Performances et stabilité des avions. Gérard Degrez

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1 Performances et stabilité des avions Gérard Degrez Automne 2001

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3 Table des matières 1 Performances des avions Conventions de la mécanique du vol L atmosphère standard Altitude et vitesse de l avion Vol en palier horizontal stabilisé Équations d équilibre Conséquences immédiates Poussée requise, limitations calcul des performances pour un avion à réaction Puissance requise calcul des performances pour un avion à hélice Distance franchissable Endurance Vol stabilisé incliné (montée/descente) Conséquences des équations d équilibre Cas particulier : le vol plané Vol motorisé : vitesse ascensionnelle maximum Temps de montée. Méthode de l énergie totale Manœuvres Enveloppe de manœuvre Décollage et atterrissage La ressource Notion de facteur de charge Le vol en virage Charges dues aux rafales Stabilité statique et guidage Introduction Stabilité statique longitudinale manche fixe Critère de stabilité statique longitudinale et implications Moment de tangage Point neutre manche fixe Guidage et stabilité statique manche libre longitudinaux Angle de gouverne Couple de charnière et effort dans le manche Point neutre manche libre Compensateurs et gradient de force dans le manche Stabilité statique latérale iii

4 iv TABLE DES MATIÈRES Notations et remarques préalables Stabilité directionnelle et guidage Stabilité en roulis et guidage Équations générales du mouvement Introduction Les équations du mouvement Équations d Euler Contribution des rotors Résumé et discussion Théorie des petites perturbations Linéarisation des équations Forces et couples aérodynamiques Forme adimensionnelle des équations Dérivées aérodynamiques dimensionnelles Dérivées de stabilité Introduction Dérivées longitudinales Dérivées par rapport à α Dérivées par rapport à u Dérivées par rapport à q Dérivées par rapport à α Dérivées latérales Dérivées par rapport à β Dérivées par rapport à p Dérivées par rapport à r Résumé Stabilité dynamique Solution générale des équations des petites perturbations Modes longitudinaux Cas illustratif d un long-courrier à réaction Approximation des modes longitudinaux Stabilité statique longitudinale Effet des conditions de vol sur les modes longitudinaux Modes latéraux Cas illustratif Approximation des modes latéraux Réponse aux commandes Introduction Guidage longitudinal Guidage latéral Solution des problèmes de réponse aux commandes Réponse longitudinale Réponse à la gouverne de profondeur

5 TABLE DES MATIÈRES v Réponse à la commande de poussée Réponse latérale Fonctions de transfert Réponse transitoire aux ailerons et à la gouverne de direction A L atmosphère standard 159 B Aspects physiologiques du vol 161 C Forme adimensionnelle des équations 165

6 vi TABLE DES MATIÈRES

7 Introduction L objet de ce cours est l étude du vol atmosphérique, c est-à-dire du mouvement des avions en vol. Pour cette étude, plusieurs niveaux d approximation sont possibles, qui correspondent chacun à des échelles de temps caractéristiques différents : Point matériel Ce niveau d approximation correspond à des échelles de temps caractéristiques longs (plusieurs minutes) et permet, par l analyse de l équilibre des forces sur l avion, de déterminer ses performances. Solide indéformable On s intéresse à ce niveau à des échelles de temps caractéristiques moyens (de l ordre de quelques secondes à quelques dizaines de secondes). L analyse de l équilibre des forces et des moments sur l avion permet d en déterminer les caractéristiques de stabilité et de réponse aux commandes (guidage). Solide déformable Ce niveau correspond à des échelles de temps caractéristiques encore plus courts (typiquement inférieurs à la seconde). On s intéresse alors au couplage entre les modes globaux du mouvement et les modes de vibration de la structure élastique de l avion : c est l objet de l aéroélasticité. On se limitera dans ce cours aux deux premiers niveaux d approximation, que l on a coutume de rassembler sous le vocable de mécanique du vol. Évidemment, s agissant de vol atmosphérique, la majeure partie des forces et couples s exerçant sur l avion sont d origine aérodynamique. Le cours exige donc une bonne connaissance des caractéristiques aérodynamiques des surfaces portantes, qui sont étudiées dans les cours de mécanique des fluides (I et II). À toutes fins utiles, on trouvera une synthèse sur les forces et couples aérodynamiques sur les avions dans les références bibliographiques [1, 2, 3, 4]. 1

8 2 INTRODUCTION

9 Chapitre 1 Performances des avions 1.1 Conventions de la mécanique du vol L atmosphère standard Les performances d un avion dépendent grandement des propriétés physiques (densité, température, pression) de l air dans lequel il vole. Pour pouvoir comparer les performances de divers appareils, on devra les placer dans des conditions atmosphériques semblables. Pour ce faire, on est convenu d effectuer les calculs de performances dans une atmosphère standard internationale (ISA). Cette atmosphère représente assez bien les conditions de température et de pression moyennes sur l année pour les climats tempérés d Europe et d Amérique du Nord 1. Les conventions de l atmosphère standard sont les suivant : l air est assimilé à un gaz parfait avec une constante massique R = 287 J/kg K, l air est sec, le vent météorologique est nul (pas de turbulence atmosphérique), l atmosphère est en équilibre hydrostatique, c est-à-dire dp = ρg(h) dh (1.1) où h est l altitude au-dessus du niveau de la mer. On peut encore réécrire cette équation d équilibre sous la forme dp = ρg 0 dh (1.2) en définissant l altitude géopotentielle H par dh = g(h)/g 0 dh où g 0 est l accélération de la gravité au niveau de la mer 2. 1 Il existe également des atmosphères standard représentant des conditions extrêmes, tropicale et polaire, voir plus avant. 2 À titre indicatif, la relation entre altitude vraie et altitude géopotentielle aux latitudes moyennes est tabulée ci-dessous. H (m) h (m)

10 4 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS Avec ces conventions, la spécification de la distribution de température en fonction de l altitude (géopotentielle) suffit à déterminer les conditions thermodynamiques en fonction de l altitude. En effet, en combinant l équation d équilibre hydrostatique (1.2) et l équation d état des gaz parfaits p = ρrt, on obtient dp p = g 0 dh (1.3) RT(H) qui permet de calculer la distribution de pression pour autant que l on spécifie la pression au niveau de la mer, et l on obtient ensuite la distribution de masse volumique par application de l équation des gaz parfaits. Aux latitudes moyennes (conditions tempérées), la distribution de température de l atmosphère standard du niveau de la mer à une altitude de 20 km est la suivante : Troposphère (0 H 11km) T = 288, 16 6, 5H(km) Stratosphère (11km H 20km) T = 216, 66 La frontière entre la troposphère et la stratosphère est appelée tropopause. Cette distribution de température est représentée à la figure suivante, de même que les distributions de température correspondant aux conditions tropicale et polaire. Avec une pression au niveau de la mer de 101,325 kpa, on obtient les expressions suivantes pour la distribution de pression : Troposphère (0 H 11km) p = 101, 325(1 22, H) 5,26 Stratosphère (11km H 20km) p = 22, 632 e 157,710 3 (H 11) Ces distributions, ainsi que celles de la masse volumique et de la viscosité sont tabulées à l annexe A, en termes de grandeurs relatives par rapport aux conditions au niveau de la mer Altitude et vitesse de l avion L altimètre La correspondance biunivoque entre altitude et pression dans l atmosphère standard est mise à profit dans l altimètre de l avion, qui consiste en un manomètre (mesure de p) dont l échelle est graduée en mètres (pieds) grâce à la relation entre pression et altitude. Contrairement aux manomètres de laboratoire qui sont généralement des manomètres à liquide (mercure, eau) et ne conviennent pas pour les avions, ce sont le plus souvent des manomètres à capsule (type Bourdon) dont la capsule est évacuée et qui se déforment en fonction de la pression extérieure. La déformation est communiquée à un système d aiguille qui se déplace sur l échelle. De nos jours, ces manomètres mécaniques sont de plus en plus souvent remplacés par des capteurs qui transforment la pression en signal électrique, mais les manomètres à capsule sont encore couramment employés en aviation générale. Comme l échelle est graduée à partir de l atmosphère standard, le pilote doit effectuer les corrections en fonction des conditions atmosphériques locales. Sur les avions de

11 1.1. CONVENTIONS DE LA MÉCANIQUE DU VOL 5 FIG. 1.1 Distribution de température en fonction de l altitude dans l atmosphère standard internationale ligne, ces données, communiquées par les tours de contrôle, sont intégrées par les ordinateurs de bord, qui effectuent automatiquement les corrections. L indicateur de vitesse La vitesse de l avion est déterminée par un tube de pitot situé au nez de l avion ou attaché à une aile. La différence de pression mesurée peut être reliée au nombre de Mach de vol par les relations suivantes (voir Mécanique des fluides, 2ème partie). subsonique p p = (1 + γ 1 2 M2 ) γ γ 1 1 Saint-Venant

12 6 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS Supersonique On a dans ce cas une onde de choc devant le tube de pitot, de sorte que la relation devient p p = ( (γ + 1)M 2 2 ) γ ( ) 1 γ 1 γ + 1 γ 1 1 Rayleigh 2γM 2 (γ 1) En mesurant simultanément p et p (par exemple avec l altimètre), on peut donc déterminer le nombre de Mach de vol M. L appareil basé sur ce principe est le machmètre. Si l on mesurait aussi la température T, on pourrait calculer la vitesse vraie V (= Ma = M γrt, où a est la vitesse du son). Si l on ne mesure que p, on peut calculer une vitesse dite vitesse conventionnelle (Calibrated Air Speed) V c en calculant un nombre de Mach fictif M à partir de p et de p 0 (pression au niveau de la mer en atmosphère standard), que l on multiplie ensuite par a 0 (vitesse du son au niveau de la mer). C est cette vitesse qui est affichée à l indicateur. Pour les faibles nombres de Mach, on peut linéariser l équation de Saint-Venant : p = γ M 2 p 0 2 V 2 c = M 2 γrt 0 = 2 p RT 0 = 2 p (1.4) p 0 ρ 0 Pour les avions volant à basse vitesse, l échelle de l indicateur de vitesse suit de près cette relation approchée. Finalement, on introduit le concept supplémentaire de vitesse équivalente ou équivalent de vitesse (Equivalent Air Speed) V E définie par V 2 E = ρ ρ 0 V 2 = 2q ρ 0 ou V E = σv (1.5) Cette vitesse n est pas directement accessible par la mesure de p mais elle s avère très utile pour les calculs puisque les coefficients aérodynamiques utilisent la pression dynamique q (= ρ 0 V 2 E ) comme pression de normalisation. Aux faibles nombres de Mach (pour lesquels l équation de Bernoulli est applicable), q p, de sorte que V E V c. Aux autres nombres de Mach, on calcule d abord V à partir de V c et de T et on calcule ensuite V E par sa définition. Signalons qu il existe une grande confusion à propos de ces diverses vitesses dans plusieurs ouvrages, dont celui de Houghton et Carruthers précédemment cité [1]. 1.2 Vol en palier horizontal stabilisé Équations d équilibre Conséquences immédiates Équations d équilibre Pour des avions qui possèdent un plan de symétrie (de loin le cas le plus fréquent, bien qu il existe certaines configurations asymétriques), l équilibre transversal est automatiquement assuré par la symétrie de la configuration, de sorte qu il suffit d étudier l équilibre dans le plan de symétrie. La configuration et le système de forces sont représentées à la figure suivante dans le

13 1.2. VOL EN PALIER HORIZONTAL STABILISÉ 7 cas plus général du vol incliné, où l on fait pour la première fois apparaître les FIG. 1.2 Vol stabilisé cas général θ angle d assiette : angle entre l axe de l avion et l horizontale géographique (attitude) α incidence : angle entre la direction de la vitesse (vent) et l axe de l avion γ pente : angle entre la direction de la vitesse et l horizontale géographique (γ = 0 en vol horizontal) Avec ces définitions, des trois angles sont reliés entre eux par θ = γ + α (1.6) trois systèmes d axes employés en mécanique du vol, à savoir les axes aérodynamiques (wind axes) x a, y a, z a définis par l alignement de l axe x a avec le vecteur vitesse de l avion, les axes liés à l avion (body axes) x, y, z (par exemple les axes principaux d inertie de l avion) et enfin les axes liés à la terre (earth axes) x 0, y 0, z 0 dont l axe z 0 est aligné avec l accélération de la gravité. On donnera les définitions complètes des trois systèmes d axes dans la deuxième partie de ce cours. Dans le schéma, on a représenté la force de propulsion inclinée d un angle α T α avec la direction de la vitesse, de sorte qu elle fait un angle ε = α α T avec l axe de l avion. Puisque la force de propulsion est solidaire de l avion, on peut alternativement définir l axe de l avion comme étant l axe d application de la force de propulsion mais il faut alors en tenir compte pour l évaluation des efforts aérodynamiques. Équilibre selon z a P cos γ F z T sin α T = 0 (1.7) Équilibre selon x a T cos α T F x P sin γ = 0 (1.8) Pour un vol horizontal à incidence modérée (α T 1), T F x. Or, en configuration normale F x F z, de sorte que T sin α T F z. En négligeant ce dernier terme, on obtient les équations simplifiées P F z = 0 T F x = 0 (1.9)

14 8 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS Conséquences Avec les définitions des coefficients aérodynamiques C z = F z qs C x = F x qs on obtient, en résolvant l équation d équilibre en sustentation pour la vitesse 2P V = (1.10) ρsc z Pour une charge alaire (P/S) et une altitude données, la vitesse ne dépend que du coefficient de portance, c est-à-dire de l incidence. Comme le coefficient de portance est fonction croissante de l incidence, il en résulte que la vitesse est une fonction décroissante de l incidence. Avec la définition de la vitesse équivalente (1.5), on obtient 2P V E = (1.11) ρ 0 SC z et l on constate que V E ne dépend pas de l altitude mais uniquement de l incidence. Pour le pilote, comme V E est directement reliée à l incidence de l avion, elle a une signification physique plus immédiate que V. À faible nombre de Mach, puisque V E V c, l indicateur de vitesse donne donc une indication utile de la configuration de vol Poussée requise, limitations calcul des performances pour un avion à réaction Poussée requise En divisant les deux équations (1.9) on obtient T P = C x C z et, puisque P est une donnée, on voit que T est proportionnel à C x /C z. Pour des vitesses modérées, ce rapport ne dépend que de l incidence α (plus généralement, il faudrait tenir compte également des effets des nombres de Reynolds et de Mach) ou encore de la vitesse équivalente, étant donné la relation entre incidence et vitesse équivalente. À partir de la polaire de l avion (courbe C z en fonction de C x graduée en incidence), on peut facilement déterminer la fonction C x /C z (V E ), que l on a représenté ci-dessous. On s aperçoit que, pour une poussée T donnée, il existe deux configurations de vol possibles, une correspondant au régime lent et l autre au régime rapide et qu il existe une vitesse équivalente (incidence) particulière pour laquelle la poussée requise est minimale.

15 1.2. VOL EN PALIER HORIZONTAL STABILISÉ 9 FIG. 1.3 Poussée requise au vol en palier La polaire des avions est en général bien approchée par une expression de la forme C x = C x,0 + kc 2 z (1.12) où C x,0 est la traînée dite parasite, essentiellement visqueuse, et le deuxième terme est la traînée de portance, traînée induite et traînée d onde pour les vols supersoniques. Avec une telle expression, on peut déterminer analytiquement le C z correspondant à la traînée minimum et donc à la poussée requise minimum. d(c x /C z ) = C x,0 dc z C 2 + k = 0 z C z,tmin = C x,0 k C x,tmin = 2C x,0 ) C x = 4kC x,0 (1.13) C z min Remarquez que la configuration de traînée minimale correspond à l égalité de la traînée parasite et de la traînée de portance. Limitations Décrochage De l équilibre en sustentation, on a 2P V E = ρ 0 SC z

16 10 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS Or, C z prend une valeur maximum au décrochage (= C z,max ). On en déduit qu il existe une valeur minimale de la vitesse 2P V E,min = (1.14) ρ 0 SC z,max indépendante de l altitude et qui peut donc être inscrite sur l indicateur de vitesse 3. On a en général deux valeurs de V E,min selon que les volets hypersustentateurs sont déployés ou non. Dans la pratique, on impose une limite inférieure de vitesse égale à 1, 3V E,min et c est à cette vitesse qu on atterrit. Vitesse maximum La vitesse maximum atteignable est donnée par la poussée maximum disponible. Avec l expression approchée de la traînée (1.12), on obtient C z,vmax = 1 ) 2 2k (T max (Tmax P 2P 4kC x,0) V E,max = P ρ 0 SC z,vmax (1.15) Performances en vol stabilisé Domaine de vol Pour déterminer les performances d un avion, il faut superposer à la courbe C x /C z (V E ) les courbes de poussée du moteur en fonction de l altitude et de la position de la manette des gaz. Le calcul des performances en termes de poussée convient particulièrement bien aux avions turboréactés pour lesquels la poussée varie peu avec la vitesse (voir figure). À chaque altitude, on détermine ainsi une FIG. 1.4 Courbes de poussée disponible pour les hélices entraînées par moteur à piston et pour les turboréacteurs vitesse équivalente maximum et minimum (le plus souvent fixée par la limite de décrochage) et on peut calculer les vitesses vraies correspondantes. Ceci définit dans le plan H, V une courbe appelée l enveloppe de vol stabilisé et qui contient le domaine de vol. On observe sur l enveloppe de vol l avantage de voler en altitude : la vitesse maximale est atteinte en altitude, pour une poussée et donc une consommation plus faible. On déterminera de telles enveloppes de vol aux exercices. 3 En aviation générale, il existe également un avertisseur sonore qui prévient le pilote lorsqu il s approche trop de cette limite.

17 1.2. VOL EN PALIER HORIZONTAL STABILISÉ 11 FIG. 1.5 Enveloppe de vol typique Stabilité de propulsion Examinons ce qui se passe si l on perturbe légèrement un vol stabilisé, Supposons que l avion subisse une perturbation de vitesse V. régime rapide Si V > 0, on voit que C x /C z augmente, alors que T/P reste constant. L avion a donc tendance à ralentir, le régime de vol est statiquement stable. régime lent En effectuant le même raisonnement, on constate que le régime lent est statiquement instable. C est donc un régime dangereux, qu il convient d éviter, particulièrement lors des phases de décollage ou d atterrissage. En effet, si la vitesse tombe sous la vitesse de poussée requise minimale, il n est pas toujours possible d augmenter la poussée (en poussant la manette) suffisamment ou assez vite pour éviter le décrochage. On pourrait penser que cette limitation est plus restrictive que la limitation liée au décrochage mais à l atterrissage, en raison du déploiement des spoilers, volets et train d atterrissage, le C x,0 augmente brutalement, ce qui déplace le C z,tmin vers le haut et élargit donc la zone de régime rapide vers les basses vitesses Puissance requise calcul des performances pour un avion à hélice Puissance requise Pour les avions à hélice, il est plus commode d exprimer les caractéristiques du moteur en termes de puissance, car pour ce type de propulsion, la puissance fournie dépend peu de la vitesse (voir figure). Il faut donc évaluer la puissance requise au vol. Celle-ci s exprime par W = TV (1.16)

18 12 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS FIG. 1.6 Courbes de puissance disponible pour les hélices entraînées par moteur à piston et pour les turboréacteurs et, puisque T P = C x = C x,0 2P + kc z et V = C z C z ρsc z il en résulte que ou encore W = P 3/2 2 C x ρs C 3/2 z ρ W = P 3/2 ρ 0 2 ρ 0 S C x C 3/2 z (1.17) (1.18) dont le membre de droite est indépendant de l altitude et peut être porté en graphique en fonction de la vitesse équivalente. Calculons, pour une altitude donnée, la puissance minimum requise au vol. d(c x /C 3/2 z ) dc z = 3 2 C z,wmin = 3C x,0 k C x,0 C 5/2 z k C 1/2 z C x,wmin = 4C x,0 = 0 ) C x 4C x,0 = (1.19) C 3/2 z min (3C x,0 /k) 3/4 On constate que C z,wmin > C z,tmin et donc que V E,Wmin < V E,Tmin. Calcul des performances en termes de puissance Semblablement à ce qui a été fait sur le diagramme de poussée, les régimes de vol possibles et donc l enveloppe de vol peuvent se calculer en reportant les caractéristiques du propulseur sur le diagramme de puissance requise multipliée par σ. Pour les avions à hélice, on peut faire les observations suivantes : Du fait que V E,Wmin < V E,Tmin et que d autre part la puissance disponible ne croît que légèrement avec la vitesse pour les avions à hélice (voir Fig. 1.6), il n y a quasiment pas de régime lent pour ces appareils. Il y a donc peu de risques d instabilité de propulsion.

19 1.2. VOL EN PALIER HORIZONTAL STABILISÉ 13 FIG. 1.7 Puissance requise au vol en palier Du fait que la puissance disponible est approximativement proportionnelle à la masse volumique, W disp σ σ 3/2 décroît rapidement avec l altitude. Il en résulte que le plafond est généralement plus faible pour les avions à hélice que pour les avions à réaction. En outre, l enveloppe de vol est moins penchée vers les hautes vitesses comme illustré cidessous pour le Cherokee Arrow 4. Il est donc moins intéressant de voler en altitude Distance franchissable Définitions La connaissance du vol en palier horizontal stabilisé va nous permettre de calculer approximativement la distance franchissable ou encore rayon d action de l avion. Il existe trois définitions du rayon d action. Rayon d action de sécurité Distance horizontale maximum entre deux aéroports que peut parcourir un avion de manière sécuritaire en effectuant un service régulier et fiable. Pour calculer ce rayon d action, il faut tenir compte d énormément de facteurs comme 4 Noter la limite de décrochage qui apparaît très clairement.

20 14 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS FIG. 1.8 Enveloppe de vol pour le Cherokee Arrow carburant consommé au décollage, montée initiale/descente finale, règles de sécurité qui exigent de conserver à tout moment suffisamment de carburant pour pouvoir se détourner, conditions météo défavorables (vent de face),... Ceci rend le calcul extrêmement long et complexe. C est pourquoi on utilise également deux définitions simples mais nécessairement plus artificielles, qui sont surtout utiles pour comparer deux appareils entre eux. Rayon d action SAR (still air range) On suppose que l avion décolle réservoir plein, rejoint ses conditions de vol de croisière (altitude, vitesse) et poursuit son vol jusqu à épuisement du carburant. Le SAR est la distance franchie, à l exclusion du décollage. Rayon d action GSAR (gross still air range) On considère un scénario encore plus simple : soit l avion initialement dans les conditions de vol de croisière, réservoirs pleins. Le GSAR est la distance qu il franchirait en palier jusqu à épuisement du carburant. Ce concept est évidemment extrêmement artificiel mais il offre l avantage d être très simple à calculer et de fournir les tendances du rayon d action avec divers paramètres.

21 1.2. VOL EN PALIER HORIZONTAL STABILISÉ 15 Calcul du rayon d action pour un avion à réaction Pour un avion à réaction, on définit la consommation spécifique comme c = q [ ] c débit de carburant kg/s = (1.20) T poussée N Elle est en première approximation constante lorsque la vitesse varie. On aura alors dp = g ct (1.21) dt Or, en palier, T = P(C x /C z ). Donc, dp dt = g cc x P ou encore dt = C z dp C z g cc x P Pendant un temps dt, l avion parcourt une distance dx = Vdt, d où (1.22) dx = C z dp g cc x P = C zv dm (1.23) cc x P Cette relation permet de définir deux grandeurs : le rayon d action spécifique (RAS) : distance parcourue en brûlant une unité de masse de carburant RAS = C [ ] zv m (1.24) cc x P kg le rayon d action spécifique unitaire (RASU) : distance parcourue en brûlant une unité de masse de carburant par unité de masse de l avion RASU = C zv g cc x [m] (1.25) En supposant un RASU constant, on peut intégrer l équation (1.23) pour obtenir X(GSAR) = C zv ln P 1 (1.26) g cc x P 2 où P 1 est le poids initial de l avion et P 2 le poids après épuisement du carburant. Cette formule est connue dans la littérature sous le nom de formule de Bréguet-Leduc, bien que ses origines réelles soient obscures [2]. Elle permet d étudier qualitativement comment on peut améliorer le rayon d action, à savoir augmenter C z /C x : tâche de l aérodynamicien, diminuer c : tâche du motoriste, augmenter ln P 1 P 2, soit en augmentant la taille des réservoirs, soit en réduisant le poids à vide, ce qui est la tâche du structuriste. En toute généralité, pour intégrer (1.23), il faut faire une hypothèse sur le scénario de vol. Les trois variables C z, V et ρ étant liées par l équilibre en sustentation, seules deux peuvent être fixées librement. On a donc 3 scénarios possibles avec deux de ces grandeurs constantes, à savoir

22 16 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS 1. ρ (altitude) et C z constants, 2. V et C z constants, et 3. ρ (altitude) et V constants. et ce n est que pour le deuxième scénario que le RASU est constant (en supposant la consommation spécifique c indépendante de l altitude et de la vitesse). Comme le poids diminue au cours du vol, il faut dans ce deuxième scénario que ρ diminue proportionnellement, c est-à-dire que l avion monte. C est pourquoi on nomme ce scénario croisière ascendante. Puisque le coefficient de portance et donc la finesse sont constants, la poussée doit diminuer également proportionnellement au poids et donc à ρ. Ceci se réalise très facilement dans la stratosphère car dans la stratosphère, T ρ à position de la manette des gaz constante. Ce n est pas le cas dans la troposphère et par conséquent, pour réaliser le scénario de croisière ascendante dans la troposphère, le pilote doit constamment ajuster la position de la manette des gaz afin de faire varier T proportionnellement à ρ. On peut obtenir l expression analytique du rayon d action pour les deux autres scénarios également [3], et l on constate que, parmi les trois scénarios, c est la croisière ascendante qui fournit le plus grand rayon d action. En pratique toutefois, ce scénario n est en général pas autorisé par les autorités du contrôle aérien, mais bien plutôt le scénario ρ, V constants. Pour bénéficier de l avantage fourni par le scénario de croisière ascendante, on peut s en approcher par un vol à altitude constante par morceaux. Cette méthode est couramment utilisée pour les vols long-courriers comme les vols transcontinentaux ou transocéaniques. Calcul du rayon d action pour un avion à hélice Pour un avion à hélice, on utilise la notion d efficacité du moteur plutôt que la notion de consommation spécifique, à savoir η m = W m q c L = Puissance [W] débit de carburant [kg/s] pouvoir calorifique [J/kg] car η m dépend peu de la vitesse. On peut alors écrire g q c = dp dt = g W m η m L (1.27) Le rendement de propulsion η p étant lui défini comme le rapport entre la puissance propulsive W = TV et la puissance mécanique à l arbre du moteur W m, on en déduit et donc dp dt = g TV η p η m L = gp C x V ηl C z } {{ } η dx = ηl g C z dp C x P RASU = ηl g C z C x (1.28)

23 1.2. VOL EN PALIER HORIZONTAL STABILISÉ 17 Optimisation du rayon d action Avion à réaction Pour optimiser le rayon d action, il faut maximiser à chaque moment le rapport VC z /C x. Or, comme on l a mentionné précédemment, parmi les trois variables ρ, V et C z, deux sont indépendantes. Le problème d optimisation dépendra donc de la contrainte (relation entre les variables indépendantes) imposée. 1. Optimisation à ρ imposé ρ étant imposé, l optimum s obtient par d dc z ( ) VCz C x ρ = 0 Comme V est lié à C z par l équation de sustentation, VC z C1/2 z C x Avec la polaire parabolique, on obtient alors l optimum pour C z ) rao = Cx,0 3k C x V rao = [ ] 1/4 2P 3k (1.29) ρs C x,0 Il faut remarquer que ce n est pas parce que ρ est imposé qu il est constant au cours du vol. C est le cas dans les scénarios 1 et 3, mais pas pour la croisière ascendante. Dans ce dernier cas, ρ évolue au cours du vol, mais sans être néanmoins une variable pour l optimisation, car son évolution est entièrement régie par l évolution du poids P. 2. Optimisation à position de la manette des gaz imposée La contrainte d une position de la manette des gaz fixe impose une relation entre la vitesse V et les coefficients aérodynamiques. En effet, on a, par l équation de propulsion T(ρ, Π) = ρ V2 2 SC x Si l on suppose qu à position de la manette des gaz (Π) donnée la poussée T soit proportionnelle à ρ, ce qui est le cas dans la stratosphère comme on l a mentionné précédemment, ceci devient T 0 (Π) = ρ 0 V 2 2 SC x V C 1/2 x VC z C x C z C 3/2 x Avec la polaire parabolique, on obtient alors l optimum pour C z ) rao = Cx,0 2k V rao = [ ] 1/4 2P 2k (1.30) ρs C x,0

24 18 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS L altitude correspondant à l optimum résulte alors de l équation de sustentation ρ = 2P V 2 SC z 3. Optimisation à V imposée Dans ce cas, la solution est élémentaire, l optimum est atteint pour l incidence de finesse maximum. Dans ce cas également, ρ est déduit de l équilibre en sustentation. Parmi ces trois optimisations, c est certainement la première qui a le plus de signification pratique. Examinons l influence de diverses variables sur le rayon d action optimum donné par la formule de Breguet-Leduc (croisière ascendante) dans ce cas. X opt = C zv rao ln P 1 g cc x P 2 P Comme V rao S (aussi bien pour l optimisation à position de manette des gaz imposée qu à altitude imposée d ailleurs), il apparaît que le rayon d action est fonction croissante de la charge alaire P/S (que l on augmente en réduisant la surface alaire, pas en augmentant le poids!). L augmentation du rayon d action est donc un objectif en contradiction avec la réduction de la vitesse d atterrissage (décollage/atterrissage courts). Des valeurs typiques de la charge alaire sont de l ordre de 4800 à 5800 Nm 2 (480 à 580 kgm 2 ) pour les avions de ligne long-courriers, de 2400 Nm 2 pour les court-courriers et les chasseurs, et de 720 à 960 Nm 2 pour l aviation générale. Enfin, comme V rao [ k C x,0 ] 1/4 mais que par ailleurs (C z /C x ) rao [kc x,0 ] 1/2, on augmente le rayon d action en réduisant k (c est-à-dire en augmentant l allongement) mais surtout C x,0. Avion à hélice Dans le cas de l avion à hélice, la vitesse n intervenant pas dans l expression du RASU, le rayon d action maximum s obtient en maximisant la finesse C z /C x, quelle que soit la contrainte imposée (altitude, position de la manette des gaz ou vitesse) Endurance L endurance est le temps de vol correspondant au rayon d action GSAR. Pour un avion à réaction, on avait (1.21) dp dt = g ct Pour une incidence donnée et en considérant une consommation spécifique constante, on obtient en intégrant T = C z g cc x ln P 1 P 2 (1.31)

