5 Chapitre 5. Pseudo-primalité

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1 Chapitre 5 Chapitre 5. Pseudo-primalité Nous poursuivons l investigation autour de la réciproque du théorème de Fermat : après avoir vu le théorème de Lehmer dans le chapitre précédent, nous nous intéressons de plus près aux entiers non premiers qui vérifient le théorème de Fermat. Leur étude apporte de nombreuses informations Sommaire Chapitre 5. Pseudo-primalité Nombres pseudo-premiers de base a Que sont ces nombres? Recherche systématique Vers un test de primalité? Les nombres de Carmichael Test de primalité de Fermat Nombres pseudo-premiers forts Une propriété intéressante des nombres premiers Les nombres pseudo-premiers forts Établir la liste des nombres pseudo-premiers forts Vers un test de primalité Vers un test de primalité probabiliste (dit de Miller-Rabin) Christian Vassard (IUFM Rouen)

2 104 Mathématiques et TI-Nspire 1. Nombres pseudo-premiers de base a 1.1 Que sont ces nombres? On a vu précédemment que la réciproque du théorème de Fermat était fausse : mais elle n est fausse que pour quelques nombres composés, plutôt rares comme on l a vu, et qu il peut être intéressant de mieux connaître. Ces nombres, qui se comportent du point de vue du théorème de Fermat comme des nombres premiers 1, sont appelés pseudo-premiers, comme le précise la définition suivante. Définition Soit a un entier > 1. Un entier n 2 est dit pseudo-premier de base a si : n n est pas premier ; a n 1 1 (mod n). Remarquons que, lorsque n est un nombre pseudo-premier de base a, n et a sont alors nécessairement premiers entre eux. Écrire en effet que a n 1 1 (mod n) revient à affirmer l existence d un entier k tel que a n 1 1 = kn, soit a n 2 a k n = 1. Le théorème de Bézout permet de conclure que n et a sont premiers entre eux. 1.2 Recherche systématique Le tableur peut être employé pour lister directement les nombres pseudo-premiers de base 2 par exemple, compris entre deux entiers donnés. Les valeurs 2 et sont stockées dans les variables m et n, la base dans la variable a. Remarquez bien la formule saisie dans la zone grisée de la colonne F : elle illustre une nouvelle fois l efficacité de void. Cette formule permet de lister les entiers entre 2 et qui vérifient une propriété, et seulement eux. 1 Sans en être... 2 Avec la calculatrice, entre 2 et 1000 semble plus raisonnable

3 Pseudo-primalité 105 Le seq, combiné avec le when, met à void (vide) les entiers qui ne vérifient pas la propriété ; le delvoid les supprime de la liste. Rien n oblige d ailleurs à passer par le tableur. L instruction précédente peut être directement dans l application Calculs, en précisant toutefois les valeurs de a, m et n : Enfin et plus classiquement, une fonction dirait la même chose, en étant sans doute un peu plus i 1 a 1 mod i. Si rapide : un tel nombre i d une part n est pas premier et d autre part doit vérifier l on rencontre un tel i, il suffit de le mémoriser dans la liste l. En demandant nos recherches entre 2 et 10000, les résultats sont les suivants : nombre pseudo-premiers de base 2, parfois appelés nombres de Poulet : 341, 561, 645, 1 105, 1 387, 1 729, 1 905, 2 047, 2 465, 2 701, 2 821, 3 277, 4 033, 4 369, 4 371, 4 681, 5 461, 6 601, 7 957, 8 321, 8 481, 8 911, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ; nombres pseudo-premiers de base 3 : 91, 121, 286, 671, 703, 949, 1 105, 1 541, 1 729, 1 891, 2 465, 2 665, 2 701, 2 821, 3 281, 3 367, 3 751, 4 961, 5 551, 6 601, 7 381, 8 401, 8 911, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ;

