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1 CHAPITRE 7. FLEXION Déinitions et exemples Flexion pure Glissement et cisaillement dans les pièces léchies Flexion simple Appuis et charges Types d appuis Charges supportées par les poutres et les planchers Diagrammes des moments léchissants et des eorts tranchants Conventions de signes Diagrammes des moments léchissants Applications A) Poutre sur deux appuis : charge ponctuelle B) Poutre sur deux appuis soumise à une charge uniormément répartie sur la partie droite C) Poutre soumise à une charge ponctuelle et répartie Relation entre le M, le V et le type de charge A) Relations entre le moment léchissant et l eort tranchant B) Relations entre le type de charges et l allure des diagrammes des moments léchissants et des eorts tranchants C) Relation entre le moment léchissant et la déormée d une poutre D) Relation entre le type de charge et la position du moment léchissant maximum d une poutre E) Trucs et astuces Distribution des contraintes normales dans une section droite Généralités Relation ondamentale Distribution des contraintes tangentielles dans une section droite Choix de la orme de la section droite En lexion A) Cas des matériaux ductiles B) Cas des matériaux ragiles En cisaillement Section(s) dangereuse(s) d une poutre Contraintes admissibles En lexion En cisaillement Déormation de lexion des poutres isostatiques Calcul de la lèche en un point : Méthode des aires A) Théorie B) Exemples C) Récapitulati - Résumé Calcul de la lèche en un point : Méthode diérentielle Flèche admissible Applications Calcul (simpliié) d une dent de roue dentée (engrenage cylindrique) Calcul de poutres de plancher Charges roulantes A) Charge roulante unique Version du 4 mai 01 (11h03)

2 CHAPITRE 7. FLEXION 7.1. Déinitions et exemples Flexion pure La lexion pure est un état de charge tel que, dans toute section droite d une pièce, il n existe qu un moment léchissant M. Ce moment léchissant doit être constant. La igure ci-contre donne un exemple d une barre soumise à lexion pure. Les deux couples C agissent dans un plan de symétrie longitudinal de la poutre : dès lors, en eectuant une coupure suivant une section droite quelconque, on constate que tous les eorts internes y sont nuls sau le moment léchissant autour de l axe Oz (perpendiculaire au plan dans lequel ce trouve la poutre) qui est constant et égal à C. Par des considérations de symétrie, on peut montrer que toute section droite de la barre le reste après déormation. ig Le moment léchissant étant, par déinition, constant, la barre se déormera partout de açon identique. Elle adoptera donc une courbure constante en prenant la orme d un arc de cercle Glissement et cisaillement dans les pièces léchies La rupture par glissement et cisaillement se produit dans un corps quand, par suite des charges qui agissent sur lui, une partie de ce corps glisse par rapport à l autre partie, les eorts intérieurs que la matière subit ayant dépassé la résistance à la rupture. Ce genre d eort intérieur se produit également dans les pièces léchies. Deux exemples simples permettent de s en rendre compte. Supposons qu une poutre soit ormée d une série de blochets B juxtaposés et serrés l un contre l autre par un étau, comme le montre la première igure ci-dessous. Plaçons cette poutre sur deux appuis C et D et chargeons-là d une série de orces F. La poutre étant ainsi sectionnée suivant les sections S, il est évident que les blochets B vont glisser les uns par rapport aux autres et, par exemple, vont se présenter à un moment donné dans les positions données par la seconde igure ci-dessous. R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

3 ig Ces déplacements par glissement étaient à prévoir puisque la matière manque de continuité suivant les plans S. Dans ces plans la résistance de la matière est nulle, seul le serrage des blochets par rottement les uns contre les autres s opposent à leur déplacement par glissement. Dans la mesure du possible les poutres léchies sont d une seule pièce, cependant elles présentent la même tendance au glissement transversal et si la résistance de la matière est insuisante, les mêmes déplacements verticaux auront tendance à se produire également. Dans la grande majorité des cas ces eorts tranchants sont négligeables par rapport aux autres eorts sollicitant la poutre, il audra cependant en tenir compte au moment de la conception des poutres soumises à lexion (raidisseurs aux appuis). Supposons en second lieu que la poutre léchie soit constituée d une série de planches empilées et posées sur les appuis C et D. Une charge F ait léchir l ensemble. ig L expérience très simple à réaliser, montre que chacune des planches léchit et s incurve pour son propre compte, ce qui les oblige à glisser les unes par rapport aux autres dans le sens longitudinal. Les extrémités des planches qui, avant l application de la charge F, se trouvaient en coïncidence dans un même plan AA et BB, ne le sont plus après déormation. La seule résistance opposée à ce glissement longitudinal provient du rottement des planches les unes sur les autres. En réalité, on ne tient compte de ce glissement que dans les calculs des soudures ou des rivets des poutres composées. R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

4 Flexion simple Il apparaît donc dans les sections transversales d une barre, en même temps que les moments de lexion, des eorts tranchants, d où : La lexion simple est un état de charge tel que dans toute section droite d une pièce il n existe qu un moment léchissant M et un eort tranchant V associé. La lexion simple entraîne sur toute la section perpendiculaire à la ibre moyenne de la pièce des contraintes normales et tangentielles. Ces dernières provoquent un gauchissement des sections droites. Touteois, la déormation du plan des sections transversales n inlue pas d une açon notable sur la grandeur des contraintes normales. ig L erreur que l on commet en ne tenant pas compte de cette déormation dans le calcul des contraintes normales est aible (voir nulle si l eort tranchant est constant). Une barre travaillant principalement à la lexion est appelée poutre. Un exemple concret de poutre isostatique soumise à lexion simple est donné à la igure cidessous. Les charges sont toujours appliquées dans un plan longitudinal de symétrie. En eectuant une coupure au droit de la charge P, on constate que comme eorts internes, il existe un moment léchissant M et un eort tranchant V. ig R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

