Mathématiques HATIER CONCOURS. Professeur des écoles. concours. Nouveau ADMISSIBILITÉ CRPE

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1 HATIER CONCOURS Professeur des écoles ADMISSIBILITÉ CRPE Mathématiques Nouveau concours 2014 Roland Charnay Michel Mante Les connaissances : un cours complet, des entrainements La méthodologie de l épreuve Des problèmes et des exercices (corrigés) comme au concours Ressources complémentaires

2 HATIER CONCOURS CONCOURS DE PROFESSEUR DES ÉCOLES MATHÉMATIQUES ÉPREUVE ÉCRITE D ADMISSIBILITÉ DIRECTEURS DE COLLECTION Roland Charnay Philippe Dorange Michel Mante AUTEURS Roland Charnay Michel Mante Agrégés de Mathématiques Avec la collaboration de Bernard Anselmo Professeur certifié de Mathématiques (ESPÉ Académie de Lyon) Sur le site le sujet 0 du MEN corrigé les fiches méthodes pour l utilisation de : tableur logiciel de géométrie dynamique calculatrice

3 SOMMAIRE Mode d emploi... 4 Introduction... 6 nombres 1 Méthodes de dénombrement Qu est-ce que dénombrer? Comment dénombrer?... FM Dénombrer à l aide d un tableau à double entrée FM Dénombrer avec un arbre de choix FM Faire preuve de méthode et d organisation Systèmes de numération Systèmes de numération de type additif Systèmes de numération de type positionnel Numération de position de base quelconque... FM Écrire en base dix un nombre en base b FM Écrire en base b un nombre en base dix Numération orale Écriture des nombres en lettres Nombres rationnels et décimaux. Nombres réels L ensemble Q des nombres rationnels FM Reconnaitre si deux fractions sont égales FM Obtenir des fractions égales FM Trouver la fraction irréductible FM Comparer deux fractions FM Trouver la partie entière d'une fraction L ensemble D des nombres décimaux FM Reconnaitre si une fraction représente un nombre décimal FM Comparer deux nombres décimaux L ensemble R des nombres réels FM Trouver l écriture décimale avec suite périodique d un nombre rationnel non décimal FM Trouver la forme fractionnaire d un nombre donné sous forme d'une écriture décimale comportant une suite périodique calcul 4 Calcul sur les nombres naturels et les nombres décimaux positifs Les quatre opérations Propriétés des opérations Algorithmes usuels de calcul des opérations FM Calculer une addition posée FM Calculer une soustraction posée FM Calculer une multiplication posée FM Calculer une division posée Calcul sur les nombres relatifs, les fractions, les puissances et les racines carrées Calcul sur les nombres relatifs Calcul sur les fractions Calcul sur les puissances Calcul sur les racines carrées Multiples, diviseurs, nombres premiers Multiples et diviseurs d un nombre naturel FM Chercher tous les diviseurs d'un nombre n Critères de divisibilité Nombres premiers FM Chercher si un nombre n est premier... FM Décomposer un nombre n en produit de facteurs premiers FM Chercher le nombre de diviseurs d'un nombre n Multiples et diviseurs communs à deux nombres... FM Trouver le ppcm de deux nombres FM Trouver le pgcd de deux nombres Nombres naturels premiers entre eux Synthèse FM Déterminer si un nombre a est un diviseur d'un nombre b Notion de fonction numérique. Fonction linéaire et fonction affine Notion de fonction numérique Fonction linéaire Fonction affine FM Trouver l'équation d'une droite passant par deux points donnés Proportionnalité Suites de nombres proportionnelles FM Reconnaitre si deux suites de nombres sont proportionnelles Problèmes de proportionnalité FM Chercher une «quatrième proportionnelle» FM Comparer des proportions FM Chercher une grandeur en fonction de plusieurs autres FM Chercher une grandeur inversement proportionnelle à une autre Applications de la proportionnalité : vitesse moyenne, pourcentage, échelle Vitesse moyenne FM Trouver la vitesse moyenne, la distance ou la durée d un parcours Pourcentage FM Appliquer un pourcentage FM Calculer un pourcentage FM Retrouver une quantité à laquelle a été appliqué un pourcentage FM Calculer le résultat d'une augmentation donnée en pourcentage FM Calculer le résultat d'une diminution donnée en pourcentage Échelle Hatier, Paris 2013 ISBN : Sous réserve des exceptions légales, toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite, par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l auteur ou de ses ayants droit, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par le Code de la Propriété Intellectuelle. Le CFC est le seul habilité à délivrer des autorisations de reproduction par reprographie, sous réserve en cas d utilisation aux fins de vente, de location, de publicité ou de promotion de l accord de l auteur ou des ayants droit.

4 10 Représentation de données et statistiques Représentation de données numériques FM Construire un diagramme circulaire Statistiques... FM Calculer la médiane d une série FM Déterminer le 1 er et le 3 e quartile d une série Probabilités Expérience aléatoire et évènement Probabilité Évènements particuliers FM Calculer la probabilité d un évènement Calcul littéral, équations, inéquations Calcul littéral Équations FM Résoudre une équation de la forme ax = b FM Mettre un problème en équation FM Résoudre un système de deux équations du premier degré à deux inconnues Inéquations FM Résoudre un système de deux inéquations du premier degré à deux inconnues géométrie 13 Droite, segment, cercle, perpendicularité, parallélisme Droite, demi-droite, segment Cercle, disque Droites perpendiculaires FM Tracer une droite perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné Droites parallèles FM Tracer une droite parallèle à une droite donnée passant par un point donné Construire, décrire une figure géométrique FM Rédiger un programme de tracé d une figure géométrique Tangente à un cercle Médiatrice d un segment FM Tracer la médiatrice d un segment Cercle circonscrit à un triangle Angles, polygones Angles FM Tracer la bissectrice d un angle Polygones FM Tracer un polygone régulier sans rapporteur Triangles FM Calculer la mesure d'un angle Quadrilatères Logiciels de géométrie dynamique FM = fiche méthode 15 Démonstration en géométrie plane Une méthode de preuve spécifique : la démonstration FM Le chainage avant FM Le chainage arrière Propriété et réciproque Principales propriétés pour 4 démonstrations les plus fréquemment demandées au concours FM Démontrer que deux droites sont perpendiculaires ou qu un triangle est rectangle FM Démontrer que deux droites sont parallèles FM Démontrer qu un point est le milieu d un segment FM Démontrer que trois points sont alignés Théorèmes de Pythagore et de Thalès Théorème de Pythagore Théorème de Thalès FM Calculer la longueur d un segment Trigonométrie dans le triangle rectangle Formules de trigonométrie Calcul d une longueur FM Calculer une longueur avec la trigonométrie Calcul de la mesure d un angle FM Calculer la mesure d un angle avec la trigonométrie Transformations Symétrie axiale... FM Tracer le symétrique d un point par rapport à une droite FM Chercher l axe de symétrie d une figure Symétrie centrale FM Tracer le symétrique d un point par rapport à un point FM Chercher le centre de symétrie d une figure Agrandissement et réduction d une figure FM Construire l agrandissement ou la réduction d une figure Géométrie dans l espace Solides Représentation d un solide Patrons de solides Orthogonalité et parallélisme dans l espace Section d un solide par un plan mesure 20 Grandeurs et mesures Périmètre de surfaces Aire... FM Convertir des unités d aires FM Calculer l aire d une surface Volume FM Convertir des unités de volumes Autres grandeurs S O M M AI R E