4 106 Mathématiques et TI-Nspire nombres pseudo-premiers de base 5 : 4, 124, 217, 561, 781, 1 541, 1 729, 1 891, 2 821, 4 123, 5 461, 5 611, 5 662, 5 731, 6 601, 7 449, 7 813, 8 029, 8 911, 9 881, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ; nombres pseudo-premiers de base 7 : 6, 25, 325, 561, 703, 817, 1 105, 1 825, 2 101, 2 353, 2 465, 3 277, 4 525, 4 825, 6 697, 8 321, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Vers un test de primalité? On peut montrer que les nombres pseudo-premiers de base a quelconque sont en nombre infini. Voici par exemple le nombre d entiers pseudo-premiers de base 2 inférieurs à la borne indiquée : Borne Nombre Ils sont cependant beaucoup moins nombreux que les nombres premiers. Ainsi, il y a seulement 245 nombres pseudo-premiers de base 2 inférieurs à 1 million contre nombres premiers D où l idée d un test pour savoir si un entier n est premier ou non Car finalement, dès l instant que 2 n 1 1 (mod n) 3, on peut être sûr soit que n est premier (c est très probable 4 ), soit que n est pseudo-premier de base 2 (beaucoup moins probable d après les remarques précédentes). C est le cas par exemple avec l entier : On peut alors se dire qu il suffit de tester d autres bases que 2 et penser que n a d autant plus de chances d être premier qu il se comporte comme un nombre premier pour de nombreuses bases. C est d ailleurs le cas pour notre entier , qui est pseudo-premier pour toutes les bases de 2 à 100 comme on peut le voir ci-dessous : 3 Sinon, on est sûr que n est composé, comme nous l avons vu plus haut. 4 On peut estimer cette probabilité pour un nombre inférieur à 10 6 à /( ) 99,7%, ce qui est très confortable!

5 Pseudo-primalité 107 Sauf qu il existe effectivement des nombres pseudo-premiers n pour toutes les bases 5 a... Pour ceuxlà, la répétition du test n apporte aucune certitude supplémentaire D ailleurs, quand on observe les listes de nombres pseudo-premiers obtenues précédemment, cela semble être le cas pour 561, ou Ou qui sait? De tels nombres sont appelés nombres de Carmichael, en hommage au mathématicien américain Robert Carmichael ( ) qui les a étudiés au début du XX e siècle. 1.4 Les nombres de Carmichael Définition Soit n un entier. Un entier n composé est un nombre de Carmichael lorsque, pour tout entier a premier avec n, on a a n 1 1 (mod n). Ainsi l examen des listes précédentes semble montrer que 561 est un nombre de Carmichael. Prouvons-le! Autrement dit, montrons que ce nombre entier est pseudo-premier pour toutes les bases a telles que pgcd(561, a) = 1. Cela semble se confirmer si l on fait quelques autres essais, en excluant 3, 11 et 17 car 561 n est premier avec aucun de ces nombres : 5 Telles que pgcd(n, a) = 1...

6 108 Mathématiques et TI-Nspire Supposons donc que a soit premier avec 561. Comme 561 = , remarquons aussi que a est premier avec 3, ainsi qu avec 11 ou 17, qui sont les trois facteurs premiers de 561. L application du petit théorème de Fermat conduit aux congruences suivantes : a 2 1 (mod 3) ; a 10 1 (mod 11) ; a 16 1 (mod 17). Il est alors essentiel de remarquer que 560 est un multiple de 2, de 10 mais aussi de 16. Ce qui permet de déduire des congruences précédentes que : a 560 = (a 2 ) (mod 3) ; a 560 = (a 10 ) 56 1 (mod 11) ; a 560 = (a 16 ) 35 1 (mod 17). Des deux premières congruences, on tire : a = 3k = 11q, avec k et q entiers. D après le théorème de Gauss, comme 11 divise 3k et est premier avec 3, 11 divise k : il existe donc un entier naturel k tel que k = 11k. Finalement a = 3 11 k. La troisième congruence donne : a = 17r, avec r entier. Donc 3 11 k = 17r et le même raisonnement montre que 17 divise k. Il existe donc un entier k tel que 17k = k. Ceci prouve que : soit encore a = k a (mod = 561) (on aurait pu conclure directement à partir des trois congruences initiales en remarquant que 3, 11 et 17 sont premiers entre eux deux à deux). Bref, 561 est donc bien un nombre de Carmichael. Le même raisonnement s appliquerait d ailleurs à un entier n s écrivant sous la forme pi et tel que p i 1 divise n 1. C est le cas par exemple des entiers ou 1 729, que nous avions remarqués dans les listes, ainsi d ailleurs de , ainsi que le montre l écran suivant :