5 7.. Appuis et charges 7..1 Types d appuis Si on se limite au cas plan, on rencontre trois types d appuis : ig ) l encastrement : Degré de liberté : aucun. D où l encastrement interdit tout mouvement (horizontal, vertical, rotation). Il crée une orce de réaction (qui peut se décomposer en une composante verticale et une composante horizontale) et un couple appelé moment d encastrement. ) l appui ixe : Degré de liberté : un (rotation) (L appui ixe est aussi appelé : appui à rotule ou appui articulé). D où l appui ixe permet uniquement la rotation. Il crée une orce de réaction uniquement (qui peut se décomposer en une composante verticale et une composante horizontale). 3) l appui mobile : Degré de liberté : deux (rotation, glissement) (L appui mobile est aussi appelé : appui simple, appui à rouleau, appui glissant). D où l appui mobile empêche uniquement le déplacement suivant une perpendiculaire au chemin de roulement. Il crée une orce de réaction perpendiculaire au chemin de roulement. Cet appui est largement utilisé ain de rendre possible les déplacements horizontaux et empêcher ainsi la naissance de contraintes thermiques éventuelles. Rappel : Si les réactions peuvent se déterminer à partir des équations de la statique, la poutre est dite isostatique. Dans le cas contraire, elle est hyperstatique Charges supportées par les poutres et les planchers Les charges que les poutres et planchers ont à supporter se divisent en deux catégories : < le poids propre; < les charges proprement dites. Le poids propre de la pièce s évalue en Newton par mètre courant [N/m] pour les poutres, et en [N/m²] pour les planchers et les passerelles. Les charges proprement dites sont les charges qui sollicitent les pièces. Il en existe de deux sortes : < les charges concentrées; < les charges réparties. R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

6 A) Les charges concentrées sont celles qui sont ramassées sur une très petite surace, tel une poutre s appuyant sur une autre poutre qui lui est perpendiculaire, une colonne reposant sur une poutre, une charge pendue ( cas d un palan ) ixe ou roulante. ig B) Au contraire un mur élevé sur la longueur d une poutre ou une matière répartie sur la surace d un plancher sont des charges réparties. Elles sont dites uniormément réparties quand elles ont une valeur constante sur toute la longueur de la poutre ou sur toute la surace du plancher (le poids propre étant un exemple de charge répartie). ig Suivant la position sur la poutre du point d application d une charge concentrée, la déormation et les eorts internes que la poutre subit varient beaucoup. Il en est de même, si à égalité de poids total, la charge est concentrée au lieu d être répartie. Conclusions : < Une poutre peut être capable de supporter une charge répartie de valeur donnée et peut ne pas pouvoir supporter la même charge appliquée localement. < Une charge concentrée locale peut agir très diéremment sur une poutre suivant l emplacement de son point d application. A ce point de vue il y a toujours intérêt à reporter la charge aussi près que possible des appuis. Nous verrons les diérentes possibilités de charge d une poutre aussi bien encastrées que sur deux appuis et de l inluence des celles-ci sur la manière dont elles sont sollicitées. R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

7 7.3. Diagrammes des moments léchissants et des eorts tranchants Conventions de signes Par convention : ig Le moment léchissant est positi : L eort tranchant associé est positi : La charge (p (x) ) est positive : s il tend à mettre en traction les ibres inérieures longitudinales de la poutre. s il tend à aire tourner le petit élément dans le sens horlogique. si elle agit vers le bas. Pour retrouver acilement le signe des moments léchissants M, on peut se servir de la règle suivante : Si une orce F ou p agit vers le bas, le M correspondant est : (!) Si une orce F ou p agit vers le haut, le M correspondant est : (+) Pour le signe des eorts tranchants V : Si une orce F ou p agit vers le bas, le V correspondant est : (!) Si une orce F ou p agit vers le haut, le V correspondant est : (+) Remarque : Ne onctionne que si on établit le diagramme des eorts tranchants de la gauche vers la droite Diagrammes des moments léchissants Ces diagrammes joueront un rôle très important dans la recherche des sections les plus sollicitées ainsi que dans la détermination des lèches. Ils remplissent donc une onction primordiale dans le dimensionnement des poutres. Pour construire les diagrammes des moments léchissants et des eorts tranchants, on eectue un certain nombre de coupures (entre les charges extérieures, entre une charge et une extrémité non appuyée, dans les zones où agissent les charges réparties). Pour chaque coupure on détermine l expression de M et de V en équilibrant le tronçon R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

8 compris entre une extrémité de la poutre et la coupure. Les diagrammes sont tracés à partir des équations obtenues pour M et V. La convention de signe adoptée pour le dessin des diagrammes est celle explicitée ci-dessus. Ce choix implique que le diagramme des moments soit orienté du coté de la ibre tendue. Eort tranchant dans une section : Somme des orces (réactions comprises) situées soit à droite, soit à gauche de la section considérée. Moment léchissant dans une section : Somme des moments, de toutes les orces (réactions comprises) situées soit à droite, soit à gauche de la section considérée. R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

9 Applications A) Poutre sur deux appuis : charge ponctuelle 1) Recherche des réactions d appuis. ( i ) = 0 : RA F + RB =0 Flb ( M B ) = 0 : RA l + F lb = 0 RA = l Fla RB = l ) Recherche des moments léchissants. (On coupe en un point et on équilibre de gauche à droite) Coupure en A : M A = 0 Entre A et C : M = R x AC Fla lb Coupure en C : M C=+ RAla= l M = R x F x l Entre C et B : ( ) A CB A a Coupure en B : M B=+ RAl F lb=0 3) Recherche des eorts tranchants. (On coupe en un point et on équilibre de gauche à droite) Flb Coupure (juste après) en A : TA = RA = l Fla Coupure (juste après) en C : TC = RA F = l ig R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

