande pour ce bien est donnée par : Q D (p)= 20-p a) Déterminez l'équilibre de Stackelberg. b) Comparez le résultat obtenu avec celui de l exercice On considère le marché d un bien sur lequel deux entreprises sont confrontées à une multitude d acheteurs dont la fonction de demande totale est : D(p) = p. Les entreprises ont des fonctions de coût total : C(q A ) = q A 2 C(q B ) = q B 2. Déterminez le prix du marché, ainsi que les quantités produites et les profits réalisés à l équilibre par chaque entreprise, en supposant que : a) La firme A est leader dans un duopole à la Stackelberg b) La firme B est leader dans un duopole à la Stackelberg ;

16 Cournot : l instabilité des cartels 5. Georges est l unique propriétaire d une source d eau minérale d où jaillit à coût nul autant d eau minérale qu il désire mettre en bouteille. La mise en bouteille de cette eau coûte 2 par bouteille. La courbe de demande d eau minérale est q = 100-5p, où p désigne le prix d un litre d eau et q, le nombre de litres vendus. a) Exprimez le profit de Georges en fonction de q. Trouvez le choix de q qui maximise le profit de Georges. b) Quel est le prix d un litre d eau minérale si Georges produit la quantité d eau qui maximise son profit? A combien s élève le profit de Georges? c) Supposons à présent que le voisin de Georges, Grégoire, trouve une source d eau minérale qui produit une eau aussi bonne que celle de Georges, mais le coût du pompage et de la mise en bouteille est 6 par litre. La demande totale du marché reste la même qu auparavant. Supposons que Georges et Grégoire pensent chacun que la décision de production de l autre est indépendante de la leur. A combien s élève la production de Grégoire à l équilibre de Cournot? Quel est le prix d équilibre de Cournot? d) Qu implique l hypothèse adoptée à la question c selon laquelle «Georges et Grégoire pensent chacun que la décision de production de l autre est indépendante de la leur.» 6. * Une industrie est composée de deux firmes. Chacune détermine simultanément et une fois pour toute, les quantités mises sur le marché. Les deux quantités sont notées q 1 et q 2. Le coût de production de chacune de ces firmes est nul. La demande du marché est P(Q) = 1-Q, où Q représente les quantités totales. a) Calculez les fonctions de meilleures réponses des deux firmes. Représentez-les dans l espace (q 1, q 2 ) b) Calculez l équilibre de Cournot et les quantités totales mises sur le marché. c) Si les firmes forment un cartel et maximisent leurs profits joints, quelles sont les quantités offertes individuellement? Notez-les q 1 c et q 2 c. d) Pourquoi ces quantités sont-elles plus faibles que dans le cas de concurrence à la Cournot? e) Montrez que si la firme 1 produit q 1 c, alors q 2 c n est pas la meilleure réponse de la firme 2. f) La cartel est-il soutenable? Pourquoi? (1 ligne) 7. Considérez un marché avec deux firmes qui produisent un bien homogène dont la demande est donnée par Q=130-p. Le coût marginal de chaque firme est et constant et égal à 10. a) Déterminez analytiquement et graphiquement l équilibre de Cournot. Calculez aussi le profit de chaque firme à l équilibre b) Supposez que les deux vendeurs décident de se comporter de manière collusive et de maximiser leur profit joint. Déterminez l équilibre et le profit de chaque firme en considérant qu elles le partagent de manière égale. c) Que peut-on conclure à partir des résultats obtenus au point b) d) L équilibre obtenu au point b) est-il stable?

