TD ELM4 : Dipôles électrique et magnétique

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1 TD ELM4 : Dipôles électrique et magnétique Pour apprendre son cours Exercice n 1 : Interaction d une charge ponctuelle et d un dipôle électrostatique On place un dipôle électrostatique rigide p en un point M, à proximité d une charge ponctuelle q située en O. 1. Montrer que le dipôle s oriente radialement par rapport à la charge q. 2. Déterminer l expression de la force subie par le dipôle, en supposant qu il s est préalablement orienté selon la direction de la question précédente. On rappelle qu un dipôle dans un champ électrostatique subit la force : F = (p. grad )E. 3. Même question pour la charge q. 4. Que peut-on en conclure? Pour s entrainer Exercice 2 : Deux sphères de densité opposée Deux sphères, de centre O 1 et O 2, de même rayon R, sont chargées uniformément en volume avec des densités volumiques de charge opposées +ρ et ρ. Leurs centres sont décalés de a : O 1 2 = ae, z avec a R. 1. Déterminer le champ électrostatique dans tout l espace intérieur et dans tout l espace extérieur aux deux sphères (la zone intérieure à l une et extérieure à l autre est trop petite pour être intéressante). 2. Montrer que l on peut définir un moment dipolaire p pour l ensemble tel que le champ à l extérieur soit égal à celui que crée ce dipôle. Exercice 3 : Champ magnétique terrestre Le champ magnétique terrestre est modélisé par le champ d un dipôle permanent de moment M situé au centre de la Terre et dirigé du pôle Nord vers le pôle Sud. On assimile la Terre à une sphère de rayon R T = 6360 km. L intensité du champ magnétique au pôle Nord terrestre est B 0 = T. 1. Quelle est la valeur de M? 2. Que valent les composantes horizontale et verticale du champ magnétique terrestre en un lieu de latitude λ = 49 (latitude de Paris)? Exercice 4 : Interaction entre deux moments magnétiques On donne le champ magnétique créé en un point P par un dipôle de moment M placé en A : B (M) = μ 0 (3M.u )u AP M AP où u 4π AP 3 AP = AP AP Deux dipôles magnétiques de moments M 1 et M 2 sont respectivement en O et M. 1. Exprimer l énergie potentielle d interaction des deux dipôles en fonction de M 1 et M, 2 OM et OM. 2. On suppose que M 1 et M 2 sont colinéaires à OM. Exprimer la force entre les dipôles. À quelle condition est-elle attractive? 3. Même question M 1 et M 2 sont colinéaires entre eux et perpendiculaires à OM. 4. Déterminer l ordre de grandeur de l énergie d interaction entre deux atomes possédant un moment magnétique. À quelle température cette énergie est-elle de l ordre de grandeur de l énergie d agitation thermique k B T? Conclure quant à l origine microscopique des propriétés magnétiques de la matière. 1

2 Pour aller plus loin Exercice 5 : Cristal NaCl soumis à un champ L application d un champ électrique à un monocristal de chlorure de sodium se traduit par des déplacements des ions qui le composent. Soit E = E 0 e, x le champ électrostatique imposé aux ions du cristal, par exemple en appliquant une tension à des électrodes planes plaquées sur les faces opposées d un échantillon parallélépipédique. Sous l effet de ce champ, les ions Na + se déplacent en bloc selon Ox de δ + et les ions Cl de δ, le centre de masse de l ensemble restant immobile. On posera x = δ + δ. Avant tout déplacement le moment dipolaire global du cristal est nul par symétrie de la répartition. On note N le nombre d ions sodium et chlorure par unité de volume et e la valeur absolue de la charge de l électron. 1. Montrer que ces déplacements ioniques se traduisent par un moment dipolaire réparti dans le volume du cristal, de densité volumique P = Pe x et exprimer P en fonction de la charge élémentaire e, de x et du nombre N de paires d ions Na + Cl par unité de volume L expérience montre que la relation entre P et E est linéaire, de la forme P = ε 0 χ ion E où χ ion est un coefficient positif caractéristique du cristal. En déduire que le groupe d ions Na + est soumis à des forces de rappel élastique dont la moyenne par ion est de la forme f = Kxe, x les ions Cl étant soumis à des forces opposées Exprimer la constante K en fonction de N, e, ε 0 et χ ion Après suppression du champ E, les deux groupes d ions évoluent librement. Écrire l équation du mouvement d un ion Na + et celle d un ion Cl ; on désignera par m + et m leur masse respective Montrer que leur mouvement relatif des deux ions est une oscillation à une pulsation Ne² ω T =. Pour cela, on fera les combinaison linéaires des équations du mouvement des deux mε 0 χ ion ions qui permettent d obtenir les équations vérifiées par : x G = m+ δ + + m δ m + + m et par x. 2

3 Pour apprendre son cours Exercice n 1 : Interaction d une charge ponctuelle et d un dipôle électrostatique Pour s entrainer Exercice 2 : Deux sphères de densité opposée 3

4 Exercice 3 : Champ magnétique terrestre Exercice 4 : Interaction entre deux moments magnétiques 4

5 Exercice 5 : Cristal NaCl soumis à un champ 5