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2 STI2D-STL CH. N..MECANIQUE DES FLUIDES 1. INTRODUCTION : Un fluide peut être considéré comme étant formé d'un grand nombre de particules matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres. Un fluide est donc un milieu matériel continu, déformable, sans rigidité et qui peut s'écouler. Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz. Masse volumique : c est la masse par unité de volume. Elle est constante dans le cas des liquides (ρ eau = 1000kg/m3) ρ= m/v avec m en kg ; V en m 3 et ρ en kg/m 3 Densité : c est le rapport de la masse volumique du corps étudié par rapport à celle d un corps de référence. d= ρ fluide / ρ référence sans unité Pression : La pression est le rapport de l intensité de la force pressante sur l aire S de la surface pressée : P=F/S avec F en Newton ; S en m 2 ; et P en Pa La pression en un point ne dépend pas de l orientation de la surface sur laquelle s exerce cette pression. On peut parler de pression autour d un point. Unités utilisées : 1 bar=10 5 Pa ; 1hPa=100Pa Remarques : La pression est la même en tout point d un plan horizontal : Incompressibilité : Le volume d une masse donnée de liquide ne varie pas ; son volume et sa masse volumique sont constants. Exemples : de l eau, une solution aqueuse. Par opposition aux gaz. k_bodet_lycée_heinrich_haguenau 2

3 2. STATIQUE DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES : 2.1. Principe Fondamental de la Statique des Fluides : P 2 =P 1 +ρgh 1 Liquide 2 h ρ masse volumique du fluide en kg/m 3 g : accélération de pesanteur en m/s 2 h : hauteur en mètre Applications : Soit un fluide homogène, immobile, de masse volumique ρ=1000kg/m 3 : les points A et B du liquide possèdent une différence de profondeur égale à h. 1. De quoi dépend la pression au point A? 2. Que dit le principe fondamental de l hydrostatique? 3. Le liquide est de l eau, si P A = 1, Pa, quelle est la pression au point B? 4. A quelle différence de pression correspond 1m de colonne d eau? 5. A quelle différence de pression correspond 0,5 m Réponses : 1. De la hauteur d eau et de la pression atmosphérique. 2. Pb-Pa= ρgh 3. Pb=1,03bar 4. Pb-Pa=0,1bar 5. Pb-Pa=0,67bar de colonne de mercure? Données : Masse volumique de l eau : kg/m 3 Masse volumique du mercure : 13, kg/m 3 Accélération de la pesanteur g = 9,81 m.s -2 Les lois de la mécanique des fluides s'observent dans de nombreuses situations de la vie quotidienne. Par exemple, la pression P 2 sur la partie inférieure d'un tube de 15 m de longueur et rempli d'eau est identique à celle qui s'exerce au fond d'un lac rempli d'eau de 15 m de profondeur (P 1 ). C'est cette même pression, s'exerçant sur l'extrémité supérieure du tuyau, qui provoque l'écoulement de l'eau dans le siphon (à droite). k_bodet_lycée_heinrich_haguenau 3

4 Remarques : La pression absolue : C'est la pression réelle, dont on tient compte dans les calculs sur les gaz. La pression atmosphérique ou pression barométrique : La pression atmosphérique moyenne au niveau de la mer, à 15 C, est d'environ 1013 mbar. Elle peut varier, de avec la pluie ou le beau temps. Elle est fonction de l'altitude (hydrostatique). La pression relative : C'est la différence de pression par rapport à la pression atmosphérique. Elle est le plus souvent utilisée, car la plupart des capteurs, sont soumis à la pression atmosphérique. Pour mesurer une pression Les differentes pressions absolu, il faut faire un vide poussé dans une chambre dite de référence. Pression différentielle : C'est une différence entre deux pressions, dont l'une sert de référence. Une pression différentielle peut prendre une valeur négative. Le vide : Il correspond théoriquement à une pression absolue nulle. Il ne peut être atteint, ni dépassé. Quand on s'en approche, on parle alors de vide poussé. Pression de service ou pression dans la conduite : C'est la force par unité de surface exercée sur une surface par un fluide s'écoulant parallèlement à la paroi d'une conduite La transmission de la pression dans un liquide Un liquide est incompressible, il transmet intégralement une variation de pression en l un de ses points à tous les autres points, d où la relation : S1 Liquide F2 S2 F1 F1/S1=F2/S2 Liquide ECOULEMENT PERMANENT D UN FLUIDE PARFAIT INCOMPRESSIBLE : Dans un écoulement permanent les vitesses sont indépendantes du temps. k_bodet_lycée_heinrich_haguenau 4