17 Bertrand : Le modèle de concurrence en prix entre 2 firmes homogènes 8. *Dans le modèle de Bertrand où deux firmes identiques (dont les fonctions de coût sont pour chacune C(q)=cq) se font une concurrence en prix, l équilibre p 1 * = p 2 * = c correspond à un équilibre de Nash. Aucune déviation unilatérale n est profitable à partir de cet équilibre. En effet, considérons les déviations possible du producteur 1 : S il diminue son prix de vente, il attire toute la clientèle mais vend à perte vu que p<c (et donc π = pq-cq < 0). Si par contre il augmentait son prix de vente, il ne vendrait plus rien car toute sa clientèle s adresserait alors à son concurrent. Il n a donc aucune déviation profitable. Par symétrie, l individu 2 n a pas non plus de déviations profitables. La paire de stratégies (p 1, p 2 ) = (c,c) constitue donc bien un équilibre de Nash. Montrez que p 1 = c = p 2 est en fait le seul équilibre de Nash de ce jeu. Pour cela, montrez que dans tous les autres cas, au moins un joueur a un intérêt à modifier unilatéralement sa stratégie. Pour envisager tous les cas possibles, considérez les cas suivants : a) pi < c, i {1,2} b) p 1 > p 2 > c (si p 1 > p 2 > c n est pas un équilibre de Nash, alors remarquez que par symétrie p2>p1>c n est pas un équilibre de Nash non plus) c) p1> p2 = c (et par symétrie p2>p1=c) d) p1 = p2 > c. Hotelling 9. * Dans une ville linéaire, un nombre très élevé de consommateurs sont uniformément répartis (avec une densité égale à 1). Une variable x (x [0,1]) désigne la localisation de chaque consommateur sur ce segment. Deux firmes produisent un bien homogène mais ces deux firmes se situent à des endroits différents le long du segment. On suppose que chaque firme se situe à une extrémité de ce segment (c est-à-dire, la firme 1 à x = 0 et la firme 2 à x = 1). On suppose que chaque consommateur achète une unité de ce bien. Dans cette version simplifiée du modèle où les positions des firmes sur le segment sont fixes, le problème des firmes consiste à choisir les prix qu elles vont pratiquer. On suppose également que les firmes choisissent leur prix p 1 et p 2 simultanément. Les consommateurs, lorsqu ils achètent le bien, subissent des «coûts de transports», t, proportionnels à la distance qui les sépare de la firme auprès de laquelle ils choisissent d acheter le bien. Ainsi, un consommateur situé au point x de ce segment subit un coût de déplacement égal à tx s il achète de la firme 1 et (1-t)x s il achète à la firme 2. a) On considère initialement que les coûts marginaux des deux firmes sont identiques, c est-à-dire, c1 = c2 = c. Trouvez les fonctions de demande qui s adressent à chacune des firmes. b) Trouvez l équilibre dans ce jeu lorsque les firmes choisissent simultanément leurs prix de vente. Quel est le profit de chaque firme à l équilibre? c) Comment varient le prix d équilibre et le profit des firmes lorsque les coûts de transport changent? d) Représentez graphiquement l équilibre dans ce jeu. e) Recalculez l équilibre pour c 1 = c > 0 et c 2 = 0. Que se passe-t-il si les coûts de transport diminuent?

18 10. Considérez le problème précédent en supposant que les coûts de déplacement des consommateurs vers les firmes sont une fonction quadratique de la distance parcourue, alors qu ils étaient linéaires dans la question précédente. Le coût de déplacement est donc égal à tx 2 si le consommateur achète de la firme 1 et à t(1-x) 2 s il décide d acheter de la firme 2. a) Calculez l équilibre de ce jeu en considérant que les coûts marginaux des deux firmes sont identiques, c est-à-dire c 1 = c 2 = c. b) Comparez les résultats obtenus dans ce modèle avec ceux obtenus avec coûts de transport linéaires. 11. Considérez le problème 9 en supposant que les consommateurs se déplacent plus facilement vers la droite que vers la gauche, ce qui implique qu ils supportent un coût de déplacement unitaires de t2 lorsqu ils se déplacent vers la droite et de t1 lorsqu ils se déplacent vers la gauche avec t2<t1. a) Trouvez l emplacement du consommateur qui est indifférent entre acheter à la firme 1 et à la firme 2. b) Quel prix choisiront les 2 firmes? c) Quel firme possède la plus grande part de marché? 