Tableau d amortissement et suite géométrique

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1 Tableau d amortissement et suite géométrique ENONCE : Afin d être plus compétitive, une entreprise décide d emprunter pour investir dans de nouvelles machines. Elle souhaite rembourser en 3 ans par mensualités constantes. 1) Taux d intérêt mensuel : L entreprise cherche à quel taux mensuel t elle doit emprunter pour que l annuité soit inférieure à mensuel. a) Montrer que cela revient à résoudre l inéquation : t < (1 + t) -36 b) On s intéresse à la fonction f(t) = t pour t compris entre 0,001 et 0,01. 1 (1 + t) 36 Compléter le tableau de valeurs suivant : t 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01 f(t) 2829,4 2881,7 3152,1 3207,9 3264,4 3321,4 c) En déduire le taux le plus élevé qu elle peut avoir, à 0,001 près, pour que les mensualités soient inférieures à ) Tableau d amortissement : Pour le taux retenu dans la question 1), on admet que les amortissements de cet emprunt A 1, A 2,., A 36 correspondantes aux échéances 1, 2,, 36 forment suite géométrique de premier terme A 1 = 2588,12 et de raison q = 1,004. a) Calculer la somme des 36 amortissements. Arrondir le résultat à l unité. Que constate-t-on? b) L entreprise cherche à partir de quelle mensualité de rang n elle aura remboursé au moins la moitié du capital emprunté. Montrer que cela revient à écrire la condition sur l entier n : 2588,12 x ( 1 1,004 n ) > ( 1 1,004) c) On admet que cette équation se ramène à 1,004 n > 1,0773. En s aidant de la calculatrice, trouver l entier n répondant à la question. d) Ecrire la dernière ligne du tableau d amortissement en prenant pour annuité a = 2988,12. 1

2 Correction avec la calculatrice Graph 25 + : 1) Taux d intérêt mensuel a) On utilise la formule classique : V 0 = a (1 (1 + t) n ) t Avec V 0 : capital emprunté = a : annuité t : taux périodique On a ainsi : a = V 0 t < 3000 comme condition sur l annuité (1 (1+ t) - n ) On obtient donc l inégalité demandée : t < (1 (1 + t) - n ) b) Pour compléter le tableau pour la fonction f, on va utiliser l application TABLE. Sélectionner dans le menu principal, à l aide du bouton directionnel, l application TABLE et faire. Dans le cas où des fonctions sont déjà présentes, il faut les effacer une à une en utilisant la touche ( DEL) et puis (YES), et se déplacer à l aide du bouton directionnel. 2

3 Lorsque l écran ne comporte pas de fonctions, utiliser les touches et pour la variable X, pour saisir la fonction : Y1 = X/ (1 (1 + X)^(-36)) et valider avec. On va, maintenant, calculer les valeurs de la fonction f pour des valeurs de X comprises entre 0,001 et 0,01. Sélectionner la touche (RANG) et entrer les données : Strt : 0,001, End : 0,01, ptch : 0,001. Puis, appuyer sur la touche. Pour l affichage des données on va choisir un affichage adapté en sélectionnant Puis se déplacer avec sur Display et vérifier que Nrm2 est bien sélectionné. Sinon faire (Norm) pour afficher Nrm2. Faire et sélectionner alors la touche (TABL) 3

4 Il apparaît ainsi un tableau à 2 colonnes. La colonne X correspond aux valeurs du taux mensuel x. La colonne Y1 correspond aux valeurs de f(x) pour chaque valeur de x. A l aide du bouton directionnel dérouler toutes les valeurs vers le bas jusqu à atteindre la valeur 0,01 pour compléter le tableau de valeurs. Tableau de valeurs T 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01 f(t) 2829,4 2881,7 2934,6 2988,1 3042,1 3096,8 3152,1 3207,9 3264,4 3321,4 c) Pour obtenir des mensualités inférieures à 3000 le taux mensuel doit être au plus de t = 0,004 soit 0,4 % ( ce qui représente un taux annuel de 4,8 % ). 2) Tableau d amortissement a) Pour une suite géométrique, la formule de calcul de la somme des n premiers termes est : S n = A 1 (1 q n ) (1 q) Sélectionner dans le menu principal, à l aide du bouton directionnel, l application RUN et faire. On saisit alors le calcul suivant : 2588,12 (1 (1,004) 36 ) / (1 1,004) et faire. On a donc : S 36 = 2588,12 (1 (1,004) 36 ) / (1 1,004) = On constate un résultat connu, la somme des amortissements sur la période de remboursement est égale au montant de l emprunt. 4