10 B) Poutre sur deux appuis soumise à une charge uniormément répartie sur la partie droite Remarque importante : Lorsqu il existe une charge répartie, on la remplace par une charge ponctuelle au centre de gravité de la charge répartie. 1) Recherche des réactions d appuis. On pose : F = pl p ( i ) = 0 : RA F + RB =0 Fl pl l ( M B ) = 0 : b p b RA l + F lb = 0 RA = = l l Fl pl l a p a RB = = l l ) Recherche des moments léchissants. (On coupe en un point et on équilibre de gauche à droite) Coupure en A : M A = 0 Entre A et C : M AC= RAx Coupure en C : Flb x = lc M C =+ RA ( l lp) = ( l lp ) l Entre C et B : M R x ( x l ) p x l C CB= A C p M CB= RAx ( x lc) Coupure en G : F l p x l M R l F l l b p = a G =+ A a = 4 8 Coupure en B : M B=+ RAla F lb=0 3) Recherche des eorts tranchants. (On coupe en un point et on équilibre de gauche à droite) Flb Coupure (juste après) en A : TA = RA = l Flb Coupure (juste après) en C : TC = RA = l Fla Coupure (juste avant) en B : TB = RA plp = l R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

11 ig C) Poutre soumise à une charge ponctuelle et répartie Remarque importante : Si dans la zone où agit une charge répartie existe en outre des orces ponctuelles (actives ou réactives), il aut diviser la zone de charge répartie en tronçons limités par les lignes d actions des charges ponctuelles. 1) Recherche des réactions d appuis. On pose : F = pl ( i ) = 0 : RA F F1 + RB = 0 ( M B ) = 0 : + R l F l F Fl = R = + F l b A 1 b 0 A 1 l F l R = + F a B 1 l ) Recherche des moments léchissants. (On coupe en un point et on équilibre de gauche à droite) Coupure en A : M A = 0 l F l F l l a a 1 a b Coupure en C : M C=+ RAla ( pla) = + ( pla ) l Coupure en B : M R l F l F 1 B=+ A = 0 lb 3) Recherche des eorts tranchants. (On coupe en un point et on équilibre de gauche à droite) F l Coupure (juste après) en A : T R F b A = A = + 1 l F Coupure (juste avant) en C : T R pl F l b Cavant = A a = + 1 pla l Coupure (juste après) en C : TCaprès = TCavant F 1 l a R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

12 Coupure (juste avant) en B : T B F R F l a = B = + 1 l ig R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

13 Relation entre le M, le V et le type de charge A) Relations entre le moment léchissant et l eort tranchant < Le moment léchissant M est maximum là où l eort tranchant V s annule. < Le moment léchissant M croît dans une zone où l eort tranchant V est positi. < Le moment léchissant M décroît dans une zone où l eort tranchant V est négati. < A chaque ressaut du diagramme des eorts tranchants correspond un point d inlexion (cassure) dans le diagramme des moments léchissants. < Le moment léchissant est nul (M = 0) au droit des appuis d extrémités et aux extrémités libres d une poutre. Le moment léchissant n est jamais nul à un encastrement. < Le moment léchissant en un point P d une poutre est égal à la surace du diagramme des eorts tranchants d une extrémité de cette poutre à ce point P. B) Relations entre le type de charges et l allure des diagrammes des moments léchissants et des eorts tranchants < Sur une zone de poutre sans charge : V : constant ou V : nul (= 0) M : évolue linéairement M : constant < Sur une zone de poutre soumise à une charge uniormément répartie constante : V : évolue linéairement : évolue paraboliquement M < Au droit d une orce concentrée (action ou réaction) V : subit un ressaut ou une chute : montre un point d inlexion (cassure) M C) Relation entre le moment léchissant et la déormée d une poutre Les conventions dans le signe des moments léchissants que nous avons adopté est tel que le diagramme des moments léchissants est positionné du côté de la ibre tendue (en traction). En résumé : < Si le diagramme des moments léchissants est positi, la déormée présente une concavité vers le haut. < Si le diagramme des moments léchissants est négati, la déormée présente une concavité vers le bas. < Dans la section où le moment léchissant est nul (M = 0), il y a changement de sens de courbure de la déormée; celle-ci présente en cette section un point d inlexion. R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

14 D) Relation entre le type de charge et la position du moment léchissant maximum d une poutre Pour trouver la position du moment léchissant maximum voir (A) 1) ). < Charge(s) ponctuelle(s) uniquement : Au droit d une des charges ponctuelles. < Charge répartie : Position : d = RA p ig Remarque importante : 1) Ne onctionne que si la charge répartie est telle qu elle agit de manière continue entre l appui et l endroit du moment léchissant maximum. ) et sans charge ponctuelle en superposition. E) Trucs et astuces Dans le cas d un dimensionnement de poutre à la contrainte, il s agira de déterminer d abord le diagramme des eorts tranchants. Le moment léchissant maximum se situe à l endroit ou l eort tranchant s annule. Le calcul s eectuera pour cette position uniquement. R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

15 7.4. Distribution des contraintes normales dans une section droite Généralités Si on considère une barre sur appuis simples, possédant un plan de symétrie longitudinal, dans lequel s exerce une orce F, celleci va se déormer comme indiqué à la igure ci-contre. section). ig Vu la courbure de la barre, les ibres longitudinales inérieures vont s allonger et les ibres longitudinales supérieures se raccourcir. Dès lors on ig peut montrer, par la loi de Hooke [contrainte proportionnelle au déplacement], que lors de la lexion d une poutre, les contraintes dans une section transversale varie selon une loi linéaire (igure ci-contre). Ce sont donc bien des contraintes normales (c est-à-dire perpendiculaires à la Si les ibres inérieures s allongent et les ibres supérieures se raccourcissent, il doit donc logiquement exister des ibres qui vont conserver leur longueur. D où la déinition : Déinition : Le lieu géométrique des points d une section vériiant la condition appelé : ligne (ou ibre) neutre de la section. σ = 0 est Et dans le cas de la lexion pure et de la lexion simple, on peut montrer, par ailleurs, que la ibre neutre se conond toujours avec le centre de gravité de la section (sau dans le cas particulier des pièces à ortes courbures) Relation ondamentale Explicitons maintenant le lien existant entre la contrainte σ et le moment léchissant M dans une section droite. L. Navier (1) à démontrer que toute ibre longitudinale située à une distance y de l axe neutre est le siège d une contrainte donnée par la ormule suivante : ig M σ = = I y M I y (éq. 7.4) [N/mm ] Notations : M I y moment léchissant moment d inertie de la section distance à partir de la ibre neutre Nmm mm 4 mm (1) Navier Louis : ingénieur rançais des Ponts et Chaussées ( ) R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

