Performances et stabilité des avions. Gérard Degrez

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1 Performances et stabilité des avions Gérard Degrez Automne 2001

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3 Table des matières 1 Performances des avions Conventions de la mécanique du vol L atmosphère standard Altitude et vitesse de l avion Vol en palier horizontal stabilisé Équations d équilibre Conséquences immédiates Poussée requise, limitations calcul des performances pour un avion à réaction Puissance requise calcul des performances pour un avion à hélice Distance franchissable Endurance Vol stabilisé incliné (montée/descente) Conséquences des équations d équilibre Cas particulier : le vol plané Vol motorisé : vitesse ascensionnelle maximum Temps de montée. Méthode de l énergie totale Manœuvres Enveloppe de manœuvre Décollage et atterrissage La ressource Notion de facteur de charge Le vol en virage Charges dues aux rafales Stabilité statique et guidage Introduction Stabilité statique longitudinale manche fixe Critère de stabilité statique longitudinale et implications Moment de tangage Point neutre manche fixe Guidage et stabilité statique manche libre longitudinaux Angle de gouverne Couple de charnière et effort dans le manche Point neutre manche libre Compensateurs et gradient de force dans le manche Stabilité statique latérale iii

4 iv TABLE DES MATIÈRES Notations et remarques préalables Stabilité directionnelle et guidage Stabilité en roulis et guidage Équations générales du mouvement Introduction Les équations du mouvement Équations d Euler Contribution des rotors Résumé et discussion Théorie des petites perturbations Linéarisation des équations Forces et couples aérodynamiques Forme adimensionnelle des équations Dérivées aérodynamiques dimensionnelles Dérivées de stabilité Introduction Dérivées longitudinales Dérivées par rapport à α Dérivées par rapport à u Dérivées par rapport à q Dérivées par rapport à α Dérivées latérales Dérivées par rapport à β Dérivées par rapport à p Dérivées par rapport à r Résumé Stabilité dynamique Solution générale des équations des petites perturbations Modes longitudinaux Cas illustratif d un long-courrier à réaction Approximation des modes longitudinaux Stabilité statique longitudinale Effet des conditions de vol sur les modes longitudinaux Modes latéraux Cas illustratif Approximation des modes latéraux Réponse aux commandes Introduction Guidage longitudinal Guidage latéral Solution des problèmes de réponse aux commandes Réponse longitudinale Réponse à la gouverne de profondeur

5 TABLE DES MATIÈRES v Réponse à la commande de poussée Réponse latérale Fonctions de transfert Réponse transitoire aux ailerons et à la gouverne de direction A L atmosphère standard 159 B Aspects physiologiques du vol 161 C Forme adimensionnelle des équations 165

6 vi TABLE DES MATIÈRES

7 Introduction L objet de ce cours est l étude du vol atmosphérique, c est-à-dire du mouvement des avions en vol. Pour cette étude, plusieurs niveaux d approximation sont possibles, qui correspondent chacun à des échelles de temps caractéristiques différents : Point matériel Ce niveau d approximation correspond à des échelles de temps caractéristiques longs (plusieurs minutes) et permet, par l analyse de l équilibre des forces sur l avion, de déterminer ses performances. Solide indéformable On s intéresse à ce niveau à des échelles de temps caractéristiques moyens (de l ordre de quelques secondes à quelques dizaines de secondes). L analyse de l équilibre des forces et des moments sur l avion permet d en déterminer les caractéristiques de stabilité et de réponse aux commandes (guidage). Solide déformable Ce niveau correspond à des échelles de temps caractéristiques encore plus courts (typiquement inférieurs à la seconde). On s intéresse alors au couplage entre les modes globaux du mouvement et les modes de vibration de la structure élastique de l avion : c est l objet de l aéroélasticité. On se limitera dans ce cours aux deux premiers niveaux d approximation, que l on a coutume de rassembler sous le vocable de mécanique du vol. Évidemment, s agissant de vol atmosphérique, la majeure partie des forces et couples s exerçant sur l avion sont d origine aérodynamique. Le cours exige donc une bonne connaissance des caractéristiques aérodynamiques des surfaces portantes, qui sont étudiées dans les cours de mécanique des fluides (I et II). À toutes fins utiles, on trouvera une synthèse sur les forces et couples aérodynamiques sur les avions dans les références bibliographiques [1, 2, 3, 4]. 1

8 2 INTRODUCTION

9 Chapitre 1 Performances des avions 1.1 Conventions de la mécanique du vol L atmosphère standard Les performances d un avion dépendent grandement des propriétés physiques (densité, température, pression) de l air dans lequel il vole. Pour pouvoir comparer les performances de divers appareils, on devra les placer dans des conditions atmosphériques semblables. Pour ce faire, on est convenu d effectuer les calculs de performances dans une atmosphère standard internationale (ISA). Cette atmosphère représente assez bien les conditions de température et de pression moyennes sur l année pour les climats tempérés d Europe et d Amérique du Nord 1. Les conventions de l atmosphère standard sont les suivant : l air est assimilé à un gaz parfait avec une constante massique R = 287 J/kg K, l air est sec, le vent météorologique est nul (pas de turbulence atmosphérique), l atmosphère est en équilibre hydrostatique, c est-à-dire dp = ρg(h) dh (1.1) où h est l altitude au-dessus du niveau de la mer. On peut encore réécrire cette équation d équilibre sous la forme dp = ρg 0 dh (1.2) en définissant l altitude géopotentielle H par dh = g(h)/g 0 dh où g 0 est l accélération de la gravité au niveau de la mer 2. 1 Il existe également des atmosphères standard représentant des conditions extrêmes, tropicale et polaire, voir plus avant. 2 À titre indicatif, la relation entre altitude vraie et altitude géopotentielle aux latitudes moyennes est tabulée ci-dessous. H (m) h (m)