5 b) On veut S n / 2 Soit : 2588,12 (1 (1,004) n ) (1 1,004) c) On va à nouveau sélectionner TABLE avec le menu et saisir la fonction : g(n) = (1,004) n Y2 = (1,004) x On va alors se placer sur la ligne Y1 puis à l aide de la touche fonction. (SEL) déselectionner cette On va, maintenant, calculer les valeurs de la fonction g pour des valeurs de X comprises entre 1 et 36. Sélectionner la touche (RANG) et entrer les données : Strt : 1, End : 36, ptch : 1. Puis, appuyer sur la touche. Sélectionner alors la touche (TABL) Il apparaît ainsi un tableau à 2 colonnes. La colonne X correspond aux valeurs du mois. La colonne Y2 correspond aux valeurs de g(x) pour chaque valeur de x. 5

6 A l aide du bouton directionnel dérouler toutes les valeurs vers le bas jusqu à atteindre la valeur Y2 supérieur à 1,0773. On voit qu il faut n = 19 pour dépasser 1,0773, donc au bout du 19 e l entreprise aura remboursé la moitié de la somme empruntée. mois de remboursement d) Pour écrire la dernière ligne d amortissement on utilise les relations suivantes : D n désignant le reste du capital dû au début du n e mois, I n l intérêt à payer pour le n e mois s écrit I n = D n x 0,004 et on a : a = A n + I n Au 36 e mois on a l amortissement égal au restant dû : D 36 = A 36 = a I 36 = a - D 36 x 0,004 Ce qui nous donne (1 + 0,004) A 36 = a soit A 36 = a / ( 1,004) = 2988,12/1,004 = 2 976,22 I 36 = 2976,22 x 0,004 = 11,90 Montant restant dû Amortissement Intérêt Annuité 2976, ,22 11, ,12 On peut également obtenir A 36 en entrant une fonction dans TABLE : Y3 = 2588,12 (1,004) (X-1) Il s agit de la formule générale pour une suite géométrique : A n = A 1 q n-1 On va alors se placer sur la ligne Y2 puis à l aide de la touche fonction. (SEL) déselectionner cette Sélectionner alors la touche (TABL) Il apparaît ainsi un tableau à 2 colonnes. La colonne X correspond aux valeurs du mois. La colonne Y3 correspond aux valeurs de A n pour chaque valeur de n A l aide du bouton directionnel dérouler toutes les valeurs vers le bas jusqu à 36 6

7 POUR ALLER PLUS LOIN LA PROGRAMMATION : Pour réaliser un tableau d amortissement on peut aussi utiliser la programmation. Pour cela, consulter l exercice sur la programmation pour réaliser un tableau d amortissement. Pour lancer le programme «AMORTIS», que l on suppose enregistré sur la calculatrice, sélectionner et à l aide du bouton directionnel choisir l application PRGM et faire. Ensuite se positionner sur le programme AMORTIS Puis faire (EXE) et saisir la valeur de l annuité A= 2988,12 et faire Saisir alors la valeur du capital emprunté B = Puis saisir la valeur du taux mensuel (en pourcentage) : T = 0,4 L écran affiche alors la valeur de K = 1 (1 e ligne du tableau) pour continuer faire Ensuite CAPITAL = puis l amortissement = 2588,12 et l intérêt = 400 7

8 En continuant jusqu à K = 36 on aboutit au résultat pour compléter la dernière ligne du tableau : CAPITAL = 2976,2 AMMORTISSEMENT = 2976,22 INTERET = 11,90 Si on continue à utiliser la touche autre simulation., le programme redemande des informations pour faire une REMARQUE : le programme est mis en ligne sur le site CASIO Education et vous pouvez directement le charger sur votre calculatrice à l aide du cordon SB-88 et du programme CASIO FA