7 Pseudo-primalité 109 Rien n empêche, sur la base de ce critère, de lister les nombres de Carmichael parmi les pseudopremiers de base 2. On reprend le même principe que dans les exemples précédents et on est sûr que l on a 0 dans toutes les divisions, et donc un nombre de Carmichael du type précédent, lorsque la somme des quotients vaut 0 : On obtient la liste suivante : soit les 32 nombres de Carmichael suivants : 561, 1 105, 1 729, 2 465, 2 821, 6 601, 8 911, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Il n en manque aucun, parmi ceux qui sont inférieurs à Bien que rien ne le garantisse, notre méthode a permis de récupérer l intégralité des nombres de Carmichael inférieur à , qui vérifient tous la même propriété que 561. Il y en a très peu. Ci-dessous le tableau donnant le nombre de nombres de Carmichael inférieurs à une borne donnée : Borne Nombre On a démontré récemment (en 1992) qu il y a une infinité de nombres de Carmichael. 6 Et en voilà d autres, donnés toujours par mon ordinateur qui refuse de baisser les bras dans cette recherche : { , , , , , , , , , , }. 7 Voir par exemple

8 110 Mathématiques et TI-Nspire 1.5 Test de primalité de Fermat L étude précédente conduit à conclure que si p est composé, alors a p 1 est de façon très improbable congru à 1 modulo p pour une valeur arbitraire de a, ce qui représente une sorte de réciproque p 1 a 1 mod p, alors p est très probabiliste du théorème de Fermat. On considèrera donc que si probablement premier. L idée est de tester plusieurs base a différentes : au pire, on tombera sur un nombre de Carmichael et on se trompera, mais ils sont très peu nombreux. Le principe précédent est mis en œuvre dans ce que l on appelle le test de primalité de Fermat. Nous avons choisi de tester l entier n avec 4 bases «témoins» 2, 3, 5 et 7 en calculant 2 n 1, 3 n 1, 5 n 1 et 7 n 1 modulo n 8. si l un de ces nombres n est pas égal à 1, on est sûr que n est composé, d après la contraposée du théorème de Fermat ; si les quatre nombres valent 1, il est extrêmement probable que n soit premier ; sinon n est un nombre de Carmichael ou simplement pseudo-premier à la fois des bases 2, 3, 5, 7. Comme on sait par exemple qu il n existe que 1547 nombres de Carmichael inférieurs à contre nombres premiers, la probabilité qu il soit premier est donc d environ soit 99,9997 % Plus on utilise de témoins, plus le risque que n soit considéré comme premier à tort diminue, sauf si n est un des quelques «rares» nombres de Carmichaël qui «dupent» tous les témoins, tout en étant composés. Le choix de quatre témoins est un compromis entre la précision, et le temps de calcul. Ci-dessous la fonction «probabiliste» estpremp. Dire que chaque appel de pwrmod donne 1 équivaut à dire que le produit des résultats renvoyés vaut 1 : c est le test que nous avons choisi de faire ci-après. Les résultats sont spectaculaires, même pour des nombres de très grande taille : 8 C est exactement la méthode employée par le programme de chiffrage PGP pour examiner si les grands nombres aléatoires qu'il choisit sont premiers.