12. Supposez que l orientation politique de chaque électeur peut être résumée par un nombre compris entre 0 et 1 (où 0 représente une idéologie fortement marquée à gauche et 1 représente une idéologie fortement marquée à droite). Notons le positionnement idéologique de l électeur j par le nombre x j (x j est compris entre 0 et 1). De plus, supposez que les électeurs sont répartis de façon uniforme et continue entre ces deux extrêmes. Le jeu peut être décrit comme suit : Chaque politicien (ou candidat) i choisit simultanément et de manière non coopérative une idéologie comprise entre 0 et 1, notée X i de manière à maximiser le nombre total de voix reçues (leur seul but : être élus) Chaque électeur j choisit le candidat qui est le plus proche de sa propre idéologie et lui apporte ainsi une voix. Si plusieurs candidats annoncent la même idéologie, ils s attendent à recevoir le même nombre de voix. Le candidat qui obtient le plus de voix emporte l élection. Mathématiquement, l électeur j vote pour le politicien A plutôt que le politicien B si : x j - X A < x j - X B x j [0 ;1] et le politicien i a un bien-être de π>0 s il est élu et un bien-être de 0 sinon. Supposez qu il n y a que 2 candidats en lice (i=a,b) a) Supposez que chaque candidat choisit une position idéologique différente, par exemple X A = 1/3 et X B = 2/3. Le candidat A n aurait-il pas intérêt à choisir une autre idéologie que X A ou va-t-il se satisfaire de celle-ci? b) Supposez plutôt que chaque candidat choisit la même position idéologique assez marquée à droite, à savoir X A = X B = ¾. Ces stratégies peuvent-elles former un équilibre de Nash? Justifiez brièvement. c) Supposez que chaque candidat choisit la même position idéologique, à savoir X A = X B = ½. Est-ce un équilibre de Nash?

19 Solutionnaire tp 3 2) La fonction de réaction de la firme A est q a * = (8-q b )/2. Celle de la firme b est q b * = (6-q a )/2 A l équilibre, on a q a * = (8-q b * )/2 et q b * = (6-q a * )/2 On remplaçant, on trouve q a * = 10/3 et q b * = 4/3 4) a) La firme anticipe la réaction optimale de B (il calcule la fonction de réaction de B) : q b * =(100-q a )/8. A maximise son profit en remplaçant qb par la valeur anticipée de qb, ce qui la conduit à produire q a * = 15,21. B se comporte comme A l a anticipé et produit q b * =10,59. P = 74,2 A = 645,9 B = 439,25 b) qb* = 10,87, qa* = 14,85 P = 74,28 A = 642,01 B = 442,95 5) a) q * = 45 b) p = 11; = 405 c) q Gr = (70-q Ge )/2 ; q Ge = (90-q Gr ) / 2 ; q Gr * = 50/3 ; p = 9,3 d) Lors de la maximisation, cette hypothèse implique qu un producteur considère le choix de l autre comme une constante. 6) a) q 1 * = (1-q 2 )/2 ; q 2 * = (1-q 1 )/2 b) q 1 * = q 2 * =1/3 c) En cartel, les firmes choisissent ensemble la quantité totale (Q = q a +q b ) qui maximise la somme des profits ((1-Q).Q). On trouve Q * =1/2 et on suppose qu elles se répartissent cette production de manière égale. Donc q 1 c = ¼ = q 2 c. d) Pour maintenir un prix élevé. En général, les firmes limitent leur production étant donnée la relation inverse entre production et prix. En cartel, elles limitent leur production davantage car elles se soucient également du profit du concurrent. e) Si q 1 = ¼, q 2 * = 3/8 f) Non. Comme on l observe en e), si la firme 2 pense que son concurrent respecte le cartel, elle a intérêt à produire 3/8 et non pas ¼. 7) q 1 = q 2 = 40 1 = 2 = 1600 b) Max Q = (130 - Q)Q 10Q Q * = 60 donc chaque firme produit 30 unités et fait un profit de c) Il est plus profitable pour les firmes de coopérer que de décider indépendamment