25 1.3. VOL STABILISÉ INCLINÉ (MONTÉE/DESCENTE) 19 et l on voit que l endurance est optimisée à l incidence de finesse maximum. Pour un avion à hélice, on avait dp dt = gp C x V dt = ηl C z dp ηl C z g VC x P L endurance est donc optimisée en maximisant ηl C z g VC x, et il faut spécifier une relation entre les variables indépendantes pour définir précisément le problème d optimisation. Pour une altitude imposée (cas le plus intéressant en pratique), V C 1/2 z de sorte qu il faut maximiser le rapport C 3/2 z /C x, soit le même problème que pour obtenir une puissance requise minimale Vol stabilisé incliné (montée/descente) Conséquences des équations d équilibre Comme pour le vol horizontal, on simplifie les équations d équilibre ( ) en négligeant T sin α T par rapport à F z et en supposant cos α t 1, qui deviennent dès lors P cos γ F z = 0 T F x P sin γ = 0 (1.32) Examinons à présent les conséquences de nos hypothèses de vol incliné stabilisé. Ces conditions s expriment mathématiquement par V = cste, γ = cste. Comme P cos γ = F z = ρ V2 2 SC z, il en résulte que le produit ρc z doit rester constant (en ignorant la variation de masse due à la consommation de carburant). Pour un vol en montée (γ > 0), on en déduit que la diminution de ρ au cours du vol doit s accompagner d une augmentation de l incidence, c est-à-dire qu il faut tirer sur le manche au fur et à mesure que l on monte. D autre part, l équation de propulsion donne T = P sin γ + C x C z F z = P sin γ + C x C z P cos γ En régime rapide, C x /C z diminue lorsque l incidence augmente. D autre part, ρ diminue. Cet effet étant en général prépondérant, le pilote devra donc augmenter les gaz. On voit que la manœuvre considérée est loin d être simple (elle nécessite d ajuster simultanément l incidence et la manette des gaz) et, pour la réaliser, le pilote doit surveiller son indicateur de vitesse ascensionnelle (variomètre). C est pourquoi on doit parfois tenir compte des variations 5 Ceci est assez logique car, la puissance étant une énergie par unité de temps, pour une énergie donnée (l énergie de combustion contenue dans le carburant), le temps est maximisé en minimisant la puissance consommée

26 20 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS de vitesse ( dv dγ dt ) et de pente ( dt ), qui font apparaître dans les équations d équilibre des termes d inertie sustentation propulsion P cos γ F z = P g T F x P sin γ = P g V 2 R = P g Vω = P g V dγ dt dv dt (1.33) Dans cette section, on supposera la manœuvre parfaite et donc les termes d inertie négligeables Cas particulier : le vol plané Dans ce cas, il n y a pas de poussée (T = 0), de sorte que les équations deviennent dont on déduit directement P cos γ F z = 0 F x P sin γ = 0 (1.34) tan γ = F x F z = C x C z (1.35) Considérons le cas d un avion à une altitude H donnée et dont les moteurs s arrêtent brutalement. Il va commencer à planer. La distance qu il va parcourir avant d atteindre le sol sera X = 0 H dh tan γ Si l on désire maximiser cette distance (rayon d action maximum en vol plané), il faudra minimiser tan γ. L équation (1.35) nous montre que ceci est obtenu à l incidence de finesse maximum, et que la pente minimum est indépendante de l altitude et du poids de l avion. Il ne sert donc à rien de jeter du lest dans l espoir d aller plus loin. Calculons à présent la vitesse de descente. w d = V sin γ Mais sin γ = cos γ tan γ = cos γc x /C z. Déduisant la vitesse de l équation de sustentation, on obtient 2P cos γ w d = cos γ C x 2P C x = cos γ 3/2 (1.36) ρsc z C z ρs C 3/2 z dans laquelle le dernier terme peut être négligé pour les faibles angles de descente. On en déduit que la vitesse de descente dépend effectivement du poids de l avion ainsi que de l altitude. Pour un poids et une altitude donnés, on minimise w d (ce qui est équivalent à maximiser le temps en l air, c est-à-dire l endurance) à l incidence minimisant C x /C 3/2 z, soit l incidence de puissance requise pour le vol horizontal minimale (voir section 1.2.3). Cette situation

27 1.3. VOL STABILISÉ INCLINÉ (MONTÉE/DESCENTE) 21 est parfois recherchée par les pilotes de planeur qui désirent rester en l air le plus longtemps possible dans l espoir d amélioration des conditions météorologiques (apparition d ascendances). Pour des angles de descente plus importants, il faut tenir compte du facteur cos γ 3/2. On peut consulter à ce sujet l ouvrage de Houghton et Carruthers [1], section On pourra consulter la même référence (section ) pour un calcul complet du temps de descente d un planeur Vol motorisé : vitesse ascensionnelle maximum Reprenons les équations d équilibre simplifiées (1.32) P cos γ F z = 0 T F x P sin γ = 0 De la deuxième de ces deux équations, on tire la pente sin γ = T F x P (1.37) et, en multipliant par la vitesse, on obtient la vitesse ascensionnelle w a = V sin γ. Point de vue de l avion à réaction Nous allons tenter de déterminer dans quelles conditions d incidence on pourra obtenir une vitesse ascensionnelle maximum avec un avion à réaction (T indépendant de V). Faisons l hypothèse de faibles angles de montée (cos γ 1). Il en résulte F z P, de sorte que sin γ = T F x P = T P C x C z On en déduit que l angle de montée maximum est obtenu à l incidence de finesse maximum. Cette condition de vol peut avoir une signification pour le décollage ou l atterrissage avorté. Multipliant par V, on obtient la vitesse ascensionnelle ( 2P cos γ T w a = ρsc z P C ) x C z Pour maximiser la vitesse ascensionnelle, il faudra donc maximiser le produit C 1/2 z (T/P C x /C z ). Avec une polaire parabolique, cela conduit à l équation 1 T 2 P C 3/2 soit, en multipliant par C 5/2 z, z C x,0 C 5/2 z 1 2 kc 1/2 z = 0 kc 2 z + T P C z 3C x,0 = 0 (1.38)

28 22 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS qui est une équation du second degré en C z assez simple à résoudre. Remarquons que T/P variant avec l altitude, la vitesse ascensionnelle maximum sera atteinte pour des incidences qui varieront avec l altitude. Exemple 1.1 Considérons un avion de polaire parabolique dont les caractéristiques sont les suivantes : ) C z P = 100 kn = f max = 12 V E,Tmin = 110 ms 1 C x max et dont la poussée varie comme suit avec l altitude H (km) T (kn) Calculons la vitesse ascensionnelle maximum à ces diverses altitudes. Réécrivons tout d abord (1.38) en faisant apparaître le rapport λ = C z /C z,tmin. Or, kc 2 z,tmin = C x,0 et kc 2 z,tmin λ2 + T P C z,tminλ 3C x,0 = 0 C z,tmin P = C x,tmin T min = 2C x,0 T min de sorte qu en simplifiant par C x,0 on obtient finalement λ T λ 3 = 0 T min où T min = P/f max = 8.33 kn. On calcule alors aisément w a,max. Comme 1+λ C x = C 2 x,tmin = 1+λ2 C 2 2 z,tmin /f max, ( 2P T w a,max = ρsc z P C ) ( x 2P T = λ 1/2 C z ρsc z,tmin P 1 ) 1 + λ 2 2f max λ = 1 ( 2P T λ 1/2 σ ρ 0 SC z,tmin P 1 ) 1 + λ 2 2f max λ = V ( E,Tmin T λ 1/2 σ P 1 ) 1 + λ 2 2f max λ Avec les données ci-dessus, on obtient H (km) λ w a,max (ms 1 ) Le plafond absolu de 12.2 km est assez académique et l on préfère définir un plafond de service (de manœuvre) qui est l altitude à laquelle w a,max prend une valeur prescrite (150 m/min = 2.5 ms 1 ). À cette altitude, l avion dispose d une certaine réserve de manœuvre qui peut s avérer nécessaire. Point de vue de l avion à hélice Lorsque l angle de montée est faible (< 13 ), les changements de portance, traînée et vitesse causées par l inclinaison de la trajectoire peuvent être négligés. Dès lors, la puissance requise pour vaincre la traînée diffère peu de celle du vol horizontal dans les mêmes conditions d altitude et de vitesse (c.-à-d. d incidence). Dans

29 1.3. VOL STABILISÉ INCLINÉ (MONTÉE/DESCENTE) 23 ces conditions, si dans une configuration de vol donnée, on dispose d un excès de puissance W, celui-ci provoquera une vitesse ascensionnelle w a telle que w a P = W, ce que l on voit immédiatement en multipliant (1.37) par V, w a = V sin γ = V T F x P = W disp W req P = W P Pour maximiser la vitesse ascensionnelle, il faut donc maximiser W. Si l on prend comme hypothèse simplificatrice que la puissance disponible est indépendante de la vitesse, alors le taux de montée maximum est obtenu dans la configuration de puissance requise minimale (voir section 1.2.3). L angle de montée maximum peut être calculé et conduit à la résolution d une équation non-linéaire [1]. On consultera également l ouvrage de Houghton et Carruthers pour les corrections exigées par les angles de montée importants Temps de montée. Méthode de l énergie totale Dans le paragraphe précédent, on a calculé la vitesse de montée avec l hypothèse d un vol stabilisé (V = cste) mais par ailleurs, on avait vu que réaliser une telle configuration de vol nécessitait une manœuvre difficile. En tenant compte des effets d accélération mais en supposant toujours γ = cste, les équations du mouvement sont P cos γ F z = 0 T F x P sin γ = P g dv dt (1.39) La deuxième équation peut se réécrire comme suit T F x = P sin γ + P g dv dt = P V w a + P dv dh g dh dt = w a par définition de w a = dh/dt. Résolvant pour w a, il vient P V (1 + V g dv dh ) w a = V T F x P(1 + V dv g dh ) (1.40) Si l on emploie cette formule dans le cas de l avion à réaction considéré précédemment, on obtient, à l altitude de 6 km, un écart de 7,6 % sur la valeur de w a, ce qui est loin d être négligeable. Pour beaucoup d avions, en particulier les avions de chasse, ce que l on requiert est qu ils atteignent le plus rapidement possible une altitude et une vitesse données. La trajectoire de montée sera constituée des phases suivantes : 1. à l altitude de départ, transition aux conditions optimales de montée, 2. trajectoire optimum de montée,

30 24 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS 3. à l altitude finale, transition à la vitesse prescrite. Pour analyser ce problème, il est commode d introduire le concept de hauteur totale. Reprenons l équation de propulsion (1.39). On a T F x = P [ dh V dt + V ] dv = P dh e où h e = h + V2 (1.41) g dt V dt 2g et l on appelle h e la hauteur totale. Elle est intimement liée à l énergie mécanique totale de l avion E = mg h + m V2 2 = mg h e = Ph e Pour obtenir le temps de montée minimum, il faudra, à chaque altitude, se trouver au point où dh e /dt est maximum. Ceci peut se représenter graphiquement de la manière suivante. En chaque point de l enveloppe de vol, on calcule dh e dt = V(T(ρ, 1) F x) P où T(ρ, 1) représente la poussée maximum (position de la manette des gaz à fond, Π = 1) à l altitude considérée. D autre part, F x se calcule aisément à partir de la polaire et de l équilibre en sustentation. Comme on a négligé les variations de pente, et en supposant par ailleurs l angle de montée faible, on a F z = P = ρ V2 2 SC z de sorte qu on peut calculer C z en chaque point de l enveloppe de vol. On déduit C x de l expression de la polaire, ce qui permet finalement de calculer F x. On porte alors en graphique dans le plan h, V les courbes iso-dh e /dt, que l on appelle parfois courbes iso-réserve de manœuvre, dh e /dt étant appelée la réserve de manœuvre. On porte sur le même graphique les courbes iso-h e, qui sont des paraboles. On en donne des exemples à la figure suivante, pour le cas d un appareil soussonique hypothétique et d un chasseur supersonique ancien (Lockheed F-104G), avec la trajectoire de montée optimale, qui est le lieu des points où les courbes iso-h e sont tangentes aux courbes iso-réserve de manœuvre. Dans le cas du chasseur supersonique, on constate que la trajectoire de montée optimale est assez complexe, se subdivisant en une montée soussonique suivie d un piqué à hauteur totale constante et enfin d une montée supersonique. Ceci est dû aux caractéristiques aérodynamiques particulières du régime transsonique, notamment l augmentation sensible du coefficient de traînée dans ce régime (mur du son). La courbe dh e /dt = 0 n est rien d autre que l enveloppe de vol définie précédemment. Comme on l avait souligné pour le plafond absolu, on ne dispose en ces points d aucune réserve de manœuvre. En pratique, on ne peut atteindre tous les points de cette enveloppe car d autres limitations s y ajoutent, telles que décrochage (déjà mentionné), tremblement (buffet) et flottement (flutter),

31 1.4. MANŒUVRES ENVELOPPE DE MANŒUVRE 25 (a) avion soussonique (a) avion supersonique (Lockheed F-104G) FIG. 1.9 Diagramme h e -dh e /dt pour la détermination de la trajectoire de montée optimale nombre de Mach maximum, limitations structurales, limitations dues au moteur (instabilité de combustion). 1.4 Manœuvres Enveloppe de manœuvre Décollage et atterrissage Bien qu il ne s agisse pas de conditions de vol à proprement parler, les phases de décollage et d atterrissage revêtent néanmoins une grande importance pour des raisons opérationnelles, et sont parfois des facteurs critiques dans la conception d un avion. Les paramètres déterminants sont évidemment la distance de décollage/atterrissage et, dans une moindre mesure, le temps correspondant. Décollage Pour les avions à train tricycle (configuration la plus courante de nos jours), la manœuvre de décollage se décompose en trois parties, à savoir l accélération au sol, la manœuvre de rotation par laquelle le pilote soulève le nez de l avion, lui donnant de la sorte une incidence positive, et enfin la montée initiale (voir figure). Selon les règles de certification en vigueur, la manœuvre prend fin lorsque l avion a atteint une hauteur de 35 pieds (10,7 m) et la distance totale de décollage est la distance horizontale parcourue depuis la position initiale de l avion. Analysons tout d abord la phase d accélération au sol au cours de laquelle l avion est accéléré jusqu à une vitesse supérieure à la vitesse minimum en

32 26 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS FIG Schéma de la manœuvre de décollage selon la norme FAR Part 25 (aviation de ligne) vol horizontal stabilisé. L équation du mouvement est simplement P dv g dt = T F x µ(p F z ) où µ est le facteur de frottement sur la piste, de l ordre de 0.02 pour une piste asphaltée et 0.10 pour une pelouse. En première approximation, négligeons la traînée et la résistance de roulement on reviendra sur cette approximation par la suite et supposons la poussée indépendante de la vitesse (approximation acceptable pour les avions à réaction). Dans ces conditions, l équation du mouvement (uniformément accéléré) s intègre aisément et donne s déc = P T V 2 déc 2g (1.42) La vitesse de décollage V déc est généralement fixée à 1,2 fois la vitesse de décrochage V s, de sorte qu avec on obtient V s = 2P ρsc z,max s déc = P (P/S) = P 1, 44(P/S) = P 1, 44(P/S) T ρ 0 σgc z,déc T ρ 0 σgc z,max T 0 ρ 0 σ 2 (1.43) gc z,max si l on suppose que la poussée T est proportionnelle à la masse volumique ρ. Bien que résultant d une analyse simplifiée à l extrême, cette expression est néanmoins utile en ce sens qu elle permet d identifier l influence des divers paramètres affectant la distance au sol. Ainsi, on constate que la distance au sol est extrêmement sensible au poids, variant quadratiquement avec celui-ci, la distance au sol dépend fortement des conditions atmosphériques locales, étant inversément proportionnelle au carré de la masse volumique, la distance au sol diminue en augmentant la surface alaire, le C z,max et la poussée. Comme on l a mentionné précédemment, l augmentation de la surface alaire influence cependant négativement la distance fran-

33 1.4. MANŒUVRES ENVELOPPE DE MANŒUVRE 27 chissable. C est également le cas de l augmentation de la poussée car elle ne peut s obtenir que par l installation d un moteur plus lourd. Évaluons à présent l influence de la résistance à l avancement. Celle-ci comprend d une part la traînée aérodynamique et d autre part la résistance de roulement. La traînée aérodynamique s exprime par la relation habituelle F x = ρ V2 2 SC x mais deux effets soivent être pris en compte pour l évaluation du C x : 1. l effet du déploiement des volets, qui se manifeste par une augmentation du coefficient de traînée parasite par rapport à la configuration normale (volets non déployés), et 2. l effet de sol, qui se manifeste par une diminution de la traînée induite. Ce dernier effet, qui est la cause de la tendance des avions à «flotter» au moment de l atterrissage, peut s évaluer approximativement par la méthode des images [4], qui fournit l expression suivante du coefficient de réduction de la traînée induite : φ = (16h/πb)2 1 + (16h/πb) 2 (1.44) où h est la hauteur de l aile au-dessus du sol et b son envergure. Pour h/b = 0.1, on trouve ainsi φ = 0.2, soit une réduction de 80% de la traînée induite. La résistance de roulement, elle, est proportionnelle à la différence entre le poids et la portance, qui s exprime selon l expression habituelle, mais pour la configuration volets déployés et à l incidence au sol. On constate que tant la traînée aérodynamique que la résistance au roulement sont des fonctions linéaires de la pression dynamique, tout comme (en première approximation) la distance parcourue depuis le repos. De plus, elles varient en sens inverse, de sorte que leur somme est approximativement constante au cours de la phase d accélération. Une méthode simple couramment utilisée pour tenir compte de ces résistances consiste dès lors à considérer une résistance moyenne, évaluée à une vitesse égale à 70% de la vitesse de décollage [2]. Cette méthode fournit des valeurs de la distance au sol correctes à quelques pourcents près. La résistance à l avancement (traînée aérodynamique plus résistance au roulement) représente typiquement de 10 à 20% de la poussée disponible. La manœuvre de rotation est entamée au sol (à une vitesse V R inférieure à la vitesse de décollage V déc ). Le pilote tire sur le manche pour défléchir la gouverne de profondeur vers le haut. Ceci crée un couple aérodynamique cabreur qui met l avion en rotation à une vitesse de rotation de l ordre de 3 à 4 degrés par seconde, jusqu à ce qu il atteigne l incidence de décollage, alors que l accélération se poursuit pour amener l avion à la vitesse V déc. Au moment où il atteint ces vitesse et incidence, l avion quitte le sol. La trajectoire de l avion après le décollage se calcule à partir des équations du vol incliné accéléré (1.33) auxquelles s ajoute l équation de rotation de

34 28 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS tangage qui régit l évolution de l angle de pente. Dans cette phase de vol, les effets instationnaires doivent cependant être pris en compte. En particulier, la portance ne s établit pas instantanément. On reviendra sur cette question dans la deuxième partie du cours lors de l étude de la dynamique de l avion au voisinage d un point d équilibre. Pour des calculs préliminaires, on préfère souvent utiliser le modèle simplifié suivant : on approxime la trajectoire de l avion lors de cette phase d arrondi par un arc de cercle. Dès lors, les hauteur et pente en fin d arrondi étant respectivement h et γ, la distance parcourue du point de décollage à la fin de l arrondi est s 2 2 h tan γ (1.45) La hauteur h est prise égale à 35 pieds et la pente est calculée en considérant un vol incliné stabilisé (1.32), de sorte que tan γ sin γ = T F x P T P C x C z On constate que s 2 est d autant plus faible que l angle de montée est grand, c est-à-dire que le rapport poussée/poids et la finesse sont élevés. Ceci explique en partie pourquoi on préfère ne déployer que partiellement les volets lors du décollage. La distance en l air du point de décollage au point où l avion atteint la hauteur prescrite peut représenter de l ordre de 50% de la distance au sol [4]. Après avoir atteint la hauteur nominale, le train d atterrissage et les volets sont rentrés, ce qui a pour effet de réduire le coefficient de traînée, mais aussi le coefficient de portance. Il en résulte d une part que l incidence doit être augmentée pour compenser la rentrée des volets et d autre part que l angle de montée augmente. Atterrissage L analyse de l atterrissage est en tous points semblable à celle du décollage. L atterrissage se décompose également en trois parties, à savoir l approche, l arrondi et le freinage au sol (voir figure). L approche, qui constitue la phase finale de la descente, s effectue avec un angle de descente de 3 à 5 (3 pour une descente aux instruments). La vitesse à l entame de l approche (à la hauteur de 50 pieds) doit être 30% plus élevée que la vitesse de décrochage dans les conditions d atterrissage, c est-à-dire volets complètement déployés. En effet, une traînée importante n est pas néfaste à l atterrissage puisqu elle contribue à augmenter l angle de descente. La vitesse de décrochage 2W V s,att = ρsc z,max est donc sensiblement plus faible qu au décollage en raison d un coefficient de portance maximum supérieur, mais aussi d une charge alaire plus faible due à un poids à l atterrissage sensiblement inférieur.

35 1.4. MANŒUVRES ENVELOPPE DE MANŒUVRE 29 FIG Schéma de la manœuvre d atterrissage L arrondi a pour fonction de réduire la vitesse verticale, idéalement à 0, au point de contact avec le sol. On tolère toutefois une faible vitesse négative au point de contact (0.6 ms 1 correspondant à un atterrissage très brusque) limitée par le confort des passagers et la résistance mécanique du train d atterrissage. Comme pour le décollage, on décrit cette phase par le modèle simplifié de trajectoire en arc de cercle. Si l on dénote par R le rayon de courbure de l arrondi 6, la distance parcourue en l air (approche + arrondi) est dès lors s 2 = h tan γ + R tan γ 2 (1.46) et l on constate qu elle diminue en réduisant le rayon de courbure. Il y a toutefois une limite à cette réduction car la trajectoire circulaire s accompagne d une réaction centrifuge qui augmente avec la courbure (voir section suivante) et qui est limitée en particulier par le décrochage, mais aussi par le confort des passagers (accélération limitée à 1,2 g pour l aviation commerciale). La distance minimale est atteinte pour une trajectoire d atterrissage sans arrondi. Évidemment, l atterrissage est alors extrêmement brutal. Ce type d atterrissage est cependant employé dans le cas où la minimisation de la longueur d atterrissage est primordiale, à savoir dans l aviation embarquée. Le train d atterrissage est alors soumis à des sollicitations mécaniques extrêmes, à tel point qu il s agit généralement d un élément critique pour la conception d avions embarqués. Après le contact avec le sol, le pilote effectue la manœuvre de rotation pour amener la roue avant en contact avec le sol, actionne les freins, déploie 6 Ce rayon R est lié à la hauteur h arr à laquelle est entamé l arrondi par la relation h arr = R(1 cos γ) = 2R sin 2 (γ/2).

36 30 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS les inverseurs de poussée et augmente les gaz pour obtenir la poussée négative la plus grande. Cette phase prend de l ordre de 2 à 3 secondes (soit 120 à 180 m pour une vitesse de 60 ms 1. Le roulement au sol subséquent s analyse de la même manière que pour le décollage, avec les différences suivantes : la poussée est inversée (par utilisation d inverseurs de poussée pour les avions à réaction ou par inversion du calage des hélices pour les avions à hélice). La contrepoussée maximum est de l ordre de 30 % de la poussée maximum. l application des freins augmente considérablement le coefficient de frottement, qui atteint une valeur de 0,4 à 0,6. le coefficient de traînée aérodynamique est considérablement plus élevé, en raison du déploiement complet des volets, mais aussi des spoilers, la fonction principale de ces derniers étant d annuler la portance pour assurer une résistance au roulement maximale. Grâce à cet ensemble de mesures, on obtient typiquement des décélérations de l ordre de 0,3 à 0,5 g en aviation de ligne. Pour l aviation embarquée, on atteint des valeurs beaucoup plus élevées (jusqu à 3g) à l aide de dispositfs additionnels : crosse/câbles d appontage, filet de retenue. On calcule la distance de roulement comme pour la phase de décollage en prenant comme résistance au roulement moyenne sa valeur pour une vitesse égale à 70% de la vitesse de contact V c (égale à 1,3 V s comme indiqué ci-dessus). On obtient ainsi s att = 1.69P 2 ρgsc z,max [T R + F x + µp] 0.7Vc (1.47) La ressource Notion de facteur de charge À la section précédente, on a évoqué le vol le long d une trajectoire circulaire dans le plan de symétrie de l avion. Cette manœuvre est appelée ressource. On l emploie pour les transitions entre le vol horizontal et le vol incliné telles que l entame d une montée (voir figure) ou le redressement après une descente (voir un piqué). Analysons le mouvement en supposant la vitesse V constante (et par conséquent aussi la vitesse de rotation ω = V/R pour une trajectoire circulaire) lors de la manœuvre. Les équations du mouvement sont dès lors (1.33) sustentation P cos γ F z = P g V 2 R propulsion T F x P sin γ = 0 Considérons le point bas de la ressource (γ = 0). On obtient ( ) F z = P 1 + V2 gr (1.48) F x = T

37 1.4. MANŒUVRES ENVELOPPE DE MANŒUVRE 31 FIG Schéma de la ressource On définit le facteur de charge de la manœuvre, noté n comme le rapport entre la portance et le poids : n F z P (1.49) de sorte que pour la ressource, n = 1 + (V 2 /gr). Plus on voudra serrer la ressource, plus le facteur de charge augmentera. Par conséquent, pour une vitesse donnée, cela nécessitera d augmenter C z et il existera une limitation due au décrochage. Comme F z (ρv 2 /2)SC z,max, il en résulte n = 1 + V2 gr ρv2 SC z,max = V2 2P V 2 s V2 gr V2 V 2 1 R s 1 g( 1 1 V 2 s V ) (1.50) 2 où V s est la vitesse de décrochage en vol horizontal stabilisé. On constate que le rayon minimal de ressource diminue en augmentant la vitesse. Mais le facteur de charge augmente rapidement. La ressource est d ailleurs la manœuvre qui provoque les facteurs de charge les plus importants, et donc détermine la conception structurale de l avion. Outre la limitation de sustentation examinée ci-dessus, le pilote devra se tenir en deçà de la limite imposée par la conception structurale. Clairement, cette limitation structurale diffère grandement selon le type d appareil. Alors que le facteur de charge maximum est de l ordre de 2,5 pour les avions de ligne et d aviation générale, il peut atteindre 7 pour les avions militaires ou d acrobatie. On a coutume de

38 32 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS représenter ces limitations dans un diagramme V n que l on appelle encore enveloppe de manœuvre, dont on donne un exemple à la figure suivante. Les deux limitations identifiées précédemment limitation liée au décro- FIG Enveloppe de manœuvre chage n (V/V s ) 2 et limitation structurale n n max y sont représentées, de même que leurs analogues en vol inversé. En outre, pour les appareils de haute performance, il faut également tenir compte de limitations physiologiques. On donne quelques informations à ce sujet à l annexe B. L intersection entre la frontière correspondant au décrochage et la frontière structurale (point A de la figure) joue un rôle particulier car il correspond à la ressource la plus serrée possible (et, comme on le verra à la section suivante, au virage le plus serré possible). En combat aérien et en vol acrobatique, le pilote tente de se maintenir constamment au voisinage de ce point, que l on appelle point de manœuvre. Pour un point quelconque de la ressource, l équation de sustentation devient ( ) F z = P cos γ + V2 gr R = V 2 g(n cos γ) Elle permet de calculer la hauteur verticale requise pour un redressement à partir d un piqué. En effet, 0 0 V 2 sin γ dh = R sin γ dγ H = R sin γ dγ = π 2 π g n cos γ dγ 2 de sorte qu on obtient finalement, en supposant la vitesse et le facteur de charge constant au cours du redressement H = V2 g ln n n 1 (1.51)

39 1.4. MANŒUVRES ENVELOPPE DE MANŒUVRE Le vol en virage On considère dans cette section le virage stabilisé (à vitesse constante V) à altitude constante effectué sans vitesse latérale, tel que représenté à la figure. Pour assurer l équilibre, il faut incliner l avion d un angle φ. Pour déterminer FIG Avion en virage horizontal cet angle, écrivons les équations d équilibre dans le plan y z : F z cos φ = P F z sin φ = P g V 2 R tan φ = V2 gr (1.52) Le facteur de charge correspondant est n = F z P = 1 cos φ = 1 + tan 2 φ = 1 + V4 g 2 R 2 (1.53)

40 34 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS L équation de propulsion reste la même qu en vol horizontal stabilisé, à savoir T F x = 0. Comme dans le cas de la ressource, il existe des limitations à la manœuvre qui, pour une vitesse donnée, déterminent un rayon minimum de virage : Limitation due au décrochage La limitation due au décrochage est la même que pour la ressource, à savoir n (V/V s ) 2. Ceci conduit à R 2 g 2 ( 1 V 4 s 1 1 V 4 ) (1.54) Limitation structurale La conception structurale fixe une borne supérieure n max au facteur de charge. Il en résulte la borne inférieure au rayon de virage R 2 V 4 (n 2 max 1)g 2 (1.55) et, comme annoncé à la section précédente, le rayon minimum de virage est obtenu lorsque les deux bornes précédentes coïncident, c està-dire au point de manœuvre. Limitation due à la poussée F x ne peut excéder T max. Par conséquent, F x = C x F z = C x np T max n C x T max C z C z C z P (1.56) En général, pour V faible, on rencontre d abord la limitation due à la sustentation et pour V grande, c est la poussée maximum qui limite la manœuvre, surtout en altitude. Cette dernière équation permet de définir des enveloppes de vol de manœuvre (1g, 2g,... ) et les plafonds correspondants. Signalons pour terminer que la mise en virage horizontal est une manœuvre très difficile à réaliser car il faut agir simultanément sur les quatre commandes : manche (2 directions, palonnier et manette des gaz) Charges dues aux rafales Le passage à travers une rafale verticale n est pas à proprement parler une manœuvre mais, pour certaines catégories d avion, il peut constituer une condition de vol critique pour la conception structurale de l appareil. Considérons le cas de l avion en vol horizontal stabilisé à vitesse V subissant un échelon de vitesse verticale (rafale verticale) U de (voir figure). Cet échelon de FIG Aile pénétrant dans une rafale verticale vitesse verticale produit initialement un échelon d incidence α = U de /V. Il

41 1.4. MANŒUVRES ENVELOPPE DE MANŒUVRE 35 en résulte une augmentation de la portance qui produit une accélération verticale de l avion. La vitesse verticale w ainsi créée produit une réduction d incidence. Asymptotiquement, la vitesse verticale tend vers la vitesse U de de la rafale, c est-à-dire que l avion monte avec le vent. L équation du mouvement s écrit comme suit : F z (α + U de V w V ) P = P g Mais comme le vol original est un vol horizontal stabilisé, F z (α) = P. Dès lors, en supposant que la portance s établisse instantanément, F z (α + U de V dw dt w V ) P = df z dα (U de V w V ) = ρv2 2 S dc z ( U de }{{} dα V w V ) C zα de sorte que l équation du mouvement est finalement ρv 2 ou encore, en définissant 2 SC zα( U de V w V ) = P g dw dt dw dt dw dt = ρgc zα 2(P/S) V(U de w) = V L (U de w) (1.57) L = 2(P/S) ρgc zα Cette équation s intègre immédiatement pour donner w = U de (1 exp( Vt L )) = U de(1 exp( s )) (1.58) L Le facteur de charge correspondant est n = F z P = 1 + ρvc zα(u de w) = 1 + V(U de w) = 1 + VU de 2(P/S) gl gl exp( Vt L ) qui prend une valeur maximum au temps initial n = 1 + VU de gl = 1 + ρc zαu de V 2(P/S) (1.59) En réalité, les rafales ne sont jamais abruptes mais bien graduelles, de sorte que la charge réelle est atténuée 7. On tient compte de cet effet en introduisant un facteur d atténuation dans l expression précédente. n = 1 + F ρc zαu de V 2(P/S) (1.60) On a inclus les charges dues aux rafales sur l enveloppe de manœuvre représentée à la Fig En outre, comme on l a mentionné précédemment, la portance ne s établit pas instantanément, ce qui renforce cet effet d atténuation.