10 4 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS Avec ces conventions, la spécification de la distribution de température en fonction de l altitude (géopotentielle) suffit à déterminer les conditions thermodynamiques en fonction de l altitude. En effet, en combinant l équation d équilibre hydrostatique (1.2) et l équation d état des gaz parfaits p = ρrt, on obtient dp p = g 0 dh (1.3) RT(H) qui permet de calculer la distribution de pression pour autant que l on spécifie la pression au niveau de la mer, et l on obtient ensuite la distribution de masse volumique par application de l équation des gaz parfaits. Aux latitudes moyennes (conditions tempérées), la distribution de température de l atmosphère standard du niveau de la mer à une altitude de 20 km est la suivante : Troposphère (0 H 11km) T = 288, 16 6, 5H(km) Stratosphère (11km H 20km) T = 216, 66 La frontière entre la troposphère et la stratosphère est appelée tropopause. Cette distribution de température est représentée à la figure suivante, de même que les distributions de température correspondant aux conditions tropicale et polaire. Avec une pression au niveau de la mer de 101,325 kpa, on obtient les expressions suivantes pour la distribution de pression : Troposphère (0 H 11km) p = 101, 325(1 22, H) 5,26 Stratosphère (11km H 20km) p = 22, 632 e 157,710 3 (H 11) Ces distributions, ainsi que celles de la masse volumique et de la viscosité sont tabulées à l annexe A, en termes de grandeurs relatives par rapport aux conditions au niveau de la mer Altitude et vitesse de l avion L altimètre La correspondance biunivoque entre altitude et pression dans l atmosphère standard est mise à profit dans l altimètre de l avion, qui consiste en un manomètre (mesure de p) dont l échelle est graduée en mètres (pieds) grâce à la relation entre pression et altitude. Contrairement aux manomètres de laboratoire qui sont généralement des manomètres à liquide (mercure, eau) et ne conviennent pas pour les avions, ce sont le plus souvent des manomètres à capsule (type Bourdon) dont la capsule est évacuée et qui se déforment en fonction de la pression extérieure. La déformation est communiquée à un système d aiguille qui se déplace sur l échelle. De nos jours, ces manomètres mécaniques sont de plus en plus souvent remplacés par des capteurs qui transforment la pression en signal électrique, mais les manomètres à capsule sont encore couramment employés en aviation générale. Comme l échelle est graduée à partir de l atmosphère standard, le pilote doit effectuer les corrections en fonction des conditions atmosphériques locales. Sur les avions de

11 1.1. CONVENTIONS DE LA MÉCANIQUE DU VOL 5 FIG. 1.1 Distribution de température en fonction de l altitude dans l atmosphère standard internationale ligne, ces données, communiquées par les tours de contrôle, sont intégrées par les ordinateurs de bord, qui effectuent automatiquement les corrections. L indicateur de vitesse La vitesse de l avion est déterminée par un tube de pitot situé au nez de l avion ou attaché à une aile. La différence de pression mesurée peut être reliée au nombre de Mach de vol par les relations suivantes (voir Mécanique des fluides, 2ème partie). subsonique p p = (1 + γ 1 2 M2 ) γ γ 1 1 Saint-Venant

12 6 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS Supersonique On a dans ce cas une onde de choc devant le tube de pitot, de sorte que la relation devient p p = ( (γ + 1)M 2 2 ) γ ( ) 1 γ 1 γ + 1 γ 1 1 Rayleigh 2γM 2 (γ 1) En mesurant simultanément p et p (par exemple avec l altimètre), on peut donc déterminer le nombre de Mach de vol M. L appareil basé sur ce principe est le machmètre. Si l on mesurait aussi la température T, on pourrait calculer la vitesse vraie V (= Ma = M γrt, où a est la vitesse du son). Si l on ne mesure que p, on peut calculer une vitesse dite vitesse conventionnelle (Calibrated Air Speed) V c en calculant un nombre de Mach fictif M à partir de p et de p 0 (pression au niveau de la mer en atmosphère standard), que l on multiplie ensuite par a 0 (vitesse du son au niveau de la mer). C est cette vitesse qui est affichée à l indicateur. Pour les faibles nombres de Mach, on peut linéariser l équation de Saint-Venant : p = γ M 2 p 0 2 V 2 c = M 2 γrt 0 = 2 p RT 0 = 2 p (1.4) p 0 ρ 0 Pour les avions volant à basse vitesse, l échelle de l indicateur de vitesse suit de près cette relation approchée. Finalement, on introduit le concept supplémentaire de vitesse équivalente ou équivalent de vitesse (Equivalent Air Speed) V E définie par V 2 E = ρ ρ 0 V 2 = 2q ρ 0 ou V E = σv (1.5) Cette vitesse n est pas directement accessible par la mesure de p mais elle s avère très utile pour les calculs puisque les coefficients aérodynamiques utilisent la pression dynamique q (= ρ 0 V 2 E ) comme pression de normalisation. Aux faibles nombres de Mach (pour lesquels l équation de Bernoulli est applicable), q p, de sorte que V E V c. Aux autres nombres de Mach, on calcule d abord V à partir de V c et de T et on calcule ensuite V E par sa définition. Signalons qu il existe une grande confusion à propos de ces diverses vitesses dans plusieurs ouvrages, dont celui de Houghton et Carruthers précédemment cité [1]. 1.2 Vol en palier horizontal stabilisé Équations d équilibre Conséquences immédiates Équations d équilibre Pour des avions qui possèdent un plan de symétrie (de loin le cas le plus fréquent, bien qu il existe certaines configurations asymétriques), l équilibre transversal est automatiquement assuré par la symétrie de la configuration, de sorte qu il suffit d étudier l équilibre dans le plan de symétrie. La configuration et le système de forces sont représentées à la figure suivante dans le