16 Démonstration de la ormule de Navier pour la lexion L allongement relati d une ibre se trouvant à une distance y de la ibre neutre peut être établi, pour le cas de lexion pure (la déormée dans ce cas est un arc de cercle), en analysant la déormation d une longueur élémentaire dz de la barre : ( ρ + y) dθ dz ε = dz (1) ( ρ + y) dθ ρ dθ y = = ρ dθ ρ Si on introduit cette dernière équation dans l équation physique de la loi σ de Hooke ε =, on obtient : σ = E y E ρ 1 () ( ) étant la courbure. ρ Si on se rappelle la déinition d une contrainte en un point : ig Sur un petit élément da (appelé acette) appartenant à la surace de la coupure et entourant le point B, agit une orce df. Par déinition, la contrainte s exerçant sur la df coupure au point B vaut : σ B = (3) da Si, de plus, on utilise la condition d équilibre qui lie les contraintes et les eorts internes dans une section transversale d une poutre qui peut s écrire sous la orme : ydf= M y da = M (4) ( σ ) A et si on introduit () dans (4), on obtient : y E 1 M M yda = M = = ρ ρ E y da EI A A A et si l on introduit cette dernière équation dans (), on établit la ormule pour le calcul de la contrainte normale dans une couche quelconque de la section de la barre à une distance y de l axe Ox : (5) σ = M I y Remarque : Dans le cas d une lexion simple l expression ci-dessus est approchée, mais suisamment exacte que pour une utilisation dans la pratique courante. R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

17 On remarque que les contraintes maximales en lexion apparaissent aux points les plus éloignés de la ibre neutre et donc : M σ max = = Iv M W x (éq. 7.51) [N/mm ] avec : v : la distance entre la ibre neutre et le point, de la section, le plus éloigné [mm] v = y max De plus : I/v : est appelé module de résistance à la lexion et est noté : W x [mm 3 ] Remarque : La ormule de la contrainte maximum en lexion est à rapprocher de celle de la contrainte tangentielle maximum en torsion. Ces contraintes maxima sont de signes opposés : l une est une contrainte de traction, l autre une contrainte de compression. Et si le proil est symétrique (par rapport à l axe neutre), on obtient : σ = σ ou σ = σ max min max min Remarques : 1) La lexion simple entraîne sur toute section perpendiculaire à la ibre moyenne de la pièce des contraintes normales et tangentielles. Ces dernières provoquent un gauchissement des sections droites (voir ). Touteois, la déormation du plan des sections transversales n inlue pas d une açon notable sur la grandeur des contraintes normales. L erreur que l on commet en ne tenant pas compte de cette déormation dans le calcul des contraintes normales est aible (voire nulle si l eort tranchant est constant). ) Sous l action des contraintes de traction s exerçant dans la partie inérieure de la barre, un rétrécissement latéral de la section droite, dû au coeicient de Poisson, se produit. Pour la raison contraire, la partie supérieure de la barre est soumise à un gonlement latéral. En pratique, on ne tiendra pas compte de cette modiication de la orme des sections transversales de la barre. ig Distribution des contraintes tangentielles dans une section droite L objet de ce paragraphe est de rechercher la distribution des contraintes tangentielles (ou de cisaillement) agissant sur les acettes contenues dans une section droite. On peut montrer que la distribution des contraintes tangentielles est telle que ces contraintes sont nulles au bord supérieur et inérieur de la section et maximales vers le centre (maximales au centre de gravité pour les sections symétriques (axe de symétrie perpendiculaire à la orce)). R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

18 Réciprocité des cisaillements Justiions la non-uniormité des contraintes tangentielles dans une section d une poutre léchie. Si dans une section existe un eort tranchant V, celuici induit une contrainte tangentielle (τ y ) dans la petite surace (A y ). Cette contrainte se situe dans la section et est parallèle à l axe des (y). Comme la section est statique, la sommation des orces ( i ) et la sommation des moments (M) doit être nulle. Examinons un petit cube de matière. Par rapport au pont P, il ig aut que : M P = 0, et donc : τ y l = τ x l. Il y aura donc une contrainte réciproque (τ x ) dans le sens longitudinal qui sera égal, en grandeur, au cisaillement transversal (τ y ). ig Par contre si nous prenons un cube dont une des aces est la surace extérieure de la poutre, il sera impossible d équilibrer celle-ci, car, longitudinalement il n y a plus de matière et par conséquent (τ x ) n existera pas! C est pourquoi, la répartition des contraintes transversales ne sera pas uniorme. Le maximum se situera au niveau de la ibre neutre et le contraintes tangentielles seront nulles aux extrémités (suraces supérieure et inérieure) de la poutre. ig La ormule permettant d exprimer les contraintes tangentielles maximales τ max pour les sections transversales de ormes quelconques peut être ormulée de la manière suivante : τ = k V max τ A (éq. 7.56) [N/mm ] avec : T : eort tranchant [N] A : surace de la section soumise à l eort tranchant [mm ] k τ : coeicient dépendant de la orme de la section [-] ig R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