5 2.3. Généralités : Comment étudier l écoulement d un fluide incompressible? 1 ère méthode : 2 ème méthode: Raisonner sur la position de la particule. : Raisonner sur une particule de fluide Suivant le profil de la répartition des vitesses on raisonnera sur une section en prenant : la vitesse c à travers une section S constante (fig.6) ou bien la vitesse moyenne cm à travers la section S. 3.a. Le débit volumique Un fluide s écoule à l intérieur d un tube, l écoulement est permanent si les lignes de courant ne varient pas au cours du temps. Le débit volumique Q est le volume V de fluide écoulé par unité de temps, il s exprime par la relation : Qv=V/t Avec Qv en m 3 /s ; t en secondes ; V en m 3 Pour un écoulement permanent, le débit volumique Q d un fluide qui s écoule par une section S, à une vitesse v est égal au produit de cette vitesse par la section, ainsi : k_bodet_lycée_heinrich_haguenau 5

6 Qv=V/t=V/(d/c)=S.d/(d/c)=S.c Avec S en m 2 et c en m/s Exercice d application : Un jardinier rempli son arrosoir de 10 litres en 3 minutes. 1. Calculer le débit volumique du robinet. 2. Sachant que la section du robinet a un diamètre de 2 cm, calculer la vitesse d écoulement en sortie du robinet. Qv=V/t=10*10-3 /(3*60)=5, m 3 /s V=Qv/S=5, /(3.14* /4)=0.18m/s 3.b. Conservation du débit volumique Le fluide s écoule à l intérieur d un tube qui passe d une section S 1 à une section S 2, il passe également d une vitesse d écoulement v 1 à la vitesse v 2. Le débit volumique est le même à travers toute section d un circuit, donc le débit Q 1 au niveau de la première section est égal au débit Q 2. L équation de la conservation du débit s exprime par la relation : Le débit se conserve lors d un écoulement donc : Q=Q et S.c=S.c Nous constatons qu une section plus petite implique une vitesse d écoulement plus importante du liquide qui la traverse. Exercice d application : Un embout d arrosage de diamètre intérieur D 2 = 3 cm, est fixé sur un tuyau de diamètre intérieur D 1 = 8 cm. La vitesse d écoulement de l eau avant l embout est c 1 = 8 m.s Calculer la vitesse c 2 à la sortie de l embout d arrosage ; 2 Calculer le débit volumique du tuyau. 1. S1c1=S2c2 d où c2=56.9m/s 2. Qv=S1.c1= m 3 /s 3.c. Débit massique : Le débit massique Q est la masse de fluide écoulé par unité de temps, il s exprime par la relation : Qm=m/t Avec Qm en kg/s, t en seconde, m en kg. Relation entre Qm et Qv : Qm=ρQv k_bodet_lycée_heinrich_haguenau 6

7 EXERCICES D APPLICATION Questions de compréhension. 1- Par quel moyen augmente-t-on la pression exercée par une force pressante constante? 2- La pression est-elle plus importante dans une piscine ou dans un lac d'eau douce à la même profondeur? 3- Expliquer pourquoi l'épaisseur d'un barrage n'est pas constante. Faire un schéma. 4- Que se passe-t-il si l'on remplace l'huile d'un vérin par de l'air? Justifier pourquoi il est conseillé de changer le liquide du circuit de freinage d'une automobile tous les ans. 5- Que se passe-t-il si l'on monte à une altitude de 2000 mètres avec une poche de chips et un yaourt nature produits à La Rochelle? Exercice 1 : 1- De l eau s écoule dans une conduite de 30,0 cm de diamètre à la vitesse de 0,50 m.s -1. Calculer le débit-volume en m 3.s -1 et L/min ; donner la valeur numérique du débit-masse. 2- Dans une conduite de 30,0 cm de diamètre, l eau circule avec un débit-volume de 1800 L/min. Calculer la vitesse moyenne d écoulement. Le diamètre devient égal à 15,0 cm ; calculer la nouvelle vitesse moyenne. 3- De l air circule dans une conduite de 15,0 cm de diamètre à la vitesse moyenne v 1 = 4,50 m.s -1. Calculer le débit-volume q v. 4- La pression manométrique est de 2,10 bar, la pression atmosphérique normale vaut 1013 mbar et la température est de 38 C. Exprimer le débit-masse q m en fonction des pressions et des températures puis faire le calcul numérique. Données : masse molaire de l air 29,0 g.mol -1 ; constante du gaz parfait : R = 8,32 J.mol -1.K -1. Relation donnant la masse volumique d un gaz (en fonction de la pression p et de la température T (voir annexe à la fin du document) Exercice 2 : On utilise en travaux pratiques une cuve verticale (voir schéma ci-dessous) remplie d eau ; on supposera que le niveau A dans la cuve est constant. Le fluide s écoule par un trou de diamètre D situé dans le fond de la cuve. L'eau sera considérée comme un fluide parfait incompressible. 1- Enoncer le théorème de Bernoulli pour un fluide parfait en précisant la signification des différents termes. 2- Appliquer la relation de Bernoulli entre les points A et B et déterminer l expression littérale de la vitesse v B au niveau du trou. 3- Donner la relation permettant de calculer le débit-volume théorique q v au point B. 4- Calculer numériquement la vitesse v B et le débit-volume q v au point B. 5- En fait le débit réel vaut 0,92 L/s. Comparez à la valeur trouvée dans la question 4. Justification? k_bodet_lycée_heinrich_haguenau 7