5 MODE D EMPLOI Chacun des 20 chapitres est structuré en 3 parties : Tester ses connaissances, Le Cours, Au concours, pour un accompagnement pas à pas de votre préparation. OBJECTIFS DU CHAPITRE Identifier et utiliser les caractéristiques d un système de numération et, en particulier, celles du système de numération décimale (écriture des nombres naturels en base dix). Passer de l écriture d un nombre naturel dans un système à son écriture dans un autre système. FICHES MÉTHODE Écrire en base dix un nombre donné en base b. Écrire en base b un nombre donné en base dix. p. 27 p. 27 Au début de chaque chapitre : les objectifs à atteindre par les candidats. La liste des fiches méthodes du chapitre pour les savoir-faire à maitriser. tester ses connaissances Indiquer la ou les bonnes réponses en les justifiant. QCM 1 Dans le nombre 2 305, A. le nombre de dizaines est 0. Aide : 2.3 p. 26 QCM 2 B. le nombre de dizaines est 230. C. le nombre de milliers est 2. D. le chiffre des milliers est 2. Je suis un nombre naturel. Mon nombre de centaines est 23 et mon chiffre des unités est 5. Qui suis-je? Aide : 2.1 p. 25 A. 235 B C D E B, C, D 2. C 3. C 4. D Un test pour faire le point sur ses acquis, ses difficultés, ses manques par rapport au sujet abordé. Sous forme de QCM pour s entrainer à répondre à ce type de question posée au concours. L aide indique l endroit où les connaissances testées sont traitées dans le cours. Les réponses au QCM. LE LE COURS AU CONCOURS 2 Systèmes de numération La partie «Le cours» (sur fond bleu). 2 2 Décompositions associées à l écriture d un nombre A. Décomposition dans le système décimal À chaque écriture en chiffres peut être associée une décomposition qui utilise des puissances de 10. EXEMPLES : Dans l écriture de 23, «2» désigne 2 paquets de dix unités (ou dizaines) et «3» désigne 3 unités ; la décomposition associée est La décomposition associée à 235 est : RAPPEL CORRIGÉ QCM 2 : est le seul nombre de la liste qui comporte 23 centaines et a 5 pour chiffre des unités. D autres nombres que ceux de la liste auraient pu convenir comme ; QCM2, p. 21 Les notions importantes qu il faut retenir (sur fond jaune). Des exemples aident à l appropriation de ces notions importantes. Au fur et à mesure du cours, le corrigé détaillé des QCM Écrire en base dix un nombre donné en base b, et inversement FICHE MÉTHODE Écrire en base dix un nombre donné en base b. Écrire en base dix le nombre 20 4 douze (donné en base douze). 1 Écrire la décomposition du nombre en base b, en s aidant du tableau de numération. 2 Effectuer les calculs en base dix. ENTRAINEMENT 6 Écrire en base sept, les nombres suivants : A B C douze ( ) ( ) ( ) ( ). On obtient la réponse : ENTRAINEMENT 7 Écrire en base dix le nombre qui s écrit 324 en base cinq. ENTRAINEMENT 8 On dispose des signes a, e, i, o, u pour écrire tous les entiers naturels. Écrire la suite des vingt-cinq premiers nombres et préciser les règles employées. a, e, i, o, u sont dans l ordre croissant et a représente zéro. Corrigé p. 32 Corrigé p. 32 Corrigé p. 32 Les fiches méthode présentent les principaux savoir-faire à maitriser. Sous forme d un tableau : la colonne de gauche : chaque étape du savoir-faire est détaillée ; la colonne de droite : chacune de ces étapes est exemplifiée. De nombreux exercices d entrainement permettent au candidat de stabiliser la compréhension des notions abordées. La page de leur corrigé figure en marge.