13 1.2. VOL EN PALIER HORIZONTAL STABILISÉ 7 cas plus général du vol incliné, où l on fait pour la première fois apparaître les FIG. 1.2 Vol stabilisé cas général θ angle d assiette : angle entre l axe de l avion et l horizontale géographique (attitude) α incidence : angle entre la direction de la vitesse (vent) et l axe de l avion γ pente : angle entre la direction de la vitesse et l horizontale géographique (γ = 0 en vol horizontal) Avec ces définitions, des trois angles sont reliés entre eux par θ = γ + α (1.6) trois systèmes d axes employés en mécanique du vol, à savoir les axes aérodynamiques (wind axes) x a, y a, z a définis par l alignement de l axe x a avec le vecteur vitesse de l avion, les axes liés à l avion (body axes) x, y, z (par exemple les axes principaux d inertie de l avion) et enfin les axes liés à la terre (earth axes) x 0, y 0, z 0 dont l axe z 0 est aligné avec l accélération de la gravité. On donnera les définitions complètes des trois systèmes d axes dans la deuxième partie de ce cours. Dans le schéma, on a représenté la force de propulsion inclinée d un angle α T α avec la direction de la vitesse, de sorte qu elle fait un angle ε = α α T avec l axe de l avion. Puisque la force de propulsion est solidaire de l avion, on peut alternativement définir l axe de l avion comme étant l axe d application de la force de propulsion mais il faut alors en tenir compte pour l évaluation des efforts aérodynamiques. Équilibre selon z a P cos γ F z T sin α T = 0 (1.7) Équilibre selon x a T cos α T F x P sin γ = 0 (1.8) Pour un vol horizontal à incidence modérée (α T 1), T F x. Or, en configuration normale F x F z, de sorte que T sin α T F z. En négligeant ce dernier terme, on obtient les équations simplifiées P F z = 0 T F x = 0 (1.9)

14 8 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS Conséquences Avec les définitions des coefficients aérodynamiques C z = F z qs C x = F x qs on obtient, en résolvant l équation d équilibre en sustentation pour la vitesse 2P V = (1.10) ρsc z Pour une charge alaire (P/S) et une altitude données, la vitesse ne dépend que du coefficient de portance, c est-à-dire de l incidence. Comme le coefficient de portance est fonction croissante de l incidence, il en résulte que la vitesse est une fonction décroissante de l incidence. Avec la définition de la vitesse équivalente (1.5), on obtient 2P V E = (1.11) ρ 0 SC z et l on constate que V E ne dépend pas de l altitude mais uniquement de l incidence. Pour le pilote, comme V E est directement reliée à l incidence de l avion, elle a une signification physique plus immédiate que V. À faible nombre de Mach, puisque V E V c, l indicateur de vitesse donne donc une indication utile de la configuration de vol Poussée requise, limitations calcul des performances pour un avion à réaction Poussée requise En divisant les deux équations (1.9) on obtient T P = C x C z et, puisque P est une donnée, on voit que T est proportionnel à C x /C z. Pour des vitesses modérées, ce rapport ne dépend que de l incidence α (plus généralement, il faudrait tenir compte également des effets des nombres de Reynolds et de Mach) ou encore de la vitesse équivalente, étant donné la relation entre incidence et vitesse équivalente. À partir de la polaire de l avion (courbe C z en fonction de C x graduée en incidence), on peut facilement déterminer la fonction C x /C z (V E ), que l on a représenté ci-dessous. On s aperçoit que, pour une poussée T donnée, il existe deux configurations de vol possibles, une correspondant au régime lent et l autre au régime rapide et qu il existe une vitesse équivalente (incidence) particulière pour laquelle la poussée requise est minimale.

15 1.2. VOL EN PALIER HORIZONTAL STABILISÉ 9 FIG. 1.3 Poussée requise au vol en palier La polaire des avions est en général bien approchée par une expression de la forme C x = C x,0 + kc 2 z (1.12) où C x,0 est la traînée dite parasite, essentiellement visqueuse, et le deuxième terme est la traînée de portance, traînée induite et traînée d onde pour les vols supersoniques. Avec une telle expression, on peut déterminer analytiquement le C z correspondant à la traînée minimum et donc à la poussée requise minimum. d(c x /C z ) = C x,0 dc z C 2 + k = 0 z C z,tmin = C x,0 k C x,tmin = 2C x,0 ) C x = 4kC x,0 (1.13) C z min Remarquez que la configuration de traînée minimale correspond à l égalité de la traînée parasite et de la traînée de portance. Limitations Décrochage De l équilibre en sustentation, on a 2P V E = ρ 0 SC z

16 10 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS Or, C z prend une valeur maximum au décrochage (= C z,max ). On en déduit qu il existe une valeur minimale de la vitesse 2P V E,min = (1.14) ρ 0 SC z,max indépendante de l altitude et qui peut donc être inscrite sur l indicateur de vitesse 3. On a en général deux valeurs de V E,min selon que les volets hypersustentateurs sont déployés ou non. Dans la pratique, on impose une limite inférieure de vitesse égale à 1, 3V E,min et c est à cette vitesse qu on atterrit. Vitesse maximum La vitesse maximum atteignable est donnée par la poussée maximum disponible. Avec l expression approchée de la traînée (1.12), on obtient C z,vmax = 1 ) 2 2k (T max (Tmax P 2P 4kC x,0) V E,max = P ρ 0 SC z,vmax (1.15) Performances en vol stabilisé Domaine de vol Pour déterminer les performances d un avion, il faut superposer à la courbe C x /C z (V E ) les courbes de poussée du moteur en fonction de l altitude et de la position de la manette des gaz. Le calcul des performances en termes de poussée convient particulièrement bien aux avions turboréactés pour lesquels la poussée varie peu avec la vitesse (voir figure). À chaque altitude, on détermine ainsi une FIG. 1.4 Courbes de poussée disponible pour les hélices entraînées par moteur à piston et pour les turboréacteurs vitesse équivalente maximum et minimum (le plus souvent fixée par la limite de décrochage) et on peut calculer les vitesses vraies correspondantes. Ceci définit dans le plan H, V une courbe appelée l enveloppe de vol stabilisé et qui contient le domaine de vol. On observe sur l enveloppe de vol l avantage de voler en altitude : la vitesse maximale est atteinte en altitude, pour une poussée et donc une consommation plus faible. On déterminera de telles enveloppes de vol aux exercices. 3 En aviation générale, il existe également un avertisseur sonore qui prévient le pilote lorsqu il s approche trop de cette limite.