9 Pseudo-primalité 111 Comme prévu, un entier comme , nombre de Carmichael, est considéré comme premier : pas de chance! Par contre, 561, lui aussi nombre de Carmichael, mais aussi multiple de 3, ne renvoie pas 1 à l un des tests 9 ce qui nous sauve! 2. Nombres pseudo-premiers forts Où l on se rend compte que le sujet des pseudo-premiers, loin d être épuisé, ouvre encore de nouvelles perspectives! 2.1 Une propriété intéressante des nombres premiers 2 Soit n un entier premier. Dire que x 1 mod n n. Démonstration équivaut à dire que x 1 ou x 1 modulo 2 2 En effet si l on a x 1 mod n, alors on peut en déduire que x 1 0 mod n x 1 x 1 0 mod n soit finalement que x 1 x 1 kn avec k. ou que Donc n premier divise le produit (x 1)(x + 1) : ou il divise (x 1), ou il divise (x + 1). Autrement dit x 1 ou x 1 modulo n. La réciproque est immédiate. Exemples Observons ce qui se passe avec un nombre premier impair, comme On sait d après le théorème de Fermat que 2 n 2 1 entier pair, ce qui permet d appliquer le résultat précédent : modulo n. Or n 1 est forcément un n n n 1 n On est donc sûr a priori que : 2 1 ou 2 1 modulo n. La calculatrice montre que c est la première congruence qui est vérifiée. Mais n 1 n 1 = est encore divisible par 2 et : rien n empêche de continuer. 2 9 Il est impossible que (mod 561) puisque 3 n est pas premier avec 561

10 112 Mathématiques et TI-Nspire Cette fois-ci, on sait que l on aura soit vraie. n soit n : c est ici la seconde congruence qui est Avec n , on ne peut plus appliquer le théorème on s arrête là! Tout ceci peut d ailleurs se résumer dans une feuille de calcul (voir les instructions utilisées sur les différentes figures ci-dessous). On retrouve ce que l on a observé ci-dessus c est-à-dire une succession de 1, puis 1 puis un nombre quelconque : Dans la colonne C, la division par 2 est effectuée tant que c est possible. Dans la colonne D, on calcule avec pwrmod les différents n k modulo n. Quand on a 1, on peut avoir 1 ou 1 dans la cellule au dessous ; quand on a 1, on ne peut rien dire de ce qui vient après. Un autre exemple où l on ne rencontre jamais 1 : deux fois le reste 1... et on s arrête car on ne peut plus diviser le nombre par 2 :

11 Pseudo-primalité 113 Voici donc ce que l on peut attendre d un nombre premier impair : une succession de 1 ou encore une succession de 1 puis 1 puis n importe quel nombre. C est ce comportement que nous allons essayer de retrouver sur des entiers composés que nous appellerons pseudo-premiers forts : les contraintes étant importantes, les nombres composés ressemblant aux nombres premiers du point de vue de cette propriété seront relativement rares 2.2 Les nombres pseudo-premiers forts On peut en donner la définition suivante : Soit n un nombre entier impair ; n 1 est pair, et en factorisant autant que possible l entier 2 (au moins une fois), on peut écrire n 1 = 2 s m où m est un entier impair. L entier composé n sera dit pseudo-premier fort de base a si : m ou bien a 1 modulo n ; 2 ou bien il existe un entier q, 0 q s 1, q m a 1 modulo n. Dans le premier cas, on a une succession de 1 qui s arrête quand la division par 2 n est plus possible ; dans le deuxième, on a rencontré 1, après une série de 1, puis un nombre quelconque. Cela correspond aux deux types de comportements que nous avons relevés sur les nombres premiers. Remarquons qu un entier n pseudo-premier fort de base a est nécessairement un nombre pseudopremier de base a. Il est en effet immédiat de montrer que, dans les deux cas de la définition, n 1 a 1 mod n. La réciproque est fausse, comme nous le verrons juste après. Exemple Déterminons des nombres pseudo-premiers forts de base 2 Ils sont à rechercher, s ils existent, parmi les pseudo-premiers de base 2, dont la liste commence, on l a vu, par 341, 561, 645, 1 105, 1 387, 1 729, et Pour tous ces entiers, par définition, on a 2 n 1 1 (mod n)... Lesquels d entre eux sont des pseudo-premiers forts?