6 corrigés EXERCICES D ENTRAINEMENT ENTRAINEMENT 1 Énoncé p. 12 Ce tableau à double entrée permet de répondre aux deux questions. La case avec une croix correspond au nombre 13. dizaines unités a. La réponse est donnée par le nombre total de cases : 9 nombres (3 3) peuvent être écrits si on accepte que le chiffre des dizaines soit le même que celui des unités. b. Il ne faut pas prendre en compte les cases de la diagonale grisée ; 6 nombres seulement sont possibles (9 3). AUTRE MÉTHODE On peut également raisonner de la façon suivante avec un nombre de trois chiffres écrit cdu, le raisonnement étant voisin de ce que montre l arbre qui a été utilisé : On commence par choisir le chiffre c des centaines : il y a 3 possibilités (1 ou 2 ou 3). Pour chaque chiffre des centaines, il y a aussi 3 choix possibles pour le chiffre d des dizaines. Pour le couple (c, d), il y a donc 9 choix possibles (3 3 9). Pour chaque couple (c, d), il y a également 3 choix pour le chiffre u des unités. Au total, on obtiendra donc 27 nombres possibles ( ). La description des choix par un arbre (seulement amorcé ci-dessus) permet de mieux comprendre le raisonnement précédent et le calcul auquel il aboutit. É Chaque exercice d entrainement est corrigé de façon détaillée à la fin du cours. Si nécessaire, plusieurs méthodes sont présentées. LE COURS au concours AU AU CONCOURS EXERCICE 1 Combien de nombres de 4 chiffres comportent le chiffre 0 dans leur écriture? EXERCICE 2 50 personnes se rencontrent et se saluent en se serrant la main. Chacune des personnes serre la main de toutes les autres. Combien de poignées de main sont ainsi échangées? PROBLÈME EXERCICE 3 On dispose de 10 cartes numérotées de 1 à 10. On cherche à construire des suites de cartes qui se suivent de 1 en 1 dans l ordre croissant (suites d au moins 2 cartes). Exemples de suites : 2-3 ou ➊ Combien de suites différentes peut-on construire? ➋ Quel serait le nombre de suites possibles avec 100 cartes numérotées de 1 à 100? 1 Méthodes de dénombrement Corrigé p. 18 Corrigé p. 18 Corrigé Corrigé p. p La partie «Au concours» (en rouge). À la fin de chaque chapitre, des énoncés d exercices et problèmes de concours sont proposés. corrigés EXERCICES EXERCICE 1 Cherchons d abord combien de nombres s écrivent avec 4 chiffres : il y en a En effet, de 1 à 9 999, il y a nombres parmi lesquels 999 s écrivent avec moins de 4 chiffres (ceux de 1 à 999). Puis, parmi les nombres de 4 chiffres, cherchons combien s écrivent sans utiliser le chiffre 0. PROBLÈME Énoncé p. 17 Dans ce type de problème, il faut se demander s il n est pas plus simple de répondre à la question «contraire», à savoir ici, chercher combien de nombres de 4 chiffres s écrivent sans utiliser le chiffre 0. corrigés Énoncé p. 17 ➊ On peut dénombrer les suites possibles selon leur longueur : suites de longueur 2 : elles peuvent commencer par chacun des nombres de 1 à 9 (donc 9 suites) ; suites de longueur 3 : elles peuvent commencer par chacun des nombres de 1 à 8 (donc 8 suites) Le nombre de suites va ainsi diminuer de 1 au fur et à mesure que la longueur augmente, la dernière suite ayant pour longueur 10. D où le nombre total de suites : = 45. Les exercices et problèmes de concours sont corrigés à la suite des énoncés. De nombreux commentaires ou conseils méthodologiques accompagnent ces corrigés. Certains commentaires attirent l attention du lecteur sur des erreurs à éviter. 5

7 INTRODUCTION Cet ouvrage est destiné à la préparation de la deuxième épreuve écrite de l admissibilité au concours de recrutement des professeurs des écoles (CRPE). Il permet d acquérir les connaissances mathématiques indispensables pour traiter les parties 1 et 2 de cette épreuve. Pour préparer la partie 3 (analyser un dossier composé d un ou de plusieurs supports d enseignement des mathématiques), le candidat trouvera dans la même collection, un recueil de Sujets Inédits Corrigés (construits sur la base du sujet 0 rédigé par le MEN). Télécharger le sujet 0 et son corrigé sur le site de la collection Hatier Concours : Cet ouvrage s adresse en priorité aux candidats qui préparent le CRPE, soit en autonomie, soit dans le cadre d un master, quel que soit leur niveau en mathématiques. 1 Le concours de recrutement des professeurs des écoles Les épreuves du concours de recrutement de professeurs des écoles (CRPE) ont été définies dans l arrêté du 19 avril 2013 fixant les modalités d organisation des concours de recrutement de professeurs des écoles à compter de la session Épreuves d admissibilité Le cadre de référence des épreuves est celui des programmes pour l école primaire. Les connaissances attendues des candidats sont celles que nécessite un enseignement maitrisé de ces programmes. Le niveau attendu correspond à celui exigé par la maitrise des programmes de collège. Épreuve écrite de français 4 h / 40 points Cette épreuve comporte : La production d une réponse, construite et rédigée, à une question portant sur un ou plusieurs textes littéraires ou documentaires. 11 points Une partie portant sur la connaissance de la langue (grammaire, orthographe, lexique et système phonologique). Le candidat peut avoir à répondre à des questions de façon argumentée, à une série de questions portant sur des connaissances ponctuelles, à procéder à des analyses d erreurs-types dans des productions d élèves, en formulant des hypothèses sur leurs origines. 11 points Une analyse d un dossier composé d un ou plusieurs supports d enseignement du français, choisis dans le cadre des programmes de l école primaire qu ils soient destinés aux élèves ou aux enseignants (manuels scolaires, documents à caractère pédagogique), et de productions d élèves de tous types, permettant d apprécier la capacité du candidat à maitriser les notions présentes dans les situations d enseignement. 13 points 5 points permettent d évaluer la correction syntaxique et la qualité écrite de la production du candidat. Épreuve écrite de mathématiques 4 h / 40 points Cette épreuve comporte : Une première partie constituée d un problème portant sur un ou plusieurs domaines des programmes de l école ou du collège, ou sur des éléments du socle commun de connaissances, de compétences et de culture, permettant d apprécier particulièrement la capacité du candidat à rechercher, extraire et organiser l information utile. 13 points Une deuxième partie composée d exercices indépendants, complémentaires à la première partie, permettant de vérifier les connaissances et compétences du candidat dans différents domaines des programmes de l école ou du collège. Ces exercices pourront être proposés sous forme de questions à choix multiples, de questions à réponse construite ou bien d analyses d erreurs-types dans des productions d élèves, en formulant des hypothèses sur leurs origines. 13 points Une analyse d un dossier composé d un ou plusieurs supports d enseignement des mathématiques, choisis dans le cadre des programmes de l école primaire qu ils soient destinés aux élèves ou aux enseignants (manuels scolaires, documents à caractère pédagogique), et productions d élèves de tous types, permettant d apprécier la capacité du candidat à maitriser les notions présentes dans les situations d enseignement. 14 points 5 points au maximum peuvent être retirés pour tenir compte de la correction syntaxique et de la qualité écrite de la production du candidat. Une note globale égale ou inférieure à 10 est éliminatoire. 6