17 1.2. VOL EN PALIER HORIZONTAL STABILISÉ 11 FIG. 1.5 Enveloppe de vol typique Stabilité de propulsion Examinons ce qui se passe si l on perturbe légèrement un vol stabilisé, Supposons que l avion subisse une perturbation de vitesse V. régime rapide Si V > 0, on voit que C x /C z augmente, alors que T/P reste constant. L avion a donc tendance à ralentir, le régime de vol est statiquement stable. régime lent En effectuant le même raisonnement, on constate que le régime lent est statiquement instable. C est donc un régime dangereux, qu il convient d éviter, particulièrement lors des phases de décollage ou d atterrissage. En effet, si la vitesse tombe sous la vitesse de poussée requise minimale, il n est pas toujours possible d augmenter la poussée (en poussant la manette) suffisamment ou assez vite pour éviter le décrochage. On pourrait penser que cette limitation est plus restrictive que la limitation liée au décrochage mais à l atterrissage, en raison du déploiement des spoilers, volets et train d atterrissage, le C x,0 augmente brutalement, ce qui déplace le C z,tmin vers le haut et élargit donc la zone de régime rapide vers les basses vitesses Puissance requise calcul des performances pour un avion à hélice Puissance requise Pour les avions à hélice, il est plus commode d exprimer les caractéristiques du moteur en termes de puissance, car pour ce type de propulsion, la puissance fournie dépend peu de la vitesse (voir figure). Il faut donc évaluer la puissance requise au vol. Celle-ci s exprime par W = TV (1.16)

18 12 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS FIG. 1.6 Courbes de puissance disponible pour les hélices entraînées par moteur à piston et pour les turboréacteurs et, puisque T P = C x = C x,0 2P + kc z et V = C z C z ρsc z il en résulte que ou encore W = P 3/2 2 C x ρs C 3/2 z ρ W = P 3/2 ρ 0 2 ρ 0 S C x C 3/2 z (1.17) (1.18) dont le membre de droite est indépendant de l altitude et peut être porté en graphique en fonction de la vitesse équivalente. Calculons, pour une altitude donnée, la puissance minimum requise au vol. d(c x /C 3/2 z ) dc z = 3 2 C z,wmin = 3C x,0 k C x,0 C 5/2 z k C 1/2 z C x,wmin = 4C x,0 = 0 ) C x 4C x,0 = (1.19) C 3/2 z min (3C x,0 /k) 3/4 On constate que C z,wmin > C z,tmin et donc que V E,Wmin < V E,Tmin. Calcul des performances en termes de puissance Semblablement à ce qui a été fait sur le diagramme de poussée, les régimes de vol possibles et donc l enveloppe de vol peuvent se calculer en reportant les caractéristiques du propulseur sur le diagramme de puissance requise multipliée par σ. Pour les avions à hélice, on peut faire les observations suivantes : Du fait que V E,Wmin < V E,Tmin et que d autre part la puissance disponible ne croît que légèrement avec la vitesse pour les avions à hélice (voir Fig. 1.6), il n y a quasiment pas de régime lent pour ces appareils. Il y a donc peu de risques d instabilité de propulsion.

19 1.2. VOL EN PALIER HORIZONTAL STABILISÉ 13 FIG. 1.7 Puissance requise au vol en palier Du fait que la puissance disponible est approximativement proportionnelle à la masse volumique, W disp σ σ 3/2 décroît rapidement avec l altitude. Il en résulte que le plafond est généralement plus faible pour les avions à hélice que pour les avions à réaction. En outre, l enveloppe de vol est moins penchée vers les hautes vitesses comme illustré cidessous pour le Cherokee Arrow 4. Il est donc moins intéressant de voler en altitude Distance franchissable Définitions La connaissance du vol en palier horizontal stabilisé va nous permettre de calculer approximativement la distance franchissable ou encore rayon d action de l avion. Il existe trois définitions du rayon d action. Rayon d action de sécurité Distance horizontale maximum entre deux aéroports que peut parcourir un avion de manière sécuritaire en effectuant un service régulier et fiable. Pour calculer ce rayon d action, il faut tenir compte d énormément de facteurs comme 4 Noter la limite de décrochage qui apparaît très clairement.

20 14 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS FIG. 1.8 Enveloppe de vol pour le Cherokee Arrow carburant consommé au décollage, montée initiale/descente finale, règles de sécurité qui exigent de conserver à tout moment suffisamment de carburant pour pouvoir se détourner, conditions météo défavorables (vent de face),... Ceci rend le calcul extrêmement long et complexe. C est pourquoi on utilise également deux définitions simples mais nécessairement plus artificielles, qui sont surtout utiles pour comparer deux appareils entre eux. Rayon d action SAR (still air range) On suppose que l avion décolle réservoir plein, rejoint ses conditions de vol de croisière (altitude, vitesse) et poursuit son vol jusqu à épuisement du carburant. Le SAR est la distance franchie, à l exclusion du décollage. Rayon d action GSAR (gross still air range) On considère un scénario encore plus simple : soit l avion initialement dans les conditions de vol de croisière, réservoirs pleins. Le GSAR est la distance qu il franchirait en palier jusqu à épuisement du carburant. Ce concept est évidemment extrêmement artificiel mais il offre l avantage d être très simple à calculer et de fournir les tendances du rayon d action avec divers paramètres.