19 Coeicient de orme (k τ ) (Cisaillement) Section rectangulaire 3/ Section carrée 3/ Section circulaire 4/3 Section annulaire mince Section triangulaire 3/ Remarque : Dans certains cas il est diicile de calculer la contrainte maximale τ max, on a alors recours à la contrainte tangentielle moyenne τ moy. C est-à-dire que l on prend k t = 1 dans la ormule précédente. Exemple : dans le cas des proils en I ou en U, nous avons : τ moy = V A ame (éq. 7.58) [N/mm ] avec : A âme : uniquement la section de l âme que l on peut assimiler à : (hauteur du proilé - épaisseur semelle) épaisseur de l âme 7.6. Choix de la orme de la section droite En lexion A) Cas des matériaux ductiles Puisque les résistances à la traction et à la compression de ce type de matériaux sont du même ordre de grandeur, on a tout intérêt à utiliser des sections symétriques (par rapport à l axe autour duquel s eectue la lexion). Ain de rendre le dimensionnement économique, il audra, non seulement vériier la condition de résistance : σ max M max M max = = σ Iv W x adm (éq. 7.59) avec : σ max : la contrainte normale maximale. (Pour un tronçon de pièce de section constante dans la section où le moment léchissant est le plus important.) mais aussi à veiller à réduire au minimum le poids de la barre. Pour satisaire cette double condition, il aut, à section égale, augmenter au maximum le module de résistance à la lexion. Pour ce aire, il est indispensable de rejeter la matière dans les zones les plus éloignées de l axe neutre. Pour comparer diérentes sections, on a déini le rapport sans dimensions (w ) : R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

20 w = W x (éq. 7.60) 3 A avec : A : la surace de la section Ce rapport doit être aussi grand que possible (voir tableau A.0). Il en ressort que les proilés en I sont particulièrement économiques, ce qui explique l usage réquent de ce type de sections en construction métallique. B) Cas des matériaux ragiles Dans ce cas il aut vériier que la contrainte maximum est inérieure, non seulement à la contrainte admissible de compression du matériau, mais aussi que la contrainte maximum soit inérieure à la contrainte de traction du matériau. Vu le comportement diérent de ces matériaux à la traction et à la compression, la orme de la section droite sera non symétrique si l on souhaite un dimensionnement économique. On peut par exemple choisir des proils I dissymétriques ou des proils T. Les dimensions de l (des) aile(s) seront telles que les distances de la ligne neutre aux ibres supérieures et inérieures de la barre soient dans le même rapport que la contrainte admissible en traction et en compression (prises en valeur absolue) du matériau utilisé En cisaillement En général, dans une section droite les contraintes longitudinales σ sont maximales aux points où les contraintes tangentielles τ sont nulles, inversement σ est maximal aux points pour lesquels τ est nul. De plus, dans la plupart des cas, on constate que les contraintes tangentielles sont plus aibles que les contraintes normales. Dès lors, les contraintes maximales apparaîtront le plus souvent dans la section droite soumise aux moments léchissants les plus importants. C est seulement dans le cas de pièces de aibles longueurs que les contraintes tangentielles seront du même ordre de grandeur (ou supérieures) que les contraintes normales (voir chapitre Cisaillement ). Classiquement, le calcul de la résistance d une pièce soumise à lexion simple se era en considérant séparément l action des contraintes normales σ et tangentielles τ. On vériiera donc, en plus de la condition donnée par l équation (éq. 7.59), la condition : τ max = k τ T τ adm cisail (éq. 7.61) A [N/mm ] avec : τ max : la contrainte tangentielle maximale. (Pour un tronçon de pièce de section constante dans la section où l eort tranchant est le plus important.) Il aut remarquer que cette méthode ne tient pas compte de l état réel des contraintes en un point caractérisé par (σ, τ) (voir chapitre Sollicitations composées ). R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

21 Section(s) dangereuse(s) d une poutre Par déinition, et en toute généralité, une section de poutre est dite dangereuse lorsque les moments léchissants et les eorts tranchants qui y agissent ont des valeurs telles que la matière de cette section est plus sollicitée qu en toute autre section de la même poutre. plus. Selon cette déinition, il est donc certain que sont dangereuses les sections qui sourent le Dans la pratique, c est le moment léchissant qui détermine, et de loin, la sollicitation principale de la matière d une poutre léchie. D où la règle générale : Section dangereuse pour une poutre en acier ou en bois : celle où agit le moment léchissant, absolu, maximum. Sections dangereuses pour une poutre en béton : celles où agissent le moment léchissant positi (traction) et négati (compression) maximum Contraintes admissibles En lexion La lexion engendre des contraintes normales de traction et de compression. Dès lors, pour les contraintes admissibles on se reportera au chapitre Traction - Compression. 1) Dans le cas d un matériau ductile, la contrainte admissible (σ adm ) en lexion est obtenue en tenant compte d un coeicient de sécurité (S) par rapport à la limite d élasticité (R e ) : R e σ adm = (éq. 7.6) S ) Si le matériau est ragile, la contrainte admissible (σ adm ) se déterminera à partir de la résistance à la rupture (R m ) et non plus à partir de (R e ) : R m σ adm = (éq. 7.63) S En cisaillement La lexion engendre des contraintes tangentielles (de cisaillement). Dès lors, pour les contraintes admissibles on se reportera au chapitre Torsion. 1) Dans le cas d un matériau ductile, la contrainte tangentielle admissible en cisaillement (τ adm ) est obtenue en tenant compte d un coeicient de sécurité (S) par rapport à la limite d élasticité en cisaillement (τ e ), sachant que : τ e R = ( 05. ) ( 06. ) R e ; nous prendrons : e τ adm = 058. (éq. 7.65) S ) Si le matériau est ragile, la contrainte tangentielle admissible (τ adm ) se déterminera à partir R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

22 de la résistance à la rupture (R m ) et non plus à partir de (τ e ) : R m τ adm = (éq. 7.66) S Remarque : Dans le cas de poutrelles et de poutres longues, les contraintes de cisaillement seront toujours négligeables par rapport aux contraintes de lexion. R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