8 1. 2 Épreuves d admission Les deux épreuves orales d admission comportent un entretien avec le jury qui permet d évaluer la capacité du candidat à s exprimer avec clarté et précision, à réfléchir aux enjeux scientifiques, didactiques, épistémologiques, culturels et sociaux que revêt l enseignement des champs disciplinaires du concours, et des rapports qu ils entretiennent entre eux. Première épreuve orale Mise en situation professionnelle dans un domaine au choix du candidat 1 h / 60 points Cette épreuve vise à évaluer les compétences scientifiques, didactiques et pédagogiques du candidat dans un domaine d enseignement relevant des missions ou des programmes de l école élémentaire ou de l école maternelle, choisi au moment de l inscription au concours parmi les domaines suivants : sciences et technologie, histoire, géographie, histoire des arts, arts visuels, éducation musicale, enseignement moral et civique. Le candidat remet préalablement au jury un dossier de dix pages au plus, portant sur le sujet qu il a choisi. Ce dossier pourra être conçu à l aide des différentes possibilités offertes par les technologies de l information et de la communication usuelles, y compris audiovisuelles (format Compact Disc). Il est adressé au président du jury sous format papier accompagné le cas échéant d un support numérique Compact Disc, dans un délai et selon des modalités fixées par le jury. Ce dossier se compose de deux ensembles : une synthèse des fondements scientifiques relatifs au sujet retenu ; la description d une séquence pédagogique, relative au sujet choisi, accompagnée des documents se rapportant à cette dernière. L épreuve comporte : la présentation du dossier par le candidat durée : 20 min (20 points) un entretien avec le jury durée : 40 min (40 points) Il porte, d une part, sur les aspects scientifiques, pédagogiques et didactiques du dossier et de sa présentation, et, d autre part, sur un élargissement et/ou un approfondissement dans le domaine considéré, pouvant notamment porter sur sa connaissance réfléchie des différentes théories du développement de l enfant. Deuxième épreuve orale Entretien à partir d un dossier Péparation : 3 h 1 h 15 / 100 points L épreuve comporte deux parties : Première partie 40 points durée de l exposé : 10 min durée de l entretien : 20 min Le jury propose au candidat un sujet relatif à une activité physique, sportive et artistique (APSA) praticable à l école élémentaire ou au domaine des activités physiques et expériences corporelles réalisables à l école maternelle. Le sujet pourra être présenté à l aide des différentes possibilités offertes par les technologies de l information et de la communication usuelles, y compris audiovisuelles. Le sujet se rapporte soit à la progression au sein d un cycle d activités portant sur l APSA ou la pratique physique et corporelle considérée, soit à une situation d apprentissage adossée au développement d une compétence motrice relative à cette même APSA ou pratique physique et corporelle. Le candidat expose ses réponses (10 min) et s entretient avec le jury (20 min). Le jury élargit le questionnement aux pratiques sportives personnelles du candidat ou encore au type d activités sportives qu il peut animer ou encadrer. Deuxième partie 60 points durée de l exposé : 15 min (20 points) durée de l entretien : 30 min (40 points) Elle consiste en un exposé du candidat à partir d un dossier de cinq pages maximum fourni par le jury et portant sur une situation professionnelle inscrite dans le fonctionnement de l école primaire, suivi d un entretien avec le jury. L exposé du candidat présente une analyse de cette situation et des questions qu elle pose, en lui permettant d attester de compétences professionnelles en cours d acquisition d un professeur des écoles. L entretien permet également d évaluer la capacité du candidat à prendre en compte les acquis et les besoins des élèves, en fonction des contextes des cycles de l école maternelle et de l école élémentaire, et à se représenter de façon réfléchie la diversité des conditions d exercice du métier, ainsi que son contexte dans ses différentes dimensions (classe, équipe éducative, école, institution scolaire, société), et les valeurs qui le portent dont celles de la République. 7

9 1. 3 Présentation de la deuxième épreuve écrite : mathématiques Les notions mathématiques abordées à l école primaire constituent les bases d un corpus plus large qui sera développé au cours la scolarité obligatoire. Pour pouvoir les enseigner, le futur professeur des écoles se doit d en maitriser les fondements théoriques et de connaitre les développements qu ils permettront dans les années de collège. Il est donc demandé au candidat au professorat des écoles un niveau de connaissances et de raisonnement correspondant à celui exigé par la maitriser les programmes de collège. Exposer ce raisonnement de manière claire et rigoureuse est une des manifestations de cette maitrise. L épreuve comporte trois parties : 1) La première partie consiste en un problème portant sur un ou plusieurs domaines des programmes de l école ou du collège, ou sur des éléments du socle commun de connaissances, de compétences et de culture. Ce problème peut, autour d un thème donné, faire appel à plusieurs registres : numérique, algébrique, géométrique, graphique, etc. Il permet au candidat de montrer sa capacité à mettre en relation ces différents registres, mais aussi de montrer une représentation correcte des différents statuts mathématiques des énoncés rencontrés : données, hypothèses, propriétés ou théorèmes. Ce problème peut comporter plusieurs parties ; il peut être demandé au candidat de démontrer des propriétés connues, de modéliser une situation en vue de la résolution d un exercice concret ou de mener un raisonnement à portée plus générale. 2) La deuxième partie est composée d exercices indépendants, complémentaires à la première partie, permettant de vérifier les connaissances et compétences du candidat dans différents domaines des programmes de l école ou du collège. Ces exercices pourront être proposés sous forme de questions à choix multiples, de questions à réponse construite ou bien d analyses d erreurs-types dans des productions d élèves, en formulant des hypothèses sur leurs origines. Des exercices de types différents peuvent être proposés dans un même sujet. Les questions à choix multiples sont accompagnées d une demande de justification ; elles permettent de mettre en œuvre des types de raisonnement variés et notamment la preuve par présentation d un contre-exemple. Les questions à réponse construite peuvent, dans certains exercices, être des questions ouvertes qui demandent pour leur résolution une prise d initiative. 3) La troisième partie consiste en une analyse d un dossier composé d un ou plusieurs supports d enseignement des mathématiques, choisis dans le cadre des programmes de l école primaire qu ils soient destinés aux élèves ou aux enseignants (manuels scolaires, documents à caractère pédagogique), et productions d élèves de tous types, permettant d apprécier la capacité du candidat à maitriser les notions présentes dans les situations d enseignement. Cette partie peut porter sur une notion spécifique de l un des trois cycles, ou sur une notion abordée de façon progressive au cours de plusieurs cycles. La maitrise des notions s exprime notamment à travers la capacité du candidat à mettre en perspective ces notions et à expliciter les caractéristiques mathématiques des développements ou enrichissements successifs. 2 Conseils pour préparer l épreuve de mathématiques Comme l indique le texte officiel, les connaissances mathématiques à acquérir sont de niveau collège. Il faut y ajouter des connaissances sur les systèmes de numération dont l apprentissage occupe une place importante à l école primaire. On peut consulter ces programmes dans le Bulletin officiel (BO) du 19 juin 2008 n 3 Hors-série ou sur le site officiel du ministère de l Éducation nationale : 8