8 6- On explique en partie cette différence par une contraction de la veine liquide à la sortie de l orifice. En déduire le diamètre D de la veine liquide à la sortie de la cuve. Valeurs numériques : H = 0,82 m D = 2,0 cm. (eau) = 1000 kg.m -3. g = 9,81 m.s -2. Exercice 3 : Convergent : R1 V1 R2 V2 L On veut accélérer la circulation d un fluide parfait dans une conduite de telle sorte que sa vitesse soit multipliée par 4. Pour cela, la conduite comporte un convergent caractérisé par l angle (schéma ci-dessus). 1- Calculer le rapport des rayons R 1 /R 2. Application numérique. 2- Calculer ( R 1 - R 2 ) en fonction de L et. En déduire la longueur L. (R 1 = 50 mm, = 15 ) k_bodet_lycée_heinrich_haguenau 8

9 Exercices I- L'écran du tube cathodique d'un téléviseur est assimilé à un rectangle de cm. l'intérieur. Calculer la force pressante exercée sur l'écran par l'atmosphère si le vide parfait règne à II- Les quatre pneus d'un véhicule sont gonflés à une pression de Pa et son chacun au contact du sol sur une surface de 40 cm 2. Quel poids supportent-ils? III- Une éprouvette est retournée sur une cuve à eau. On fait brûler du phosphore à l'intérieur de cette éprouvette ; l'eau monte dans l'éprouvette. Que peut-on en conclure quant à la pression du gaz qui reste à l'intérieur de l'éprouvette? IV- La pression intérieure p i d'un ballon de football doit vérifier la condition ci-dessous : 0,7 bar p i p atm 1 bar avec p atm = 1013 hpa Calculer les valeurs limites de la force pressante exercée par le gaz intérieur sur l'enveloppe. Donnée : diamètre réglementaire d'un ballon D = 222 mm aire d'une sphère S = 4 R 2 V- Les hémisphères de Magdebourg Cette expérience fut réalisée par Otto de Guericke, devant l'empereur Ferdinand III et la diète de Ratisbonne en La force de 8 chevaux tirant de chaque côté fut nécessaire pour séparer les deux hémisphères. La pression atmosphérique est de 10 5 Pa et l'on suppose le vide parfait dans les hémisphères de 80 cm de diamètre. Quelle est l'intensité de la force nécessaire? VI- La pression de l'eau à un robinet est de Pa. Quelle est la hauteur de la surface libre au-dessus du robinet? VII- Le record du monde de plongée en apnée est de 112 m. k_bodet_lycée_heinrich_haguenau 9

10 3 ). VIII- Une voie d'eau de forme circulaire et pratiquement horizontale s'est déclarée à fond de cale. Son rayon est de 10 cm et son centre se trouve à 3,10 m au-dessous du niveau de la mer. Avec quelle force faut-il maintenir un tampon pour boucher la voie d'eau? IX- Pour l'exploitation d'une mine de sel gemme on perce un trou de sonde dans lequel on introduit deux tubes concentriques. Dans le tube annulaire, long de 100 m, on verse de l'eau. On obtient une solution saline de densité 1,3. A quelle distance du sol la solution s'élèvera-t-elle dans le tube central? Réponse : 23,1 m X- Une pompe aspirante crée une dépression maximale de 400 hpa. À quelle hauteur maximale doit-on la placer pour pouvoir remonter l'eau d'un puits? XI- Un pont de 200 tonnes doit être soulevé par une presse hydraulique ; on dispose d'eau sous une pression de pascals. Quelle section faut-il donner au piston qui soutient le pont? XII- Une force d'intensité F 1 de 2000 dan est appliquée sur le petit piston d'une presse hydraulique. F 1 1- Calculer l'intensité F 2 de la force exercée par le grand piston. S 1 = 2 cm 2 S 2 = 200 cm 2 2- Déterminer le déplacement d 2 du grand piston si le petit piston se déplace de d 1 = 5 cm. XIII- Les sections des pistons d'un cric sont de 1 cm 2 et de 20 cm Calculer le rapport de transmission du système hydraulique. 2- Calculer le déplacement L du grand piston sachant que le petit piston a une course l de 2 cm à chaque coup de pompe. 3- Calculer le nombre de coup de pompe pour soulever une voiture de 20 cm. k_bodet_lycée_heinrich_haguenau 10

11 XIV- Le rapport des bras de levier d'une presse hydraulique manuelle est égal à 10 et le rapport des sections des pistons est de Calculer l'intensité de la force transmise pour une force appliquée de 100 N. 2- Déterminer l'intensité de force nécessaire pour que la force développée soit de N. 3- Montrer que le rapport S 2 s peut être remplacé par D. d k_bodet_lycée_heinrich_haguenau 11