42 36 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS

43 Chapitre 2 Stabilité statique et guidage 2.1 Introduction Avant d entamer l étude des caractéristiques de stabilité des avions, il convient d en mesurer la portée réelle et d autre part de définir précisément les notions qui seront utilisées par la suite et notamment la distinction entre stabilité statique et stabilité dynamique. En réalité, pour les véhicules aériens comme pour les véhicules terrestres ou maritimes, la préoccupation essentielle est que le véhicule soit aisément contrôlable, c est-à-dire que le pilote puisse sans effort excessif d une part maintenir le véhicule dans une configuration de vol (de mouvement) donnée et d autre part faire passer le véhicule d une configuration à l autre (manœuvrabilité). Cet aspect de contrôlabilité du véhicule a revêtu dès la naissance de l aviation une importance primordiale pour la conception des avions. L importance bien plus grande que présente ce sujet pour les véhicules aériens que pour les véhicules terrestres provient principalement du fait que ces véhicules, tout comme les sous-marins d ailleurs, se déplacent dans un espace à trois dimensions, contrairement aux véhicules terrestres, qui se déplacent sur une surface (espace à deux dimensions) voire le long d une courbe (espace à une dimension) pour le cas des véhicules ferroviaires. Et par rapport aux sous-marins et aux dirigeables, c est l origine physique des forces de sustentation (aérodynamiques plutôt qu hydrostatiques) qui en rend le contrôle plus délicat. Contrôlabilité et stabilité d un véhicule ne sont pas des concepts équivalents. En effet, la contrôlabilité d un véhicule n implique pas qu il soit stable vis-à-vis de perturbations extérieures sans intervention du pilote : on utilise bien les bicyclettes, qui sont pourtant instables de ce point de vue. Semblablement, bon nombre d avions considérés excellents du point de vue de leurs caractéristiques de pilotage présentent une légère instabilité latérale appelée divergence spirale. Cette instabilité ne présente aucun problème car elle se développe tellement lentement que le pilote la corrige constamment sans même s en rendre compte. Par contre, lorsque l avion est sous pilotage automatique, il est évidemment essentiel que le système en boucle fermée 37

44 38 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE (avion + régulateur) soit stable vis-à-vis de perturbations atmosphériques et des commandes provenant du système de navigation. Un aspect étroitement lié à la question de la stabilité est celle du guidage, à savoir l action des commandes sur l avion. Les questions qui nous préoccupent à cet égard sont d une part de déterminer le réglage des commandes requis pour obtenir une configuration de vol donnée (et les efforts associés à fournir par le pilote) et d autre part la manière dont l avion répond dynamiquement à un échelon de commande. En général, on constate un certain conflit entre les exigences de stabilité et de manœuvrabilité : une configuration très stable nécessite de fortes sollicitations pour changer d état d équilibre alors qu une configuration très manœuvrable est souvent proche de l instabilité. Définissons à présent plus précisément les notions de stabilité statique et dynamique. La stabilité est une propriété d un état d équilibre de l avion, c est-à-dire d un vol stabilisé. L état d équilibre est dynamiquement stable si le véhicule y retourne après en avoir été écarté par une petite perturbation. La stabilité dynamique concerne par conséquent le comportement asymptotique (la limite pour t ) du transitoire produit par un écart par rapport à l équilibre. En se limitant à de petites perturbations, on peut linéariser les équations du mouvement autour du point d équilibre. On parle alors d une théorie linéaire de stabilité. La stabilité statique est relative quant à elle à la réponse initiale à la perturbation, c est-à-dire à la limite de la réponse pour t 0. On dit qu un avion est statiquement stable si les forces/couples résultant de la perturbation ont tendance à le ramener à l état d équilibre. Comme elle est relative à l état initial, la stabilité statique s étudie beaucoup plus simplement que la stabilité dynamique. On obtient de la sorte de nombreuses informations utiles, d autant plus que la stabilité statique est une condition nécessaire de la stabilité dynamique. Enfin, on distingue les stabilité «commandes fixes» et «commandes libres» selon que les commandes soient maintenues en position ou au contraire libres de se déplacer sous l effet des sollicitations résultant de la perturbation. 2.2 Stabilité statique longitudinale manche fixe Critère de stabilité statique longitudinale et implications Équilibre en rotation Pour assurer l équilibre longitudinal de l avion, la somme des forces dans le plan de symétrie de l avion (deux composantes) et du moment des forces dans la direction normale au plan de symétrie (une composante, moment de tangage) doivent s annuler. Soit un aéronef donné (de configuration arbitraire : aile seule, aile et fuselage, aile, fuselage et empennage,... ). La géométrie étant fixée (en particulier le réglage de la gouverne de profondeur), en portant en graphique le coefficient de moment des forces aérodynamiques (et de propulsion) autour du centre de gravité de l avion en fonction de l in-

45 2.2. STABILITÉ STATIQUE LONGITUDINALE MANCHE FIXE 39 cidence α mesurée à partir de la direction de portance nulle de l aéronef entier, on obtient typiquement une courbe telle que celles représentées à la figure 2.1, ainsi que le montre l analyse de la section suivante. Dans ces condi- FIG. 2.1 Moment de tangage en fonction de l incidence tions, l équilibre en rotation n est assuré qu au point où la courbe de moment de tangage croise l axe des abcisses, c est-à-dire au point A. Cela signifie que, pour cette géométrie, le vol n est possible qu à l incidence correspondante (et, vu l équilibre en sustentation, qu à la vitesse correspondante). Stabilité statique Examinons à présent la stabilité statique de ce point d équilibre. En réalité, on considère une forme restreinte de la stabilité statique, que l on appelle parfois «raideur en tangage» [5], à savoir la stabilité vis-à-vis de perturbations d incidence uniquement. Supposons que l avion correspondant à la courbe a de la figure subisse une perturbation d incidence positive. Le moment de tangage prendra alors une valeur négative (moment piqueur) et aura donc tendance à ramener l avion dans son état non perturbé. En accord avec la définition introduite à la section précédente, on en déduit que l avion est statiquement stable en tangage, ou qu il présente une raideur en tangage positive. Inversément, l avion correspondant à la courbe b de la figure est statiquement instable. Une conséquence directe de cette analyse est que les deux conditions à remplir par une géométrie pour qu il existe un état d équilibre stable sont que le coefficient de moment pour une portance nulle C m0 soit positif et que la pente de la courbe de moment de tangage en fonction de l incidence C mα soit négative. Comme on le verra ultérieurement, cette dernière condition peut être remplie pour n importe quelle configuration d avion en plaçant le centre de gravité suffisamment en avant. Par conséquent, il suffit pour assurer l existence d un état équilibre stable que la configuration possède un C m0 positif.

46 40 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE Configurations possible Considérons tout d abord le cas d une aile droite isolée. Pour une telle aile, le coefficient de moment au foyer est de signe inverse de la cambrure de l aile (voir cours de Mécanique des fluides I). Par conséquent, seule une aile de cambrure négative permet d obtenir un état d équilibre stable. Mais cette configuration présente de nombreux défauts, notamment une traînée élevée et un faible coefficient de portance maximum. Par contre, il est possible d obtenir un C m0 positif avec une aile en flèche de cambrure positive en vrillant les extrémités vers le bas (voir figure). Dans FIG. 2.2 Aile en flèche vrillée ce cas, à l incidence de portance nulle, la partie centrale de l aile fournit une portance positive et les extrémités une portance négative, ce qui produit le moment positif souhaité. On peut semblablement obtenir un coefficient de moment positif pour une aile delta en vrillant les extrémités ou en introduisant une cambrure négative aux extrémités, par exemple en défléchissant le bord de fuite vers le haut. Mais la solution la plus utilisée en pratique pour obtenir une configuration avec un coefficient de moment positif consiste à utiliser deux (voire parfois trois) surfaces portantes. Le plus souvent, une de ces surfaces est beaucoup plus grande que l autre. On distingue alors deux configurations (voir figure) : soit l aile principale est située en avant, c est la configuration classique avec empennage horizontal arrière, soit l aile principale est située en arrière, ce qu on appelle généralement configuration canard. Dans le cas de la configuration classique, l empennage est calé négativement de manière à produire une portance négative à l incidence de portance nulle, alors que pour la configuration canard, le canard est calé positivement de manière à produire une portance positive. Mentionnons pour l anecdote que la configuration de l avion des frères Wright était de type canard. Chacune des deux configurations a des avantages et des inconvénients dont la discussion sort du cadre de ce cours. On consultera avantageusement à ce propos la littérature relative à la conception des avions (aircraft design), par exemple l ou-

47 2.2. STABILITÉ STATIQUE LONGITUDINALE MANCHE FIXE 41 FIG. 2.3 Configurations avec deux surfaces portantes vrage de D. Raymer [6] Moment de tangage Analysons à présent l expression du moment de tangage autour d une configuration classique pour déterminer la condition à satisfaire par la position du centre de gravité pour obtenir un état d équilibre stable. Contribution de l aile principale Le centre aérodynamique de l aile (foyer) étant défini comme le point autour duquel le moment des forces aérodynamiques est indépendant de l incidence (et donc de la portance), le moment autour du centre de gravité de l avion de ces forces s obtient aisément par les règles de transport du moment. Avec les notations définies à la figure 2.4 où c est la corde aérodyna- FIG. 2.4 Système de forces et moment sur l aile

48 42 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE mique moyenne de l aile définie par on obtient c = 1 S b/2 b/2 c 2 dy (2.1) M w = M acw + (L w cos α w + D w sin α w )(h h nw ) c + (L w sin α w D w cos α w )z (2.2) Remarquons que l expression obtenue est indépendante de la position (arbitraire) du bord d attaque de la corde aérodynamique moyenne par rapport à laquelle les distances sont mesurées. En non-dimensionnalisant par ½ρV 2 c, et en supposant des angles d incidence faibles, on obtient C mw = C macw + (C Lw + C Dw α w )(h h nw ) + (C Lw α w C Dw )z/ c (2.3) Dans la plupart des cas, le dernier terme est négligeable, de même que la contribution de la traînée dans le deuxième terme, de sorte qu on obtient finalement C mw = C macw + C Lw (h h nw ) = C macw + a w α w (h h nw ) (2.4) en notant a w la pente de la courbe de portance de l aile (a w = C Lαw ). Contribution du fuselage et des nacelles L influence du fuselage et des nacelles est complexe. Un fuselage isolé subit également des efforts aérodynamiques qui se réduisent globalement, pour des incidences modérées, à une portance, une traînée et un moment indépendant de l incidence autour d un centre aérodynamique. Les propriétés aérodynamiques d une combinaison aile/fuselage ne s obtiennent cependant pas par la simple superposition des propriétés de l aile et du fuselage séparément car de fortes interférences existent. Ainsi, la présence du fuselage modifie l écoulement autour de l aile, en particulier la distribution de portance en envergure, et les vitesses induites par la nappe tourbillonaire émise par l aile produisent une contribution positive (déstabilisante) à la pente de la courbe C m α. En résumé, l adjonction du fuselage et des nacelles à une aile a généralement pour effet de déplacer le centre aérodynamique vers l avant, d augmenter légèrement la pente de la courbe de portance et de fournir une contribution négative au coefficient de moment au foyer. L équation du moment de tangage de la combinaison aile/fuselage/nacelles prend alors la même forme que pour l aile seule (2.4) mais avec des valeurs différentes des paramètres. C mwb = C macwb + C Lwb (h h nwb ) = C macwb + a wb α wb (h h nwb ) (2.5)

49 2.2. STABILITÉ STATIQUE LONGITUDINALE MANCHE FIXE 43 où a wb est la pente de la courbe de portance de la combinaison aile/fuselage/ nacelles. Contribution de l empennage Les efforts aérodynamiques sur l empennage s expriment exactement comme ceux sur l aile principale, à ceci près que les interférences dues à la présence de l aile principale doivent être prises en compte. L effet dominant est la déflection vers le bas de l écoulement abordant l empennage par la nappe tourbillonnaire émise par l aile principale, qui a pour effet de réduire l incidence d un angle de déflexion ɛ. La position de l empennage par rapport à l aile principale étant schématisé à la figure 2.5, on obtient l expression suivante FIG. 2.5 Système de forces et moment sur l empennage pour le moment de tangage produit par l empennage : M t = M act l t [L t cos(α wb ɛ) + D t sin(α wb ɛ)] z t [(L t sin(α wb ɛ) D t cos(α wb ɛ)] (2.6) où L t et D t sont respectivement portance et traînée c est-à-dire composantes perpendiculaire et parallèle au vent effectif V de la force aérodynamique de l empennage. En pratique, le terme l t L t cos cos(α wb ɛ) l t L t est prépondérant. En définissant le coefficient de portance de l empennage comme L t C Lt = ½ρV 2 (2.7) S t on obtient, en non-dimensionnalisant à nouveau par ½ρV 2 c C mt = l t S t c S C L t (2.8) Mentionnons que souvent dans la littérature le coefficient de portance de l empennage est défini à partir de la pression dynamique locale (= ½ρV 2 ) qui diffère de la pression dynamique de l écoulement libre en raison des interférences produites par l aile principale, ce qui introduit dans l expression du moment de tangage un facteur V 2 /V 2 que l on appelle parfois un facteur

50 44 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE d efficacité de l empennage. On adopte plutôt ici l approche suivie par Etkin [5] qui consiste à intégrer ce facteur dans le coefficient de portance de l empennage. Le rapport l t S t / cs qui apparaît dans l expression du coefficient de moment de l empennage (2.8) est un rapport de volumes caractéristique de la géométrie de l avion, que l on appelle communément «rapport de volumes de l empennage horizontal» et que l on note V H, de sorte qu avec cette notation, on a C mt = V H C Lt Le centre de gravité d un avion pouvant bouger en fonction du chargement et de la consommation de carburant, il est plus commode de définir la position de l empennage par rapport au foyer de la combinaison aile/fuselage/nacelles plutôt que par rapport au centre de gravité. En notant l t la distance le long de la direction de portance nulle de l aile/fuselage entre le foyer de l empennage et le foyer de l aile, on a l t = l t + (h h nwb ) c (2.9) de sorte qu en définissant V H = l t S t / cs = V H + (h h nwb )S t /S, l expression du coefficient de moment de l empennage devient Contribution du système de propulsion C mt = V H C Lt + (h h nwb ) S t S C L t (2.10) Le système de propulsion fournit deux contributions au moment de tangage de l avion : la contribution directe du moment des forces propulsives, et une contribution indirecte par l interférence entre le souffle ou le jet propulsif et la cellule (aile/fuselages/empennage). En supposant que les effets indirects sont intégrés dans les coefficients aérodynamiques des éléments de la cellule, il reste la contribution directe que l on notera C mp Point neutre manche fixe En rassemblant l ensemble des contributions au moment de tangage, on obtient C m = C macwb + C Lwb (h h nwb ) V H C Lt + (h h nwb ) S t S C L t + C mp Cette expression se simplifie en remarquant que C Lwb + S t S C L t = L wb + L t ½ρV 2 c = C L (2.11) n est rien d autre que le coefficient de portance global, pour donner C m = C macwb + C L (h h nwb ) V H C Lt + C mp (2.12)

51 2.2. STABILITÉ STATIQUE LONGITUDINALE MANCHE FIXE 45 On obtient alors la raideur en tangage en dérivant par rapport à l angle d incidence α. C mα C Lt = C Lα (h h nwb ) V H α + C m p α (2.13) puisque, par la définition même du centre aérodynamique de l ensemble aile/fuselage, le coefficient de moment en ce point est indépendant de l incidence. On observe que la raideur en tangage est une fonction linéaire de la position du centre de gravité. Le point pour lequel la raideur en tangage s annule, prend un sens particulier puisqu il définit la frontière entre centrages stables et instables. On lui donne le nom de point neutre. À partir de l expression (2.13), on obtient immédiatement h n = h nwb + 1 [ C Lt V H C Lα α C ] m p α (2.14) En utilisant cette définition, la raideur en tangage s exprime simplement comme C mα = C Lα (h h n ) qui suggère une manière simple de déterminer la position du point neutre à partir de mesures expérimentales de portance et de moment : la position du point neutre s obtient directement à partir des pentes des courbes de C m et C L en fonction d α : h n h = C m α C Lα (2.15) On appelle communément marge statique cette distance entre le centre de gravité et le point neutre. Puisque C mα doit être négatif pour que l avion soit statiquement stable, on en déduit que h n h doit être positif, c est-à-dire que le centre de gravité doit se trouver en avant du point neutre. Plus le centre de gravité occupe une position avancée, plus la marge statique est élevée. Les règles de certification imposent que la marge statique demeure constammant plus grande ou égale à 5% de la corde aérodynamique moyenne. L expression de la position du point neutre peut être explicitée pour des expressions linéaires des forces de portance. Avec C Lwb = a wb α wb C Lt = a t α t = a t (α wb i t ɛ) et en linéarisant l expression de la déflexion ɛ ɛ = ɛ 0 + ɛ α α wb

52 46 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE l expression du coefficient de portance devient avec C L = C Lwb + S t S C L t = a wb α wb + S t S a t (α wb (1 ɛ α ) i t ɛ 0 ) [ = a wb + S t S a t (1 ɛ ] α ) α wb S t S a t (i t + ɛ 0 ) = aα a = a wb + S t S a t (1 ɛ α ) et α = α wb a t S t as (i t + ɛ 0 ) (2.16) Semblablement, en linéarisant l expression du coefficient de moment de moment de tangage dû aux forces de propulsion selon C mp = C m0p + C m p α α l expression du coefficient de moment devient, C m = C macwb + aα(h h nwb ) V H a t (α wb (1 ɛ α ) i t ɛ 0 ) + C m0p + C m p α α = C macwb + C m0p + V H a t (i t + ɛ 0 ) + aα(h h nwb ) V H a t (1 ɛ α )α wb + C m p α α [ = C macwb + C m0p + V H a t (i t + ɛ 0 ) 1 a ] t S t ɛ (1 as α ) + } {{ } C m0 [ a(h h nwb ) V H a t (1 ɛ α ) + C ] m p α (2.17) α } {{ } C mα On en déduit la position du point neutre, à savoir h n = h nwb + 1 [ V H a t (1 ɛ a α ) C ] m p α (2.18) Comme C mα = a(h h n ), le coefficient de moment au centre de gravité peut finalement s exprimer simplement par la relation linéaire C m = C m0 + aα(h h n ) (2.19) 2.3 Guidage et stabilité statique manche libre longitudinaux Angle de gouverne Étudions à présent la question du guidage longitudinal de l avion du point de vue statique, c est-à-dire la relation entre l état d équilibre de l avion et le réglage de la commande correspondante. À partir de l expression finale du

53 2.3. GUIDAGE ET STABILITÉ STATIQUE MANCHE LIBRE LONGITUDINAUX47 coefficient de moment de tangage, on en déduit que le point d équilibre est obtenu pour l incidence α = C m0 a(h n h) (2.20) d où on déduit qu il est possible de contrôler l état d équilibre en faisant varier le centrage (la marge statique). Cette possibilité, qui a effectivement été mise en pratique par Lilientahl, un des pionniers de l aviation, et l est encore pour certains ULM ou parapentes, n est évidemment pas utilisable pour la plupart des avions. En outre, elle présente le désavantage de faire varier la marge statique en même temps que le point d équilibre, la marge statique diminuant alors que l incidence augmente, et donc que l on se rapproche du décrochage. Pour ces raisons, on préfère contrôler l incidence de l avion par une déformation de sa géométrie qui modifie C m0 en modifiant le moins possible la marge statique. La solution la plus communément employée consiste à introduire un volet mobile dans l empennage appelée gouverne de profondeur, qui en modifie la cambrure et par conséquent l incidence de portance nulle (voir figure) : Notant δ e l angle de la gouverne de profondeur, l expression du FIG. 2.6 Gouverne de profondeur coefficient de portance de l empennage se modifie comme suit : C Lt = a t α t + a e δ e = a t (α wb i t ɛ) + a e δ e (2.21) c est-à-dire que s ajoute un terme dépendant linéairement de l angle de gouverne. Par conséquent, le coefficient de portance et le coefficient de moment globaux s en trouvent modifiés. En ce qui concerne le coefficient de portance, il devient C L = aα + S t S a eδ e (2.22) En ce qui concerne le coefficient de moment, C mα et donc la marge statique restent inchangés alors que C m0 est modifié comme suit : [ ] St C m0 = C m00 + S (h h n wb ) V H a e δ e (2.23) Ces modifications sont représentées à la figure suivante. Une déflexion positive de la gouverne déplace le point d équilibre vers une incidence plus faible (et donc une vitesse plus élevée).

54 48 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE FIG. 2.7 Effet de la déflexion de la gouverne de profondeur sur les coefficients aérodynamiques La relation entre l angle de gouverne et l incidence d équilibre s obtient directement en résolvant l équation d équilibre en rotation C m = 0. On obtient ainsi δ eéq. C m (α) C m00 + a(h h n )α = [ ] = [ ] (2.24) a St e S (h h n wb ) V H a St e S (h h n wb ) V H et le coefficient de portance correspondant vaut C Léq. = aα + S t S a eδ eéq. En pratique, c est le coefficient de portance qui est spécifié plutôt que l angle d incidence (en vol horizontal, le coefficient de portance est directement fonction de la vitesse de vol). L incidence et la déflexion de la gouverne s obtiennent alors en résolvant le système aα éq. + S t S a eδ eéq. = C Léq. a(h h n )α éq. + a e [ St S (h h n wb ) V H ] (2.25) δ eéq. = C m00

55 2.3. GUIDAGE ET STABILITÉ STATIQUE MANCHE LIBRE LONGITUDINAUX49 On obtient [ ] St S (h h n wb ) V H C Léq. + S t S C m 00 α éq. = a e D avec δ eéq. [ ] St D = aa e S (h n h nwb ) V H = a C m 00 + (h h n )C Léq. D (2.26) À partir de ces résultats, on peut en déduire la courbe de portance à l équilibre (C Léq. en fonction de α éq. ), à savoir dont la pente est C Léq. = 1 S t S (h h n wb ) V H dc Léq. = D 1 dα éq. a S e t S (h h = a n wb ) V H [ S t S C m 00 + D ] α éq. a e [ 1 S t S (h h ] n) S t S (h h n wb ) V H (2.27) (2.28) soit légèrement plus faible que la pente à géométrie fixe C Lα = a comme illustré à la figure. FIG. 2.8 Pente de la courbe de portance à l équilibre La variation de l angle de gouverne en fonction du coefficient de portance à l équilibre (2.26) suggère une détermination expérimentale en vol de la position du point neutre. En effet, la pente de la courbe de l angle de gouverne en fonction du coefficient de portance dδ eéq. = a(h h n) dc Léq. D (2.29) est directement proportionnelle à la marge statique. Dès lors, en portant cette pente en fonction de la position du centre de gravité, on obtient le point

56 50 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE neutre par extrapolation au point où la pente s annule comme esquissé à la figure. FIG. 2.9 Détermination du point neutre par essais en vol Couple de charnière et effort dans le manche Pour défléchir la gouverne de profondeur, il faut appliquer un effort dans le manche qui équilibre le couple produit par les pressions aérodynamiques résultant de la déflexion sur la charnière de la gouverne. Anciennement, et encore de nos jours pour beaucoup d appareils d aviation légère, la commande de la gouverne par le manche s effectuait au moyen d un système mécanique de câbles, tiges, leviers et poulies, dont le principe est schématiquement représenté à la figure Avec l augmentation de la vitesse des appareils, il est FIG Schéma d un système mécanique de commande de la gouverne de profondeur devenu nécessaire d adjoindre une assistance via des actuateurs amplifiant l effort fourni par le pilote. Actuellement, on recourt fréquemment à des systèmes de commandes électriques («fly-by-wire») ou opto-électriques («flyby-light»). En tout cas, quelle que soit la nature du système de commande, il est nécessaire, pour le concevoir correctement, de connaître précisément le couple à appliquer à la gouverne pour la défléchir d un angle donné.