21 1.2. VOL EN PALIER HORIZONTAL STABILISÉ 15 Calcul du rayon d action pour un avion à réaction Pour un avion à réaction, on définit la consommation spécifique comme c = q [ ] c débit de carburant kg/s = (1.20) T poussée N Elle est en première approximation constante lorsque la vitesse varie. On aura alors dp = g ct (1.21) dt Or, en palier, T = P(C x /C z ). Donc, dp dt = g cc x P ou encore dt = C z dp C z g cc x P Pendant un temps dt, l avion parcourt une distance dx = Vdt, d où (1.22) dx = C z dp g cc x P = C zv dm (1.23) cc x P Cette relation permet de définir deux grandeurs : le rayon d action spécifique (RAS) : distance parcourue en brûlant une unité de masse de carburant RAS = C [ ] zv m (1.24) cc x P kg le rayon d action spécifique unitaire (RASU) : distance parcourue en brûlant une unité de masse de carburant par unité de masse de l avion RASU = C zv g cc x [m] (1.25) En supposant un RASU constant, on peut intégrer l équation (1.23) pour obtenir X(GSAR) = C zv ln P 1 (1.26) g cc x P 2 où P 1 est le poids initial de l avion et P 2 le poids après épuisement du carburant. Cette formule est connue dans la littérature sous le nom de formule de Bréguet-Leduc, bien que ses origines réelles soient obscures [2]. Elle permet d étudier qualitativement comment on peut améliorer le rayon d action, à savoir augmenter C z /C x : tâche de l aérodynamicien, diminuer c : tâche du motoriste, augmenter ln P 1 P 2, soit en augmentant la taille des réservoirs, soit en réduisant le poids à vide, ce qui est la tâche du structuriste. En toute généralité, pour intégrer (1.23), il faut faire une hypothèse sur le scénario de vol. Les trois variables C z, V et ρ étant liées par l équilibre en sustentation, seules deux peuvent être fixées librement. On a donc 3 scénarios possibles avec deux de ces grandeurs constantes, à savoir

22 16 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS 1. ρ (altitude) et C z constants, 2. V et C z constants, et 3. ρ (altitude) et V constants. et ce n est que pour le deuxième scénario que le RASU est constant (en supposant la consommation spécifique c indépendante de l altitude et de la vitesse). Comme le poids diminue au cours du vol, il faut dans ce deuxième scénario que ρ diminue proportionnellement, c est-à-dire que l avion monte. C est pourquoi on nomme ce scénario croisière ascendante. Puisque le coefficient de portance et donc la finesse sont constants, la poussée doit diminuer également proportionnellement au poids et donc à ρ. Ceci se réalise très facilement dans la stratosphère car dans la stratosphère, T ρ à position de la manette des gaz constante. Ce n est pas le cas dans la troposphère et par conséquent, pour réaliser le scénario de croisière ascendante dans la troposphère, le pilote doit constamment ajuster la position de la manette des gaz afin de faire varier T proportionnellement à ρ. On peut obtenir l expression analytique du rayon d action pour les deux autres scénarios également [3], et l on constate que, parmi les trois scénarios, c est la croisière ascendante qui fournit le plus grand rayon d action. En pratique toutefois, ce scénario n est en général pas autorisé par les autorités du contrôle aérien, mais bien plutôt le scénario ρ, V constants. Pour bénéficier de l avantage fourni par le scénario de croisière ascendante, on peut s en approcher par un vol à altitude constante par morceaux. Cette méthode est couramment utilisée pour les vols long-courriers comme les vols transcontinentaux ou transocéaniques. Calcul du rayon d action pour un avion à hélice Pour un avion à hélice, on utilise la notion d efficacité du moteur plutôt que la notion de consommation spécifique, à savoir η m = W m q c L = Puissance [W] débit de carburant [kg/s] pouvoir calorifique [J/kg] car η m dépend peu de la vitesse. On peut alors écrire g q c = dp dt = g W m η m L (1.27) Le rendement de propulsion η p étant lui défini comme le rapport entre la puissance propulsive W = TV et la puissance mécanique à l arbre du moteur W m, on en déduit et donc dp dt = g TV η p η m L = gp C x V ηl C z } {{ } η dx = ηl g C z dp C x P RASU = ηl g C z C x (1.28)

23 1.2. VOL EN PALIER HORIZONTAL STABILISÉ 17 Optimisation du rayon d action Avion à réaction Pour optimiser le rayon d action, il faut maximiser à chaque moment le rapport VC z /C x. Or, comme on l a mentionné précédemment, parmi les trois variables ρ, V et C z, deux sont indépendantes. Le problème d optimisation dépendra donc de la contrainte (relation entre les variables indépendantes) imposée. 1. Optimisation à ρ imposé ρ étant imposé, l optimum s obtient par d dc z ( ) VCz C x ρ = 0 Comme V est lié à C z par l équation de sustentation, VC z C1/2 z C x Avec la polaire parabolique, on obtient alors l optimum pour C z ) rao = Cx,0 3k C x V rao = [ ] 1/4 2P 3k (1.29) ρs C x,0 Il faut remarquer que ce n est pas parce que ρ est imposé qu il est constant au cours du vol. C est le cas dans les scénarios 1 et 3, mais pas pour la croisière ascendante. Dans ce dernier cas, ρ évolue au cours du vol, mais sans être néanmoins une variable pour l optimisation, car son évolution est entièrement régie par l évolution du poids P. 2. Optimisation à position de la manette des gaz imposée La contrainte d une position de la manette des gaz fixe impose une relation entre la vitesse V et les coefficients aérodynamiques. En effet, on a, par l équation de propulsion T(ρ, Π) = ρ V2 2 SC x Si l on suppose qu à position de la manette des gaz (Π) donnée la poussée T soit proportionnelle à ρ, ce qui est le cas dans la stratosphère comme on l a mentionné précédemment, ceci devient T 0 (Π) = ρ 0 V 2 2 SC x V C 1/2 x VC z C x C z C 3/2 x Avec la polaire parabolique, on obtient alors l optimum pour C z ) rao = Cx,0 2k V rao = [ ] 1/4 2P 2k (1.30) ρs C x,0