10 2. 1 Organisation de l ouvrage Cet ouvrage comporte 20 chapitres répartis sur 4 thèmes : NOMBRES, CALCUL, GÉOMÉTRIE et MESURE. Chaque chapitre est organisé de la façon suivante : tester ses connaissances Les questions proposées sous forme de QCM permettent au candidat de mieux situer ses acquis, ses difficultés et ses manques sur le sujet considéré. Les réponses sont données à la fin de la partie et sont corrigées de façon détaillée dans le cours. le cours Détaillé, il est émaillé d exercices d entrainement dont les corrigés sont fournis à la fin du cours. Cela permet au candidat de tester immédiatement sa compréhension des notions abordées. Les principaux savoir-faire à maitriser sont présentés sous forme de fiches méthode. Les étapes de ces savoir-faire sont clairement explicitées et exemplifiées. au concours Les exercices et problèmes du type de ceux donnés au concours sont accompagnés d un corrigé détaillé et commenté. Des conseils méthodologiques sont fournis pour les questions classiques Comment utiliser cet ouvrage Si vos connaissances mathématiques sont lointaines, peu stables..., nous vous conseillons vivement de répondre aux questions posées dans Tester ses connaissances. Même si, en général, les réponses peuvent être données rapidement, prenez un temps suffisant pour affronter ces questions et ne vous laissez pas tenter par la lecture du corrigé dès le premier blocage! Même si vous n arrivez pas à résoudre les questions proposées, le fait d avoir cherché vous permettra de mieux assimiler le corrigé donné dans le Cours. Prenez connaissance du Cours le crayon à la main et n hésitez pas à revenir en arrière si nécessaire. Assurez-vous d avoir bien compris ce qui est énoncé. N oubliez pas que la compréhension est un facteur essentiel de la mémorisation et de l utilisation des connaissances. Les exercices d entrainement placés au fil du cours vous permettront de stabiliser vos connaissances. La partie Au concours permettra un transfert de vos connaissances dans des situations plus complexes. Les nombreux conseils méthodologiques placés tout au long des corrigés vous aideront à résoudre les questions. 3 Conseils pour le jour de l épreuve 3. 1 Bien gérer son temps Il est essentiel de gérer convenablement son temps. Chaque année, après l épreuve, des candidats se désolent de ne pas avoir eu assez de temps pour traiter des questions qu ils savaient parfaitement résoudre parce qu ils avaient consacré trop de temps à sécher sur certaines autres. Pour éviter cette situation, généralement catastrophique, voici quatre conseils : Toujours commencer par lire l intégralité du sujet de façon à identifier les questions auxquelles vous pensez pouvoir répondre. Ce sont les questions par lesquelles vous allez commencer. Ne pas hésiter à sauter certaines questions que vous n arrivez pas à résoudre immédiatement. Dans ce cas, vous laisserez de la place pour y revenir éventuellement plus tard. Par contre, ne disséminez pas les réponses aux différentes questions d un même exercice au milieu d autres exercices, elles risquent de ne jamais être corrigées. En effet, sachez que les correcteurs ne mettent aucune annotation ou appréciation sur la copie. 9

11 Ne pas tout écrire au brouillon, mais mener en parallèle le travail au brouillon et la rédaction dès qu une solution émerge de façon sûre. Gérer son temps en tenant compte du nombre de points accordés à chaque question Conseils concernant les questions mathématiques Avant de commencer un exercice ou un problème de mathématiques, le relire à nouveau dans son intégralité. C est important car l enchainement des questions peut vous aider à découvrir certaines solutions. Ne pas oublier non plus que, très souvent, les réponses aux questions précédentes servent à résoudre les questions suivantes et qu il est possible de s en servir même si vous n avez pas su les traiter entièrement. Il est essentiel de systématiquement justifier les réponses. Ce sont souvent sur des critères de rigueur de rédaction que se font les différences entre les candidats. Ne pas oublier que plus une réponse est simple, plus les correcteurs sont exigeants sur les critères de rédaction. Rédiger avec précision, notamment être attentif aux notations mathématiques. Voici quelques exemples d erreurs d écriture fréquemment rencontrées dans les copies : Ne pas écrire... mais écrire... car... [AB] = [CD] AB = CD AB et CD désignent les longueurs des segments, alors que [AB] et [CD] désignent les segments eux-mêmes. I est le milieu de (AB) I est le milieu de [AB] (AB) désigne une droite... qui n a donc pas de milieu. (d) est la médiatrice de (CD) (d) est la médiatrice de [CD] On ne peut pas parler de médiatrice d une droite, mais seulement de médiatrice d un segment De même, dans une rédaction, il vaut mieux éviter de mélanger le texte et les notations abrégées. Ainsi «(AB) est // à (CD)» est à éviter et il faut lui préférer : soit «(AB) est parallèle à (CD)» ; soit «(AB) // (CD)» Comment répondre à un QCM? Deux stratégies peuvent être mobilisées pour répondre à un QCM : 1 re stratégie : faire l exercice, sans tenir compte des réponses proposées, puis identifier la «bonne» réponse parmi celles-ci ; 2 e stratégie : partir des réponses proposées et éliminer celles qui ne conviennent pas. EXEMPLE : L égalité : = 50 est vraie pour la base : A. 5 B. 4 C. 7 E. 6 1 re stratégie : On appelle x la base possible (donc x > 5) et on traduit l égalité à l aide de x : 3x x + 4 = 5x + 0 et on trouve x = 6. 2 e stratégie : On part des réponses : 5 et 4 ne peuvent pas être des bases car la base est toujours strictement supérieure à chacun des chiffres. On essaie de voir si 7 convient : En base 7 : = 3 x x = = 5 x 7 = 35. Donc 7 ne convient pas, la bonne réponse est 6. Ce qu il faut vérifier par : = 3 x x = = 5 x 6 =