57 2.3. GUIDAGE ET STABILITÉ STATIQUE MANCHE LIBRE LONGITUDINAUX51 Considérons une géométrie typique d empennage horizontal comprenant un compensateur (tab) tel que représenté à la figure 2.11 Le compensateur FIG Géométrie d un empennage horizontal (tab), dont on discutera la fonction ultérieurement, est un petit volet qui a généralement un effet négligeable sur la portance de l empennage (et donc sur le moment de tangage sur l avion) mais par contre un effet substantiel sur le couple de charnière de la gouverne H e. Définissant le coefficient adimensionnel associé C he = H e qs e c e, (2.30) où S e est la surface de la partie de la gouverne en arrière de la charnière, il s exprime, dans le cadre d une théorie linéarisée, de la manière suivante : C he = b 0 + b 1 α t + b 2 δ e + b 3 δ t (2.31) où δ t est la déflexion du compensateur, comptée positive vers le bas. Pour les empennages à profil symétrique (b 0 = 0), cas le plus fréquent en pratique, compte tenu de l expression de l incidence sur l empennage α t = (1 ɛ α )α wb i t ɛ 0 = (1 ɛ [ α )α 1 a ] t S t ɛ (1 as α ) (i t + ɛ 0 ) (2.32)

58 52 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE cette expression devient avec C he = C he0 + C heα α + b 2 δ e + b 3 δ t (2.33) [ C he0 = b 1 1 a t S t as C heα = b 1 (1 ɛ α ) ] ɛ (1 α ) (i t + ɛ 0 ) Les coefficients b 1,2,3 sont parmi les coefficients aérodynamiques intervenant en stabilité et guidage les plus difficiles à évaluer. Ils sont en effet extrêmement sensibles aux multiples paramètres définissant la géométrie de l empennage balance aérodynamique (rapport c b /c e ), fraction de corde de la gouverne (rapport c e /c t ), passage entre la gouverne et la partie fixe de l empennage, angle de bord de fuite,... mais aussi au nombre de Reynolds (état et épaisseur des couches limite sur l empennage et la gouverne). On les évalue généralement à l aide de corrélations empiriques basées sur des mesures en soufflerie et en vol mises à jour continuellement (Engineering Data Sheets britanniques et Datcom américains, disponibles sous forme informatique). Dans le cas d un système mécanique de commande de la gouverne (voir figure 2.10), la relation entre la force dans le manche et le moment de charnière de la gouverne s obtient aisément par le théorème de l énergie cinétique. Comme l énergie cinétique du système est invariante, on en déduit que le travail total est nul, c est-à-dire Fs + H e δ e = 0 (2.34) de sorte que la force dans le manche est simplement proportionnelle au couple de charnière F = δ e s H e = GH e (2.35) où le facteur G est la démultiplication du système mécanique. Pour un système avec assistance, la force dans le manche reste proportionnelle au couple de charnière, la seule différence étant que le facteur G comprend également l effet de l assistance. Enfin, même dans le cas de commandes électriques ou opto-électriques, la relation reste généralement valable car ces systèmes reproduisent une résistance dans le manche de manière à fournir au pilote une sensation («artificielle») semblable à celle (sensation «naturelle») fournie par un système mécanique. Compte tenu de l expression du coefficient de couple de charnière (2.33), la force dans le manche peut s écrire de la manière suivante : F GS e c e = q(c he0 + C heα α + b 2 δ e + b 3 δ t ) En exprimant l incidence et la déflexion de la gouverne en fonction du coefficient de portance et en utilisant l équilibre en sustentation qc Léq. = P/S, cette

59 2.3. GUIDAGE ET STABILITÉ STATIQUE MANCHE LIBRE LONGITUDINAUX53 équation devient F = C m C [ δe he α b 2 C mα P GS e c e D S + q C he0 + b 3 δ t + C ] L δe C heα b 2 C Lα C m00 D (2.36) ou encore F GS e c e = A + Bq (2.37) d où il apparaît que la force dans le manche est directement proportionnelle à la pression dynamique, ce qui explique la nécessité d employer des dispositifs d assistance pour les vols à grande vitesse Point neutre manche libre On a condidéré précédemment la stabilité statique dans le cas où la gouverne de profondeur est calée dans une position fixe. En pratique, un pilote humain est incapable de maintenir le manche en position fixe lorsque l avion subit une perturbation d incidence, alors que l on s en approche si l avion est équipé d un dispositif d assistance avec bloquage. On s intéresse maintenant à l autre cas extrême, à savoir celui où la gouverne de profondeur est totalement libre de se déplacer sous l effet des forces aérodynamiques qui s exercent sur elle. Il s agit d un cas extrême en raison des frottements inévitables qui s opposent au mouvement de la gouverne, mais il est néanmoins intéressant de l analyser puisque la réalité se situe entre les deux cas extrêmes. Lorsque la gouverne de profondeur est libre, le couple de charnière est nul. Par conséquent, la déflexion de la gouverne vaut δ elibre = 1 b e (C he0 + C heα α + b 3 δ t ) (2.38) Il en résulte que les expression du coefficient de portance et de moment se modifient comme suit : C L = aα + S t S a C heα eδ elibre = (a C Lδe )α C L δe (C he0 + b 3 δ t ) (2.39) b 2 b [ 2 ] St C m = C m00 + a(h h n )α + S (h h n wb ) V H a e δ elibre = C m00 + C mα α + C mδe δ elibre = C m00 + (C mα C m δe C heα )α C m δe (C he0 + b 3 δ t ) (2.40) b 2 b 2 On constate donc que la pente de la courbe de portance est réduite : a = a(1 C L δe C heα ab 2 ) (2.41)

60 54 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE L effet de la gouverne libre peut aussi s exprimer comme une réduction de l efficacité de l empennage. En effet, le coefficient de portance de l empennage étant donné par C lt = a t α t + a e δ e cette expression devient, dans le cas d une gouverne libre, C lt = (a t a e b 1 b 2 )α t a eb 3 b 2 δ t (2.42) c est-à-dire que la pente ( de la courbe de portance de l empennage est réduite par un facteur F = 1 a ) eb 1 communément appelé facteur de gouverne a t b 2 libre de l empennage. Les propriétés de stabilité de l avion avec gouverne libre s obtiennent alors simplement à partir des propriétés avec gouverne fixe en remplaçant a par a et a t par Fa t. Par exemple, on tire de (2.40) C m α = C mα C m δe C heα b 2 = a(h h n ) C m δe C he α b 2 (2.43) On en déduit que cette grandeur s annule pour (point neutre manche libre) h = h n + C m δe C heα ab 2 = h nwb + 1 a [ V H a t (1 ɛ α ) C ] m p + C m δe C heα (2.44) α ab 2 Compte tenu des expressions de C mδe et de C Lδe, à savoir C Lδe = a es t S C mδe l équation précédente devient h = h nwb + 1 a = a a [ ] St = a e S (h h n wb ) V H = C Lδe (h h nwb ) a e V H [ V H a t (1 ɛ α ) C ] m p + (C Lδe (h h nwb ) a e V H ) C he α α ab 2 ou encore, compte tenu de l expression de C heα ( h 1 C ) ( L δe C heα = h nwb 1 C ) L δe C heα + 1 ab 2 ab 2 a V H a t (1 ɛ α ) (1 a eb 1 ) a t b 1 } {{ } } {{ } F Multipliant par a/a, on obtient finalement que C m α s annule pour h n = h nwb + 1 [ V a H Fa t (1 ɛ α ) C ] m p α C m p α (2.45) (2.46) soit effectivement la même expression que celle du point neutre manche fixe dans laquelle a est remplacé par a et a t par Fa t. Avec cette expression du

61 2.3. GUIDAGE ET STABILITÉ STATIQUE MANCHE LIBRE LONGITUDINAUX55 point neutre manche libre, on obtient encore l expression suivante pour la raideur en tangage C m α = a (h h n) (2.47) où h h n est appelée marge statique manche libre. La différence entre la marge statique manche fixe et la marge statique manche libre est égale à h n h n. À partir des expressions de la raideur en tangage C m α on obtient = a (h h n) = a(h h n ) C m δe C heα b 2 = a(h h n ) (C Lδe (h h nwb ) a e V H ) C he α b 2 = (h h n ) (a C L δe C heα ) (C Lδe (h n h nwb ) a e V H ) C he α b } {{ 2 b } 2 a = a (h h n ) b 1 b 2 (1 ɛ α )(C L δe (h n h nwb ) a e V H ) h n h n = b 1 a b 2 (1 ɛ α )(C L δe (h n h nwb ) a e V H ) = a eb 1 a b 2 (1 ɛ α )( S t S (h n h nwb ) + V H ) (2.48) qui est typiquement une grandeur négative de l ordre de 0,08. Ceci signifie que le point neutre manche libre est sensiblement en avant du point neutre manche fixe, et par conséquent une réduction de la marge statique, donc de la stabilité par rapport au cas du manche fixe Compensateurs et gradient de force dans le manche On a vu précédemment (section 2.3.1) que pour voler à une vitesse donnée, et donc à un C L donné, il fallait braquer la gouverne d un angle δ eéq. bien précis. On a vu d autre part (section 2.3.2) qu à chaque angle de gouverne correspondait un couple de charnière et par conséquent une force dans le manche. En régime de croisière pour une longue période, il serait extrêmement fatigant pour le pilote d exercer constamment un effort dans le manche. Comme l angle de gouverne libre δ elibre est fonction de la déflexion du compensateur, on se sert alors de celui-ci pour faire coïncider l angle de gouverne libre avec celui d équilibre. L angle de compensateur désiré s obtient à partir de l équation du moment de charnière (2.33) δ téq = 1 b 3 (C he0 + C heα α éq + b 2 δ eéq ) (2.49)

62 56 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE Insérant dans cette équations les expressions de l incidence et de l angle de gouverne à l équilibre, on obtient δ téq = 1 [ ] C Lδe C heα b 2 C Lα C mδe C heα b 2 C mα C he0 + C m00 + C Léq (2.50) b 3 D D On remarque la ressemblance avec l expression de la force dans le manche (2.36), que l on peut donc réécrire comme F GS e c e = qc he = qb 3 (δ t δ téq ) (2.51) D autre part, compte tenu de la définition de la raideur en tangage manche libre C m α = C mα C m δe C heα b 2 on peut reformuler l expression de l angle du compensateur à l équilibre comme δ téq = 1 [ C Lδe C heα b 2 C Lα C he0 + C m00 b 2C ] m α b 3 D D C L éq = 1 [ C Lδe C heα b 2 C Lα C he0 + C m00 b ] 2a b 3 D D (h h n)c Léq (2.52) d où l on observe que l angle du compensateur à l équilibre est fonction linéaire du coefficient de portance d équilibre et que la pente est proportionnelle à la marge statique manche libre comme indiqué à la figure. L expression de la pente est FIG Angle du compensateur à l équilibre dδ téq dc Léq = b 2a b 3 D (h h n) (2.53) soit une expression très semblable à celle de la pente de l angle de gouverne (2.29). On en conclut que l on peut déterminer le point neutre manche libre en vol par une procédure semblable à celle suggérée pour la détermination du point neutre manche fixe, à savoir en portant en graphique la pente dδ téq /dc Léq en fonction du centrage.

63 2.3. GUIDAGE ET STABILITÉ STATIQUE MANCHE LIBRE LONGITUDINAUX57 Pour terminer, réanalysons l expression de la force dans le manche (2.36). F = C m C [ δe he α b 2 C mα P GS e c e D S + q C he0 + b 3 δ t + C ] L δe C heα b 2 C Lα C m00 D Avec l expression de la raideur en tangage manche libre, on obtient l expression alternative F = b 2a GS e c e D (h h n) P [ S + q C he0 + b 3 δ t + C ] L δe C heα b 2 C Lα C m00 (2.54) D d où l on voit que le terme constant est proportionnel à la marge statique manche libre, comme illustré à la figure. Comme F = 0 à la vitesse corres- FIG Effet du centrage sur la force dans le manche et son gradient au point d équilibre pondant à la position d équilibre du compensateur, on peut encore réécrire ceci comme F = b 2a GS e c e D (h h n) P S (1 q ) (2.55) q éq Le gradient de cette force par rapport à la vitesse au point d équilibre constitue une importante caractéristique de pilotage. Dérivant l expression précédente par rapport à la vitesse, on obtient 1 df GS e c e dv = ρv df GS e c e dq = b 2a D (h h n) P ρv S q éq et la valeur au point d équilibre est donc ( ) 1 df GS e c e dv éq = b 2a D (h h n) P S 2 V éq (2.56) c est-à-dire proportionnelle à la marge statique manche libre. Au point neutre manche libre, le gradient de force dans le manche s annule et la force dans le manche est nulle pour toutes les vitesses. Il s agit là d une propriété caractéristique du point neutre manche libre, à savoir que lorsque le centre de gravité est en ce point, on ne doit exercer aucune force pour modifier la vitesse de vol.

64 58 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE En examinant l expression du gradient de force dans le manche, on observe également que la commande sera d autant plus ferme que l avion est grand (F S e c e, c est-à-dire au cube de la taille de l avion), que la vitesse est faible et donc, à pression dynamique constante, que l altitude est faible, que le centre de gravité est avancé et que le poids est élevé. 2.4 Stabilité statique latérale Notations et remarques préalables À ce stade, il devient nécessaire de préciser les notations pour les diverses composantes du couple aérodynamique, des angles définissant l attitude de l avion et des angles définissant la configuration aérodynamique. Tant qu on se restreint au vol stabilisé dans le plan de symétrie, l attitude de l avion se caractérise en effet uniquement par l angle d assiette et la seule composante du couple aérodynamique est le moment de tangage, mais dans le cas général, il faut considérer les deux autres composantes du couple aérodynamique et les deux autres angles caractérisant l attitude de l avion. L orientation de l avion par rapport au système inertiel d axes liés à la terre est entièrement définie par trois paramètres : on peut utiliser à cette fin les cosinus directeurs des vecteurs de base du repère lié à l avion (remarquer que seuls trois parmi les neufs sont indépendants, les autres étant liés par les conditions d orthonormalité) ou les angles d Euler, angles de trois rotations successives à appliquer au repère inertiel pour l amener sur le repère lié à l avion. C est cette dernière option que l on adopte ici, comme dans la plupart des ouvrages de mécanique du vol, en raison de son plus grand sens physique. Les rotations définissant les angles d Euler sont (voir figure) 1. une rotation d angle ψ, appelé azimut, autour de l axe z 1 du repère local (avec origine au centre de gravité de l avion) parallèle au repère inertiel Ox 0 y 0 z 0, 2. une rotation d angle θ, appelé assiette longitudinale ou en abrégé assiette, autour de l axe y 2 du repère obtenu par la rotation précédente, et 3. une rotation d angle φ, appelé angle de gîte ou encore de roulis, autour de l axe x 3 du repère obtenu par la rotation précédente. Il faut remarquer que l ordre des rotations n est pas indifférent, car la valeur des angles serait modifiée si l on adoptait un ordre différent. Il ne devient indifférent que pour des rotations infinitésimales. On note respectivement L, M et N les composantes du couple aérodynamique dans le repère avion et p, q (à ne pas confondre avec la pression dynamique) et r les composantes de la vitesse de rotation de l avion. Le repère aérodynamique, lui, est entièrement défini par rapport au repère avion par deux angles. L axe x a étant aligné avec le vecteur vitesse, l axe z a est défini comme étant l intersection du plan perpendiculaire à x a et du plan de symétrie de l avion, et l axe y a complète le repère. Avec cette définition, on

65 2.4. STABILITÉ STATIQUE LATÉRALE 59 FIG Orientation de l avion amène le repère avion sur le repère aérodynamique par les deux rotations suivantes : 1. une rotation d angle α x, appelé incidence 1, autour de l axe y, et 2. une rotation d angle β, appelé dérapage, autour de l axe z a. Ces angles peuvent aussi se définir à partir du vecteur V, projection orthogonale du vecteur vitesse sur le plan de symétrie de l avion, α x étant l angle entre l axe x et le vecteur V et β étant l angle entre le vecteur vitesse et le vecteur V. Ils se calculent simplement à partir des composantes u, v, w du vecteur V dans le repère avion par les expressions suivantes α x = tan 1 w u β = tan 1 v V (2.57) Il existe de grandes différences entre mouvement longitudinal et latéral. 1 On identifie l incidence ainsi définie par l indice x pour la distinguer de l incidence par rapport à la direction de portance nulle α. Les deux incidences coïncident si l axe x est aligné avec la direction de portance nulle, mais il est souvent plus commode de le choisir différemment (voir chapitre 3.

66 60 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE Alors que le mouvement longitudinal ne comporte qu un seul degré de liberté en rotation, ce qui a pour conséquence que la stabilité est étroitement liée à la raideur en tangage, le mouvement latéral, lui, comporte deux degrés de liberté en rotation, qui de plus sont couplés. En effet, un mouvement de roulis (composante p de la vitesse de rotation) produit généralement non seulement un couple de roulis N mais aussi un couple de lacet L et un mouvement de lacet (composante r de la vitesse de rotation) produit tout à la fois un couple de lacet et de roulis. D autre part, en vol stabilisé symétrique, le problème de guidage latéral ne se pose pas : les positions d équilibre des ailerons et du gouvernail sont nulles par symétrie. Ce n est plus vrai en cas de rupture de symétrie, par exemple en cas de défaillance d un moteur. Enfin, du fait que pour un vol stabilisé symétrique, l accélération de la gravité est dans le plan de symétrie, il en résulte que la position du centre de gravité ne joue pas un rôle prépondérant pour les caractéristiques de stabilité latérale, comme pour les caractéristiques de stabilité longitudinale Stabilité directionnelle et guidage Considérons un avion subissant une perturbation de dérapage β (voir figure). Selon la définition de la stabilité statique, la condition de stabilité sta- FIG Avion en dérapage tique sera que le couple aérodynamique produit ait tendance à ramener l avion en vol symétrique, c est-à-dire que la raideur en lacet N/ β soit positive. Le coefficient adimensionnel de moment de lacet est C n = N ½ρV 2 Sb (2.58)

67 2.4. STABILITÉ STATIQUE LATÉRALE 61 (remarquer que la longueur de référence est l envergure b et non la corde c) et sa dérivée par rapport au dérapage est notée C nβ de manière analogue à la notation adoptée pour la raideur en tangage (C mα ). Tout comme on l avait fait pour cette dernière, on évalue C nβ par assemblage des contributions des diverses composantes de l avion. Les contributions principales sont celles du fuselage et de la dérive, alors que la contribution de l aile est généralement faible et que la position du centre de gravité joue peu. Le rôle de la dérive est illustré à la figure En absence de composantes FIG Forces aérodynamiques sur la dérive autres, la vitesse de l écoulement abordant la dérive V F serait bien évidemment égale à la vitesse V et l incidence α F sur la dérive égale à l opposé du dérapage α F = β. En réalité cependant, il faut tenir compte des interférences dues au souffle des hélices, au fuselage et à l aile. En direction, ces interférences sont représentées par une déflexion angulaire σ semblable à la déflexion ɛ ressentie par l empennage horizontal, à laquelle on attribue un signe positif si elle a pour effet d augmenter l incidence. On aura donc α F = β + σ (2.59) Avec une expression linéaire pour le coefficient de portance sur la dérive C LF = a F ( β + σ) + a r δ r (2.60)

68 62 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE où δ r est le braquage du gouvernail, on obtient le coefficent de moment de lacet dû à la dérive C nf = C LF S F l F Sb ( ) 2 VF (2.61) V où le rapport S F l F /Sb est appelé le rapport de volumes de la dérive et noté V V semblablement au rapport analogue pour l empennage horizontal. Dérivant par rapport au dérapage, on obtient C nf β = V V ( ) 2 ( VF a F 1 σ ) V β (2.62) D une manière générale, la déflexion latérale σ est difficile à évaluer. Les contributions principales sont celles du fuselage agissant comme une surface portante lorsque mis en dérapage, de l hélice mais aussi de l aile en raison de la structure asymétrique de l écoulement lorsque l avion est en dérapage, cette dernière contribution étant d autant plus importante pour les ailes en flèche de faible allongement. Quant au rapport des vitesses V F /V, il ne diffère pas sensiblement de l unité, sauf lorsque la dérive est dans le souffle d une hélice. Il existe en outre une contribution au couple de roulis provenant de la force normale qui agit sur une hélice lorsqu elle est mise en dérapage. Cette force fournit une contribution négative (donc déstabilisante) lorsque l hélice est située en avant du centre de gravité et à l inverse positive pour une configuration avec hélice en position arrière (hélice propulsive). Les turboréacteurs produisent une contribution semblable. La plupart des conditions de vol souhaitables sont des configurations symétriques, c est-à-dire sans dérapage. Un avion vraiment symétrique ayant une raideur en lacet positive aura naturellement tendance à se placer dans de telles conditions de vol. Mais il peut se produire des couples de lacet résulant de la défaillance d un moteur, de la rotation du souffle propulsif ou encore de l asymétrie de l écoulement en virage. Dans ces conditions, il faudra produire un couple aérodynamique de sens contraire par braquage du gouvernail pour assurer l équilibre en lacet. Contrairement à la gouverne de profondeur, ce rôle d équilibrage n est pour le gouvernail qu un rôle secondaire. Cela étant, l analyse de l effet du gouvernail est en tout point semblable à celle de l effet de la gouverne de profondeur. À partir des équations ( ), on obtient C nδr = C n δ r = a r V V ( ) 2 VF (2.63) V Cette dérivée, que l on appelle parfois «puissance du gouvernail», doit être suffisamment élevée pour maintenir un dérapage nul dans les conditions les plus défavorables d une poussée asymétrique en virage. Un autre indicateur utile de l effectivité du gouvernail est l angle de dérapage qui peut être maintenu pour un braquage de gouvernail donné. Le

69 2.4. STABILITÉ STATIQUE LATÉRALE 63 couple de lacet étant donné par C n = C nβ β + C nδr δ r (2.64) et puisqu il doit être nul à l équilibre, l effectivité du gouvernail est donc β δ r = C n δr C nβ (2.65) Le couple de charnière et la force dans le palonnier correspondante se calculent également de manière semblable à celle employée pour la gouverne de profondeur. Avec une expression du coefficient de couple de charnière de la forme la force dans le palonnier s exprime comme suit : C hr = b 1 α F + b 2 δ r (2.66) F = G ρv2 F 2 S r c r (b 1 α F + b 2 δ r ) = G ρv2 F 2 S r c r [b 1 ( β + σ) + b 2 δ r ] (2.67) où G est le rapport de démultiplication du système de commande du gouvernail. L influence d un gouvernail libre sur la raideur en lacet s obtient en annulant le coefficient de couple de charnière. L angle de flottement du gouvernail étant δ rfree = b 1 b 2 α F la pente de la courbe de portance de la dérive s obtient directement à partir de (2.60). ( C L F = a F α F 1 a ) r b 1 (2.68) a F b 2 de sorte que l efficacité du gouvernail est réduite par un facteur semblable à celui obtenu pour celle de la gouverne de profondeur Stabilité en roulis et guidage Pour aborder la stabilité en roulis, considérons par la pensée un avion qui serait contraint à ne se mouvoir que selon ce degré de liberté. Ce serait le cas par exemple d un modèle en soufflerie libre de tourner autour de l axe de son support. Remarquons que si cet axe est aligné avec la vitesse du vent, une rotation d angle φ autour de l axe ne modifie en rien la configuration aérodynamique. Par conséquent, aucun couple de roulis n est créé et donc la dérivée aérodynamique C lφ est nulle. Si la vitesse V n est pas alignée avec l axe de rotation (donc que l incidence α est non nulle), alors une rotation d angle φ produit un dérapage. En effet, si

70 64 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE la configuration originale est sans dérapage et donc que la composante transversale de la vitesse v est nulle, après rotation d angle φ on a (en identifiant les variables après rotation par le symbole ) v = V sin α sin φ, de sorte que β = sin 1 (sin α sin φ). Il apparaîtra donc une raideur en roulis du second ordre par l entremise de la dérivée aérodynamique C lβ qui représente le moment de roulis engendré par un dérapage. Avec l expression précédente pour l angle de dérapage produit par la rotation d angle φ, on obtient, en considérant de petits angles, C lφ = sin αc lβ αc lβ (2.69) C lβ étant généralement négative, on aura donc un couple tendant à ramener les ailes dans leur orientation initiale (supposée horizontale) pour des incidences positives. Si l incidence est négative, alors l avion poursuivra sa rotation jusqu à un angle de roulis de 180 où le moment de roulis s annule et C lφ est négative (configuration statiquement stable). Pour des avions libres de se mouvoir selon leurs 6 degrés de liberté, la question de savoir si, à la suite d une perturbation en roulis, ils ont tendance à revenir à leur état initial est beaucoup plus complexe et ne peut recevoir une réponse que par une analyse dynamique complète (voir section 5.3). D une manière générale cependant, on constate que la plupart des avions ont une tendance naturelle à voler avec les ailes horizontales, en raison de l influence du paramètre C lβ, que l on nomme communément «l effet dièdre». En effet, si un avion est incliné en roulis d un angle φ, il apparaît une composante du poids dans la direction y qui a tendance à mettre l avion en dérapage (voir figure). Et le dérapage résultant produit un couple de roulis C lβ β négatif ayant FIG Avion incliné en roulis tendance à ramener les ailes en position horizontale si C lβ est négatif. Comme indiqué précédemment, le détail du mouvement ne peut se déterminer que par une analyse dynamique, mais la discussion illustre bien l importance des effets de couplage sur les mouvements latéraux et du paramètre C lβ.

71 2.4. STABILITÉ STATIQUE LATÉRALE 65 La dérivée aérodynamique C lβ dont on vient de montrer l importance, est principalement produite par l aile, dont plusieurs paramètres géométriques (dièdre, flèche, allongement, position par rapport au fuselage) influencent fortement la valeur. L effet du dièdre est illustré à la figure On voit que la FIG Rôle du dièdre composante latérale de la vitesse (v = V sin β Vβ) fournit une contribution vγ = VβΓ à la vitesse normale au plan de l aile tribord (à gauche sur la figure) et une contribution opposée à la vitesse normale au plan de l aile bâbord. Il en résulte les incréments d incidence α = ±βγ respectivement sur les ailes tribord et bâbord, ce qui produit un couple de roulis proportionnel à βγ et donc une contribution à C lβ proportionnelle à Γ. La flèche de l aile joue également un rôle important 2. En effet, comme indiqué à la figure, en présence d un dérapage, la composante de la vitesse per- FIG Effet de la flèche sur C lβ pendiculaire à l axe aérodynamique de l aile est plus élevée sur l aile tribord que sur l aile bâbord. Il en résulte que la portance est plus élevée également et donc qu il apparaît un couple de roulis négatif, proportionnel au coefficient de portance de l aile et au dérapage. La position de l aile joue aussi un grand rôle. En effet, l écoulement autour du fuselage interagit avec l écoulement sur l aile comme illustré à la figure 2 La flèche de l aile est toutefois déterminée principalement en fonction de considérations autres.

72 66 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE (vue de l arrière). On voit que l écoulement autour du fuselage induit par le FIG Effet du fuselage sur C lβ dérapage a tendance à augmenter/réduire l incidence sur l aile tribord selon que l aile est en position haute ou basse et réciproquement pour l aile bâbord. On en conclut que l interférence entre aile et fuselage produit une contribution négative à C lβ pour une aile haute et positive pour une aile basse. C est la raison pour laquelle les ailes hautes ont un dièdre moins élevé que les ailes basses, surtout pour les ailes en flèche, pour lesquelles on peut même observer parfois des dièdres négatifs (Harrier). En effet, s il est souhaitable que C lβ soit négatif, une valeur trop basse rend l appareil inconfortable à piloter. Enfin, la dernière contribution importante à C lβ est celle de la dérive. La portance sur la dérive résultant d un dérapage (voir section précédente) produit en effet un couple de roulis égal à L F z F, où z F est la distance entre le centre aérodynamique de la dérive et l axe x. Par conséquent, le coefficient de couple de roulis vaut et la contribution à C lβ C l = a F ( β + σ) z FS F Sb ( C lβ = a F 1 σ ) zf S F β Sb ( ) 2 VF (2.70) V ( ) 2 VF (2.71) V On terminera l examen de la stabilité statique latérale en abordant brièvement la question du guidage en roulis. L angle de gîte de l avion est commandé par les ailerons, qui sont le plus souvent des volets mobiles de l aile principale braqués de manière différentielle comme indiqué sur la figure. L effet principal des ailerons est de produire un couple de roulis, mais ils produisent également un couple de lacet. On représente ces deux effets par les dérivées aérodynamiques C lδa et C nδa. Le braquage des ailerons est défini comme la moyenne arithmétique du braquage vers le bas de l aileron tribord et du braquage vers le haut de l aileron bâbord. En raison de cette définition, C lδa est donc normalement négative, un braquage positif de l aileron produisant un couple de roulis négatif. L augmentation de portance sur l aile tribord et la dimimution sur l aile bâbord résultant d un braquage positif des ailerons s accompagnent de variations semblables des traînées, ce qui produit un couple de lacet positif. Comme on braque les ailerons positivement pour amorcer un virage vers la gauche, ce couple de lacet est donc de sens inverse à celui souhaité, ce qui peut entraîner des difficultés de guidage latéral pour

73 2.4. STABILITÉ STATIQUE LATÉRALE 67 FIG Ailerons les avions de grand allongement. Une manière de remédier à ce problème est d utiliser des aérofreins (spoilers) ou des ailerons Frise. L action des aérofreins est illustrée ci-dessous. Le déploiement de l aérofrein bâbord a pour FIG Aérofreins effet de réduire la portance et d augmenter la traînée de l aile bâbord, et donc des couples de roulis et de lacet négatifs. Remarquons pour terminer que les ailerons diffèrent fonctionnellement des autres commandes (gouvernes de profondeur et de direction) en ce qu ils constituent une commande de vitesse de roulis, c est-à-dire qu une déflexion constante des ailerons produit une vitesse de rotation constante, alors que les gourvernes de profondeur et de direction sont des commandes d angle d incidence et de dérapage. Mentionnons enfin que la plupart des avions conventionnels tant soussoniques que supersoniques, sont affectés par un effet aéroélastique connu sous le nom d inversion des ailerons. Le braquage des ailerons produit un couple de torsion de l aile qui a tendance à vriller l aile dans le sens inverse

74 68 CHAPITRE 2. STABILITÉ STATIQUE ET GUIDAGE du braquage des ailerons. Le couple de torsion de l aile étant proportionnel à ½ρV 2 δ a, l angle de vrillage, et par conséquent le couple de roulis corresondant, seront également proportionnels à ½ρV 2 δ a. On aura donc que le couple de roulis résultant d un braquage des ailerons vaudra et donc C l = ( C lδa )indéf δ a + k½ρv 2 δ a (2.72) C lδa = ( C lδa )indéf + k½ρv2 (2.73) Comme on l a mentionné précédemment, ( C lδa )indéf est négative et par ailleurs, la constante de proportionnalité k est positive si, comme c est généralement le cas, le centre de poussée de l incrément de portance dû aux ailerons est en arrière de l axe élastique de l aile. Il en résulte que l effectivité des ailerons diminue avec la vitesse et même s annule pour une certaine vitesse V R, que l on appelle la vitesse d inversion des ailerons. À partir des expression précédentes, on obtient et l expression suivante de l efficacité des ailerons C lδa = ( ( ) C lδa 1 )indéf V2 V 2 R V 2 R = 2 ( ) Clδa (2.74) ρk indéf (2.75) On peut éviter l inversion des ailerons en raidissant l aile (réduisant le coefficient k) de manière à faire en sorte que la vitesse d inversion soit au-delà de la vitesse maximale, mais cela induit une augmentation de poids. Une solution alternative est l utilisation des aérofreins pour le guidage en roulis.