24 18 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS L altitude correspondant à l optimum résulte alors de l équation de sustentation ρ = 2P V 2 SC z 3. Optimisation à V imposée Dans ce cas, la solution est élémentaire, l optimum est atteint pour l incidence de finesse maximum. Dans ce cas également, ρ est déduit de l équilibre en sustentation. Parmi ces trois optimisations, c est certainement la première qui a le plus de signification pratique. Examinons l influence de diverses variables sur le rayon d action optimum donné par la formule de Breguet-Leduc (croisière ascendante) dans ce cas. X opt = C zv rao ln P 1 g cc x P 2 P Comme V rao S (aussi bien pour l optimisation à position de manette des gaz imposée qu à altitude imposée d ailleurs), il apparaît que le rayon d action est fonction croissante de la charge alaire P/S (que l on augmente en réduisant la surface alaire, pas en augmentant le poids!). L augmentation du rayon d action est donc un objectif en contradiction avec la réduction de la vitesse d atterrissage (décollage/atterrissage courts). Des valeurs typiques de la charge alaire sont de l ordre de 4800 à 5800 Nm 2 (480 à 580 kgm 2 ) pour les avions de ligne long-courriers, de 2400 Nm 2 pour les court-courriers et les chasseurs, et de 720 à 960 Nm 2 pour l aviation générale. Enfin, comme V rao [ k C x,0 ] 1/4 mais que par ailleurs (C z /C x ) rao [kc x,0 ] 1/2, on augmente le rayon d action en réduisant k (c est-à-dire en augmentant l allongement) mais surtout C x,0. Avion à hélice Dans le cas de l avion à hélice, la vitesse n intervenant pas dans l expression du RASU, le rayon d action maximum s obtient en maximisant la finesse C z /C x, quelle que soit la contrainte imposée (altitude, position de la manette des gaz ou vitesse) Endurance L endurance est le temps de vol correspondant au rayon d action GSAR. Pour un avion à réaction, on avait (1.21) dp dt = g ct Pour une incidence donnée et en considérant une consommation spécifique constante, on obtient en intégrant T = C z g cc x ln P 1 P 2 (1.31)

25 1.3. VOL STABILISÉ INCLINÉ (MONTÉE/DESCENTE) 19 et l on voit que l endurance est optimisée à l incidence de finesse maximum. Pour un avion à hélice, on avait dp dt = gp C x V dt = ηl C z dp ηl C z g VC x P L endurance est donc optimisée en maximisant ηl C z g VC x, et il faut spécifier une relation entre les variables indépendantes pour définir précisément le problème d optimisation. Pour une altitude imposée (cas le plus intéressant en pratique), V C 1/2 z de sorte qu il faut maximiser le rapport C 3/2 z /C x, soit le même problème que pour obtenir une puissance requise minimale Vol stabilisé incliné (montée/descente) Conséquences des équations d équilibre Comme pour le vol horizontal, on simplifie les équations d équilibre ( ) en négligeant T sin α T par rapport à F z et en supposant cos α t 1, qui deviennent dès lors P cos γ F z = 0 T F x P sin γ = 0 (1.32) Examinons à présent les conséquences de nos hypothèses de vol incliné stabilisé. Ces conditions s expriment mathématiquement par V = cste, γ = cste. Comme P cos γ = F z = ρ V2 2 SC z, il en résulte que le produit ρc z doit rester constant (en ignorant la variation de masse due à la consommation de carburant). Pour un vol en montée (γ > 0), on en déduit que la diminution de ρ au cours du vol doit s accompagner d une augmentation de l incidence, c est-à-dire qu il faut tirer sur le manche au fur et à mesure que l on monte. D autre part, l équation de propulsion donne T = P sin γ + C x C z F z = P sin γ + C x C z P cos γ En régime rapide, C x /C z diminue lorsque l incidence augmente. D autre part, ρ diminue. Cet effet étant en général prépondérant, le pilote devra donc augmenter les gaz. On voit que la manœuvre considérée est loin d être simple (elle nécessite d ajuster simultanément l incidence et la manette des gaz) et, pour la réaliser, le pilote doit surveiller son indicateur de vitesse ascensionnelle (variomètre). C est pourquoi on doit parfois tenir compte des variations 5 Ceci est assez logique car, la puissance étant une énergie par unité de temps, pour une énergie donnée (l énergie de combustion contenue dans le carburant), le temps est maximisé en minimisant la puissance consommée

26 20 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS de vitesse ( dv dγ dt ) et de pente ( dt ), qui font apparaître dans les équations d équilibre des termes d inertie sustentation propulsion P cos γ F z = P g T F x P sin γ = P g V 2 R = P g Vω = P g V dγ dt dv dt (1.33) Dans cette section, on supposera la manœuvre parfaite et donc les termes d inertie négligeables Cas particulier : le vol plané Dans ce cas, il n y a pas de poussée (T = 0), de sorte que les équations deviennent dont on déduit directement P cos γ F z = 0 F x P sin γ = 0 (1.34) tan γ = F x F z = C x C z (1.35) Considérons le cas d un avion à une altitude H donnée et dont les moteurs s arrêtent brutalement. Il va commencer à planer. La distance qu il va parcourir avant d atteindre le sol sera X = 0 H dh tan γ Si l on désire maximiser cette distance (rayon d action maximum en vol plané), il faudra minimiser tan γ. L équation (1.35) nous montre que ceci est obtenu à l incidence de finesse maximum, et que la pente minimum est indépendante de l altitude et du poids de l avion. Il ne sert donc à rien de jeter du lest dans l espoir d aller plus loin. Calculons à présent la vitesse de descente. w d = V sin γ Mais sin γ = cos γ tan γ = cos γc x /C z. Déduisant la vitesse de l équation de sustentation, on obtient 2P cos γ w d = cos γ C x 2P C x = cos γ 3/2 (1.36) ρsc z C z ρs C 3/2 z dans laquelle le dernier terme peut être négligé pour les faibles angles de descente. On en déduit que la vitesse de descente dépend effectivement du poids de l avion ainsi que de l altitude. Pour un poids et une altitude donnés, on minimise w d (ce qui est équivalent à maximiser le temps en l air, c est-à-dire l endurance) à l incidence minimisant C x /C 3/2 z, soit l incidence de puissance requise pour le vol horizontal minimale (voir section 1.2.3). Cette situation