23 Application 7.1. Cas de la poutre encastrée à une extrémité (Une seule charge à l extrémité) Rechercher le moment léchissant maximum ain de dimensionner cette poutrelle I PN sachant que : l = 3 m F = N σ adm = 100 N/mm Solution : Recherche des réactions d appuis L équilibre suivant la verticale donne : R F N A = = Recherche des moments léchissants L équilibre de rotation autour de (A) donne : M F l Nm A= =30000 Le moment léchissant maximum se trouve au droit de l encastrement. Calcul du module de lexion minimum ig σ max M M = = σ adm Wx Iv W max max max x M max Fl Wx = = = mm = 300 cm σ adm σ adm 100 Dans un catalogue de poutrelles nous avons un I PN 40 au minimum (W x = 354 cm 3 ) Vériication de la contrainte de cisaillement Dans le catalogue, on trouve : e = 8. 7 mm; hauteur de l' ame = mm A = hauteur de l' ame épaisseur de l' ame ame τ moy = = mm ame. M σ T = = = 5. 9 N / mm négligeable car = 58 N / mm A adm R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

24 Application 7.. Cas de la poutre encastrée à une extrémité (Charge uniormément répartie sur une partie de poutrelle) Rechercher le moment léchissant maximum ain de dimensionner cette poutrelle H HEB à âme verticale sachant que : l = 3 m l : la distance du centre de gravité de la charge à l appui. l p = 1.5 m l p : la longueur de la partie chargée. p = N/m p : la charge par mètre courant. σ adm = 100 N/mm Solution : Recherche des réactions d appuis L équilibre suivant la verticale donne : R = pl = F =15000 N A p Recherche des moments léchissants Equilibre de rotation autour de A : M = pl = F l =45000 Nm A ( p) Le moment léchissant maximum se trouve au droit de l encastrement. Calcul du module de lexion minimum σ max M M = = σ adm Wx Iv W max max max x ( p ) ( ) M σ adm ig M max pl l Wx = = = mm = 450 cm σ adm σ adm 100 Dans un catalogue de poutrelles nous avons un H HEB 00 au minimum (W x = 570 cm 3 ) Vériication de la contrainte de cisaillement Dans le catalogue, on trouve : e = 9 mm; hauteur de l' ame = 170 mm Aame = hauteur de l' ame épaisseur de l' ame = = 1530 mm T τ moy = = = 98. N / mm Aame 1530 négligeable par rapport à 58 N/mm (0.58 x 100 N/mm ). R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

25 7.8. Déormation de lexion des poutres isostatiques Calcul de la lèche en un point : Méthode des aires Une manière relativement simple de trouver la lèche en un point P d une poutre isostatique soumise à lexion est de partir du diagramme des moments léchissants. A) Théorie A.1) Poutre encastrées La lèche en un point P est donnée par le moment par rapport à ce point P de la surace du diagramme des moments léchissants se situant entre l encastrement et le point P considéré le tout divisé par le module de rigidité à la lexion EI. En d autres termes, la lèche au point P s exprime par la relation suivante : 1 = Ad EI P i vi (éq. 7.81) Avec : E : module d élasticité longitudinale [N/mm ] I : moment d inertie de la section [mm 4 ] A i : aire du diagramme des moments léchissants situés entre l encastrement et le point P d vi : distance du centre de gravité de la surace du diagramme des M à l endroit de la recherche de la lèche. [mm] A.) Poutre sur appuis La lèche en un point P est donnée par le moment par rapport à ce point P de la surace du diagramme des moments léchissants se situant entre l appuis et le point P considéré, augmenter du moment de la réaction, due au chargement par la moment léchissant, au point P, le tout divisé par le module de rigidité à la lexion (EI). 1 En d autres termes : P ( Rd Ai dvi) = EI (éq. 7.8) Avec : E : module d élasticité longitudinale [N/mm ] I : moment d inertie de la section [mm 4 ] A i : aire du diagramme des moments léchissants situés entre l appui et le point P d vi : distance du centre de gravité de la surace du diagramme des M à l endroit de la recherche de la lèche. [mm] R : réaction d appuis due au chargement du moment léchissant [N] d : distance entre l appui et le point P [mm] Dans le cas d une poutre sur appuis, il aut tenir compte du moment du à la réaction d appui, car il existe une déviation angulaire au droit de l appui qui induit une lèche. Ce n est pas le cas d un encastrement où, au droit de celui-ci, la déviation angulaire est nulle. R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

26 B) Exemples B.1.) Poutres encastrées B.1.1) Charge à l extrémité ( max à l extrémité de la poutre) Appliquons la ormule de base : 1 1 = Ad = EI EI Ad B i vi v La surace du diagramme des M entre (A) et (B) ( Fl) l Fl est : A = = (M est! Y prendre +) La distance du centre de gravité de la surace des M à l extrémité (B) est : d l v = 3 ig La lèche devient : B Fl 1 = l EI 3 A d v Y max = Fl EI (éq. 7.87) B.1.) Charge répartie ( max à l extrémité de la poutre) avec : p : charge répartie [N/m] Appliquons la ormule de base : 1 1 = A d = EI EI Ad B i vi v La surace du diagramme des M entre (A) et (B) p l p l est : A = rectangle = l = (M est! Y prendre +) La distance du centre de gravité de la surace des M à l extrémité (B) est : d l v = 3 4 ig La lèche devient : B 3 pl 1 = 3 l EI 6 4 A d v Y = 1 max 8 4 pl EI (éq. 7.9) R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