75 Chapitre 3 Équations générales du mouvement 3.1 Introduction Nous abordons dans ce chapitre le problème de la stabilité et du guidage du point de vue dynamique, c est-à-dire l analyse du mouvement de l avion soumis à des perturbations ou à des actions sur les commandes. Comme on l a souligné dans l introduction générale, on considérera pour ce faire l avion comme un solide indéformable. Il s agit évidemment d une approximation, qui néglige l élasticité de l avion, mais l expérience a montré sa grande utilité pratique. Dans ces conditions, la dynamique du vol est simplement une application particulière de la dynamique des solides, dont la théorie générale a été présentée en détail dans le cours MATH 107 Mécanique rationnelle II, qui se singularise par rapport à d autres applications par la nature aérodynamique des forces qui s exercent sur l avion. On commencera donc dans ce chapitre par rappeler les équations générales du mouvement d un solide indéformable telles qu elles s appliquent au mouvement d un avion, y compris en présence de parties tournantes, telles que les hélices ou les turboréacteurs. Ensuite, on considérera le cas particulier de petites perturbations autour d un état d équilibre, qui permet de linéariser les équations. Puis, on analysera l expression des forces aérodynamiques et on montrera en particulier que, pour les avions de configuration symétrique, les mouvements de faible amplitude autour d un état d équilibre se décomposent en un problème longitudinal et un problème latéral. 69

76 70 CHAPITRE 3. ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT 3.2 Les équations du mouvement Équations d Euler Les équations du mouvement d un solide indéformable établies au cours de mécanique rationnelle sont d(m V) dt d( I ω) dt = F (3.1) = G (3.2) où I est le tenseur d inertie, ω la vitesse de rotation, et F et G les forces et moments appliqués respectivement, qui se composent du poids, des forces et moments aérodynamiques et des forces et moments des propulseurs, que l on peut éventuellement inclure dans les forces et moments aérodynamiques. Particularisons ces équations en les exprimant dans le repère avion présenté à la section Comme ce repère n est pas inertiel, les dérivées temporelles apparaissant dans les équations du mouvement ( ) doivent être transformées par les règles habituelles, à savoir ( ) dai = dt inertiel ( ) dai + δ i j k ω j a k (3.3) dt avion La masse de l avion et le tenseur d inertie étant constants en repère avion, les équations du mouvement en repère avion s écrivent comme suit (en notations indicielles) m( dv i dt + δ i j kω j v k ) = F i (3.4) I i j dω j dt + δ i j k I j k ω k = G i (3.5) Établissons à présent l expression de la transformation de coordonnées entre le repère inertiel et le repère avion, ainsi que celle des vitesses de rotation en fonction des angles d Euler ψ, θ et φ. En vertu de la définition des

77 3.2. LES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT 71 angles d Euler donnée à la section (voir figure 2.14), on a x y z = cos φ sin φ 0 sin φ cos φ cos θ 0 sin θ sin θ 0 cos θ cos ψ sin ψ 0 sin ψ cos ψ cos θ cos ψ cos θ sin ψ sin θ sin φ sin θ cos ψ sin φ sin θ sin ψ sin φ cos θ = cos φ sin ψ + cos φ cos ψ cos φ sin θ cos ψ cos φ sin θ sin ψ cos φ cos θ + sin φ sin ψ sin φ cos ψ La vitesse de rotation, elle, vaut x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 (3.6) ω = ψ e z1 + θ e y2 + φ e x3 (3.7) où e xj est le vecteur unitaire selon l axe x du repère j. En exprimant tous ces vecteurs dans le repère avion, on obtient finalement p q r = ψ = sin θ sin φ cos θ cos φ cos θ + θ φ sin θ ψ sin φ cos θ ψ + cos φ θ cos φ cos θ ψ sin φ θ 0 cos φ sin φ + φ (3.8) dont on tire l expression inverse φ θ ψ = p + tan θ(sin φ q + cos φ r) cos φ q sin φ r sec θ(sin φ q + cos φ r) (3.9) En utilisant les résultats précédents, les équations du mouvement s explicitent comme suit : m( u + qw rv) = P sin θ + X (3.10a) m( v + ru pw) = P sin φ cos θ + Y (3.10b) m(ẇ + pv qu) = P cos φ cos θ + Z (3.10c) I xx ṗ + I xy ( q pr) + I xz (ṙ + pq) + I yz (q 2 r 2 ) + (I zz I yy )rq = L I yy q + I xy (ṗ + qr) + I yz (ṙ pq) + I xz (r 2 p 2 ) + (I xx I zz )pr = M I zz ṙ + I xz (ṗ qr) + I yz ( q + pr) + I xy (p 2 q 2 ) + (I yy I xx )pq = N (3.11a) (3.11b) (3.11c)

78 72 CHAPITRE 3. ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT On considérera par la suite le cas le plus fréquent où le plan x z est un plan de symétrie. Dans ces conditions, les produits d inertie I xy et I yz sont nuls. Si l on prend comme axes du repère avion les axes principaux d inertie, alors le produit d inertie I xy est nul également. Lorsqu on étudie des petites perturbations autour d un état d équilibre symétrique (et donc un vol sans dérapage), il s avère toutefois plus commode d employer comme repère avion un repère dans lequel l axe x est aligné avec la direction du vecteur vitesse à l équilibre, car cela simplifie grandement l expression des forces et moments aérodynamiques Contribution des rotors Les équations établies précédemment sont valides pour un avion entièrement fixe dans le repère avion, c est-à-dire sans partie mobile. Or, les moteurs des avions comprennent des parties tournantes (rotors). Pour tenir compte de ces rotors, il suffit d ajouter explicitement le moment cinétique des rotors dans l expression du moment cinétique. Appelant h x, h y et h z les composantes du moment cinétique des rotors dans le repère avion, supposé constant dans le temps (orientation et vitesse de rotation des rotors constantes), il suffit d ajouter dans le membre de gauche des équations (3.11) les termes composante x composante y composante z qh z rh y rh x ph z ph y qh x (3.12) connus sous le nom de couples gyroscopiques Résumé et discussion Dans le cas d un avion symétrique, l ensemble des équations du mouvement (dynamiques et cinématiques) se résument comme suit (en l absence de vent atmosphérique). m( u + qw rv) = P sin θ + X (3.13a) m( v + ru pw) = P sin φ cos θ + Y (3.13b) m(ẇ + pv qu) = P cos φ cos θ + Z (3.13c) I xx ṗ + I xz (ṙ + pq) + (I zz I yy )rq + qh z rh y = L I yy q + I xz (r 2 p 2 ) + (I xx I zz )pr + rh x ph z = M I zz ṙ + I xz (ṗ qr) + (I yy I xx )pq + ph y qh x = N (3.14a) (3.14b) (3.14c)

79 3.2. LES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT 73 ẋ 0 = cos θ cos ψ u + (sin φ sin θ cos ψ cos φ sin ψ)v + (cos φ sin θ cos ψ + sin φ sin ψ)w (3.15a) ẏ 0 = cos θ sin ψ u + (sin φ sin θ sin ψ + cos φ cos ψ)v + (cos φ sin θ sin ψ sin φ cos ψ)w (3.15b) ż 0 = sin θ u + sin φ cos θ v + cos φ cos θ w (3.15c) φ = p + tan θ(sin φ q + cos φ r) θ = cos φ q sin φ r ψ = sec θ(sin φ q + cos φ r) (3.16a) (3.16b) (3.16c) Il s agit d un système de 12 équations différentielles non-linéaires dans les 12 inconnues x 0, y 0, z 0, φ, θ, ψ, u, v, w, p, q et r puisque les forces et couples aérodynamiques X, Y, Z, L, M et N dépendent du mouvement de l avion représenté par son vecteur vitesse u, v, w et son vecteur vitesse de rotation p, q, r, ainsi que d un vecteur c de paramètres de commandes c = (δ a, δ e, δ r, Π) (3.17) où δ a, δ e et δ r représentent les braquages des ailerons et des gouvernes de profondeur et de direction, et Π la position de la manette des gaz, et sont des fonctions supposées données du temps. Ce système différentiel est représenté symboliquement par le schémabloc de la figure 3.1 qui fait apparaître les variables d entrée et de sortie de FIG. 3.1 Schéma-bloc de la dynamique de l avion

80 74 CHAPITRE 3. ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT chaque sous-système. On constate que toutes les variables d entrée se retrouvent comme variables de sortie, sauf les variables de commande qui doivent être spécifiées. Dans l étude du mouvement de l avion décrite par ce système, on peut distinguer divers types de problèmes : Stabilité commandes fixes Dans ce type de problèmes, on étudie le mouvement de l avion consécutif à une perturbation, les commandes étant maintenues en position, c est-à-dire pour un vecteur de commande constant. En raison de la non-linéarité du système mentionnée précédemment, il n existe en général pas de solution analytique. Toutefois, pour des mouvements de faible amplitude, les équations du mouvement peuvent être linéarisées, ce qui permet d obtenir des solutions analytiques. On analysera ce type de problèmes au chapitre 5. Stabilité commandes libres Dans ce cas également, on étudie le mouvement de l avion consécutif à une perturbation, mais cette fois les commandes sont libres de se déplacer sous l effet des couples aérodynamiques qui s appliquent sur elles. Les variables de commande ne sont donc plus spécifiées, mais sont elles-mêmes liées aux variables d état du système (orientation, vitesse, vitesse angulaire) par l entremise des équations décrivant le mouvement des commandes, qui s ajoutent donc au système de base. Ce type de problèmes présente un intérêt surtout pour les avions à commandes mécaniques. Stabilité commandes automatiques C est encore une fois le mouvement de l avion consécutif à une perturbation que l on étudie, mais lorsque celui-ci est sous le contrôle d un système de pilotage automatique qui actionne les commandes en fonction de l évolution des variables d état et éventuellement de commandes extérieures telles que données par un système de navigation. Réponse aux commandes On étudie dans ce cas le mouvement de l avion consécutif à l actionnement d une commande selon une loi de variation dans le temps spécifiée, généralement un échelon de commande. On analysera ce type de problèmes au chapitre 6. Réponse à la turbulence atmosphérique L étude du mouvement de l avion et des forces qui s exercent sur lui en raison de turbulences atmosphériques est extrêmement importante, tant du point de vue de la conception que du point de vue opérationnel. Les équations du mouvement se modifient simplement par l ajout du vent atmosphérique, fluctuant en raison de la turbulence, au vecteur vitesse de l avion par rapport à l atmosphère (u, v, w). Problèmes inverses Cette dernière classe de problèmes correspond au cas où l évolution de certaines des variables d état est spécifiée. Par exemple, on peut chercher à déterminer quelle est l action à appliquer aux commandes pour obtenir un mouvement donné. C est aussi à des problèmes de ce type que conduit l analyse d essais en vol. Là, les mouvements de

81 3.3. THÉORIE DES PETITES PERTURBATIONS 75 l avion et des commandes sont connus (mesurés) et il s agit de déterminer la valeur des paramètres de l avion qui correspondent au mouvement observé. Il s agit d un exemple de l important problème d identification des paramètres en théorie des systèmes. 3.3 Théorie des petites perturbations On considère dans cette section des mouvements de faible amplitude autour d un état d équilibre. Dans ces conditions, les équations du mouvement peuvent se linéariser. L expérience a montré que cette théorie simplifiée donne de bons résultats, notamment pour l analyse de la stabilité des états d équilibre et de la réponse aux commandes Linéarisation des équations On commence par décomposer le mouvement entre l état d équilibre de référence (vol rectiligne uniforme) identifié par l indice 0 et les écarts par rapport à cet état (perturbations), identifiés par le préfixe. L état de référence étant un mouvement rectiligne uniforme, p 0 = q 0 = r 0 = 0. De plus, on supposera que l état de référence est un vol symétrique, de sorte que v 0 = φ 0 = 0. Enfin, on peut sans perte de généralité prendre w 0 = 0 en alignant l axe x avec le vecteur vitesse à l équilibre (repère avion de stabilité) et ψ 0 = 0 en choisissant la direction x 0 du repère sol dans le plan de symétrie de l avion. On négligera en outre le moment cinétique des rotors, soit que l avion soit en vol plané, soit qu il y ait un nombre pair de rotors tournant en sens inverse, de sorte que le moment cinétique global est nul, soit enfin, dans le cas des monomoteurs, que le moment cinétique soit suffisamment faible pour être négligé. Enfin, l atmosphère sera supposée au repos (vent nul). Dans ces conditions, en négligeant les termes quadratiques dans les écarts et en linéarisant les expressions trigonométriques, les équations du mouvement ( ) deviennent m u = P(sin θ 0 + cos θ 0 θ) + X 0 + X m( v + ru 0 ) = P φ cos θ 0 + Y 0 + Y m( ẇ qu 0 ) = P(cos θ 0 sin θ 0 θ) + Z 0 + Z (3.18a) (3.18b) (3.18c) I xx ṗ + I xz ṙ = L 0 + L I yy q = M 0 + M I zz ṙ + I xz ṗ = N 0 + N (3.19a) (3.19b) (3.19c)

82 76 CHAPITRE 3. ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT ẋ 0 = cos θ 0 (u 0 + u) u 0 sin θ 0 θ + sin θ 0 w ẏ 0 = u 0 cos θ 0 ψ + v ż 0 = sin θ 0 (u 0 + u) u 0 cos θ 0 θ + cos θ 0 w (3.20a) (3.20b) (3.20c) φ = p + tan θ 0 r θ = q ψ = sec θ 0 r (3.21a) (3.21b) (3.21c) L état de référence étant un état d équilibre, il satisfait les équations d équilibre 0 = P sin θ 0 + X 0 0 = Y 0 + Y 0 = P cos θ 0 + Z 0 0 = L 0 = M 0 = N 0 (3.22) de sorte que les équations des petites perturbations s écrivent finalement, en ommettant le préfixe pour les angles et les vitesses (de translation et de rotation) dont la valeur de référence est nulle et en écrivant les équations de translation pour l écart x 0, y 0, z 0 entre la positions du centre de masse et sa position au même moment en vol rectiligne uniforme m u = P cos θ 0 θ + X (3.23a) m( v + ru 0 ) = Pφ cos θ 0 + Y (3.23b) m(ẇ qu 0 ) = P sin θ 0 θ + Z (3.23c) I xx ṗ + I xz ṙ = L I yy q = M I zz ṙ + I xz ṗ = N (3.24a) (3.24b) (3.24c) ẋ 0 = cos θ 0 u u 0 sin θ 0 θ + sin θ 0 w ẏ 0 = u 0 cos θ 0 ψ + v ż 0 = sin θ 0 u u 0 cos θ 0 θ + cos θ 0 w (3.25a) (3.25b) (3.25c) φ = p + tan θ 0 r θ = q ψ = sec θ 0 r (3.26a) (3.26b) (3.26c)

83 3.3. THÉORIE DES PETITES PERTURBATIONS 77 Pour obtenir le système différentiel sous forme canonique, il suffit alors de résoudre les équations du mouvement pour les dérivées des composantes de la vitesse et de la vitesse angulaire de perturbation, à savoir u = g cos θ 0 θ + X m v = gφ cos θ 0 + Y m ru 0 ẇ = g sin θ 0 θ + Z m + qu 0 (3.27a) (3.27b) (3.27c) ṗ = I zz L I xz N I xx I zz I 2 xz q = M I yy ṙ = I xx N I xz L I xx I zz I 2 xz (3.28a) (3.28b) (3.28c) Forces et couples aérodynamiques Comme on l a mentionné précédemment, les forces et couples aérodynamiques dépendent du mouvement de l avion représenté par son vecteur vitesse u, v, w et son vecteur vitesse de rotation p, q, r, ainsi que du vecteur de paramètres de commandes. La détermination de la manière dont ils en dépendent est au cœur de la dynamique du vol atmosphérique. En toute rigueur, les forces et couples aérodynamiques sont des fonctionnelles des variables d état. Par exemple, la portance de l aile dépend non seulement de la valeur instantanée de l incidence mais aussi de toute son histoire passée, ce que l on peut exprimer par la relation L(t) = L[α(τ)] τ t (3.29) En supposant que la fonction α(τ) soit développable en série de Taylor, α(τ) = α(t) + (τ t) α(t) + ½(τ t) 2 α(t) + α(τ) peut être remplacé dans la relation précédente par la série infinie α(t), α(t), α(t),.... En développant une nouvelle fois en série de Taylor par rapport à l état d équilibre initial (pour t = t 0 ), on peut écrire L = L α α + ½L αα ( α) L α α + ½L α α ( α) 2 + (3.30) Dans le cadre de la théorie des petites perturbations, on fait classiquement l hypothèse, introduite par Bryan (1911), de forces aérodynamiques linéaires, c est-à-dire que l on ne retient que les termes linéaires dans l expression précédente, même si la fonction α(t) n est pas analytique (développable en série de Taylor), c est-à-dire L = L α α + L α α + L α α + (3.31)

84 78 CHAPITRE 3. ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT Les grandeurs L α, L α,..., dont on a déjà rencontré des exemples aux chapitres précédents, sont appelées dérivées de stabilité ou plus généralement dérivées aérodynamiques. Pour la plupart des forces aérodynamiques et des variables d état, le premier terme suffit, mais dans certains cas, on doit garder les termes jusqu à la dérivée seconde pour être suffisamment précis. Une grande part du travail en mécanique du vol a été consacré à déterminer la valeur de ces dérivées aérodynamiques en fonction des caractéristiques géométriques des aéronefs et des conditions de vol, tant par des méthodes expérimentales que théoriques, et, plus récemment, numériques. Une quantité considérable de connaissances a ainsi été accumulée, qui seront largement présentées au chapitre suivant. Une limitation de la théorie classique est l hypothèse de régularité des variables d état, qui est mise en défaut en cas de discontinuités, par exemple pour des échelons des variables (ou de leurs dérivées). Ainsi, pour un échelon d incidence, l expression classique donne L = L α α = const puisque α est constant, ce qui est en contradiction avec l observation expérimentale que la portance ne s établit pas instantanément. Dans le cadre d une théorie aérodynamique linéaire, on peut aisément résoudre ce problème en utilisant le concept de fonction de transfert. On n abordera pas ici cette extension de la théorie classique de Bryan. Pour terminer cette section, examinons les simplifications induites par l hypothèse de l existence d un plan de symétrie et de la symétrie de l état d équilibre de référence. Pour une configuration symétrique, il est clair que la force latérale Y et les couples de lacet et de roulis L et N sont identiquement nuls pour tout vol symétrique, c est-à-dire tel que v = p = r = φ = ψ = 0, ceci étant vrai quelle que soit l amplitude du mouvement (c est-à-dire pas uniquement pour de petites perturbations). Par conséquent, les dérivées des forces et couples latéraux par rapport aux variables longitudinales (u, w, q) sont strictement nulles. Nous ferons en outre les approximations de négliger 1. les dérivées des forces et couples aérodynamiques longitudinaux par rapport aux variables latérales, 2. les dérivées des forces et couples aérodynamiques par rapport aux dérivées temporelles des variables d état, à l exception des dérivées Zẇ et Mẇ, 3. la dérivées X q, 4. les variations de masse volumique de l atmosphère avec l altitude. Il faut souligner qu aucune de ces approximations n est indispensable pour résoudre les problèmes de dynamique du vol, elles sont seulement motivées par l expérience et la commodité, et peuvent être remises en cause au besoin. Avec ces approximations, les forces et couples aérodynamiques s expriment

85 3.3. THÉORIE DES PETITES PERTURBATIONS 79 comme suit : X = X u u + X w w + X c Y = Y v v + Y p p + Y r r + Y c Z = Z u u + Z w w + Zẇẇ + Z q q + Z c L = L v v + L p p + L r r + L c M = M u u + M w w + Mẇẇ + M q q + M c N = N v v + N p p + N r r + N c (3.32a) (3.32b) (3.32c) (3.32d) (3.32e) (3.32f) où les termes avec l indice c indiquent les forces et couples aérodynamiques résultant de l actionnement des commandes. Pour obtenir l expression finale des équations du mouvement de faible amplitude sous forme canonique, il suffit d introduire ces expressions des forces et couples aérodynamiques dans les équations (3.27,3.28,3.25,3.26), en résolvant les équations en translation selon z et en rotation de tangage pour ẇ et q. De l équation en translation selon z, on obtient ẇ = g sin θ 0 θ + qu 0 + Z u u + Z w w + Zẇẇ + Z q q + Z c [ m 1 ẇ = g sin θ 1 Z 0 θ + qu 0 + Z ] u u + Z w w + Z q q + Z c ẇ m m 1 [ ] = Zu u + Z w w + (Z q + mu 0 )q mg sin θ 0 θ + Z c m Zẇ L équation en rotation de tangage donne, quant à elle, (3.33) q = M u u + M w w + Mẇẇ + M q q + M c = 1 I yy + I yy [( M u + Z umẇ m Zẇ ( M q + (Z q + mu 0 )Mẇ m Zẇ ) ( u + M w + Z wmẇ m Zẇ ) ) w q mg sin θ 0Mẇ θ + M c + Z cmẇ m Zẇ m Zẇ (3.34) En écrivant l ensemble des équations en détail, on constate qu elles se divisent en deux groupes indépendants décrivant respectivement les mouvements longitudinal et latéral, présentés sous forme matricielle en (3.35) et (3.36). Le découplage ainsi obtenu résulte des hypothèses faites. Comme on l a mentionné précédemment, un mouvement longitudinal n induit aucune force latérale ni couple de lacet ou de roulis. Par conséquent, le système latéral est identiquement satisfait par v = p = r = φ = 0 (en supposant les ailerons et la gouverne de direction en position neutre) et le mouvement sera entièrement décrit par le système (3.35) qui constitue un système dans les 6 variables u, w, q, θ, x 0 et z 0. Ces mouvements pour lesquels les variables latérales sont identiquement nulles sont appelés longitudinaux ou symétriques, de même que le système d équations qui les décrit. Inversément, ]

86 80 CHAPITRE 3. ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT le système longitudinal est entièrement satisfait par u = w = q = θ = 0, et les mouvements correspondants sont purement latéraux et décrits par le système (3.36) appelé de même. Il faut remarquer toutefois que l existence de mouvements purement longitudinaux est soumise à moins de conditions que celle de mouvements latéraux. En effet, les seules conditions à remplir sont simplement l existence d un plan de symétrie, et l absence d effets gyroscopiques de rotors. En particulier, l hypothèse de petites perturbations n est pas nécessaire, il peut exister des mouvements purement longitudinaux de grande amplitude. Par contre, l existence de mouvements latéraux est soumise à des conditions supplémentaires, à savoir, outre les conditions d existence des mouvements longitudinaux la faible amplitude des mouvements, condition de la linéarisation des équations, et l absence de couplage aérodynamique entre mouvements latéraux et forces/couples longitudinaux. La linéarisation est en effet indispensable en raison de la présence de termes tels que mrv et mpv dans les équations du mouvement longitudinal. Par conséquent, un mouvement latéral d amplitude appréciable induit un mouvement longitudinal, mais l inverse n est pas vrai Forme adimensionnelle des équations On connaît le grand usage fait en aérodynamique des coefficients adimensionnels, qui permet de prendre en compte automatiquement les effets principaux de grandeur, de vitesse et de masse volumique. De même, on peut définir des formes non-dimensionnelles des diverses dérivées aérodynamiques intervenant dans les équations du mouvement (3.35 et 3.36). Malheureusement, il n existe pas de norme universellement acceptée pour cette adimensionnalisation. On adoptera ici le système employé par la NASA, qui est d un usage répandu. Les facteurs d adimensionnalisation pour la théorie des petites perturbations sont définis au tableau 3.1. Il est intéressant de remarquer que dans le cadre de cette théorie, les vitesses adimensionnelles ˆv et ŵ ne sont rien d autre que les angles aérodynamiques β et α x. En effet, au premier ordre dans les vitesses de perturbation V 2 = (u 0 + u) 2 + v 2 + w 2 (u 0 + u) 2 V u 0 + u β = tan 1 v V v u 0 + u v = ˆv u 0 α x = tan 1 w u = w tan 1 u 0 + u w = ŵ u 0 C est la raison pour laquelle on a coutume d exprimer les dérivées aérodynamiques adimensionnelles par rapport à α, α, β et β plutôt que par rapport aux vitesses réduites. Remarquons enfin que, puisque α x et l incidence par

87 3.3. THÉORIE DES PETITES PERTURBATIONS 81 Grandeur dimensionnelle TAB. 3.1 Adimensionnalisation des équations Facteur de normalisation Coefficient adimensionnel X, Y, Z ½ρu 2 0 S C x, C y, C z P ½ρu 2 0 S C P M ½ρu 2 0 S c C m L, N ½ρu 2 0 Sb C l, C n u, v, w u 0 û, ˆv, ŵ α, q 2u 0 / c ˆ α, ˆq β, p, r 2u 0 /b ˆ β, ˆp, ˆr m ρs c/2 µ I yy ρs( c/2) 3 Î yy I xx, I zz, I xz ρs(b/2) 3 Î xx, Î zz, Î xz t t = c/2u 0 ˆt rapport à la direction de portance nulle α diffèrent d un angle constant, les dérivées par rapport à α x et par rapport à α sont identiques. L ensemble des dérivées aérodynamiques adimensionnelles intervenant dans la théorie des petites perturbations sont rassemblées aux tableaux 3.2 et 3.3 pour les dérivées longitudinales et latérales respectivement, chaque symbole représentant la dérivée du coefficient aérodynamque en tête de colonne par rapport à la variable en tête de rangée. Comme indiqué précédemment, on admettra que les dérivées C x α et C xq sont nulles. TAB. 3.2 Dérivées longitudinales adimensionnelles C x C z C m û C xu C zu C mu α C xα C zα C mα ˆq C xq C zq C mq α C x α C z α C m α TAB. 3.3 Dérivées latérales adimensionnelles C y C l C n β C yβ C lβ C nβ ˆp C yp C lp C np ˆr C yr C lr C nr Bien qu il soit possible d écrire les équations du mouvement (3.35 et 3.36) sous forme entièrement adimensionnelle (voir annexe C), la pratique courante de nos jours est plutôt de les résoudre numériquement sous forme dimensionnelle. Aussi, il faut exprimer les dérivées aérodynamiques dimensionnelles en fonction des dérivées adimensionnelles présentées aux tableaux 3.2 et 3.3.

88 82 CHAPITRE 3. ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT Dérivées aérodynamiques dimensionnelles Pour conclure ce chapitre, établissons les expressions des dérivées aérodynamiques dimensionnelles. On utilise à cette fin une procédure systématique décrite en détail pour les dérivées de la force Z. En vertu de l adimensionnalisation présentée au tableau 3.1, Par conséquent, Z = ½ρu 2 0 SC z Z u = ρu 0 SC z + ½ρu 2 0 SC z u dû du = rhou 0SC z + ½ρu 0 SC zu Mais d autre part, en vertu des équations d équilibre 3.22, C z = C P sin θ 0, de sorte que Semblablement, Z u = ρu 0 SC P cos θ 0 + ½ρu 0 SC zu (3.37) Z w = ½ρu 2 0 SC z α dα dw = ½ρu 0SC zα Z q = ½ρu 2 0 SC z q d ˆq dq = ¼ρu 0 csc zq Zẇ = ½ρu 2 0 SC z α d ˆ α dẇ = ¼ρu 0 csc z α En répétant la même procédure pour toutes les autres dérivées et compte tenu de ce qu à l état d équilibre C x = C P sin θ 0 C m = C l = C n = 0 on obtient les expressions rassemblées aux tableaux 3.4 et 3.5 pour les dérivées longitudinales et latérales respectivement. TAB. 3.4 Dérivées longitudinales dimensionnelles X Z M u ρu 0 SC P sin θ 0 + ½ρu 0 SC xu ρu 0 SC P cos θ 0 + ½ρu 0 SC zu ½ρu 0 csc mu w ½ρu 0 SC xα ½ρu 0 SC zα ½ρu 0 csc mα q ¼ρu 0 csc xq ¼ρu 0 csc zq ¼ρu 0 c 2 SC mq ẇ ¼ρ csc x α ¼ρ csc z α ¼ρ c 2 SC m α TAB. 3.5 Dérivées latérales dimensionnelles Y L N v ½ρu 0 SC yβ ½ρu 0 bsc lβ ½ρu 0 bsc nβ p ¼ρu 0 bsc yp ¼ρu 0 b 2 SC lp ¼ρu 0 b 2 SC np r ¼ρu 0 bsc yr ¼ρu 0 b 2 SC lr ¼ρu 0 b 2 SC nr

89 3.3. THÉORIE DES PETITES PERTURBATIONS 83 u ẇ q θ = 1 I yy X u m Z u m Zẇ [ M u + Z ] umẇ m Zẇ 1 I yy X w m Z w m Zẇ [ M w + Z ] wmẇ m Zẇ Système longitudinal 1 I yy 0 g cos θ 0 Z q + mu 0 m Zẇ [ M q + (Z ] q + mu 0 )Mẇ m Zẇ mg sin θ 0 m Zẇ mg sin θ 0 Mẇ I yy (m Zẇ) u w q θ ẋ 0 = cos θ 0 u u 0 sin θ 0 θ + sin θ 0 w ż 0 = sin θ 0 u u 0 cos θ 0 θ + cos θ 0 w v ṗ ṙ φ = Y v m Y p m Système latéral Y r m u 0 g cos θ 0 I zzl v I xzn v I zzl p I xzn p I zzl r I xzn r 0 I xxn v I xzl v I xxn p I xzl p I xxn r I xzl r tan θ 0 0 v p r φ + Y c m I zz L c I xz I xx N c I xz 0 ψ = sec θ 0 r ẏ 0 = u 0 cos θ 0 ψ + v I xx = I xx /(I xx I zz I 2 xz) I zz = I zz /(I xx I zz I 2 xz) I xz = I xz /(I xx I zz I 2 xz)

90 84 CHAPITRE 3. ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT

91 Chapitre 4 Dérivées de stabilité 4.1 Introduction On analysera dans ce chapitre les dérivées aérodynamiques définies au chapitre précédent, et dont certaines (p. ex. C mα, C lβ ) ont déjà été rencontrées au chapitre 2. Le but principal de ce chapitre est de mettre en évidence les mécanismes physiques à l origine des efforts aérodynamiques représentés par ces dérivées. Dans la mesure du possible, on tentera d établir des expressions permettant de les calculer, ou de calculer la contribution de certaines parties de l avion. Pour l évaluation précise des dérivées, on recourt en pratique à des corrélations empiriques basées sur des essais en soufflerie et en vol, présentées sous forme d abaques ou de logiciels. On consultera à ce propos la littérature [5]. Comme on l a vu au chapitre précédent, la dynamique de l avion s exprime le plus commodément dans un repère avion et, pour l étude de petites perturbations autour d un état d équilibre, dans le repère avion dont l axe x est aligné avec la vitesse à l équilibre, appelé repère de stabilité. Il en résulte qu il faut exprimer les forces aérodynamiques dans ces axes. Comme les forces aérodynamiques sont habituellement exprimées dans un repère aérodynamique (portance et traînée), commençons par énoncer les relations entre les coefficients de force C x et C z et les coefficients de portance et traînée C L et C D. L angle entre la force de propulsion et l axe x (généralement faible) étant pris égal à zéro, on a C x = C T + C L α x C D C z = (C L + C D α x ) (4.1) où C T est le coefficient de poussée T/½ρV 2 S. 85

92 86 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES DE STABILITÉ 4.2 Dérivées longitudinales Dérivées par rapport à α C xα En dérivant (4.1) par rapport à α, on trouve C xα = C T α + C C L L + α x α C D α En supposant le coefficient de poussée indépendant de l incidence et en évaluant l expression précédente à l état d équilibre (identifié par l indice 0, avec en particulier α x0 = 0), on obtient ( ) CD C xα = C L0 (4.2) α 0 Pour une polaire parabolique C D = C Dpar + kc 2 L, l expression devient C xα = C L0 2kC L0 C Lα (4.3) où C Lα est la pente de la courbe de portance notée a au chapitre 2. C zα En dérivant (4.1) par rapport à α et en évaluant à l état d équilibre, on obtient C zα = C Lα C D0 (4.4) expression dans laquelle C D0 est souvent négligeable par rapport à C Lα. C mα C mα est la raideur en tangage discutée en détail au chapitre 2, que l on exprime commodément en fonction de la position du point neutre manche fixe C mα = a(h h n ) (4.5) Elle est donc négative lorsque le centre de gravité est en avant du point neutre (configuration stable) Dérivées par rapport à u Les dérivées par rapport à u représentent les variations des coefficients de forces et moment dues à une variation de vitesse pour une incidence et une position des commandes (gouverne de profondeur et manette des gaz) fixes. Si l on suppose que les coefficients de portance et de traînée ne dépendent que de l incidence, c est-à-dire si l on néglige leur dépendance vis-àvis des nombres de Reynolds et de Mach, alors seule la dérivée du coefficient de poussée C T par rapport à u fournira une contribution à la dérivées C xu