12 114 Mathématiques et TI-Nspire Non pour Pas plus pour Ni pour 645! Non plus pour 1105! Niet pour 1387! Ceinture aussi pour 1729

13 Pseudo-primalité 115 Rideau aussi pour 1905 Et pour 2047? C est le premier que l on trouve! Les nombres pseudo-premiers forts de base 2 semblent donc beaucoup plus rares que les pseudopremiers... Tellement rares que nous n en avons déniché qu un seul! Employons les grands moyens... un programme sur la calculatrice! 2.3 Établir la liste des nombres pseudo-premiers forts Soit donc à vérifier si un entier impair n est pseudo-premier fort de base a. Excluons les cas où n est premier, égal à 1 ou pair, bien sûr. Le programme est basé sur une boucle où l on calcule a p modulo n, en partant de p = n 1 et en divisant l exposant par 2, tant que c est possible. On sort de cette boucle, lorsque la division par 2 n est plus possible ou parce que le résultat r de la congruence n est plus 1. On peut alors décider si le nombre est pseudo-premier fort : c est le cas lorsque r = 1 (cela veut dire que la suite de tous les résultats a été 1) ou lorsque r = 1. Le code est le suivant :

14 116 Mathématiques et TI-Nspire On peut par exemple vérifier avec cette fonction que est un entier pseudo-premier fort, mais pas 341 ou 561. Il est alors possible de dresser la liste des nombres pseudo-premiers forts de base 2, avec select_range de la bibliothèque numtheory. Ces nombres sont relativement rares, plus rares bien sûr que les pseudo-premiers : on comprend aisément qu il devient difficile pour un nombre composé d être aussi proche d un nombre premier pour ces propriétés de congruence. En étant très patient, et avec le logiciel, on obtient les résultats suivants : liste des pseudo-premiers forts de base 2 inférieurs à : 2 047, 3 277, 4 033, 4 681, 8 321, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ; liste des pseudos-premiers forts de base 3 inférieurs à : 121, 703, 1 891, 3 281, 8 401, 8 911, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , On remarque qu il n existe pas de nombre pseudo-premier fort à la fois de base 2 et 3 inférieurs à En existe-t-il pour autant? Une recherche plus approfondie avec le logiciel, mais très longue et pénible, montre qu entre 1 et , les seuls pseudo-premiers forts de base 2 et 3 sont les entiers : , , , , , , Le plus petit nombre pseudo-premier fort à la fois de base 2 et 3 est donc

15 Pseudo-primalité 117 D autres calculs ont été faits, dont les résultats suivent : Bases Plus petit nombre simultanément pseudopremier fort par rapport à ces bases , , 3, , 3, 5, , 3, 5, 7, , 3, 5, 7, 11, , 3, 5, 7, 11, 13, , 3, 5, 7, 11, 13, 17, , 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, , 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, , 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 N = Vers un test de primalité Modifions le test pspf pour que les nombres premiers le passent positivement, en plus des pseudopremiers forts. Pour des raisons qui apparaîtront plus tard, nous choisissons cette fois de renvoyer 1 si le nombre passe le test, 0 sinon. 10 Nous appelons ce très grand entier de 29 chiffres N, car nous nous en servirons un peu plus loin.

16 118 Mathématiques et TI-Nspire Nous sommes maintenant en mesure de construire un nouveau test de primalité. Pour s assurer à coup sûr de la primalité d un nombre plus petit que le dernier, N, écrit dans le tableau de la page précédente (N possède 29 chiffres), au plus 11 tests de pseudo-primalité forte sont nécessaires. Et si l on considère un nombre plus grand que N, on introduit un risque, minime, d avoir affaire avec un nombre pseudo-premier fort. Dans la fonction qui suit, nous avons mis dans une liste l les nombres du tableau de la page précédente et dans une liste p les nombres premiers correspondants, de 2 à 31. On peut affirmer que : pour un nombre strictement inférieur à = l[1], s il franchit le test avec le témoin 2 = p[1], c est qu il est premier ; pour un nombre compris entre = l[1] et = l[2], s il franchit le test pour les témoins 2 = p[1] et 3 = p[2], c est qu il est premier.... pour un nombre compris entre les deux derniers entiers du tableau l[10] et l[11], s il franchit le test pour les témoins premiers entre 2 = p[1] et 31 = p[11], c est qu il est premier. Au-delà de N, le plus grand entier du tableau, on n a plus la certitude que le nombre soit premier lorsqu il franchit les tests de pseudo-primalité forte, mais une probabilité proche de 1. Par exemple, N lui-même franchit le test pour les témoins premiers entre 2 et 31 mais n est pas lui-même premier au demeurant on sait que les nombres pseudo-premiers forts sont beaucoup plus rares que les nombres pseudo-premiers eux-mêmes beaucoup plus rares que les nombres premiers. Écrivons donc une fonction estprem à partir de ces remarques. La boucle While permet de positionner n dans la liste l. L indice i obtenu est tel que soit n < l[1] avec i = 1 (faire par exemple tourner la boucle avec n = 2000) ;