27 B.) Poutres sur appuis B..1) Charge ponctuelle au milieu de la portée ( max au centre) Appliquons la ormule de base : 1 1 = A d = EI EI Ad C i vi v La surace du diagramme des M entre (A) et (C) 1 Fl l Fl est : A = = 4 16 La distance du centre de gravité de la surace des M l l au point (C) : dv = 1 3 = 6 ig Recherche de (R) : Fl Fl R = l 1 = 4 16 La lèche devient : C Fl l Fl 1 l = EI R d A d v Y max = Fl EI (éq. 7.98) B..) Charge répartie ( max au centre de la poutre) Appliquons la ormule de base : 1 1 = A d = EI EI Ad P i vi v La surace du diagramme des M entre (A) et (C) est : A pl = = l = p l 3 rectangle La distance du centre de gravité de la surace des M 3 l 3 au point (C) : dv = = l 8 16 ig Recherche de (R) : 3 pl pl R = 1 = La lèche devient : C 3 3 pl l pl 1 = 3 l EI R d A d v Y max = pl EI (éq ) R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

28 C) Récapitulati - Résumé Surace (A i ) Distance (d v i ) A= M max l dvi = 1 l ( ) 1 A= M l d max vi = ou l ( ) 1 A= M l d max vi = ou l ( ) A= M l d max vi = ou l ig R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

29 7.8.. Calcul de la lèche en un point : Méthode diérentielle R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

30 Flèche admissible Dans le cas de constructions métalliques ou de charpentes (bois ou métal) le calcul à la déormation maximum devient prépondérant par rapport au calcul à la contrainte admissible. C est pourquoi il convient dans ces cas-là de vériier que : max adm (éq ) Ci-dessous quelques exemples de lèches admissibles rapportées à la portée (l) de la poutre (entre appuis). Flèches admissibles ( adm ) rapportées à la portée (l) de la poutre Poutres en général 1/50 Poutres en porte-à-aux ((l) étant ici ( ) la longueur du porte-à-aux) 1/00 Planchers en général (solives,...) 1/50 Planchers supportant des poteaux, murs... 1/400 Poutres des planchers d étages 1/400 Toitures en général 1/00 Toitures supportant réquemment du personnel autre que du personnel d entretien Poutres de roulement et ermes : a) pont manoeuvré à bras, poutres roulantes b) ponts roulants (Q # 50 T) c) ponts roulants (Q > 50 T) Poutres des passerelles d un bâtiment industriel : a) en l absence de rails de roulement : - poutres maîtresses - autres poutres b) en présence d un chemin de roulement 1/50 1/500 1/600 1/750 1/400 1/50 1/600 R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

31 7.9. Applications Calcul (simpliié) d une dent de roue dentée (engrenage cylindrique) Une dent d engrenage se calcule suivant plusieurs critères : 1) A la résistance à la lexion et à la compression ) A la pression spéciique 3) A l échauement Pour un calcul simpliié nous ne calculerons la denture qu à la lexion en considérant la dent comme un solide encastré. Connaissant la puissance P à transmettre [en Watt] et la vitesse de rotation (n) [en tour/min] de la roue dentée, nous pouvons en déduire le couple (C) à transmettre par la roue dentée et donc la orce F (en [N]) s exerçant sur les dents de l engrenage. Rappelons-nous l équation liant le couple et la vitesse de rotation : P C = 30 π n Mais pour le calcul des engrenages, nous avons tout intérêt à prendre le couple maximum et non le couple nominal. Dans le cas des roues dentées, il y a deux sortes d eorts supplémentaires : 1) celui provenant de la plus ou moins grande précision de la denture et dont on tient compte en multipliant (C) par (k p ) : k p = 1.05 à 1.30 ) celui provenant de la nature des deux machines reliées par l engrenage. Ce acteur de choc (k c ) peut être assez élevé et n est pas toujours acile à évaluer avec précision (voir chapitre Torsion ) Dans un calcul d avant projet on peut ce contenter du couple maximum déterminer par : Cmax = kp kc C (éq ) La orce sur une dent d engrenage s exerce suivant un certain angle (la plupart du temps suivant un angle de 0E) sur le diamètre primiti (d prim ). La orce engendrant le couple est la projection de cette orce sur la perpendiculaire au diamètre primiti : soit (F t ). Cmax Dès lors, sachant que : Ft = nous avons : d prim F t 60 P = π d n prim (éq ) [N] Remarque : Si P est en W, d prim doit être en m! Connaissant maintenant la orce F t s exerçant sur la dent, il s agit de déterminer son module m et à partir de là, toutes ses dimensions. R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

32 Diamètre primiti : d = m. Z Pas : p = m. π Saillie : h a = m Creux : h = 1.5 m Hauteur de dent : h a + h =.5 m Diamètre de tête : d a = d + h a = d + m Diamètre de pied : d = d! h = d!.5m Largeur de denture : b = K. m 7 # K # 1 suivant la qualité de l engrènement Entr axe : a = (d 1 + d ) / l indice a signiie de tête l indice signiie de pied ig Valeurs du module [mm] Principales Secondaires ig Hypothèses de calcul [H1] [H] [H3] La dent est une poutre encastrée. L épaisseur au pied = épaisseur au cercle primiti. La orce (F t ) est appliquée au sommet de la dent (et non sur le primiti) de manière tangentielle. [H4] Une seule dent transmet toute la orce (F t ). [H5] On ne tient pas compte des concentrations de contraintes. A partir de ces hypothèses, vériions les contraintes normales (σ) : ig M max M max σ = = σ Iv W x adm [N/mm ] avec : M : moment léchissant M = F t. hauteur de la dent = F..5 m W x : module de résistance W x = b e / 6 b : largeur de dent b = K m avec : K = e : épaisseur de dent e = (π / ) m et : σ = F 5. m 6 t [( π ) ] K m m σ adm R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