20 leur production. d) Non, chaque firme a intérêt à dévier de la quantité de Cartel. 10) a) x m résout : p 1 +tx m 2 = p 2 + t(1-x m ) 2, ce qui donne x m = (p 2 -p 1 +t)/2t. On obtient alors p 1 * = t+c = p 2 * b) Dans ce cas particulier où les firmes sont situées aux extrémités du segment, les résultats du modèle sont identiques que les coûts soient linéaires ou quadratiques. 11) p 1 * =c+(t 1 +2t 2 )/3 ; p 2 * =c+(2t 1 +t 2 )/3. La firme la plus accessible propose un prix plus élevé D 1 * = (t 1 +2t 2 )/3(t 1 +t 2 ) ; D 2 * = (2t 1 +t 2 )/3(t 1 +t 2 ). La firme la plus accessible a une plus grande part de marché (malgré son prix plus élevé). Forcément, son profit sera également plus important. 12) a) Chaque électeur choisit le politicien le plus proche de lui. Les politiciens veulent obtenir le plus grand nombre de voix pour être élus. extrême gauche: 0 1: extrême droite x A = 1/3, x B = 2/3. Chaque candidat obtient les voix des électeurs entre lui et l extrême plus la moitié de ceux entre lui et l autre candidat. Si le candidat B ne bouge pas de 2/3, le candidat A a-t-il intérêt à changer de position? Oui: il a intérêt à se rapprocher de B pour attirer les votes des électeurs entre lui et B. Il se rapproche jusqu à être juste à gauche de B. b) x A = x B = 3/4 Aucun des candidats ne veut dévier vers la droite: il perdrait les électeurs de gauche. Par contre, ils préfèrent tous les deux dévier vers la gauche pour obtenir les voix des électeurs de gauche. c) x A = x B = 1/2 C est bien un équilibre de Nash: aucun des candidats ne veut dévier. Les candidats ont donc tendance à exprimer des idées modérées pour attirer un maximum d électeurs (lorsqu ils ne sont que deux).

21 Chapitre 1 : L incertitude Exercices 1. Un agent dispose d'une richesse de 20. Il a la possibilité d'acheter un actif risqué dont le prix est de 10, et qui rapporte 5 avec une probabilité de 0.6, et 30 avec une probabilité de 0.4. Montrez que le choix d'acheter ou non cet actif revient à choisir entre les loteries (1,20) et ((0.6,15),(0.4,40)). Calculez l'espérance de ces deux loteries. 2. * L'autorité fiscale sait par expérience que 20 pour cent des firmes lui déclarent un bénéfice moindre que le bénéfice réel. En moyenne, lorsque les comptes d'une firme sont vérifiés et que l'évasion fiscale est avérée, la firme paye 200 à l'autorité fiscale. Sachant que le coût d'audit d'une firme est de 40 pour l'administration fiscale, décrivez les loteries auxquelles fait face cette dernière au moment de choisir d'auditer ou non une firme. 3. Dans un graphe à deux dimensions où les axes correspondent à la richesse finale d'un agent si l événement 1 se produit (axe horizontal) et à sa richesse finale si l événement 2 se produit (axe vertical), représentez les loteries ((0.5,0),(0.5,20)), ((0.5,10),(0.5,20)), ((0.25,10),(0.75,20)), et (1,16). Représentez la droite des loteries de même espérance et de même probabilités que la loterie ((0.5,10),(0.5,20)), et ensuite faites de même avec la loterie ((0.25,10),(0.75,20)). 4. Un agent dispose d'une richesse de 50. Il a la possibilité d'acheter un actif risqué dont le prix est de 20, et qui rapporte 10 avec une probabilité de 0.6, et 60 avec une probabilité de 0.4. Appelons 1 l'événement qui mène à un gain de 10, et 2 celui qui mène à un gain de 60. Dans un graphe à deux dimensions où les axes correspondent à la richesse finale de cet agent si l'événement 1 se produit (axe horizontal) et sa richesse si 2 se produit (axe vertical), représentez les deux loteries entre lesquelles il doit choisir. Représentez graphiquement la droite des loteries de même espérance que la loterie consistant à ne pas acheter cet actif, et la droite des loteries de même espérance que la loterie consistant à acheter l'actif. En supposant que l'agent présente de l'aversion au risque, et qu'il est indifférent entre les deux loteries, représentez une de ses courbes d'indifférence dans cet espace. 5. Dans un graphe à deux dimensions où l'axe horizontal représente la richesse finale d'un agent, et l'axe vertical l'utilité qu'il dérive de cette richesse, représentez la fonction d'utilité d'un agent qui serait indifférent entre les loteries (1,20) et ((0.25,10),(0.75,30)). 6. Dans un graphe à deux dimensions où l'axe horizontal représente la richesse finale d'un agent, et l'axe vertical l'utilité qu'il dérive de cette richesse, représentez la fonction d'utilité d'un agent qui présente de l'aversion pour le risque et qui serait indifférent entre les loteries ((0.5,15),(0.5,25)) et ((0.25,10),(0.75,30)). 7. * Vous jouez à pile ou face avec un ami. Si vous perdez, vous lui devez 1 et si vous gagnez, il vous donne 1. a) Représentez les gains associés à cette loterie dans l espace «gain si pile ; gain si face». b) Tracez l ensemble des points qui procure la même espérance de gain que le jeu. 1