12 CHAPITRE 1 méthodes de dénombrement OBJECTIF DU CHAPITRE Connaitre et savoir utiliser différentes stratégies de dénombrement. FicheS méthode Dénombrer à l aide d un tableau à double entrée. Dénombrer avec un arbre de choix. Faire preuve de méthode et d organisation. p. 12 p. 13 p. 14 tester ses connaissances Un restaurant propose les choix suivants : Entrée : potage, pâté ou salade Plat : poisson, viande rouge, lasagnes ou omelette Dessert : salade de fruits, glace ou pâtisserie. Combien de menus différents peuvent être composés en prenant une entrée, un plat et un dessert? A. 10 b. 20 c. 18 D. 36 e. 35 Qcm Aide : 2.2 p D le cours 1 Qu est-ce que dénombrer? Dénombrer consiste à utiliser un moyen approprié pour exprimer une quantité d unités par un nombre. Cela peut parfois se faire en comptant les unités une par une, mais cette méthode peut se révéler fastidieuse et il est alors nécessaire de mettre au point une autre méthode de dénombrement qui, le plus souvent, débouche sur un calcul permettant d obtenir la réponse. Dans cet ouvrage, nous indiquons un certain nombre de méthodes qui permettent d organiser le dénombrement, éventuellement en s aidant d un schéma, de façon à être sûr que l inventaire des éléments est exhaustif et que leur nombre peut être calculé. nombres 11

13 QCM LE COURS AU CONCOURS Ces méthodes pourront être mobilisées dans la plupart des chapitres de cet ouvrage et dans de nombreux exercices ou problèmes du concours où il est demandé un inventaire de réponses possibles à une question. 2 comment dénombrer? Trois méthodes de dénombrement sont proposées : le tableau à double entrée l arbre de choix le raisonnement sans support. Le choix d une méthode dépend de la nature du problème à résoudre. 2 1 tableau à double entrée Fiche méthode Dénombrer à l aide d un tableau à double entrée. On dispose d un grand nombre d objets découpés qui ont la forme de carrés, de triangles ou de ronds. Tous les objets de même forme sont de mêmes dimensions. On décide de peindre ces objets en jaune, en bleu, en rouge ou en vert. Combien peut-on obtenir de sortes différentes d objets colorés? 1 Identifier les paramètres indépendants en jeu, ce qui permet de recourir à un tableau à double entrée. Deux paramètres interviennent : les formes et les couleurs. 2 Construire le tableau (ou schéma du tableau si chaque paramètre comporte beaucoup de valeurs). 3 Compléter le tableau (en totalité ou en partie seulement). jaune bleu rouge vert carré triangle rond carré jaune triangle rouge rond bleu rond vert 4 Dénombrer les solutions qui correspondent aux cases qui peuvent être complétées en fonction du problème posé. Remarque : Si on demande seulement le nombre d éléments, il n est pas nécessaire de remplir totalement le tableau. Ici, toutes les cases peuvent être complétées. Elles sont au nombre de 4 3 = 12. Il y a donc 12 sortes d objets. entrainement 1 Combien de nombres différents de 2 chiffres peut-on écrire en utilisant les chiffres 1 ; 2 et 3 : a. dans le cas où les chiffres peuvent être répétés. b. dans le cas où les chiffres ne peuvent pas être répétés. Corrigé p

14 Le le Cours cours Au concours 2 2 Arbre des choix possibles Fiche méthode Dénombrer avec un arbre de choix. Un restaurant propose les choix suivants : Entrée : potage, pâté ou salade Plat : poisson, viande rouge, lasagnes ou omelette Dessert : salade de fruits, glace ou pâtisserie. Combien de menus différents peuvent être composés en prenant une entrée, un plat et un dessert? 1 Méthodes de dénombrement QCM, p Identifier les paramètres qui interviennent. Trois paramètres interviennent : les entrées, les plats, les desserts. 2 Établir l arbre en totalité ou en partie. 3 Compléter l arbre en totalité ou en partie. Entrée potage Plat poisson viande lasagnes omelette Dessert fruits glace pâtisserie pâté salade 4 Dénombrer les solutions. Ici, il y a = 36 repas possibles. Remarque : Si on demande seulement le nombre d éléments, il n est pas nécessaire de compléter totalement l arbre. Ce n est pas le cas si on demande l ensemble des solutions. Cette méthode peut être utilisée avec n importe quel nombre de paramètres. entrainement 2 Combien de nombres différents de 3 chiffres peut-on écrire en utilisant les chiffres 1 ; 2 et 3 : a. dans le cas où les chiffres peuvent être répétés. b. dans le cas où les chiffres ne peuvent pas être répétés. Corrigé p Organisation et raisonnement Dans certains cas, le recours à un schéma n est pas utile. Il suffit de faire preuve de méthode et d organisation. NOMBRES 13