27 1.3. VOL STABILISÉ INCLINÉ (MONTÉE/DESCENTE) 21 est parfois recherchée par les pilotes de planeur qui désirent rester en l air le plus longtemps possible dans l espoir d amélioration des conditions météorologiques (apparition d ascendances). Pour des angles de descente plus importants, il faut tenir compte du facteur cos γ 3/2. On peut consulter à ce sujet l ouvrage de Houghton et Carruthers [1], section On pourra consulter la même référence (section ) pour un calcul complet du temps de descente d un planeur Vol motorisé : vitesse ascensionnelle maximum Reprenons les équations d équilibre simplifiées (1.32) P cos γ F z = 0 T F x P sin γ = 0 De la deuxième de ces deux équations, on tire la pente sin γ = T F x P (1.37) et, en multipliant par la vitesse, on obtient la vitesse ascensionnelle w a = V sin γ. Point de vue de l avion à réaction Nous allons tenter de déterminer dans quelles conditions d incidence on pourra obtenir une vitesse ascensionnelle maximum avec un avion à réaction (T indépendant de V). Faisons l hypothèse de faibles angles de montée (cos γ 1). Il en résulte F z P, de sorte que sin γ = T F x P = T P C x C z On en déduit que l angle de montée maximum est obtenu à l incidence de finesse maximum. Cette condition de vol peut avoir une signification pour le décollage ou l atterrissage avorté. Multipliant par V, on obtient la vitesse ascensionnelle ( 2P cos γ T w a = ρsc z P C ) x C z Pour maximiser la vitesse ascensionnelle, il faudra donc maximiser le produit C 1/2 z (T/P C x /C z ). Avec une polaire parabolique, cela conduit à l équation 1 T 2 P C 3/2 soit, en multipliant par C 5/2 z, z C x,0 C 5/2 z 1 2 kc 1/2 z = 0 kc 2 z + T P C z 3C x,0 = 0 (1.38)

28 22 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS qui est une équation du second degré en C z assez simple à résoudre. Remarquons que T/P variant avec l altitude, la vitesse ascensionnelle maximum sera atteinte pour des incidences qui varieront avec l altitude. Exemple 1.1 Considérons un avion de polaire parabolique dont les caractéristiques sont les suivantes : ) C z P = 100 kn = f max = 12 V E,Tmin = 110 ms 1 C x max et dont la poussée varie comme suit avec l altitude H (km) T (kn) Calculons la vitesse ascensionnelle maximum à ces diverses altitudes. Réécrivons tout d abord (1.38) en faisant apparaître le rapport λ = C z /C z,tmin. Or, kc 2 z,tmin = C x,0 et kc 2 z,tmin λ2 + T P C z,tminλ 3C x,0 = 0 C z,tmin P = C x,tmin T min = 2C x,0 T min de sorte qu en simplifiant par C x,0 on obtient finalement λ T λ 3 = 0 T min où T min = P/f max = 8.33 kn. On calcule alors aisément w a,max. Comme 1+λ C x = C 2 x,tmin = 1+λ2 C 2 2 z,tmin /f max, ( 2P T w a,max = ρsc z P C ) ( x 2P T = λ 1/2 C z ρsc z,tmin P 1 ) 1 + λ 2 2f max λ = 1 ( 2P T λ 1/2 σ ρ 0 SC z,tmin P 1 ) 1 + λ 2 2f max λ = V ( E,Tmin T λ 1/2 σ P 1 ) 1 + λ 2 2f max λ Avec les données ci-dessus, on obtient H (km) λ w a,max (ms 1 ) Le plafond absolu de 12.2 km est assez académique et l on préfère définir un plafond de service (de manœuvre) qui est l altitude à laquelle w a,max prend une valeur prescrite (150 m/min = 2.5 ms 1 ). À cette altitude, l avion dispose d une certaine réserve de manœuvre qui peut s avérer nécessaire. Point de vue de l avion à hélice Lorsque l angle de montée est faible (< 13 ), les changements de portance, traînée et vitesse causées par l inclinaison de la trajectoire peuvent être négligés. Dès lors, la puissance requise pour vaincre la traînée diffère peu de celle du vol horizontal dans les mêmes conditions d altitude et de vitesse (c.-à-d. d incidence). Dans