22 c) Quelle est la pente de cette droite? d) Si vous présentez de l aversion pour le risque, choisissez-vous de participer à ce jeu? Montrez le graphiquement. e) Tracez l ensemble des points qui procure la même espérance de gain que le jeu si les paiements associés à la victoire et à la défaite sont respectivement (+1 ;- 0,5). Un joueur qui présente de l aversion extrême pour le risque acceptera-t-il de participer à ce jeu? Tracez la courbe d indifférence de ce joueur pour répondre à cette question? 8. (exam juin 2006) Un joueur fait face à deux loteries où son gain est tiré à pile ou face. Ces deux loteries ont les valeurs suivantes : loterie a : le gain est de 10 si pile est gagnant, et 20 si face est gagnant, loterie b : les gains sont de 5 et 30 respectivement. Représentez graphiquement les préférences de cet agent, à l aide d une ou plusieurs courbes d indifférence, sachant qu il présente de l aversion pour le risque, et est indifférent entre les deux loteries. 9. Un joueur qui apprécie extrêmement le risque acceptera-t-il de participer au jeu si les paiements associés à la victoire et à la défaite sont respectivement (+1 ;-2)? Tracez la courbe d indifférence de ce joueur pour répondre à cette question? 10. Pierre dispose initialement des actifs pour une valeur de 35000, mais il y a un risque qu il perde si sa voiture se fait voler. Pierre évalue la probabilité que cet événement se produise à 1 chance sur 100. a) Définissez la loterie qui décrit la richesse de Pierre b) Supposez qu il existe un contrat d assurance qui garantisse un versement de 100 si le vol se produit, en échange d une prime de 1. Définissez la loterie qui décrit la richesse de Pierre s il achète k de cette assurance, avec k 100. c) Sans assurance, quelle est l espérance de gain de Pierre d) Quelle est son espérance de gain lorsqu il s assure contre le vol (pour tout niveau d assurance k 100? e) Tracez la droite qui relie les loteries dont l espérance de gain est identique à celle identifiée en a). Que vaut la pente de cette droite? f) Si Pierre présente de l aversion pour le risque, pour quel montant voudra-t-il s assurer sachant que la prime est de 1? Même question s il est neutre au risque et s il apprécie le risque. Illustrez vos réponses à l aide d un graphe. 11. On offre à un individu qui manifeste de l aversion pour le risque le choix entre un jeu qui rapporte 1000 avec une probabilité de 25% et 100 avec une probabilité de 75% et un paiement immédiat de 325. Que va-t-il choisir? 12. Considérez un agent qui apprécie toute augmentation de sa richesse, qui présente de l'aversion au risque, et dont les préférences peuvent être représentées par une fonction d'utilité de vonneuman-morgenstern. Que pouvez-vous dire sur ses préférences possibles envers ces différentes loteries: ((0.25,10),(0.75,20)), ((0.5,10),(0.5,20)), ((0.25,15),(0.75,15)), ((0.5,15),(0.5,15)), ((0.25,10),(0.75,15)) et ((0.5,10),(0.5,25))? Classez ces loteries depuis celle qu'il préfère jusqu'à celle qu'il va aimer le moins, en faisant apparaître, s'il en existe, des paires de loteries entre lesquelles vous ne pouvez connaître a priori ses préférences. Exercice basé sur un exemple issus de Hal.R. Varian, chapitre 12. 2