93 4.2. DÉRIVÉES LONGITUDINALES 87 et éventuellement à la dérivée C mu (puisque C m = C m0 + a(h h n )α et que la poussée intervient dans les expressions de C m0 et de la position du point neutre manche fixe h n ). Les choses ne sont toutefois pas si simples. D une part, si l effet du nombre de Reynolds peut la plupart du temps être négligé, il n en est pas de même de l effet du nombre de Mach, qui est non négligeable sauf pour les vols à faible vitesse. D autre part, sauf pour les avions de petite taille relativement rigides, on doit souvent tenir compte de la flexibilité de l avion qui induit des modifications de la géométrie (et donc de réponse aérodynamique) en fonction de la charge aérodynamique (effet aéroélastique statique). De plus, les variations de poussée avec la vitesse ont un effet indirect par l interaction propulsion/cellule, par exemple l interaction du souffle d une hélice avec l aile, le fuselage ou l empennage. Dès lors, d une manière générale, on devra écrire, par exemple pour la dérivée C xu, ( ) ( ) ( ) Cx M Cx p d Cx C T C xu = + + (4.6) M û 0 p d û 0 C T û 0 où le deuxième terme représente l effet de flexibilité de la structure, dont la charge est proportionnelle à la pression dynamique p d. Les dérivées M/ û, p d / û et C T / û se calculent aisément : ( ) ) ) M û 0 ( ) pd û 0 ( ) CT û 0 = u 0 ( M u = u 0 ( pd u = u 0 ( CT u ( V = M 0 0 u ) ( V = ρu 2 0 u ) 0 0 = 2 ( T/ u ) 0 ρu 0 S = M 0 (4.7) 0 ) = ρu 2 0 (4.8) 0 ( ) V 2C T0 = 2 ( T/ u ) 0 2C T0 u 0 ρu 0 S (4.9) Dans la dernière expression, le terme ( T/ u ) dépend du type de propulsion utilisée. Pour un avion à turboréacteurs, la poussée est approximative- 0 ment indépendante de la vitesse, de sorte que ( T/ u ) = 0, alors que pour 0 un avion à turbopropulseur ou motopropulseur, la puissance est approximativement indépendante de la vitesse, de sorte que ( T/ u ) 0 = (T/u) 0 = ½ρu 0 SC T0. Les dérivées des coefficients aérodynamiques (C x, C z, C m par rapport au nombre de Mach, à la pression dynamique et au coefficient de poussée s obtiennent en fonction des dérivées des coefficients de traînée, de portance et de poussée à partir des expressions (4.1). Les dérivées par rapport au nombre de Mach s obtiennent le plus souvent par des essais en soufflerie sur modèles rigides. En ce qui concerne le moment de tangage en particulier, sa dérivée s accroît sensiblement dans le régime transsonique, où elle résulte principalement du déplacement vers l arrière du foyer de l aile, celui-ci passant typiquement du quart de la corde en soussonique à la moitié de la corde en supersonique. Ce déplacement produit un incrément de moment cabreur, d où il résulte que C mu < 0. Les dérivées par rapport à la pression dynamique s ob-

94 88 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES DE STABILITÉ tiennent soit par des analyses aéroélastiques, soit par des essais sur modèles flexibles. Enfin, l évaluation des dérivées par rapport au coefficient de poussée nécessite d effectuer des essais en soufflerie sur modèles motorisés. Dans ce cas, il arrive fréquemment que l on mesure directement les dérivées des coefficients aérodynamiques C x et C z plutôt que les dérivées des coefficients de portance et de traînée Dérivées par rapport à q Ces dérivées représentent les efforts aérodynamiques consécutifs à un mouvement de rotation de tangage par rapport au centre de gravité, l incidence α x restant inchangée (c est-à-dire nulle). Ce type de mouvement est illustré à la figure 4.1b, en contraste avec le mouvement illustré à la Figure 4.1a qui est FIG. 4.1 Mouvements longitudinaux : (a) q = 0, α x variable, (b) α x variable = 0, q un mouvement de pure translation, à incidence variable. Comme on l a indiqué au chapitre précédent, la force aérodynamique selon x résultant d un mouvement de rotation est négligeable, de sorte que seules C zq et C mq sont à déterminer. Bien que l aile soit également touchée par le mouvement de rotation, pour les avions avec empennage, c est l empennage qui fournit la contribution principale, la contribution de l aile étant alors fréquemment négligée ou prise

95 4.2. DÉRIVÉES LONGITUDINALES 89 en compte simplement en majorant la contribution de l empennage d un facteur correctif arbitraire de l ordre de 10 %. Contribution de l empennage L effet principale de la rotation, comme illustré à la figure 4.2, est d aug- FIG. 4.2 Effet d une rotation en tangage sur l empennage menter l incidence de l empennage d un angle égal à ql t /u 0. En faisant l approximation que la portance de l empennage s établit instantanément, cet incrément d incidence produit donc un incrément de coefficient de portance C L = S t S C L t = S t S a t α t = S t S a ql t t u 0 = S t S a 2 ˆql t t c = 2a t V H ˆq (4.10) since q/u 0 = 2 ˆq/ c. On en déduit les expressions suivantes de C zq et C mq : C zq = 2a t V H (4.11) C mq = 2a t V H l t c (4.12) Contribution de l aile Comme elle est négligeable pour les avions à empennage, sauf éventuellement pour les ailes à forte flèche de faible allongement, on se contentera dans cette section de décrire les mécanismes physiques à l origine des contributions de l aile aux dérivées par rapport à q. Tout comme pour l empennage, la rotation de l aile par rapport au centre de gravité a pour effet d induire une vitesse verticale, qui varie linéairement

96 90 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES DE STABILITÉ avec la distance par rapport au centre de gravité (voir figure) alors que FIG. 4.3 Vitesses induites par une rotation en tangage pour l empennage, comme c t l t, on pouvait considérer la vitesse induite constante sur l empennage. Dans le cadre d une théorie aérodynamique des petites perturbations, cet effet est équivalent à une cambrure additionnelle de l aile. En effet, la condition de tangence devient V n = qx u 0 dz dx + w = qx w u 0 = dz dx qx u 0 (4.13) d où on déduit que le mouvement de rotation est équivalent à une augmentation de la pente locale de l aile de qx/u 0, que l on obtiendrait en déformant l aile selon z = qx 2 /2u 0, c est-à-dire en ajoutant une cambrure parabolique. Cette cambrure additionnelle produit une variation de portance et de moment de tangage que l on peut calculer par la méthode des petites perturbations, on que l on peut mesurer en soufflerie par des essais sur une aile déformée équivalente. Cette théorie est quasi-statique et néglige par conséquent les effets de courbure du sillage et les effets instationnaires. On a observé [5] que, pour des trajectoires sinusoïdales, ces effets sont effectivement négligeables lorsque la longueur d onde de la trajectoire est grande par rapport à la corde de l aile. Enfin, puisque la distribution de vitesse induite dépend de la position du centre de rotation, c est-à-dire du centre de gravité, la déformation équivalente et par conséquent les efforts aérodynamiques dépendent également du centrage. On peut montrer [5] que C Lq (et par conséquent C zq ) dépend linéairement de h alors que C mq est fonction quadratique de h.

97 4.2. DÉRIVÉES LONGITUDINALES Dérivées par rapport à α Les dérivées par rapport à α proviennent du fait que la distribution de pression sur l aile ou l empennnage ne s ajustent pas instantanément aux variations d incidence. Il s agit donc d un effet instationnaire contrairement aux effets considérés précédemment qui pouvaient tous s analyser par une théorie aérodynamique stationnaire. Tout comme pour la vitesse de rotation q, on néglige l effet d α sur la force axiale C x α 0. Contribution de l aile Considérons une aile soumise à un échelon d incidence (voir figure 4.4). La portance subit un transitoire (réponse indicielle A( ˆt)) dépendant du régime de vol avant d atteindre sa valeur asymptotique. Considérons ensuite la même aile soumise à une variation linéaire d incidence (figure 4.5). La réponse en portance se calcule alors par l intégrale de convolution C L (ˆt) = ˆt 0 ˆt A(ˆt τ) αdτ = α A(ˆt τ)dτ = (4.14) 0 Comme asymptotiquement la réponse indicielle tend vers la pente de la courbe de portance C Lα, la réponse en portance tend vers une droite de pente C Lα α, ou encore ˆt C L (ˆt) = C Lα αˆt α (C Lα A(ˆt τ))dτ = C Lα αˆt S(ˆt) α (4.15) 0 } {{ } S(ˆt) soit une expression semblable à celle donnée par la la théorie classique exposée à la section (3.31) C L (ˆt) = C Lα α(t) + C L α α à ceci près que C L α = S(ˆt) n est pas constant contrairement à ce que la théorie classique suppose. Ceci illustre la non-validité du concept de dérivée aérodynamique en général, ainsi que mentionné précédemment. Toutefois, la fonction S(t) tend rapidement vers une constante, de sorte que la théorie classique est applicable à l exception des premiers instants. L intervalle de temps au-delà duquel la théorie classique devient valide n est pas très long, de l ordre du temps pris pour parcourir quelques cordes. La dérivée par rapport à α s obtient donc aisément à partir de la réponse indicielle : C L α = ˆt 0 (C Lα A(ˆt τ))dτ = ˆt 0 (A(ˆt τ) C Lα )dτ (4.16) Comme illustré à la figure 4.5, elle peut prendre une valeur positive ou négative selon le régime de vol. On peut déterminer la dérivée C m α de la même

98 92 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES DE STABILITÉ FIG. 4.4 Évolution de la portance consécutive à un échelon d incidence manière. Mentionnons pour terminer que ces dérivées peuvent aussi s évaluer grâce à une analyse fréquentielle de mouvements d oscillations harmoniques (voir [5] pour plus de détails). Contribution de l empennage La contribution de l empennage peut s évaluer approximativement par le concept de retard de la déflexion, selon lequel l empennage produit la portance correspondant à l angle d incidence instantané (pas de transitoire d établissement de la portance de l empennage), mais pour une valeur de la déflexion correspondant à l incidence vue par l aile principale au moment de

99 4.2. DÉRIVÉES LONGITUDINALES 93 FIG. 4.5 Évolution de la portance consécutive à une variation linéaire d incidence l émission des tourbillons qui se trouvent au niveau de l empennage à l instant considéré. Mathématiquement, cela s exprime par C Lt (t) = a t α t (t) = a t [α wb (t) i t ɛ(t t)] (4.17) où t = l t /u 0 est le temps mis par les tourbillons pour atteindre l empennage. La contribution instationnaire est donc C Lt ɛ = a t α α t = a ɛ t α α l t (4.18) u 0

100 94 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES DE STABILITÉ On en déduit directement les dérivées C z α et C m α, à savoir et C m α C z α = C L α = S t S C Lt α 2u 0 c = 2a t ɛ α V H (4.19) = l t c C = l t S t C Lt 2u 0 ɛ = 2a L α t c S α c α V l H t c (4.20) 4.3 Dérivées latérales Dérivées par rapport à β Les dérivées par rapport à β s obtiennent au moyen d essais en soufflerie sur modèles en dérapage. De manière générale, les méthodes d estimation ne sont pas entièrement fiables et les essais sont nécessaires. C yβ C yβ représent la force latérale résultant d un dérapage. Elle est généralement négative, et fréquemment assez faible pour être négligée. Les contributions principales proviennent du fuselage et de la dérive, bien que les contributions de l aile et des interférences aile/fuselage puissent l affecter sensiblement. Parmi ces contributions, seule celle de la dérive peut s estimer aisément, grâce à l analyse effectuée à la section Pour un angle de gouverne de direction nul, le coefficient de portance de la dérive s exprime comme (2.60) C LF = a F ( β + σ) Par conséquent, le coefficient de force latérale vaut, en supposant le rapport de vitesses à la dérive V F /V égal à l unité et C yβ C y = S F S a F( β + σ) (4.21) = a F S F S ( 1 σ ) β (4.22) expression dans laquelle la grandeur la plus délicate à évaluer est la dérivée de la déflexion latérale σ/ β, en raison de sa sensibilité à la géométrie de l aile et du fuselage. C lβ C lβ est l effet dièdre analysé en détail à la section

101 4.3. DÉRIVÉES LATÉRALES 95 C nβ C nβ est la stabilité directionnelle (positive pour une configuration statiquement stable), examinée à la section Dérivées par rapport à p Un avion en roulis à vitesse angulaire p constante effectue un mouvement semblable à celui d une vis. Les extrémités de l aile décrivent une hélice dont l angle n est rien d autre que la vitesse de roulis adimensionnelle ˆp = pb/2u 0. Ce mouvement modifie l incidence de toutes les sections de l aile et de l empennage et, par conséquent, induit des efforts aérodynamiques. La modification de la distribution de portance de l aile altère également son sillage tourbillonnaire. La distribution de tourbillon devient asymétyrique, ce qui induit une déflexion latérale sur la dérive, caractérisé par la dérivée σ/ ˆp. Enfin, le mouvement hélicoïdal de l aile produit un sillage hélicoïdal, mais cet effet est négligeable pour les faibles vitesses de rotation. C yp La force latérale due au roulis est fréquemment négligeable. Lorsqu elle ne l est pas, les contributions principales proviennent de l aile et de la dérive. L effet de la dérive s estime en fonction de la modification d incidence sur la dérive due au roulis (figure 4.6). La vitesse induite par le mouvement de roulis FIG. 4.6 Vitesses induites par un mouvement de roulis

102 96 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES DE STABILITÉ de la dérive valant pz F, où z F est la hauteur moyenne de la dérive, la variation d incidence due au roulis vaut donc α F = pz F u 0 + p σ p = 2 ˆpz F + ˆp σ b ˆp La variation de coefficient de portance de la dérive vaut donc C LF ( 2zF = a F ˆp b σ ) ˆp de sorte que la dérivée du coefficient de force latérale vaut C yp = a F S F S ( 2zF b σ ) ˆp (4.23) (4.24) (4.25) C lp La dérivée C lp est communément appelée amortissement du roulis et exprime la résistance de l avion à un mouvement de roulis. Elle provient principalement de l aile. Comme illustré à la figure 4.6, le mouvement de roulis induit une augmentation d incidence de l aile tribord (plongeante) et une diminution de l aile bâbord (ascendante) qui se traduit par un incrément de portance asymétrique (voir figure 4.7) qui, dans la gamme de variation linéaire FIG. 4.7 Vitesses induites par un mouvement de roulis de la portance, se superpose à la distribution symétrique de l état d équilibre. Ceci produit un moment de tangage négatif élevé proportionnel à l incidence de bout d aile ˆp. Si l incidence à l emplanture à l état d équilibre α w (0) est élevée cependant, l incrément d incidence dû au roulis peut amener certaines sections de l aile au-delà de l angle de décrochage (voir figure 4.8), ce qui a pour effet de réduire le moment de roulis induit (en module), voire, si α w (0) est suffisamment élevé, de le faire changer de signe. Dans ces conditions, l aile se met en autorotation, ce qui est une des caractéristiques principales de la vrille.

103 4.3. DÉRIVÉES LATÉRALES 97 FIG. 4.8 Vitesses induites par un mouvement de roulis C np Le moment de lacet dû au roulis est une de ces dérivées croisées responsables du couplage étroit des mouvements de lacet et de roulis. Tant l aile que la dérive contribuent à cette dérivée. La contribution de l aile se divise en deux parties. D une part, l augmentation d incidence sur l aile tribord s accompagne d une augmentation de traînée et inversément pour l aile bâbord. Il en résulte un moment de lacet positif. D autre part, l augmentation d incidence sur l aile tribord (plongeante) se traduit par une inclinaison de la force de portance vers l avant (voir figure 4.9) et inversément pour l aile bâbord. Il en résulte un moment de lacet négatif. En régime soussonique, l effet d inclinaison de la portance peut compenser entièrement l effet de traînée. En supersonique au contraire, l effet net est toujours un moment de lacet positif. La contribution de la dérive se calcule aisément à partir de l expression de la force latérale établie précédemment. Le couple de lacet induit vaut ( C n ) dérive = S F S l F b C L F où V V est le rapport de volumes de la dérive Dérivées par rapport à r = a F V V ( 2zF b σ ˆp ) (4.26) En présence d une rotation de lacet, le champ de vitesses sur l aile et la dérive est sensiblement perturbé, comme illustré à la figure 4.10 La situation est manifestement très compliquée sur l aile lorsque la flèche est importante. L effet principal cependant est une augmentation de la vitesse sur l aile bâbord et une réduction de la vitesse sur l aile tribord, dont il résulte une augmentation des forces aérodynamiques sur l aile bâbord et une diminution sur

104 98 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES DE STABILITÉ FIG. 4.9 Inclinaison de la portance sur les ailes due au roulis l aile tribord, ainsi que l asymétrie de la nappe tourbillonnaire émise au bord de fuite, elle-même responsable de l apparition d une déflexion latérale. L incrément d incidence de la dérive est donc α F = rl F u 0 + r σ r = ˆr ( 2lF b + σ ˆr ) (4.27) C yr Normalement, la seule contribution importante à C yr est celle de la dérive. Avec l expression de l incrément d incidence induit sur la dérive établie précédemment, on obtient ( S F 2lF C yr = a F S b + σ ) (4.28) ˆr C lr Il s agit à nouveau d une dérivée croisée importante, le couple de roulis dû au lacet. L augmentation de portance sur l aile bâbord et la diminution sur l aile tribord produisent un couple de roulis positif, proportionnel au coefficient de portance à l équilibre C L. L effet est donc maximum à basse vitesse. L importance de cet effet dépend tant de l allongement, que de l effilement et la flèche de l aile. Une dérive de grande taille contribue également de manière significative à cette dérivée. En suivant un raisonnement semblable à celui suivi pour l es-

105 4.3. DÉRIVÉES LATÉRALES 99 FIG Vitesses induites par un mouvement de roulis timation de la contrubution de la dérive à C lp, on obtient C lr = z ( F b C S F z F 2lF y r = a F S b b + σ ) ˆr (4.29) C nr Cette dérivée est l amortissement en lacet et est toujours négative. Les contributions les plus importantes sont celles de l aile et de la dérive. La contribution de l aile provient de l augmentation de la traînée sur l aile bâbord et de sa diminution sur l aile tribord qui produisent un couple de lacet négatif s opposant au mouvement, dont l ampleur dépend également de l allongement, de l effilement et de la flèche de l aile. Pour des flèches très élevées, le couple de lacet associé à la traînée induite peut s inverser et donc réduire l amortissement. La portance sur la dérive produit également un couple de lacet négatif,

106 100 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES DE STABILITÉ qui se calcule comme précédemment, à savoir C nr = l ( F b C S F l F 2lF y r = a F S b b + σ ) ( 2lF = a F V V ˆr b + σ ) ˆr (4.30) 4.4 Résumé Pour terminer, on rassemble les expression établies tout au long de ce chapitre dans les deux tableaux suivants. Les contributions indiquées d un astérisque sont celles de l empennage ou de la dérive uniquement, ce qui ne signifie pas que les contributions de l aile ou du fuselage sont négligeables, mais simplement qu il n existe pas de formules adéquates pour les exprimer.

107 4.4. RÉSUMÉ 101 û M0 TAB. 4.1 Dérivées longitudinales Cx Cz Cm ( C T M C ) ( D ρu 2 CD C ) D CL CTu M0 M pd CT M ρu2 CL CL Cm 0 CTu M0 pd CT M + ρu2 Cm 0 pd α C + C ) a(h h CL0 Dα (CLα D0 n α négligeable * 2at VH ɛ α * 2at VH ˆq négligeable * 2at VH * 2at VH lt c lt + CTu ɛ α c bet a * af ˆp * af ˆr *af SF S SF S SF S TAB. 4.2 Dérivées latérales Cy Cl Cn ( 1 σ ) ( β 2z F b σ ( ˆp 2l F b + σ ) ˆr ) pas d expression adéquate *afvv ( 2z F pas d expression adéquate *afvv ( SF zf 2l F *af S b b + σ ) ( 2l F * afvv ˆr ( 1 σ β ) b σ ˆp b + σ ˆr ) ) Cm CT

108 102 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES DE STABILITÉ

109 Chapitre 5 Stabilité dynamique Après avoir préparé le terrain dans les deux chapitres précédents, nous abordons finalement dans ce chapitre et le suivant l analyse des mouvements de l avion consécutifs à une perturbation (ce chapitre-ci) ou à l actionnement d une commande (chapitre suivant). Le comportement de l avion consécutif à une petite perturbation autour d un état d équilibre (la stabilité dynamique) est une propriété extrêmement importante des avions. En effet, les états d équilibre (vols stabilisés) occupent l essentiel du temps de vol et, dans ces conditions de vol, les pertubations doivent demeurer faibles pour que l avion soit acceptable pour un usage civil ou militaire. On assure un comportement dynamique adéquat par conception (dimensionnement adéquat des surfaces portantes et des gouvernes), en telle manière qu un pilote humain ou automatique puisse garder les pertubations à un niveau acceptable (sans efforts excessifs dans le cas du pilote humain). Il faut enfin souligner que la théorie des petites pertubations que l on utilisera pour cette analyse est valide pour des pertubations qui seraient considérées comme violentes par des passagers. 5.1 Solution générale des équations des petites perturbations Forme de la solution Les équations des petites perturbations (3.35, 3.36) sont de la forme ẋ = Ax + f c (5.1) où x est le vecteur de variables d état, A une matrice carrée à coefficients constants et f c le vecteur des forces et couples de commande. Soit R la matrice des vecteurs propres droits (colonnes) r k, L la matrice des vecteurs propres gauches (lignes) l k et Λ la matrice diagonale des valeurs propres λ k de la matrice A. Grâce à l identité algébrique LA = ΛL

110 104 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE le système devient diagonal après multiplication à gauche par L. Lẋ = LAx + L f c = Λ }{{} Lx +L f }{{} c w =0(mvt libre) w k = w k (0)e λ k t (5.2) La solution finale s obtient alors en multipliant par la matrice des vecteurs propres droits R (puisque RL = LR = I pour des vecteurs propres unitaires). ẋ = Rw = k r k w k (0)e λ k t (5.3) Chaque solution de la forme ar k e λ k t est un mode naturel de l avion, et la solution générale est une superposition des modes naturels, w k (0) étant l amplitude du mode k. Caractéristiques du mouvement La matrice A étant réelles, les valeurs propres sont soit réelles, soit complexes conjuguées et, dans ce dernier cas, les vecteurs propres correspondants (et les amplitudes correspondantes) sont complexes conjugués également. Posant λ = σ ± iω, on a donc des modes réels de la forme ae σt et des modes oscillatoires de la forme (A 1 cos ωt + A 2 sin ωt)e σt. Selon le signe de σ, on a donc quatre comportements possibles, représentés à la figure 5.1 Lorsque σ > 0 (cas (a) et (c)), l amplitude de la perturbation augmente et le mode est donc dynamiquement instable. D autre part, dans les trois cas (b), (c) et (d), la dérivée initiale est négative (la perturbation décroît initialement) et par conséquent la configuration est statiquement stable au sens de la définition de la stabilité statique donnée au chapitre2. On vérifie donc bien que la stabilité statique est une condition nécessaire mais non suffisante de stabilité dynamique. On a coutume de dénommer divergence le comportement statiquement instable (a) et oscillation divergente le comportement (c) alors que les comportements stables (b) et (d) sont dénommés respectivement convergence et oscillation amortie ou convergente. On caractérise généralement le comportement des modes naturels par les paramètres suivants : 1. la période T = 2π/ω, 2. le temps pour doubler ou réduire de moitié, 3. le nombre de cycles pour doubler (N double ) ou réduire de moitié (N moitié ) En définissant la pulsation non-amortie ω n et le facteur d amortissement ζ de la manière suivante λ = σ + iω = ω n ( ζ + i 1 ζ 2 ) ω n = σ 2 + ω 2, ζ = σ ω n on obtient aisément les expressions suivantes pour les paramètres caractéristiques.

111 5.1. SOLUTION GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS DES PETITES PERTURBATIONS105 FIG. 5.1 Comportements possibles des modes naturels Temps pour doubler ou réduire de moitié En notant T ½ le temps pour réduire de moitié, il doit satisfaire e σt ½ = 1/2. On obtient donc T ½ = ln 2 σ = ln 2 ζω n (5.4) Le temps pour doubler T 2 s obtient en changeant de signe. Les mouvements amplifiés correspondent donc à des temps pour réduire de moitié négatifs. Nombre de cycles pour doubler ou réduire de moitié Le nombre de cycle pour réduire de moitié s obtient directement à partir du temps pour réduire de moitié et de la période : N moitié = T ½ T = ln 2 2π ω σ = ln 2 1 ζ 2 2π ζ (5.5)

112 106 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE Décrément logarithmique Le décrément logarithmique δ est défini comme le logarithme du rapport entre deux maxima successifs. On a donc δ = ln e σt e = σt = 2π σ σ(t+t) ω = ln 2 (5.6) N moitié Critère de stabilité Comme on l a souligné précédemment, la stabilité du mouvement libre exige que les parties réelles des valeurs propres σ soient négatives. Or, il n est pas nécessaire de calculer les valeurs propres pour déterminer si certaines ont une partie réelle négative, on peut utiliser à cette fin le critère de Routh, qui impose qu un certain ensemble d expressions soient toutes positives. Dans le cas particulier des racines d une équation du quatrième ordre que constituent les équations caractéristiques des mouvements longitudinaux et latéraux Aλ 4 + Bλ 3 + Cλ 2 + Dλ + E = 0 (5.7) les conditions nécessaires et suffisantes pour que toutes les parties réelles des racines soient négatives sont et A, B, D, E > 0 R = D(BC AD) B 2 E > 0 (5.8) dont il résulte que C doit aussi être positif. De plus, on peut montrer que l annulation de E et de R correspondent à des cas critiques particuliers 1. Le changement de signe de E correspond au changement de signe d une racine réelle. Par conséquent, lorsque E devient négatif, cela correspond à l apparition d une divergence. E > 0 constitue donc le critère de stabilité statique au sens général. 2. Le changement de signe de R correspond au changement de signe de la partie réelle d une paire de racines complexes conjuguées, et donc R devenant négatif marque l apparition d une oscillation divergente. 5.2 Modes longitudinaux Cas illustratif d un long-courrier à réaction On illustrera la forme typique des modes longitudinaux en prenant l exemple du Boeing 747 [5] en vol horizontal stabilisé (H = pieds, M = 0, 8).

113 5.2. MODES LONGITUDINAUX 107 Caractéristiques Les paramètres représentatifs de ce cas sont rassemblées ci-dessous : Dimensions, masse et inertie c = 8,324 m b = 8,324 m S = 511 m 2 P = 2, N I xx = 0, kg m 2 I yy = 0, kg m 2 I zz = 0, kg m 2 I xz = 0, kg m 2 Conditions de vol ρ = 0,304 5 kg m 3 u 0 = 235,9 m s 1 C L0 = 0, 654 C D0 = 0, 0430 Dérivées de stabilité Les dérivées de stabilités adimensionnelles et dimensionnelles sont présentées aux tableaux 5.1 et 5.2. TAB. 5.1 Dérivées longitudinales non-dimensionnelles Boeing 747 C x C z C m û 0,1080 0,1060 0,1043 α 0,2193 4,920 1,023 ˆq 0 5,921 23,92 α 0 5,896 6,314 TAB. 5.2 Dérivées longitudinales dimensionnelles Boeing 747 X (N) Z (N) M (N m) u (m s 1 ) 1, , , w (m s 1 ) 4, , , q (rad s 1 ) 0 4, , ẇ (m s 2 ) 0 1, , Matrice du système équation caractéristique Avec ces paramètres, la matrice du système longitudinal est 0, , , 81 A = 0, , , , , , (5.9) On en tire l équation caractéristique λ 4 + 0, λ 3 + 0, λ 2 + 0, λ + 0, = 0 (5.10) Les deux critères de stabilité de Routh E = 0, > 0 et R = 0, > 0 sont vérifiés. Il n y a donc pas de mode instable.

114 108 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE Valeurs propres Les racines de l équation caractéristique 5.10 sont les deux paires de racines complexes conjuguées suivantes : Mode 1 (Phugoïde) Mode 2 (Oscillation d incidence) λ 1,2 = 0, ± 0, 06723i λ 3,4 = 0, 3719 ± 0, 8875i (5.11) Il s agit de deux modes oscillatoires amortis, l un de grande période faiblement amorti et l autre de faible période fortement amorti, identifiés par les dénominations conventionnelles indiquées. Ce résultat est assez typique. Leurs paramètres caractéristiques sont donnés au tableau 5.3 et le comportement transitoire correspondant est représenté à la figure 5.2. TAB. 5.3 Paramètres des modes longitudinaux Mode Dénomination T (s) T ½ (s) N moitié (s) 1 Phugoïde a 93, ,5 2 Oscillation d incidence 7,08 1,86 0,26 a Le nom de phugoïde a été attribué à ce mode par Lanchester (1908) qui l a décrit le premier. Il dérive d une racine grecque signifiant fuir comme dans le mot fugitif. En réalité, Lanchester voulait employer la racine du verbe voler. Néanmoins, le mot phugoïde est resté dans le jargon aéronautique. Vecteurs propres Les vecteurs propres associés aux modes ci-dessus sont indiqués au tableau 5.4 sous forme adimensionnelle, la phase correspondant à la racine σ + iω. Les vecteurs propres étant définis à un facteur près, c est seulement la TAB. 5.4 Vecteurs propres longitudinaux Phugoïde Oscillation d incidence Module Phase Module Phase û 0,62 92,4 0,029 57,4 α = ŵ 0,036 82,8 1,08 19,2 ˆq 0, ,8 0, ,7 θ 1,0 0 1,0 0 valeur relative des composantes qui importe. On a choisi ici de fixer la composante de θ à 1. Les vecteurs propres peuvent également être représentés graphiquement dans le plan complexe (diagramme d Argand), voir figure 5.3. On constate que la phugoïde se caractérise par des variations d incidence et une rotation de tangage négligeables avec des variations de vitesse et d angle d assiette de même ordre de grandeur, les variations de vitesse étant en avance de phase d environ 90.