17 Pseudo-primalité 119 soit l[i 1] n < l[i] (faire par exemple tourner la boucle avec ou ) ; soit n est supérieur ou égal à la dernière valeur soit i = 11. En fonction de la position, on exécute les tests de pseudo-primalité forte qui correspondent. Les résultats sont relativement rapides, même pour des nombres très grands Le dernier nombre testé, un nombre de Mersenne, possède 386 chiffres, et la réponse est donnée en une poignée de secondes à l ordinateur 12. Au demeurant, on est sûr que ce nombre est premier ou pseudo-premier fort pour toutes les bases considérées dans le test. 2.5 Vers un test de primalité probabiliste (dit de Miller-Rabin) Miller a démontré le théorème suivant, qui porte aujourd hui son nom : Soit n un nombre impair et composé, alors il ne peut passer avec succès qu au plus n/4 des tests de primalité forte pour des bases b telles que 2 b n 1. Autrement dit, si on lui fait passer un test de primalité forte, avec une base convenablement choisie, il a une chance sur 4 de le passer avec succès : il a donc une chance sur quatre qu on le prenne pour un nombre premier alors qu il est composé. Si maintenant il passe avec succès le test pour une autre base, on a le même résultat. Comme les événements sont indépendants, sur l ensemble des deux tests, il aura une probabilité de 1 d être pris 16 pour un premier alors qu il est composé. Sur l ensemble de k tests, la probabilité passe à diminue assez vite comme le montre l écran suivant : 1 4 k ; elle 11 Jusqu à 28 chiffres, on est sûr du résultat obtenu... Pour un nombre de 28 chiffres, la méthode des divisions successives demanderait jusqu à la racine carrée du nombre environ 0, divisions soit, à raison de 30 ou 40 divisions à la seconde pour une Voyage 200, quelque secondes... disons plus de années! 12 Aussi vite qu avec isprime.

18 120 Mathématiques et TI-Nspire En pratique, on procède ainsi : soit n un nombre à tester, on choisit aléatoirement k bases de tests, chacune comprise entre 1 et n 1. Si n passe tous les tests, alors il y a moins d une chance sur 4 k pour que n soit en fait composé. On peut donc annoncer qu il est premier avec une probabilité de k, qui devient vite très grande! Enfin voici le programme pour tester si un entier naturel n est premier, en utilisant k bases choisies au hasard : Quelques précautions sont prises, en particulier au niveau du choix du nombre au hasard : pas de problème si n ne dépasse pas 10 12, le choix est bien fait avec randint(2,n 1) ; sinon on plafonne le maximum à car la fonction randint ne fonctionne plus avec des valeurs trop grandes. On dispose ainsi d un test de primalité probabiliste, et l on peut augmenter autant que l on veut la probabilité qu un nombre soit premier : ce qui de prime abord peut paraître étonnant, car en arithmétique, le fait qu un nombre soit premier ou pas ne relève pas du hasard

19 Pseudo-primalité 121 Au demeurant, le principe du test de Miller Rabin est très efficace quand il s agit de produire de très grands nombres «très probablement» premiers, notamment pour les besoins de la cryptographie. Ainsi par exemple, le nombre , qui possède 280 chiffres, est premier avec une probabilité 1 de 1, soit quasiment 1 comme le montrent les écrans suivants : 4 32 Alors, premier ou pas?