23 13. Considérez un agent dont les préférences peuvent être représentées par une fonction d'utilité de vonneuman-morgenstern. Montrez que s'il est indifférent entre les loteries ((0.25,10),(0.75,20)) et (1,15), alors il est aussi indifférent entre les loteries ((0.4,10),(0.6,20)) et ((0.2,10),(0.8,15)). 14. Un investisseur dispose d'une richesse de M qu'il peut investir soit dans un actif non risqué, la monnaie, qui ne rapporte rien, soit dans un actif risqué, où, avec une probabilité 0.5 sa mise sera divisée par deux, et avec une probabilité 0.5 sa mise sera multipliée par 8. Soit M 1 et M 2, les quantités de richesse qu'il investit dans ces deux actifs respectivement. Si l'on suppose qu'il a des préférences représentables par une fonction vnm et que son aversion pour le risque est correctement évaluée par une fonction d'utilité du gain u(m)=log(m), quel est son choix optimal de portefeuille? 15. Un entrepreneur dispose d'un budget de B. Il a la possibilité de se lancer dans la production d'un nouveau type de gants. Il doit décider aujourd'hui combien de paires de gants produire, sans connaître le prix auquel il pourra les vendre. Le coût de production est de 2 euros par paire. Si l'hiver est rigoureux, ce dont la probabilité est de 0.5, chaque paire se vendra 4 euros. Si l'hiver n'est pas rigoureux, le prix sera de 1 euro. Si l'on suppose que cet entrepreneur a des préférences représentables par une fonction vnm et que son aversion pour le risque est correctement évaluée par une fonction d'utilité du gain u(m)=m 1/2, montrez qu'il investira tout son budget dans la production de gants. Montrez aussi que si, par contre, la probabilité d'un hiver rigoureux n'est plus que d'un tiers, alors il n'investira pas dans la production de ce bien. 16. Ecrivez analytiquement l expression suivante : «l utilité d une loterie vaut l espérance de l utilité des gains.» Comment appelle-t-on les fonctions d utilité qui satisfont cette propriété? 17. Ecrivez analytiquement l expression suivante : «l utilité d une loterie vaut l espérance des gains.» Que peut-on dire du degré d aversion au risque d un individu qui aurait ce type de préférence? 18. Tracez une fonction d utilité qui correspond à un comportement de goût pour le risque pour de petits jeux et d aversion pour le risque pour des jeux plus importants. # 19. Supposons que vous envisagiez la possibilité d investir 100 dans deux sociétés différentes, une qui produit des lunettes solaires et une qui produit des imperméables. Les prévisions météorologiques indiquent que l été prochain a autant de chance d être pluvieux qu ensoleillé. Les actions des deux sociétés sont actuellement vendues à un prix unitaire de 10. Si l été est pluvieux, une action de la société qui produit des imperméables vaudra 20 et un action de l autre compagnie ne vaudra que 5. Si, au contraire l été est ensoleillé, les résultats seront inversés : une action de la société qui produit des lunettes solaires vaudra 20 et une action de l autre société ne vaudra que 5. a) Si vous êtes averse au risque, allez-vous investir? Si oui, quelle fraction de vos 100 allez-vous investir? Comment votre investissement se répartira entre les 2 sociétés? 3

24 b) Pourquoi un individu qui présente une aversion extrême au risque souhaite-t-il investir tout son argent équitablement dans les deux actifs risqués? 20. Un investisseur dispose d une richesse de M qu il peut investir soit dans un actif non risqué, la monnaie, qui lui rapporte un taux d intérêt de 40% sur 5 ans, soit dans un actif risqué, où, avec une probabilité 0,25 sa mise sera entièrement perdue, et avec une probabilité 0,75 sa mise sera multipliée par 5 dans 5 ans. Soit M1 et M2, les quantités de richesse qu il investit dans ces deux actifs respectivement. Si l on suppose qu il a des préférences représentables par une fonction vnm et que son aversion pour le risque est correctement évaluée par une fonction d utilité du gain u(m) = ln(m), quel est son choix optimal de portefeuille? 21. * Même question que 20 mais avec u(m) = m. 22. Même question que 20 si l individu aime le risque. Répondez à l aide d un graphe. 