115 5.2. MODES LONGITUDINAUX 109 FIG. 5.2 Comportement transitoire des modes longitudinaux. (a) Phugoïde. (b) Oscillation d incidence. Au contraire, pour l oscillation d incidence, les variations de vitesse sont négligeables alors que les variations d incidence sont de même ordre de grandeur que (et en phase avec) les variations d angle d assiette. Ce mode se comporte pratiquement comme un mode où seuls deux degrés de liberté ( θ et α) sont excités. Trajectoires de vol associés aux modes propres Un éclairage supplémentaire des modes propres est obtenu par l analyse de la trajectoire de vol correspondante. Dans le cas de petites pertubations autour d un vol stabilisé horizontal (θ 0 = 0), les équations de la trajectoire (3.35) se simplifient en ẋ 0 ż 0 = u = u 0 θ + w (5.12)

116 110 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE FIG. 5.3 Vecteurs propres longitudinaux. (a) Phugoïde. (b) Oscillation d incidence.

117 5.2. MODES LONGITUDINAUX 111 Pour un mode propre complexe de valeurs propres λ, λ, les variations de u, w et θ sont les suivantes : u = r 1 e λt + r 1 eλ t w = r 2 e λt + r 2 eλ t θ = r 4 e λt + r 4 eλ t (5.13) (5.14) où les constantes r i sont les composantes du vecteur propre correspondant à la valeur propre λ, soit dans le cas de l exemple, les valeurs données au tableau 5.4. Insérant ces expressions dans l équation de la trajectoire (5.12) on trouve après intégration x 0 = x 0 u 0 t = r 1 λ eλt + r 1 λ eλ t + const [ = 2e σt r1 ] R λ eiωt + const (5.15) [ ż 0 = 2e σt r2 u 0 r ] 4 R e iωt + const λ où le symbole R indique la partie réelle du nombre complexe entre parenthèses carrées. On a représenté à la figure 5.4 les trajectoires de vol correspondant aux deux modes propres dans le cas de l exemple considéré, pour des conditions initiales arbitraires. Comme les deux modes sont stables, les trajectoires tendent asymptotiquement vers la trajectoire horizontale du vol stabilisé de référence. On observe que la phugoïde est un vol ondulant de très grande longueur d onde. Du fait que les variations de vitesse sont en avance de phase d environ 90 sur les variations d angle d assiette, comme on l a observé à la figure 5.3, on en déduit que la vitesse u passe par son maximum au point bas de la trajectoire (90 avant le point de pente et donc d assiette maximum). Il en résulte que la distance parcourue dans la partie basse de la trajectoire est plus longue que la distance parcourue dans la partie haute, comme illustré sur la figure. Pour des mouvements de plus grande amplitude, cette dissymétrie de la trajectoire devient nettement plus prononcée (noter que l on sort alors du cadre de validité de la théorie linéaire), jusqu à ce qu il apparaisse un point de rebroussement puis une boucle dans la partie supérieure. Il apparaît que le mouvement phugoïde est approximativement un mouvement à énergie totale constante, les phases de montée et de descente correspondant à un échange entre énergie potentielle et énergie cinétique. On a représenté à la figure 5.4b la trajectoire de vol dans un référentiel se déplaçant à la vitesse u 0 du vol non perturbé, c est-à-dire la trajectoire qui serait vue par un observateur volant dans un avion n ayant pas subi de perturbation. On constate qu il s agit d une spirale dont les tours sont approximativement elliptiques. Enfin, la figure 5.4c représente la trajectoire correspondant à l oscillation d incidence. Comme attendu, la perturbation est rapidement amortie, le transitoire ayant pratiquement disparu après 3000 pieds, bien que les perturba-

118 112 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE FIG. 5.4 Trajectoires de vol. (a) Phugoïde, référentiel fixe. (b) Phugoïde, référentiel mobile. (c) Oscillation d inicidence.

119 5.2. MODES LONGITUDINAUX 113 tions initiales d incidence et d assiette aient été importantes. La trajectoire s écarte peu de la ligne droite, la principale caractéristique du mouvement étant un rapide mouvement de tangage Approximation des modes longitudinaux Le calcul numérique des modes nous a certes permis d en mettre en évidence les propriétés, mais ne fournit guère d explication physique quant à leur origine. Pour déterminer et comprendre l influence des paramètres de l avion et du vol sur les modes propres, on doit pouvoir en exprimer les caractéristiques (pulsation non-amortie, amortissement) analytiquement en fonction de ces paramètres. Comme de telles expressions ne peuvent être obtenues à partir du système complet d équations, on cherchera à établir des expressions analytiques approchées décrivant les modes. Outre leur vertu de fournir une interprétation physique des modes, de telles expressions sont également utiles pour la conception de système de pilotage automatique. Deux méthododologies peuvent être utilisées pour établir de telles approximations. Une première méthodologie, plutôt d inspiration mathématique, consiste à analyser l ordre de grandeur des divers termes de l équation caractéristique et de faire les simplifications qui en résultent. Ainsi, si l on sait que l équation caractéristique (5.7) possède une racine petite en module, on peut en obtenir une valeur approchée en négligeant les termes en puissances supérieures de λ dans l équation caractéristique, c est-à-dire en résolvant l équation approchée Dλ + E = 0. Semblablement, on peut obtenir une valeur approchée d une paire de racines complexes conjuguées de grand module en ne conservant que les termes en puissances supérieures de λ, à savoir Aλ 4 + Bλ 3 + Cλ 2 = 0 Cette méthodologie très souvent utile est parfois la seule permettant d obtenir une approximation. Une deuxième méthodologie, d inspiration plus physique, consiste, à partir d une connaissance qualitative préalable des caractéristiques des modes, à apporter certaines simplifications dans les équations du mouvement, qui réduisent l ordre du système étudié. Dans le cas des modes longitudinaux qui nous occupe ici, c est essentiellement la deuxième méthodologie qui sera adoptée, alors que pour les modes latéraux, l une et l autre méthodologies seront employées. Il faut souligner qu aucune approximation analytique simple ne peut fournir des résultats numériques fiables en toutes circonstances. Pour cela, la seule voie assurée est la résolution numérique du système complet. La précision des diverses approximations sera évaluée à l aide d exemples. Les modes longitudinaux se distinguent généralement par une grande séparation d échelles de temps et aussi par le fait que certaines variables d état

120 114 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE ne sont quasiment pas excitées dans chacun des deux modes. On met cette dernière propriété à profit pour établir des approximations des modes longitudinaux en simplifiant les équations du mouvement de manière correspondante. Phugoïde Théorie de Lanchester Comme on l a mentionné précédemment, le mode phugoïde a été étudié en premier par Lanchester (1908) qui lui a donné son nom. L analyse de Lanchester est basée sur les hypothèses que l incidence α reste constante et que la poussée retre constamment égale à la traînée (T D = 0). Dans ces conditions, il n y pas de force nette dans la direction du vol et donc pas de travail sur l avion si ce n est celui de la gravité. Le mouvement est donc à énergie totale constante, comme on l a évoqué précédemment, c est-à-dire ou m V2 2 mg z 0 = const (5.16) V 2 = u g z 0 (5.17) L incidence étant constante, le coefficient de portance C L reste également constant si l on néglige les effets de nombre de Reynolds et de Mach ainsi que les effets aéroélastiques éventuels. En multipliant l équation précédente par ½ρSC L, on obtient dès lors L = P + ρgsc L z 0 (5.18) puisque ½ρu 2 0 SC L = L 0 = P. L équation du mouvement dans la direction verticale étant m z 0 = P L cos γ P L (5.19) pour les faibles pentes, elle s écrit finalement, compte tenu du résultat précédent m z 0 + ρgsc L z 0 = 0 (5.20) qui est l équation d un mouvement harmonique de période m u 2 0 T = 2π = 2π ρgsc L0 2g 2 = 2π u 0 g (5.21) puisque m/ρsc L = ½u 2 0 /g. Ce résultat d une grande simplicité, selon lequel la période de la phugoïde ne dépend que de la vitesse de vol (et non des caractéristiques de l avion ni de l altitude) n est pas seulement d un intérêt historique, il fournit une bonne approximation pour les avions rigides volant à des vitesses en dessous de la limite à laquelle apparaissent les effets de compressibilité (de nombre de Mach). Ainsi, pour l exemple du Boeing 747 (qu on

121 5.2. MODES LONGITUDINAUX 115 ne peut pourtant pas considérer comme un avion insensible aux effets aéroélastiques ou de compressibilité), l approximation de Lanchester fournit une période T = 107 s, pas trop éloignée de la valeur exacte de 93 s. Deuxième approximation On peut obtenir une approximation meilleure encore en introduisant des simplifications appropriées dans les équations du mouvement. Comme la phugoïde s effectue quasiment sans mouvement de tangage (q 0), on peut en déduire que l avion est en permanence en équilibre en tangage (équilibre quasi-statique). De plus, puisque q et les variations d incidence sont très faibles, on peut négliger leur influence sur le moment de tangage et la force selon z, c est-à-dire les dérivées M q, Mẇ, Z q et Zẇ. Dans ces conditions, les équations du mouvement se simplifient en u ẇ 0 θ = X u m Z u m M u I yy X w m 0 g Z w m u 0 0 M w I yy u w q θ (5.22) où l on peut simplifier la troisième équation en la multipliant par I yy. On constate que le système n est pas sous forme canonique ẋ = Ax, mais plutôt sous la forme Mẋ = Ax. On peut montrer aisément que dans ce cas, les modes propres sont donnés par l équation caractéristique det(a λm) = 0 (5.23) En développant les calculs, on montre que cette équation se met sous la forme avec Aλ 2 + Bλ + C = 0 λ 2 + 2ζω n λ + ω 2 n = 0 (5.24) A = u 0 M w B = gm u + u 0 m (X um w M u X w ) (5.25) C = g m (Z um w M u Z w ) dont on déduit la pulsation non-amortie et le facteur d amortissement ω 2 n = g ( Z u M ) uz w mu 0 M w ζ = 1 [ g M u + 1 ( X u M )] (5.26) u X w 2ω n u 0 M w m M w

122 116 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE Dans le cas particulier où M u = 0 (ce qui est le cas pour les avions rigides en l absence d effets de compressibilité), ces expressions se simplifient en d où A = u 0 M w B = u 0 m X um w (5.27) C = g m Z um w ω 2 n = gz u mu 0 ζ = 1 X u 2ω n m = X u 2 u0 (5.28) mgz u En exprimant les dérivées aérodynamiques dimensionnelles en fonction des dérivées adimensionnelles et en supposant C zu = 0 (hypothèse vérifiée dans les mêmes conditions que l hypothèse M u = 0) et que la poussée est indépendante de la vitesse ( T/ u = 0 C Tu = 2C T0 = 2C D0 ), on obtient finalement ω 2 n = ρgsc ( ) L 0 g 2 m = 2 ζ = 1 C D0 (5.29) u 0 2 C L0 On retrouve donc le résultat de Lanchester pour la pulsation non-amortie et un facteur d amortissement inversément proportionnel à la finesse. Alors que l approximation pour la période reste bonne même pour des C mu différentes de zéro, l approximation pour le facteur d amortissement se détériore pour des valeurs positives élevées de C mu. Dans le cas de l exemple, l expression approchée donne ζ = 0, 046, à comparer avec la valeur exacte ζ = 0, 049. Oscillation d incidence Comme on l a vu précédemment (figure 5.3), l oscillation d incidence est essentiellement un mode à deux degrés de liberté, la vitesse restant pratiquement constante alors que l avion subit un mouvement de tangage assez rapide. On obtient dès lors une approximation du mouvement en annulant u et en éliminant l équation selon x. En faisant en outre les approximations que Zẇ et Z q sont faibles par rapport à m et mu 0 respectivement (qui sont bien vérifiées dans le cas de l exemple), on obtient finalement (pour θ 0 = 0) le système de deux équations à deux inconnues [ ẇ q ] = Z w m [ 1 M w + Z ] wmẇ m I yy u 0 1 [ ] Mq + u 0 Mẇ I yy [ w q ] (5.30) dont on tire directement l équation caractéristique [ λ 2 Zw λ m + 1 ] (M q + u 0 Mẇ) I yy 1 I yy ( u 0 M w M qz w m ) (5.31)

123 5.2. MODES LONGITUDINAUX 117 En exprimant les dérivées aérodynamiques dimensionnelles en fonction des dérivées adimensionnelles, cette expression devient [ ] λ 2 λ Czα t 2µ + 1 (C mq + C m α ) 1 ( C Î yy t 2 mα C ) m q C zα (5.32) Î yy 2µ En appliquant ces expressions au cas de l exemple, on obtient λ 2 + 0, 714λ + 0, 9281 = 0 dont les racines sont λ = 0, 371 ± 0, 889i, soit des valeurs pratiquement les mêmes que celles obtenues à partir du système complet. L approximation de l oscillation d incidence donne effectivement de très bons résultats pour une large gamme de véhicules et de conditions de vol Stabilité statique longitudinale Comme on l a mentionné précédemment (section 5.1), l apparition d une racine réelle positive (divergence) qui constitue le critère d instabilité statique rigoureux s accompagne du changement de signe du coefficient E de l équation caractéristique de positif à négatif. Or, E = det A. Évaluant cette grandeur dans le cas θ 0 = 0 en négligeant Zẇ et Z q, on trouve E = g mi yy (Z u M w M u Z w ) (5.33) et comme g, m et I yy sont tous positifs, le critère rigoureux de stabilité statique est donc ou encore, sous forme non-dimensionnelle Z u M w M u Z w > 0 (5.34) C mα (C zu 2C P0 ) C mu C zα > 0 (5.35) En l absence d effets de vitesse (compressibilité et aéroélasticité), c est-à-dire pour C zu = C mu = 0, ce critère se réduit effectivement au critère simple C mα < 0. On peut montrer [5] que le critère général coïncide exactement avec le critère d une pente de la courbe de l angle de gouverne en fonction de la vitesse positive (voir section 2.3.1) lorsqu on tient compte des effets de vitesse (compressibilité, aéroélasticité) sur les coefficients aérodynamiques (C L, C m ) Effet des conditions de vol sur les modes longitudinaux Effet de la vitesse et de l altitude À titre d illustration, on reprend l exemple du Boeing 747 pour lequel des données sont disponibles [5] à diverses altitudes et vitesses (2 vitesses au niveau de la mer, 3 vitesses aux altitudes de et pieds) pour une

124 118 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE géométrie et une marge statique fixes. Les périodes et amortissements modaux sont représentés à la figure 5.5. Compte tenu du très petit nombre de points, l allure des courbes est au mieux qualitative. Aucune tendance nette ne se dégage des courbes. On remarque toutefois que la période de la phugoïde augmente avec la vitesse comme prédit par la théorie de Lanchester, et diminue avec l altitude pour un nombre de Mach donné. La période de l oscillation d incidence varie en sens inverse, diminuant avec la vitesse et augmentant avec l altitude. L effet le plus frappant est l augmentation importante et soudaine de la période de la phugoïde à grand nombre de Mach aux deux altitudes. Ce phénomène résulte de la perte de stabilité statique véritable due à la diminution jusqu à une valeur négative de C mu en raison des effets de compressibilité et aéroélastiques, qui induit une diminution importante du coefficient E. Pour bien montrer que c est bien la variations de C mu qui est à l origine de cet effet, on a calculé les caractéristiques de la phugoïde en fonction de C mu pour le vol à Mach 0,8 et une altitude de pieds (voir figure 5.6). On constate effectivement une variation très rapide de la période lorsque C mu descend sous -0,05. Au-delà de cette valeur, on constate également la bonne précision de l approximation de Lanchester, la deuxième approximation de la phugoïde basée sur les équations du mouvement simplifiées étant elle de bonne qualité sur l ensemble de la gamme de C mu. Par contre, l estimation de l amortissement est nettement moins bonne, comme on l avait annoncé à la section précédente. Effet du centrage Comme on l a souligné à de nombreuses reprises depuis le chapitre 2, le paramètre le plus important pour la stabilité longitudinale est la raideur en tangage C mα, qui est directement liée au centrage, C mα = a(h h n ), où h n h = K n est la marge statique. L effet de ce dernier paramètre est effectivement très important comme le montrent les figures On constate que la période et l amortissement de la phugoïde varient rapidement avec la marge statique lorsqu elle est faible et que les expressions approchées ne sont fiables que pour les marges statiques importantes. En ce qui concerne l oscillation d incidence, on voit que sa période varie peu avec la marge statique, sauf pour les marges statiques faibles pour lesquelles l oscillation d incidence a tendance à se séparer en deux modes réels, alors que son amortissement diminue lorsque la marge statique augmente. On constate également que les expressions approchées sont excellentes sur toute la gamme des marges statiques. Une autre manière de présenter ces résultats est de tracer le lieu des racines dans le plan complexe lorsque la marge statique varie. À la figure 5.9a, on constate que l amortissement de l oscillation d incidence est pratiquement indépendant de la marge statique et que l oscillation d incidence se

125 5.2. MODES LONGITUDINAUX 119 FIG. 5.5 Variations des modes longitudinaux en fonction de la vitesse et de l altitude. (a) Phugoïde. (b) Oscillation d inicidence.

126 120 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE FIG. 5.6 Effet de C mu sur la phugoïde. (a) Période. (b) Amortissement.

127 5.2. MODES LONGITUDINAUX 121 FIG. 5.7 Variation de la période et de l amortissement de la phugoïde avec la marge statique. FIG. 5.8 Variation de la période et de l amortissement de l oscillation d incidence avec la marge statique. sépare en deux modes réels pour K n = 0, Le comportement de la phugoïde est bien plus complexe. Partant de K n = 0, 3 et diminuant la marge statique, la phugoïde devient instable pour K n = 0, 039 (point D). En continuant à réduire la marge statique, les racines de la phugoïde se séparent en deux racines réelles (instables) pour K n légèrement sous -0,06, se recombinent en deux racines complexes conjuguées instables pour K n = 0, 074, qui deviennent à nouveau stables lorsque la marge statique atteint la valeur (totalement irréaliste) K n = 0, 1. L importance de la dérivée C mu est une fois encore illustrée à la figure 5.9c, qui représente le lieu des racines de la phugoïde pour C mu = 0. Le comportement observé, qui est assez bien représentatif de celui d un avion rigide à

128 122 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE FIG. 5.9 (a) Lieu des racines de l oscillation d incidence. (b) Lieu des racines de la phugoïde. (c) Lieu des racines de la phugoïde, C mu = 0.

129 5.3. MODES LATÉRAUX 123 faible nombre de Mach, fait apparaître la séparation de la phugoïde en deux modes réels pour une marge statique très proche de zéro, une de ces deux racines devenant instable lorsque la marge statique s annule, alors que l autre racine interagit avec la branche AB de l oscillation d incidence (figure 5.9a) pour produire une nouvelle oscillation stable pour une marge statique légèrement négative. 5.3 Modes latéraux Cas illustratif Dérivées aérodynamiques, matrice du système et équation caractéristique Les dérivées de stabilités adimensionnelles et dimensionnelles sont présentées aux tableaux 5.5 et 5.6. Avec ces valeurs, la matrice du système latéral est A = On en tire l équation caractéristique 0, , 91 9, 81 0, , , , , , (5.36) λ 4 + 0, 6358 λ 3 + 0, 9388 λ 2 + 0, 5114 λ + 0, = 0 (5.37) Les deux critères de stabilité de Routh E = 0, > 0 et R = 0, > 0 sont vérifiés. Il n y a donc pas de mode instable. TAB. 5.5 Dérivées latérales non-dimensionnelles Boeing 747 C y C l C n β 0,8771 0,2797 0,1946 ˆp 0 0,3295 0,04073 ˆr 0 0,304 0,2737 TAB. 5.6 Dérivées latérales dimensionnelles Boeing 747 Y (N) L (N m) N (N m) v (m s 1 ) 1, , , p (rad s 1 ) 0 1, , r (rad s 1 ) 0 9, ,

130 124 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE Valeurs propres Les racines de l équation caractéristique 5.37 sont les deux racines réelles et la paire de racines complexes conjuguées suivantes : Mode 1 (Spiral) λ 1 = 0, Mode 2 (Convergence en roulis) λ 2 = 0, Mode 3 (Oscillation latérale 1 ) λ 3,4 = 0, ± 0, 94655i (5.38) Les caractéristiques de ces modes sont rassemblées au tableau 5.7. Une des deux convergences est très lente et l autre très rapide, et le mode oscillatoire est faiblement amorti, avec une période comparable à celle de l oscillation d incidence. TAB. 5.7 Paramètres des modes longitudinaux Mode Dénomination T (s) T ½ (s) N moitié (s) 1 Spiral 95 2 Convergence en roulis 1,23 3 Oscillation latérale 6, ,16 (roulis hollandais) Vecteurs propres Les vecteurs propres associés aux modes ci-dessus sont indiqués au tableau 5.8 sous forme adimensionnelle, la phase correspondant à la racine σ + iω. Outre les 4 variables d état de base, on a ajouté les deux variables d état ψ et y 0. TAB. 5.8 Vecteurs propres latéraux Spiral Convergence en roulis Oscillation latérale Module Phase Module Phase Module Phase β = ˆv 0, , ,33-28,1 ˆp 1, , ,12 92,0 ˆr 9, , , ,3 φ 0, ,0 0 1,0 0 ψ 1,0 0 0, ,31 155,7 y 0 u 0 t 7, ,65 0 1,69-165,8 Mode 1 : mode spiral Du tableau 5.4, on voit que l amplitude relative des angles dans le mode spiral est β : φ : ψ = 0, : 0, 177 : 1 1 ou roulis hollandais.

131 5.3. MODES LATÉRAUX 125 de sorte que le mouvement consiste principalement en un mouvement de lacet sans dérapage avec un peu de roulis. Or c est précisément le mouvement effectué lors d un virage correct, de sorte qu on peut considérer le mode spiral comme un virage de rayon variable. Parmi les variables aérodynamiques (β, ˆp et ˆr), β est la plus importante, mais on a vu qu elle est elle-même très faible. Les efforts aérodynamiques sont donc très faibles pour ce mode, et l on peut donc le qualifier de mode «faible». Ceci est cohérent avec sa grande constante de temps. On peut calculer aisément la trajectoire de vol associé au mode spiral à partir du vecteur propre. Par exemple, pour une perturbation initiale en azimut (ψ) de 20 (0,35 rad), on obtient ψ = 0, 35e λ 1t v = 235, 91( 0, 00119)0, 35e λ 1t avec λ 1 = 0, En intégrant les équations de la trajectoire, il s ensuit que (pour θ 0 = 0), elle s écrit y 0 = e 0, t m x 0 = 235, 91 t m La trajectoire est représentée à la figure 5.10 On voit qu il s agit d un lent re- FIG Trajectoire correspondant au mode spiral tour à l état d équilibre y 0 = 0. Quand le mode spiral est instable, ce qui est fréquemment le cas, l azimut et y 0 augmentent au cours du temps comme indiqué sur la figure.

132 126 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE Mode 2 : convergence en roulis angles est Dans ce mode, l amplitude relative des β : φ : ψ = 0, 0198 : 1 : 0, 0562 et l on voit qu il s agit pratiquement d un mouvement de rotation pure autour de l axe x, d où son nom. L amplitude relative des variables aérodynamiques est β : ˆp : ˆr = 0, 278 : 1 : 0, 0561 de sorte que le couple de roulis est principalement l amortissement en roulis C lp ˆp. Mode 3 : oscillation latérale (roulis hollandais) Le diagramme vectoriel du vecteur propre correspondant à ce mode est représenté à la figure 5.11 On FIG Trajectoire correspondant au mode spiral constate que les trois angles β, φ et ψ sont du même ordre de grandeur, que la vitesse de rotation en lacet ˆr est un ordre de grandeur plus petite, et que β et ψ sont presque opposés. Il s ensuit des équations de la trajectoire de vol que y 0 reste pratiquement nul. Le centre de gravité de l avion suit une trajectoire essentiellement droite et le mouvement se compose principalement de rotations en lacet et en roulis, cette dernière étant en retard de phase d environ 160 par rapport à la première. Effet de la vitesse et de l altitude Même pour le cas de l avion rigide à faible nombre de Mach, l évolution des modes latéraux avec la vitesse et l altitude ne sont généralement pas simples,

133 5.3. MODES LATÉRAUX 127 en raison du fait que les dérivées aérodynamiques latérales dépendent de manière complexe du coefficient de portance. C est particulièrement vrai pour les avions à aile en flèche de faible allongement pour lesquels l effet dièdre C lβ augmente fortement avec C L. Ces effets sont d autant plus marqués que le coefficient de portance est élevé (et donc que la vitesse est faible et l altitude élevée) remarque à ce propos que pour l exemple du Boeing 747 à Mach 0,8 à une altitude de pieds, C L = 0, 654, ce qui est assez élevé pour un vol de croisière. Pour un avion rigide avec ailes en flèche à faible nombre de Mach, la période du roulis hollandais doit normalement d abord augmenter avec la vitesse, avant d ensuite diminuer. L amortissement de ce mode, faible à basse vitesse, augmente à mesure que la vitesse augmente. La convergence en roulis est fortement amortie dans toutes les conditions de vol, mais l amortissement augmente normalement avec la vitesse. Le mode spiral est fréquemment instable dans une partie du domaine de vol, dépendamment du couplage entre les dérivées latérales. Les temps caractéristiques du mode spiral sont toutefois tellement grands que l instabilité n affecte pas les qualités de pilotage de l avion. L effet d une augmentation d altitude à C L constant (et donc accompagnée d une augmentation de vitesse) est principalement une augmentation de l amortissement de tous les modes. La période du roulis hollandais y est assez insensible. Quand se superposent à ces variations déjà complexes des modes latéraux des effets aéroélastiques et de compressibilité substantiels, les variations deviennent encore plus irrégulières, comme l illustre l exemple du Boeing 747 (voir tableau 5.9. Une valeur négative de T ½ correspond à un mode instable). Aux deux altitudes les plus basses, avec des valeurs de C L relativement TAB. 5.9 Variation des modes latéraux avec la vitesse et l altitude Mode Convergence Oscillation latérale spiral en roulis (roulis hollandais) Altitude, Nombre T ½ T ½ Période N moitié (pieds) de Mach (s) (s) (s) (cycles) 0 0,45 35,7 0,56 5,98 0,87 0 0,65 34,1 0,44 4,54 0, ,5 76,7 0,93 7,3 1, ,65 64,2 0,76 5,89 1, ,8 67,3 0,85 4,82 1, , ,5 7,99 1, ,8 94,9 1,23 6,64 3, ,9-89,2 1,45 6,19 1,18 faibles, les caractéristiques des modes varient de manière assez régulière. Au contraire, à pieds, on constate des variations erratiques, en particulier celle de l amortissement des modes avec le nombre de Mach, qui résulte principalement de la variation complexe de C lβ avec C L et M dans cette zone.

134 128 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE Approximation des modes latéraux On tentera dans cette section d établir des expressions approchées pour les modes latéraux comme on l a fait précédemment pour les modes longitudinaux. On montrera qu il existe des approximations convenables pour chaque mode, mais qui doivent être manipulées avec précaution car leur précision ne peut réellement être vérifiée qu a posteriori, par comparaison avec les solutions exactes. On ne peut les employer avec confiance que dans des situations semblables à celles pour lesquelles on a montré précédemment qu elles donnaient de bons résultats. Mode spiral La comparaison des valeurs propres exactes (section 5.3.1) montre que la valeur propre du mode spiral est deux ordres de grandeurs plus petite en module que la valeur propre suivante. Ceci suggère que l on puisse obtenir une bonne approximation de ce mode en ne gardant que les deux termes d ordre le plus petit dans l équation caractéristique, à savoir Dλ + E = 0 λ S E D (5.39) où λ S dénote la valeur propre réelle du mode spiral. Avant de développer les expressions analytiques de D et E, réécrivons la matrice du système latérale de manière plus compacte, en faisant l approximation Y p = 0 (vérifiée dans le cas de l exemple) : A = Y v 0 Y r g cos θ 0 L v L p L r 0 N v N p N r tan θ 0 0 (5.40) où la signification des symboles composés en police calligraphique s obtient par comparaison avec le système 3.36, par exemple Y v = Y v m L v = I zzl v I xzn v Avec ces notations, le calcul de det(a λi) donne E = g[(l v N r L r N v ) cos θ 0 + (L p N v L v N p ) sin θ 0 ] (a) D = g(l v cos θ 0 + N v sin θ 0 ) + Y v (L r N p L p N r ) +Y r (L p N v L v N p ) (b) (5.41) Lorsqu on compare l ordre de grandeur des divers termes de D, on s aperçoit que le deuxième terme peut être complètement négligé et que Y r peut être négligé dans Y r (Y r u 0 ), de sorte que l on a D = g(l v cos θ 0 + N v sin θ 0 ) + u 0 (L v N p L p N v ) (5.42) En appliquant ce résultat au cas de l exemple, on trouve λ S = 0, 00725, un résultat qui diffère de moins d 1% de la valeur exacte.