33 et donc : m 54 Ft Ft 34. (éq. 7.10) π K σ K σ adm adm Remarque : Le coeicient (K) détermine la largeur de la denture. On prend généralement une valeur entre 8 et 1 (en avant projet K = 10). Il va de soit que plus la largeur de denture est importante plus il est diicile de aire porter la denture sur toute sa longueur, il est alors nécessaire de rectiier les dentures ce qui ait augmenter le coût de celles-ci. Dans le cas présent la contrainte admissible (σ adm ) est une contrainte admissible de atigue. Pour le cas des aciers on peut, pour un calcul simpliié, prendre : σ adm atigue ( ) = R (éq. 7.34) m Application 7.3. Un pignon, de 10 mm de diamètre primiti, est calé sur un moteur électrique de 0 kw tournant à une vitesse de rotation de 1440 tours par minute. Déterminez le module de cette roue dentée si la contrainte admissible est de 00 N/mm. Solution : Recherche de la orce tangentielle 60 P Ft = = = 10 N π d n π prim Appréciation des diérents coeicients Coeicient de choc : k c = 1. 6 moteur électrique Coeicient de précision : k p = précision moyenne Calcul de la orce tangentielle maximale Ft max = Ft kc k p = = N Calcul du module 54 Ft m = π K σ π adm Avec un (K) moyen de 10. = 89. soit 3mm R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

34 7.9.. Calcul de poutres de plancher Surcharges suraciques des planchers en N/m ou Pa Locaux privés (immeubles d habitation) Locaux publics (bureaux) Locaux accessibles au public (banques, grands magasins,... ) Salles de cours ordinaires Salles de cours spéciaux (laboratoires, gymnastique,... ) Salles de réunions, salle de danse non munie de sièges ixes, tribunes de sports Théâtres, cinémas,... Escaliers et corridors : a) maisons d habitations logements individuels logements multiples b) bureaux, écoles, salles de réunions, théâtres, etc... Locaux pour archives, magasins de librairie. Suivant le cas : minimum Toitures, terrasses (neige comprise) a) accessibles pour l entretien b) accessibles privées c) accessibles au public Balcons de maisons d habitation Dans le cas d un plancher, chaque poutre reprend une partie de la charge suracique, de part et d autre de celle-ci, sur une largeur égale à (l/). C est pourquoi, les diérentes poutres centrales reprendront, comme charge uniormément l répartie tout au long de la poutre : p = p suracique p= l p suracique (éq. 7.15) [N/m] Par contre les poutres le long des murs ne reprennent que la moitié de la charge suracique, c estig R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

35 à-dire : l p = p suracique C est donc au moyen de l équation (éq. 7.59) que nous déterminerons la dimension des gîtes à utiliser sachant que nous considérerons les poutres comme simplement appuyées et non encastrées. Voici les contraintes à la rupture (R m ), le module d élasticité (E) ainsi que la contrainte à la limite élastique (R e ), si celle-ci est connue, pour diérentes espèces de bois utilisées en construction. Caractéristiques de diérents bois Espèces de bois Contraintes N/mm N/mm R e R m E Chêne z Hêtre Pin z Sapin Sapin du nord Pitchpin Bambou Dans le cas du bois nous utiliserons, pour déterminer la contrainte admissible de traction et de lexion, la relation donnée pour les matériaux ragiles (le bois n étant pas isotrope). C est-à-dire : σ adm R m = avec S =10 (éq. 7.17) S R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

36 Application 7.4. Quel sera la dimension des gîtes (en sapin du nord), composant un plancher, ayant une charge suracique totale de p suracique = 3000 N/m², sachant que la pièce à une dimension de 3 m x 4 m, que la longueur entre appuis est de 4 m et que la distance entre les diérentes poutres est de d = 0.4 m. Les dimensions des gîtes standards sont : 63 x 150 (7/15), 63 x 175 (7/18) ou 75 x 5 (8/3). Vériiez la lèche maximum du plancher. Solution : Recherche de la contrainte admissible : Rm 110 σ adm = = = 11 N / mm S 10 Charge reprise par les poutres : p= l p = = 100 N / m suracique Recherche du moment léchissant maximum (charge répartie) pl M max = = = 400 Nm 8 8 Recherche du σ Recherche des ( Iv) adm à avoir M M 3 max max Iv = = 1818 mm Iv σ cm adm 3 3 ( Iv) des diérentes gîtes (voir annexe pour les sections préérentielles) bh = cm cm 3 = 36 cm C' est celle ci qui convient. Vériication de la lèche pl Celle-ci est donnée par la ormule : max = 5 4 dans le cas d une poutre sur deux appuis 384 EI avec une charge répartie. Prenons : E sapin nord = N/mm. Sachant que dans notre cas : I = I v v = = 1770 cm pl max = = =. 6 mm EI l max =. 6 mm? adm = = = 16 mm KO Prenons la (7/18) : I = I v v = 3 = 818 cm pl max = = = 14. mm OK EI R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

37 Charges roulantes A) Charge roulante unique Soit une charge F pouvant se déplacer sur toute la longueur d une poutre (AB) reposant sur deux appuis. C est le cas, par exemple, d un crochet de palan que l on peut déplacer. Considérons, igure ci-dessous, une position quelconque de la charge, le moment léchissant maximum est toujours donné au point d application de celle-ci. Autrement dit : Dans le cas d une charge roulante, le moment léchissant maximum en une section quelconque est toujours donné quand la charge est appliquée directement en cette section. ig Le calcul des réactions en (A) et (B) conduit aux résultats suivant : R F l x et R F x A = B = (éq ) l l avec : x : la distance mesurée à partir de l appui A (varie entre 0 et l) l : longueur entre appuis L équation du moment léchissant, quant à lui, est égale à : M R x F l x = A = l ( lx x ) F x = (éq. 7.14) l L équation du moment léchissant, pour une charge roulante ponctuelle, montre que la courbe des M est une parabole à axe vertical (le moment léchissant varie en onction de (x )), au lieu d un triangle pour une charge ponctuelle ixe, bien que le maximum se situe au milieu de la portée (en l/) et Fl est égal, pour les deux cas de charges, à : M = max (éq ) 4 R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page

38 De plus, contrairement au cas de charge ixe, la réaction aux appuis peut cette ois-ci varier d un minimum égal à 0 à un maximum égal à F : R A x l La charge roulante se trouve en B RA = F x = 0 La charge roulante se trouve en A Les appuis devront donc être calculer pour le maximum. R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion Page