15 QCM LE COURS AU CONCOURS Fiche méthode Faire preuve de méthode et d organisation. Combien peut-on distinguer de parallélogrammes sur cette figure? méthode 1. De manière systématique Elle consiste à procéder de manière systématique en cherchant : le nombre de parallélogrammes de «côtés 1» (il y en a 25, nombre donné par le calcul 5 5) ; puis le nombre de parallélogrammes de «côtés 1 et 2» (40), de «côtés 1 et 3» (30), etc. ; puis le nombre de parallélogrammes de «côtés 2» (16), etc. L inventaire des types de parallélogrammes, selon la longueur des côtés, est à lui seul un problème d organisation. méthode 2. Par raisonnement Elle consiste à considérer qu un parallélogramme est déterminé par le choix d un couple de droites «horizontales» non confondues et d un couple de droites «obliques» non confondues. En voici deux exemples. Le problème se ramène maintenant à celui de la recherche du nombre de couples de droites «horizontales» (non confondues) et du nombre de couples de droites «obliques» (non confondues) possibles. Pour déterminer un couple de droites «horizontales», il y a 6 possibilités pour le choix de la première droite ; puis la première étant choisie, 5 possibilités pour le choix de la seconde droite ; soit en combinant les deux choix, 30 possibilités. Mais chaque couple est alors considéré deux fois (la deuxième droite pouvant être au-dessous ou au-dessus de la première). En définitive, il n existe que 15 possibilités. Ce nombre aurait pu être déterminé par un autre raisonnement : Si la 1 re droite correspond à la 1 re ligne, il reste «en dessous» 5 possibilités. Si elle correspond à la 2 e ligne, il reste «en dessous» 4 possibilités. Si elle correspond à la 3 e ligne, il reste «en dessous» 3 possibilités. Si elle correspond à la 4 e ligne, il reste «en dessous» 2 possibilités. Si elle correspond à la 5 e ligne, il reste «en dessous» 1 possibilité. Soit, au total, 15 couples de «droites horizontales» puisque = 15. De la même manière, il existe 15 couples de droites «obliques» possibles. Comme chaque couple de droites «horizontales» peut être combiné avec tous les couples de droites «obliques», le nombre de parallélogrammes est donné par le calcul Il y a donc 225 parallélogrammes possibles. entrainement 3 Lucas a écrit les nombres de 0 à 999. Combien de fois a-t-il écrit le chiffre 7? Corrigé p

16 le LE cours COURS AU CONCOURS corrigés exercices d entrainement 1 méthodes de dénombrement entrainement 1 Énoncé p. 12 Ce tableau à double entrée permet de répondre aux deux questions. La case avec une croix correspond au nombre 13. dizaines unités a. La réponse est donnée par le nombre total de cases : 9 nombres (3 3) peuvent être écrits si on accepte que le chiffre des dizaines soit le même que celui des unités. b. Il ne faut pas prendre en compte les cases de la diagonale grisée ; 6 nombres seulement sont possibles (9 3). entrainement 2 Énoncé p. 13 Comme il y a 3 paramètres (chiffres des centaines, des dizaines et des unités), l utilisation d un tableau à double entrée n est pas la meilleure méthode. a. On peut utiliser un arbre. centaines dizaines unités Soit au total : = 27 nombres possibles. 3 AUtRe méthode On peut également raisonner de la façon suivante avec un nombre de trois chiffres écrit cdu, le raisonnement étant voisin de ce que montre l arbre qui a été utilisé : On commence par choisir le chiffre c des centaines : il y a 3 possibilités (1 ou 2 ou 3). Pour chaque chiffre des centaines, il y a aussi 3 choix possibles pour le chiffre d des dizaines. Pour le couple (c, d), il y a donc 9 choix possibles (3 3 = 9). Pour chaque couple (c, d), il y a également 3 choix pour le chiffre u des unités. Au total, on obtiendra donc 27 nombres possibles (3 3 3 = 27). La description des choix par un arbre (seulement amorcé ci-dessus) permet de mieux comprendre le raisonnement précédent et le calcul auquel il aboutit. b. La répétition de chiffres est interdite. En reprenant le raisonnement précédent, il existe toujours au départ 3 possibilités pour le chiffre c. nombres 15

17 QCM LE COURS AU CONCOURS Pour chacune de ces possibilités, il n existe que 2 choix possibles pour le chiffre d (pour c = 2, d ne peut être égal qu à 1 ou 3). Pour chaque couple (c, d) choisi, il n existe qu une seule possibilité pour le chiffre u (le chiffre qui n a pas encore été choisi). Au total, il y a donc 6 possibilités correspondant au calcul = 6. Dans ce cas, il est aussi simple d écrire méthodiquement les nombres cherchés : 312, 321, 213, 231, 123, 132. entraînement entrainement 43 Énoncé p. 14 Une méthode fastidieuse : écrire effectivement tous les nombres de 0 à 999 et compter les chiffres 7. D autres méthodes de dénombrement sont possibles en établissant un inventaire raisonné des nombres écrits avec le chiffre 7. méthode 1 Nombre de 7 écrits au rang des unités Il y a 1 chiffre 7 écrit au rang des unités pour chaque dizaine. Or il y a 100 dizaines (dizaine de 0 à 9, de 10 à 19, de 20 à 29 de 90 à 99 ; de 100 à 109, de 110 à de 990 à 999). Il y a donc 100 chiffres 7 au rang des unités. Nombre de 7 écrits au rang des dizaines Il y a 10 chiffres 7 écrits au rang des dizaines pour chaque centaine. Par exemple pour la première centaine de 0 à 99, ce sont les nombres de 70 à 79. Or il y a 10 centaines (centaine de 0 à 99, de 100 à ). Il y a donc 100 chiffres 7 au rang des dizaines (10 10). Nombre de 7 écrits au rang des centaines Le chiffre 7 est écrit pour tous les nombres de 700 à 799. Il y a donc 100 chiffres 7 au rang des centaines. Au total pour les nombres de 0 à 999, le chiffre 7 est écrit 300 fois. méthode 2 de 0 à 99 : Il y a 20 chiffres 7 (10 chiffres 7 au rang des unités et 10 chiffres pour la série de 70 à 79). de 100 à 999 : Le chiffre des centaines change 9 fois devant le couple (dizaine, unité) dont on vient de calculer le nombre de chiffres 7 ; on peut donc dire qu il y a 180 chiffres 7 (20 9). Mais il faut y ajouter tous les nombres de 700 à 799 qui ont 7 pour chiffre des centaines, soit 100 chiffres 7. D où au total entre 100 et 999, 280 chiffres. Finalement, pour les nombres de 0 à 999, le chiffre 7 est écrit 300 fois. 16