135 5.3. MODES LATÉRAUX 129 On a vu que le coefficient E revêt une signification particulière eu égard à la stabilité statique. Le critère rigoureux de stabilité statique latérale est donc (L v N r L r N v ) cos θ 0 + (L p N v L v N p ) sin θ 0 > 0 (5.43) En exprimant chacun des termes en fonction des dérivées aérodynamiques adimensionnelles, on obtient l expression équivalente (C lβ C nr C lr C nβ ) cos θ 0 + (C lp C nβ C lβ C np ) sin θ 0 > 0 (5.44) Comme plusieurs dérivées latérales apparaissant dans cette dernière équation dépendent de C L0, la stabilité statique varie avec les conditions de vol et il n est pas rare que le mode spiral soit instable dans une partie de l enveloppe de vol ainsi qu on l a déjà souligné. Convergence en roulis On a remarqué à la section précédente que la convergence en roulis correspondait à très peu de choses près à un mouvement de pure rotation en roulis. Ceci suggère que l on puisse l approximer en supposant le dérapage et la vitesse de rotation de lacet nulles et en considérant uniquement l équation du mouvement en roulis, à savoir ce qui donne la valeur propre approchée ṗ = L p p (5.45) λ R L p = I zzl p I xzn p (5.46) En appliquant cette expression au cas du Boeing 747, on trouve λ R = 0, 434, une valeur 23% plus petite que la valeur exacte. L approximation est donc assez grossière. Une approximation alternative a été établie par McRuer et al. [5]. Cette approximation conduit à un système du second ordre dont les deux racines sont des approximations des valeurs propres des modes spiral et de convergence en roulis. Dans certains cas, les racines peuvent être complexes, ce qui correspond à une «phugoïde latérale», une oscillation latérale de grande période. L approximation se base sur l hypothèse physique que la force latérale due à la gravité produit la même rotation de lacet qu en l absence de dérapage, ce qui se traduit par le remplacement de l équation selon y par l équation quasistatique 0 = Y r y + g cos θ 0 = 0 (5.47) On suppose en outre que Y p et Y r sont négligeables. Sans faire d approximation additionnelle sur les équations de rotation en roulis et en lacet, le système d équation devient par conséquent pour un vol de référence horizontal

136 130 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE 0 ṗ ṙ φ = 0 0 u 0 g L v L p L r 0 N v N p N r v p r φ (5.48) dont l équation caractéristique s obtient comme pour l approximation de la phugoïde, à savoir qui, tous calculs faits, donne avec 0 0 u 0 g L v L p λ L r 0 N v N p N r λ λ = 0 (5.49) Cλ 2 + Dλ + E = 0 (5.50) C = u 0 N v D = u 0 (L v N p L p N v ) gl v E = g(l v N r L r N v ) (5.51) En appliquant cette approximation à l exemple du Boeing 747, on trouve λ S = 0, λ R = 0, 597 soit des résultats à 1% et 6% des valeurs exactes respectivement. On constate donc que l approximation est assez bonne pour les deux modes, certainement bien meilleure que l approximation 5.46 pour la convergence en roulis. Roulis hollandais Un modèle physique de l oscillation latérale est un mouvement de lacet/dérapage «à plat» dans laquelle on néglige le roulis. Les équations correspondantes s obtiennent à partir du système complet en annulant p et φ et en éliminant l équation de rotation en roulis. On néglige également la dérivée Y r. Le système simplifié est donc [ v ṙ ] [ Yv u 0 = N v N r ] [ v r d où l on tire directement l équation caractéristique ] (5.52) λ 2 (Y v + N r )λ + (Y v N r + u 0 N v ) = 0 (5.53) Appliquant ce résultat à l exemple du Boeing 747 donne λ DR = 0, 1008 ± 0, 9157i, ou encore T = 6, 86 s N moitié = 1, 0

137 5.3. MODES LATÉRAUX 131 On voit que l approximation de la période est assez précise (3% d erreur) mais l amortissement est très fortement surévalué. On peut obtenir une meilleure approximation de l amortissement de ce mode en combinant l équation exacte et l approximation de McRuer pour les modes spiral et de convergence en roulis. En effet, on sait que la somme des valeurs propres est égale à la trace de la matrice (somme des éléments diagonaux), d où 2σ DR + λ S + λ R = Y v + L p + N r σ DR = 1 2 [Y v + L p + N r (λ S + λ R )] (5.54) Mais l approximation précédente pour les modes spiral et de roulis donne de sorte qu on obtient finalement λ S + λ R = D C = L p + L v N v ( g u 0 N p ) σ DR = 1 2 [Y v + N r L v N v ( ) g N p ] (5.55) u 0 à comparer avec ½(Y v + N r ) donnée par (5.53). L amortissement donné par cette dernière approximation vaut σ DR = 0, 0159, mieux que l approximation précédente mais encore assez loin de la valeur exacte σ DR = 0, Cet exemple de tentative d obtenir une approximation de l amortissement du roulis hollandais illustre la difficulté de l entreprise. Bien que l approximation tende à être meilleure pour de faibles valeurs de C L, il demeure néanmoins très claire qu elle doit être utilisée avec grande précaution, et que seule l utilisation du système complet permet d obtenir un résultat fiable.

138 132 CHAPITRE 5. STABILITÉ DYNAMIQUE

139 Chapitre 6 Réponse aux commandes 6.1 Introduction On étudiera dans ce chapitre la réponse de l avion à l actuation des principales commandes : gouvernes de profondeur et de direction, ailerons et manette des gaz. Remarquons que ce ne sont pas les seules commandes qui peuvent être employées. Ainsi on a parfois recours à l orientation de la poussée (vectored thrust) ou encore à une commande directe de portance. Étroitement liés à ces problèmes sont les réponses de l avion à un changement de configuration de vol : déflexion des volets hypersustentateurs, lâcher de masses (bombes ou réservoirs), déploiement des aérofreins Guidage longitudinal Les deux grandeurs principales à contrôler en vol symétrique sont la vitesse et la pente de la trajectoire. Pour ce faire, il faut bien entendu être capable d appliquer des forces parallèlement et perpendiculairement à la trajectoire de vol. On agit sur les premières au moyen de la commande de poussée (manette des gaz) et en réglant la traînée (aérofreins), et sur les secondes en réglant la portance par l entremise de la gouverne de profondeur ou de volets. Il est évident, par simple raisonnement physique (ou en se fondant sur les équations du mouvement) que la réponse initiale à une augmentation dez gaz (et donc de poussée) est une accélération. De même, la principale réponse initiale à une déflexion de la gouverne est un mouvement de tangage, qui induit par la suite une variation d incidence et de portance, et donc un changement de direction de vol. Asymptotiquement, le nouvel état d équilibre correspondant aux nouvelles positions des commandes se détermine comme on l a vu au chapitre 1. Ainsi, un changement de la poussée à braquage de la gouverne (et donc à incidence) donné produit un changement de pente de la trajectoire sans changement de vitesse. Au contraire, une déflexion de la gouverne modifie l incidence d équilibre (cfr section 2.3) et donc la vitesse, ce qui, à poussée constante, entraîne secondairement un changement de pente de la trajectoire. On constate que 133

140 134 CHAPITRE 6. RÉPONSE AUX COMMANDES les effets initiaux et asymptotiques des commandes sont en quelque sorte inversés. Il est donc nécessaire d étudier les transitoires qui lient ces réponses initiales et finales. Nous verrons par la suite que ceux-ci sont dominés par l oscillation faiblement amortie et de longue période qu est la phugoïde, et que l état final n est obtenu que longtemps après l actuation de la commande Guidage latéral Les fonctions des commandes latérales sont triples : assurer l équilibre en cas d asymétrie de la poussée due à la défaillance d un moteur, corriger les mouvements indésirés induits par la turbulence atmosphérique, et permettre d effectuer les manœuvres de virage. Les deux premières fonctions s obtiennent grâce aux couples de lacet et de roulis produits par les commandes. Pour la troisième, il faut appliquer une force horizontale perpendiculaire à la vitesse de l avion, ce qui s obtient en inclinant l avion d un angle de gîte φ. Les commandes latérales permettent donc de mettre l avion en virage comme sous-produit de leur faculté de contrôler l angle de gîte. D ordinaire, les réponses au braquage des ailerons ou de la gouverne de direction sont très compliquées, tous les modes latéraux étant simultanément excités. Dans ce cas, seule la solution des équations non-linéaires du mouvement permet de le décrire correctement Solution des problèmes de réponse aux commandes De nos jours, l intégration numérique des équations non-linéaires du mouvement se fait aisément à l aide de logiciels mathématiques tels que MATLAB ou encore par des programmes spécifiques qui utilisent le plus souvent la méthode de Runge-Kutta. L aspect le plus difficile du recours à l intégration numérique des équations du mouvement est d élaborer le modèle aérodynamique général fournissant les efforts aérodynamiques en fonction des paramètres de vol et du braquage des commandes. Aussi, bien que l on soit alors limité à l analyse de mouvements de faible amplitude, l usage du modèle linéaire des petites perturbations est néanmoins très utile et instructif. Non seulement révèle-t-il les caractéristiques dynamiques importantes mais de plus, il est tout-à-fait approprié pour la conception de systèmes de régulation destinés à maintenir les perturbations à un faible niveau. Pour l étude des réponses aux commandes, on est amené à introduire des dérivées aérodynamiques par rapport aux paramètres de commande définies selon les conventions habituelles. Ainsi, C mδe C m δ e

141 6.2. RÉPONSE LONGITUDINALE 135 Les dérivées dimensionnelles s obtiennent à partir des dérivées adimensionnelles selon les définitions habituelles des facteurs d adimensionnalisation. Les équations du mouvement du modèle linéaire s écrivent ẋ = Ax + Bc où apparaissent les contributions des commandes représentées par leur vecteur c. On obtient aisément la solution générale de ces équations par application de la transformée de Laplace sx(s) x(0) = AX(s) + BC(s) (6.1) En supposant x(0) = 0 (état initial à l équilibre), 1 on trouve immédiatement (si A)X(s) = BC(s) X(s) = (si A) 1 B C(s) } {{ } (6.2) G(s) où G(s) est la matrice des fonctions de transfert. Comme (si A) 1 = cof(si A) det(si A) (6.3) où cof(si A) est la matrice des cofacteurs de la matrice si A, il est clair que les pôles de G(s) sont les valeurs propres de A Réponse longitudinale Le vecteur de commande a été déterminé au chapitre 3 (3.35). Bc = X c m Z c m Zẇ M c I yy + Z cmẇ I yy (m Zẇ) En reliant les efforts aérodynamiques au braquage de la gouverne et au niveau de poussée X c Z c M c = X δe Z δe M δe 0 X Π Z Π M Π [ δe Π ] (6.4) 1 Noter que l on peut employer cette même méthode pour l analyse du mouvement libre. On a dans ce cas x(0) 0 et c = 0. 2 Et l on retrouve évidemment la condition de stabilité, à savoir que les valeurs propres de A doivent avoir une partie réelle négative.

142 136 CHAPITRE 6. RÉPONSE AUX COMMANDES on déduit l expression de la matrice B B = X δe m Z δe m Zẇ M δe Z δe Mẇ + I yy I yy (m Zẇ) X Π m Z Π m Zẇ M Π Z Π Mẇ + I yy I yy (m Zẇ) (6.5) L utilisation de dérivées aérodynamiques constantes implique une réponse instantanée aux commandes, en particulier que la poussée réagisse instantanément à l actionnement de la manette des gaz. Cette hypothèse est assez réaliste pour les avions à hélice mais elle devient caduque pour les turboréacteurs, qui possèdent un temps de réaction plus important. On peut prendre cet effet en compte en remplaçant les dérivées aérodynamiques par rapport à la commande de poussée par des fonctions de transfert, par exemple X Π par G xπ (s), ce qui est équivalent à modéliser la réponse des efforts aérodynamiques par rapport au niveau de la manette des gaz par une équation différentielle additionnelle. Pour illustrer les réponses aux commandes longitudinales, reprenons l exemple du Boeing 747. Les dérivées aérodynamiques par rapport à l angle de gouverne sont C xδe = 3, C zδe = 0, 3648 C mδe = 1, 444 auxquelles correspondent les dérivées dimensionnelles X δe = 16, 53 N/rad Z δe = 1, N/rad M δe = 52, Nm/rad En ce qui concerne la commande de poussée, nous choisissons arbitrairement une valeur de X Π /m = 0, 3g, c est-à-dire que le moteur à fond (Π = 1) fournit une accélération de 0, 3g à l altitude considérée, et nous négligeons les effets de la poussée sur la force selon z et le moment de tangage (Z Π = M Π = 0). Dans ces conditions, la matrice B devient B = 0, , 94 5, , (6.6)

143 6.2. RÉPONSE LONGITUDINALE Réponse à la gouverne de profondeur Fonctions de transfert À partir de la théorie générale, on obtient directement b 11 G uδe X(s) = (si A) 1 b 21 b 31 δ e(s) = G wδe G qδe δ e(s) (6.7) 0 G θδe où les fonctions de transfert se calculent aisément à partir de la décomposition( en vecteurs ) propres de A. En effet, puisque A = RΛL, (si A) 1 = 1 Rdiag s λ i L de sorte que la matrice des fonctions de transfert vaut G uδe G wδe G qδe G θδe = Rdiag ( 1 s λ i ) L b 11 b 21 b 31 0 (6.8) Il est intéressant de calculer également la réponse de deux autres grandeurs, à savoir la pente de la trajectoire et le facteur de charge n. En ce qui concerne la pente, comme γ = θ α, on a donc γ = θ α, de sorte que G γδe = G θδe G αδe (6.9) et G αδe = G wδe /u 0. Quant au facteur de charge, pour rappel, on le définit par n = Z P (6.10) Par conséquent, n = 1 P (Z u u + Z w w + Z q q + Zẇẇ + Z δe δ e (6.11) d où l on tire la fonction de transfert en prenant la transformée de Laplace G nδe = 1 P (Z ug uδe + (Z w + szẇ)g wδe + Z q G qδe + Z δe ) (6.12) On a représenté plusieurs de ces fonctions de transfert aux figures sous la forme de diagrammes de Bode, ainsi que leurs approximations phugoïde et oscillation d incidence (voir ci-dessous). On constate que les réponses des variables «de trajectoire» u et γ sont entièrement dominées par le pic à la fréquence du mode phugoïde. En raison du faible amortissement de ce mode, les gains à la résonance sont très élevés. Le pic de G uδe signifie qu une oscillation de vitesse de 100 pieds par seconde (30 ms 1 ) serait produite par une oscillation d environ 100/( ) rad, soit à peine 0,2, d angle de gouverne. Semblablement, à la résonance, une oscillation de pente de 10 serait produite par une oscillation d angle de gouverne d 1/6. Pour ces deux variables, le gain diminue rapidement avec la fréquence et devient totalement négligeable au-delà de la fréquence de l oscillation d incidence.

144 138 CHAPITRE 6. RÉPONSE AUX COMMANDES FIG. 6.1 Fonction de transfert de la vitesse par rapport à l angle de gouverne. (a) Module. (b) Phase.

145 6.2. RÉPONSE LONGITUDINALE 139 FIG. 6.2 Fonction de transfert de l incidence par rapport à l angle de gouverne. (a) Module. (b) Phase.

146 140 CHAPITRE 6. RÉPONSE AUX COMMANDES FIG. 6.3 Fonction de transfert de la pente par rapport à l angle de gouverne. (a) Module. (b) Phase.

147 6.2. RÉPONSE LONGITUDINALE 141 FIG. 6.4 Fonction de transfert du facteur de charge par rapport à l angle de gouverne. (a) Module. (b) Phase.

148 142 CHAPITRE 6. RÉPONSE AUX COMMANDES Au contraire, la fonction de transfert de la variable d attitude w ( α) est du même ordre de grandeur à basse et à haute fréquence, montrant des contributions de même importance de la phugoïde et de l oscillation d incidence. Le comportement complexe au voisinage de la fréquence de la phugoïde illustre le genre de phénomènes qui peuvent se présenter avec les systèmes d ordre élevé. Il résulte de la proximité d un pôle et d un zéro de la fonction de transfert. L amplitude de la fonction de transfert du facteur de charge comporte un pic de résonance très intense à la fréquence de la phugoïde, de presque 100/rad. Une très faible oscillation d angle de gouverne à cette fréquence suffirait à provoquer la défaillance structurale de l aile! Réponse à un échelon d angle de gouverne À partir des fonctions de transfert déterminées ci-dessus, on calcule aisément la réponse à un échelon d angle de gouverne. On a représenté aux figures les évolutions de la vitesse, de l incidence et de la pente de la trajectoire consécutives à un échelon d un degré d angle de gouverne. On observe à la figure 6.5 qui montre les 10 premières secondes de la réponse, que seul l angle d incidence répond rapidement au déplacement de la gouverne, et que son évolution est dominée par le mode bien amorti d oscillation d incidence. Au contraire, les variables de trajectoire (vitesse et pente) répondent beaucoup plus lentement. On observe à la figure 6.6 qui présente l évolution des variables sur une durée de 10 minutes, que les transitoires persistent très longtemps, et qu après quelques secondes, c est le mode phugoïde qui domine l évolution. L état de régime approché si lentement se caractérise par une vitesse plus élevée, correspondant à la diminution d incidence attendue comme suite au braquage vers le bas de la gouverne. La pente de la trajectoire change à peine (augmentation d environ 0,1 ). L augmentation s explique par le fait que le vol de départ est à une vitesse inférieure à la vitesse de traînée minimale. Si l objectif du braquage de la gouverne était de modifier les conditions de vol, on ne peut pas dire que la manœuvre soit une réussite. Manifestement, un guidage longitudinal satisfaisant exige une manœuvre un peu plus sophistiquée, qu elle soit effectuée par un pilote humain ou automatique. Approximation phugoïde On peut obtenir une approximation des fonctions de transfert grâce à l approximation phugoïde élaborée à la section En ajoutant les contributions des commandes, le système différentiel approché (5.22) dans lequel

149 6.2. RÉPONSE LONGITUDINALE 143 FIG. 6.5 Réponse à un échelon d angle de gouverne ( δ e = 1 )

150 144 CHAPITRE 6. RÉPONSE AUX COMMANDES FIG. 6.6 Réponse à un échelon d angle de gouverne ( δ e = 1 )

151 6.2. RÉPONSE LONGITUDINALE 145 on a multiplié l équation du moment cinétique de tangage par I yy devient u ẇ 0 θ = X u m Z u m X w m 0 g Z w m u 0 0 M u M w u w q θ + X δe m Z δe m M δe 0 δ e (6.13) ou, de manière compacte Mẋ = A phug x + b phug δ e. En prenant la transformée de Laplace, on obtient l approximation phugoïde des fonctions de transfert (G uδe, G wδe, G qδe, G θδe ) t = (sm A phug ) 1 b phug (6.14) Approximation d oscillation d incidence Semblablement, on peut obtenir une approximation des fonctions de transfert pour les hautes fréquences en utilisant l approximation d oscillation d incidence. En ajoutant les contributions des commandes, le système différentiel approché (5.30) devient [ ẇ q ] = Z w m [ 1 M w + Z ] wmẇ m I yy u 0 1 [ ] Mq + u 0 Mẇ I yy Z δe m 1 I yy [ w q [ M δe + Z δ e Mẇ m ] ] + δ e (6.15) ou, de manière compacte, ẋ = A o.i. x + b o.i. δ e. De nouveau, on en tire les fonctions de transfert approchées G uδe et G qδe en prenant la transformée de Laplace. La fonction de transfert G θδe s obtient en remarquant que L (q) = sl ( θ), de sorte que G θδe = G qδe /s. Les fonctions de transfert approchées calculées de la sorte ont été représentées sur les diagrammes de Bode On constate que l approximation phugoïde est en bon accord avec les résultats exacts pour les basses fréquences alors que l approximation d oscillation d incidence est excellente pour les hautes fréquences Réponse à la commande de poussée On a calculé la réponse du Boeing 747 à un échelon de poussée Π = 1/6. Les résultats sont représentés à la figure 6.7. Comme le modèle suppose une réponse immédiate des moteurs, les résultats ne sont pas valides pour les premières secondes. De toute façon, cette phase ne présente pas beaucoup

152 146 CHAPITRE 6. RÉPONSE AUX COMMANDES FIG. 6.7 Réponse à un échelon d angle de gouverne ( δ e = 1 )

153 6.3. RÉPONSE LATÉRALE 147 d intérêt dans ce cas car le mouvement est clairement dominé par la phugoïde faiblement amortie. La vitesse augmente immédiatement, avant que les autres variables aient le temps de varier. Elle subit ensuite une oscillation faiblement amortie pour revenir asymptotiquement à sa valeur de départ. L incidence varie peu, et la pente approche sa valeur finale de manière oscillatoire, l état final étant un vol en montée avec u = α = 0. Lorsque l axe de la poussée ne passe pas par le centre de gravité et qu il y a par conséquent une contribution de la poussée au moment de tangage, la réponse diffère par plusieurs détails. Principalement, le moment de tangage dû à la poussée produit une variation rapide d incidence, suivie par une relaxation oscillatoire vers une nouvelle incidence, et la vitesse tend vers une nouvelle valeur. 6.3 Réponse latérale Fonctions de transfert Les fonctions de transfert latérales se calculent exactement de la même manière que les fonctions de transfert longitudinales, à savoir G = (si A) 1 B. En reliant les efforts aérodynamiques latéraux au braquage des ailerons et de la gouverne de direction, Y c L c N c = Y δa L δa N δa Y δr L δr N δr [ δa δ r ] (6.16) on déduit de l expression du vecteur de commande établi au chapitre 3 (3.36) l expression de la matrice B Y δa m I B = zzl δa I xzn δa I xxn δa I xzl δa Y δr m I zzl δr I xzn δr I xxn δr I xzl δr 0 0 (6.17) On illustre les réponses aux commandes latérales par l exemple du Boeing 747. Avec les valeurs des dérivées aérodynamiques par rapport aux commandes latérales données au tableau 6.1, les éléments de la matrice B sont les sui- TAB. 6.1 Dérivées aérodynamiques par rapport aux commandes latérales C y C l C n δ a 0 1, , δ r 0, , , 1257

154 148 CHAPITRE 6. RÉPONSE AUX COMMANDES vants : B = 0 1, 720 0, , , , (6.18) Les fonctions de transfert de v (β), de φ et de r par rapport aux braquages de la gouverne de direction et des ailerons sont représentées sous forme de diagrammes de Bode aux figures , ainsi que leurs approximations basées sur les approximations des modes latéraux présentées à la section La principale caractéristique de l ensemble de ces figures est la résonance marquée à la fréquence de l oscillation latérale et la diminution nette de phase associée. À fréquence nulle, le gain de la vitesse de roulis est nul pour les deux commandes (en effet, pour un vol de référence horizontal, p = φ, de sorte que G pδa,r = sg φδa,r ), alors que le gain de toutes les autres variables est fini. Mais les gains statiques de β et φ sont si grands que l hypothèse de linéarité n est valide à l état stationnaire que pour des braquages des commandes extrêmement faibles. On peut calculer des fonctions de transfert latérales approchées exactement de la même manière que pour les fonctions de transfert longitudinales approchées, en se fondant sur les approximations des équations du mouvement élaborées à la section À l examen des figures , on observe que l approximation de roulis hollandais est très bonne pour les hautes fréquences alors que l approximation combinée spirale/convergence en roulis fournit de bons résultats pour les basses fréquences. Ce comportement est tout-à-fait analogue à celui observé pour la réponse longitudinale, la combinaison spirale/convergence en roulis correspondant à la phugoïde et le roulis hollandais à l oscillation d incidence. On constate enfin qu aucune des deux approximations n est satisfaisante dans une gamme de fréquences intermédiaire entre les deux limites. Il convient de rappeler que les approximations des modes latéraux doivent être employées avec précaution et que seules les équations exactes permettent d obtenir des résultats fiables Réponse transitoire aux ailerons et à la gouverne de direction Comme on l a mentionné précédemment (section 6.1.2), l action des commandes latérales produit rapidement des angles (notamment de gîte) importants, de sorte que les équations linéarisées perdent leur validité. Pour les avions de ligne et d aviation générale qui ne sont pas sujets à des manœuvre violentes, un modèle intermédiaire entre le modèle linéarisé et le modèle non-linéaire général, dans lequel seuls certains effets non-linéaires sont pris en compte s avère utile. Il consiste à garder une représentation linéaire des effets aérodynamiques et d inertie, mais d employer la formulation nonlinéaire exacte des forces de gravité. De la sorte, les angles φ, θ et ψ peuvent prendre des valeurs arbitraires. Comme on le verra dans l exemple suivant, la

155 6.3. RÉPONSE LATÉRALE 149 FIG. 6.8 Fonctions de transfert par rapport au braquage de la gouverne de direction. (a) Dérapage, module. (b) Dérapage, phase. (c) Angle de gîte, module. (d) Angle de gîte, phase. (e) Vitesse de lacet, module. (f) Vitesse de lacet, phase.

156 150 CHAPITRE 6. RÉPONSE AUX COMMANDES FIG. 6.8 (suite)

157 6.3. RÉPONSE LATÉRALE 151 FIG. 6.8 (suite)

158 152 CHAPITRE 6. RÉPONSE AUX COMMANDES FIG. 6.9 Fonctions de transfert par rapport au braquage des ailerons. (a) Dérapage, module. (b) Dérapage, phase. (c) Angle de gîte, module. (d) Angle de gîte, phase. (e) Vitesse de lacet, module. (f) Vitesse de lacet, phase.

159 6.3. RÉPONSE LATÉRALE 153 FIG. 6.9 (suite)

160 154 CHAPITRE 6. RÉPONSE AUX COMMANDES FIG. 6.9 (suite)

161 6.3. RÉPONSE LATÉRALE 155 validité de la solution ainsi obtenue est limitée par l augmentation de la vitesse de l avion au-delà de la gamme de validité de l approximation linéaire, c est-à-dire que la solution perd sa validité lorsque les non-linéarités aérodynamiques commencent à devenir importantes. Si, dans les équations générales du mouvement ( ), on introduit les approximations linéaires aérodynamiques et on néglige les termes d inertie quadratiques, on obtient, pour un vol initialement horizontal (θ 0 = 0), le système d équations u ẇ q θ v ṗ ṙ φ ψ = = X m g sin θ Z m g(1 sin φ cos θ) + u 0q M I yy cos φ q sin φ r Y m + g sin φ cos θ u 0r I zz L I xz N I xx N I xz L p + tan θ(sin φ q + cos φ r) sec θ(sin φ q + cos φ r) (6.19) (6.20) Il est intéressant de remarquer que, bien que les efforts aérodynamiques longitudinaux ne dépendent toujours que des variables du mouvement longitudinal (pas de couplage aérodynamique), un couplage apparaît entre mouvements longitudinal et latéral par l entremise du terme sin φr dans l équation du moment de tangage, c est-à-dire qu un mouvement au départ uniquement latéral induira des composantes longitudinales. Ce système d équations a été intégré numériquement dans le cas de l application d un échelon de braquage des ailerons de 15 au Boeing 747 initialement dans les conditions de vol horizontal considérées précédemment. Les résultats sont représentés à la figure La caractéristique principale du mouvement est l acquisition rapide d une vitesse de roulis et, partant, une croissance rapide de l angle de gîte (figure 6.10c), qui atteint presque 90 en 30 secondes. Dérapage, vitesse de rotation de lacet et angle d azimut restent faibles sur l intervalle de temps considéré. À mesure que l avion roule, avec une portance restant approximativement égale à son poids, la composante verticale de la force aérodynamique diminue rapidement, et, en raison de la force nette dirigée vers le bas, l angle d assiette θ devient négative et la vitesse commence à augmenter. Après 30 secondes, la vitesse a augmenté d environ 10 %, et le modèle aérodynamique linéaire devient de plus en plus inexact. Par contre, la vitesse de rotation de roulis ne dépasse pas 0,05 rad/s, ce qui correspond à ˆp = 0, 01. Ceci justifie pleinement le fait de négliger les termes quadratiques d inertie dans les équations du mouvement.

162 156 CHAPITRE 6. RÉPONSE AUX COMMANDES FIG Réponse du Boeing 747 à un échelon de braquage des ailerons ; δ a = 15. (a) Composantes de la vitesse. (b) Vitesses de rotation. (c) Angles d Euler.

163 Bibliographie [1] E. L. Houghton and N. B. Carruthers. Aerodynamics for engineering students. Arnold, third edition, [2] John D. Anderson Jr. Introduction to flight. McGraw Hill, third edition, [3] Francis J. Hale. Aircraft performance, selection and design. John Wiley, [4] Barnes W. McCormick. Aerodynamics, aeronautics and flight mechanics. John Wiley, [5] Bernard Etkin and Lloyd Duff Reid. Dynamics of flight. Stability and control. John Wiley, third edition, [6] Daniel P. Raymer. Aircraft design : a conceptual approach. AIAA Education series. American Institute of Aeronautics and Astronautics,

164 158 BIBLIOGRAPHIE

165 Annexe A L atmosphère standard 159

166 160 ANNEXE A. L ATMOSPHÈRE STANDARD

167 Annexe B Aspects physiologiques du vol 161

168 162 ANNEXE B. ASPECTS PHYSIOLOGIQUES DU VOL

169 163

170 164 ANNEXE B. ASPECTS PHYSIOLOGIQUES DU VOL

171 Annexe C Forme adimensionnelle des équations du mouvement linéarisées En appliquant l adimensionnalisation définie à la section 3.3.3, on peut établir une forme adimensionnelle des équations du mouvement linéarisées (3.35) et (3.36). Les expressions obtenues sont données sous forme matricielle en (C.1) et (C.2), où l on a tennu compte du fait qu à l équilibre C P cos θ 0 = C L0. 165

172 166 ANNEXE C. FORME ADIMENSIONNELLE DES ÉQUATIONS Système longitudinal û α ˆq θ = 1 Î yy 2C L0 tan θ 0 + C xu 2µ C xα 2µ C zu 2C L0 C zα C zq + 2µ 2µ C z α 2µ C z α 2µ C z α [ C mu + (C ] z u 2C L0 )C m α 2µ C z α 1 Î yy [ C mα + C ] z α C m α 2µ C z α Î yy 0 [ C mq + (C ] z q + 2µ)C m α 2µ C z α C Î y β ˆp ˆr φ = C yβ 2µ C yp 2µ Système latéral C yr 2µ 1 C L0 2µ Î zzc lβ Î xzc nβ Î zzc lp Î xzc np Î zzc lr Î xzc nr 0 Î xxc nβ Î xzc lβ Î xxc np Î xzc lp Î xxc nr Î xzc lr tan θ 0 0 v p r φ + Î zz Î xx