23. Un investisseur dispose d une richesse de M qu il veut investir dans des actifs risqués. Le premier lui rapporte 50% de son investissement avec une probabilité de 0,5 mais lui fait perdre 50% de son investissement le reste du temps. Le second lui rapporte 100% de son investissement avec une probabilité de 0,5 mais lui fait perdre la totalité de son investissement dans le cas contraire. Supposez d autre part que le cours des deux actifs proposé n est pas corrélé. Soit M1 et M2, les quantités de richesse qu il investit dans ces deux actifs respectivement. Si l on suppose qu il a des préférences représentables par une fonction vnm et que son goût pour le risque est correctement évaluée par une fonction d utilité du gain u(m) = ln(m), quel est son choix optimal de portefeuille? 4

25 Introduction au modèle : Chapitre 2 : La tarification par un monopoleur Exercices - 2 secteurs, x 1 en monopole et x 2 représentant la monnaie que l on peut dépenser dans tous les autres secteurs. - U(x1,x2) = v(x1) + x2 - La fonction de coût du monopoleur est C(x1) = c.x1 - La tarification du monopoleur peut être multiple. Nous nous centrerons sur 2 types de contrats : l abonnement, suivi d un prix constant : F(x 1 ) = F 0 +px 1 et l offre à prendre ou à laisser : (x 1*,F(x 1* )) Un Consommateur, un producteur, information complète 0. (rappel mathématique) On suppose qu'il y a deux biens: le bien 1 et le bien 2; un consommateur a des préférences représentées par une fonction d'utilité U(x 1,x 2 ) qui est strictement croissante en chacun de ses arguments: δu(x 1,x 2 )/δx 1 > 0 et δu(x 1,x 2 )/δx 2 >0. Ce consommateur fait face à une tarification du bien 1 et du bien 2 représentée par les fonctions F 1 (x 1 ) et F 2 (x 2 ) qui sont strictement croissantes: δf 1 (x 1 )/ δx 1 > 0 et δf 2 (x 2 )/ δx 2 > 0. Il dispose d'un revenu de y, de sorte que sa contrainte de budget s'écrit F 1 (x 1 ) + F 2 (x 2 ) y. - Ecrivez le Lagrangien du problème de maximisation de ce consommateur. - Ecrivez les conditions du premier ordre. - Démontrez que la contrainte de budget doit être liante. 1. * Dans le graphe ci-dessous, identifiez les points (0,0) et (-5, 3). A quoi correspondent-ils? x x 2

26 2. * Qu appelle-t-on la contrainte de participation du consommateur? Identifiez une offre à prendre ou à laisser qui la satisferait. x 1 x 2 3. * Supposons que le coût unitaire de production (c) est de 0,5 euro. Un consommateur a une richesse de y et des préférences sur ces deux biens représentées par la fonction d'utilité suivante: u(x 1,x 2 )= ln (x 1 +1) + x 2. Si le producteur choisit de tarifier à l aide d un forfait (F 0 ) et d un prix payé à l unité consommée (p 1 ) de sorte que la consommation de x 1 unités de bien 1 coûte au consommateur F 0 + p 1 x 1, a) En supposant que le consommateur achète une certaine quantité du bien produit par le monopoleur (on suppose que sa contrainte de participation est satisfaite), identifiez cette quantité. b) Résolvez le problème du producteur. Quelle quantité veut-il mettre en vente? Quel prix doit-il fixer pour atteindre cet objectif? Quel sera son profit? (Attention, on ne suppose pas que la contrainte de participation est satisfaite ici, vous devez imposer cette condition!) c) Représentez l équilibre graphiquement 4. Un consommateur a des préférences quasi-linéaires sur deux biens, 1 et 2, représentées par la fonction d'utilité suivante: u(x 1,x 2 )= x 1 1/2 + x 2. ll dispose d'une richesse y et fait face aux prix p 1 et p 2, et l'on suppose que p 2 =1 (le bien 2 est le numéraire, et on peut le considérer comme de la monnaie). Vérifiez que la demande pour le bien 1 s'écrit: x 1 (p 1,y)= 1/4p 1 2. Retrouvez-vous la propriété des fonctions d'utilité quasi-linéaires? Vérifiez que le gain d'utilité (mesuré en quantité de numéraire) lié à l'achat de bien 1 est de 1/4p Un consommateur a des préférences quasi-linéaires sur deux biens, 1 et 2, représentées par la fonction d'utilité suivante: u(x 1,x 2 )=ln x 1 + x 2. ll dispose d'une richesse y et fait face aux prix p 1 et p 2, et l'on suppose que p 2 =1. Vérifiez que la demande en bien 1 ne dépend pas de la richesse.