18 le cours Au Au concours au concours exercice 1 Combien de nombres de 4 chiffres comportent le chiffre 0 dans leur écriture? exercice 2 50 personnes se rencontrent et se saluent en se serrant la main. Chacune des personnes serre la main de toutes les autres. Combien de poignées de main sont ainsi échangées? exercice 3 On dispose 4 jetons sur ce quadrillage de façon à ce que, sur chaque ligne et chaque colonne, on n ait qu un seul jeton. 1 Méthodes de dénombrement Corrigé p. 18 Corrigé p. 18 Corrigé p. 19 Combien existe-t-il de dispositions différentes? problème On dispose de 10 cartes numérotées de 1 à 10. On cherche à construire des suites de cartes qui se suivent de 1 en 1 dans l ordre croissant (suites d au moins 2 cartes). Exemples de suites : 2-3 ou ➊ Combien de suites différentes peut-on construire? ➋ Quel serait le nombre de suites possibles avec 100 cartes numérotées de 1 à 100? Corrigé p. 20 NOMBRES 17

19 QCM LE COURS AU CONCOURS corrigés exercices exercice 1 Cherchons d abord combien de nombres s écrivent avec 4 chiffres : il y en a En effet, de 1 à 9 999, il y a nombres parmi lesquels 999 s écrivent avec moins de 4 chiffres (ceux de 1 à 999). Puis, parmi les nombres de 4 chiffres, cherchons combien s écrivent sans utiliser le chiffre 0. Pour répondre à cette question, on peut imaginer un arbre de choix. Énoncé p. 17 Dans ce type de problème, il faut se demander s il n est pas plus simple de répondre à la question «contraire», à savoir ici, chercher combien de nombres de 4 chiffres s écrivent sans utiliser le chiffre 0. chiffre des milliers chiffre des centaines Pour chaque ordre d unités (milliers, centaines, dizaines, unités), il y a 9 possibilités (chiffres de 1 à 9) indépendantes les unes des autres. Le nombre total de nombres qui s écrivent avec 4 chiffres, sans 0, est donné par le calcul : = 9 4 = Comme = 2 439, il y a nombres de 4 chiffres qui s écrivent avec le chiffre 0. aexercice 2 Dans le cas de 5 personnes (A, B, C, D, E), on peut représenter les personnes par des croix et les poignées de main par des traits entre chaque croix. Ce schéma peut aider à mener deux raisonnements qui conduisent à la réponse : D A B Il peut être utile, pour «se faire une idée», de chercher la réponse dans un cas plus simple, par exemple en faisant un schéma. Énoncé p. 17 C E méthode 1 Si on prend la croix de la personne A, on constate que 4 traits en partent. En prenant une deuxième croix (personne B), on constate que 3 nouveaux traits en partent (en dehors de celui déjà considéré pour la première croix) Dans le cas du problème posé, cela revient à considérer une première personne (A) : elle serre la main à 49 autres. 18

20 LE COURS AU AU concours 1 méthodes de dénombrement La deuxième personne (B) serre la main à 48 autres personnes (la poignée de main avec la personne (A) ayant déjà été considérée). La troisième personne (C) serre la main à 47 autres personnes (les poignées de main avec les deux premières personnes (A) et (B) ayant déjà été considérées). Et ainsi de suite Le nombre total de poignées de mains est donc donné par la somme S : S = Pour calculer facilement cette somme, il est commode de l écrire «à l envers». On l obtient ainsi sous deux formes : S = S = Si on ajoute terme à terme ces 2 sommes, on obtient : 2S = (49 fois) Donc 2S = et S = = Le nombre de poignées de main est donc égal à méthode 2 On aurait pu établir ce résultat plus rapidement, à partir du raisonnement suivant : sur le schéma, on observe que 4 traits partent de chaque croix ; dans le cas de 50 personnes, cela revient à considérer que chaque personne serre la main à 49 autres personnes. On pourrait donc penser que le nombre total de poignées est égal à 49 50, mais ce serait oublier que chaque poignée de main est ainsi comptée deux fois (de la personne (A) vers la personne (B) et de la personne (B) vers la personne (A)). Il faut donc diviser ce résultat par 2, ce qui ramène au calcul : = exercice 3 Énoncé p. 17 Premier raisonnement On peut par exemple raisonner de la façon suivante : on commence par placer le jeton de la 1 re colonne : on a alors le choix entre 4 cases ; une case étant choisie dans la 1 re colonne, on place le jeton de la 2 e colonne : on n a alors plus que le choix entre 3 cases ; pour placer le jeton dans la 3 e colonne, on aura ensuite seulement le choix entre 2 cases ; pour placer le jeton de la 4 e colonne, il ne restera qu une possibilité. Soit au total 24 dispositions possibles ( = 24). Il s agit de dénombrer toutes les possibilités et donc de trouver une méthode de comptage qui permet de n en oublier aucune. Deuxième raisonnement La description des choix par un arbre (seulement amorcé ici) permet peut-être de mieux comprendre le raisonnement précédent et le calcul auquel il aboutit. nombres 19

21 QCM LE COURS AU CONCOURS a1 a2 b2 b3 b4 b1 b2 b3 c3 c4 d4 d a b c d a3 a4 corrigés Énoncé p. 17 PRoBLÈme ➊ On peut dénombrer les suites possibles selon leur longueur : suites de longueur 2 : elles peuvent commencer par chacun des nombres de 1 à 9 (donc 9 suites) ; suites de longueur 3 : elles peuvent commencer par chacun des nombres de 1 à 8 (donc 8 suites) Le nombre de suites va ainsi diminuer de 1 au fur et à mesure que la longueur augmente, la dernière suite ayant pour longueur 10. D où le nombre total de suites : = 45. ➋ Avec le même raisonnement, sur des suites de longueur 2 à 100, on arrive au nombre total de suites de : La méthode la plus simple pour calculer cette somme consiste à l écrire deux fois (comme dans l exercice 2 p. 19) : S = S = En ajoutant terme à terme, on obtient : 2S = (99 fois) 2S = = et S = Le nombre de suites possibles est donc égal à méthode générale Dans l exercice 2 et le problème, on a été amené à calculer la somme de n premiers nombres entiers naturels. Ce calcul intervient assez fréquemment. Il est donc utile de se souvenir soit de la méthode qui permet de la calculer (écrire la somme «dans les deux sens» et ajouter terme à terme), soit de la formule correspondante : S = n + (n 1) + (n 2) S = (n 2) + (n 1) + n Si on ajoute terme à terme ces 2 sommes, on obtient : 2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) avec n + 1 ajouté n fois. n(n + 1) D où S =. 2 20