29 1.3. VOL STABILISÉ INCLINÉ (MONTÉE/DESCENTE) 23 ces conditions, si dans une configuration de vol donnée, on dispose d un excès de puissance W, celui-ci provoquera une vitesse ascensionnelle w a telle que w a P = W, ce que l on voit immédiatement en multipliant (1.37) par V, w a = V sin γ = V T F x P = W disp W req P = W P Pour maximiser la vitesse ascensionnelle, il faut donc maximiser W. Si l on prend comme hypothèse simplificatrice que la puissance disponible est indépendante de la vitesse, alors le taux de montée maximum est obtenu dans la configuration de puissance requise minimale (voir section 1.2.3). L angle de montée maximum peut être calculé et conduit à la résolution d une équation non-linéaire [1]. On consultera également l ouvrage de Houghton et Carruthers pour les corrections exigées par les angles de montée importants Temps de montée. Méthode de l énergie totale Dans le paragraphe précédent, on a calculé la vitesse de montée avec l hypothèse d un vol stabilisé (V = cste) mais par ailleurs, on avait vu que réaliser une telle configuration de vol nécessitait une manœuvre difficile. En tenant compte des effets d accélération mais en supposant toujours γ = cste, les équations du mouvement sont P cos γ F z = 0 T F x P sin γ = P g dv dt (1.39) La deuxième équation peut se réécrire comme suit T F x = P sin γ + P g dv dt = P V w a + P dv dh g dh dt = w a par définition de w a = dh/dt. Résolvant pour w a, il vient P V (1 + V g dv dh ) w a = V T F x P(1 + V dv g dh ) (1.40) Si l on emploie cette formule dans le cas de l avion à réaction considéré précédemment, on obtient, à l altitude de 6 km, un écart de 7,6 % sur la valeur de w a, ce qui est loin d être négligeable. Pour beaucoup d avions, en particulier les avions de chasse, ce que l on requiert est qu ils atteignent le plus rapidement possible une altitude et une vitesse données. La trajectoire de montée sera constituée des phases suivantes : 1. à l altitude de départ, transition aux conditions optimales de montée, 2. trajectoire optimum de montée,

30 24 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS 3. à l altitude finale, transition à la vitesse prescrite. Pour analyser ce problème, il est commode d introduire le concept de hauteur totale. Reprenons l équation de propulsion (1.39). On a T F x = P [ dh V dt + V ] dv = P dh e où h e = h + V2 (1.41) g dt V dt 2g et l on appelle h e la hauteur totale. Elle est intimement liée à l énergie mécanique totale de l avion E = mg h + m V2 2 = mg h e = Ph e Pour obtenir le temps de montée minimum, il faudra, à chaque altitude, se trouver au point où dh e /dt est maximum. Ceci peut se représenter graphiquement de la manière suivante. En chaque point de l enveloppe de vol, on calcule dh e dt = V(T(ρ, 1) F x) P où T(ρ, 1) représente la poussée maximum (position de la manette des gaz à fond, Π = 1) à l altitude considérée. D autre part, F x se calcule aisément à partir de la polaire et de l équilibre en sustentation. Comme on a négligé les variations de pente, et en supposant par ailleurs l angle de montée faible, on a F z = P = ρ V2 2 SC z de sorte qu on peut calculer C z en chaque point de l enveloppe de vol. On déduit C x de l expression de la polaire, ce qui permet finalement de calculer F x. On porte alors en graphique dans le plan h, V les courbes iso-dh e /dt, que l on appelle parfois courbes iso-réserve de manœuvre, dh e /dt étant appelée la réserve de manœuvre. On porte sur le même graphique les courbes iso-h e, qui sont des paraboles. On en donne des exemples à la figure suivante, pour le cas d un appareil soussonique hypothétique et d un chasseur supersonique ancien (Lockheed F-104G), avec la trajectoire de montée optimale, qui est le lieu des points où les courbes iso-h e sont tangentes aux courbes iso-réserve de manœuvre. Dans le cas du chasseur supersonique, on constate que la trajectoire de montée optimale est assez complexe, se subdivisant en une montée soussonique suivie d un piqué à hauteur totale constante et enfin d une montée supersonique. Ceci est dû aux caractéristiques aérodynamiques particulières du régime transsonique, notamment l augmentation sensible du coefficient de traînée dans ce régime (mur du son). La courbe dh e /dt = 0 n est rien d autre que l enveloppe de vol définie précédemment. Comme on l avait souligné pour le plafond absolu, on ne dispose en ces points d aucune réserve de manœuvre. En pratique, on ne peut atteindre tous les points de cette enveloppe car d autres limitations s y ajoutent, telles que décrochage (déjà mentionné), tremblement (buffet) et flottement (flutter),

31 1.4. MANŒUVRES ENVELOPPE DE MANŒUVRE 25 (a) avion soussonique (a) avion supersonique (Lockheed F-104G) FIG. 1.9 Diagramme h e -dh e /dt pour la détermination de la trajectoire de montée optimale nombre de Mach maximum, limitations structurales, limitations dues au moteur (instabilité de combustion). 1.4 Manœuvres Enveloppe de manœuvre Décollage et atterrissage Bien qu il ne s agisse pas de conditions de vol à proprement parler, les phases de décollage et d atterrissage revêtent néanmoins une grande importance pour des raisons opérationnelles, et sont parfois des facteurs critiques dans la conception d un avion. Les paramètres déterminants sont évidemment la distance de décollage/atterrissage et, dans une moindre mesure, le temps correspondant. Décollage Pour les avions à train tricycle (configuration la plus courante de nos jours), la manœuvre de décollage se décompose en trois parties, à savoir l accélération au sol, la manœuvre de rotation par laquelle le pilote soulève le nez de l avion, lui donnant de la sorte une incidence positive, et enfin la montée initiale (voir figure). Selon les règles de certification en vigueur, la manœuvre prend fin lorsque l avion a atteint une hauteur de 35 pieds (10,7 m) et la distance totale de décollage est la distance horizontale parcourue depuis la position initiale de l avion. Analysons tout d abord la phase d accélération au sol au cours de laquelle l avion est accéléré jusqu à une vitesse supérieure à la vitesse minimum en

32 26 CHAPITRE 1. PERFORMANCES DES AVIONS FIG Schéma de la manœuvre de décollage selon la norme FAR Part 25 (aviation de ligne) vol horizontal stabilisé. L équation du mouvement est simplement P dv g dt = T F x µ(p F z ) où µ est le facteur de frottement sur la piste, de l ordre de 0.02 pour une piste asphaltée et 0.10 pour une pelouse. En première approximation, négligeons la traînée et la résistance de roulement on reviendra sur cette approximation par la suite et supposons la poussée indépendante de la vitesse (approximation acceptable pour les avions à réaction). Dans ces conditions, l équation du mouvement (uniformément accéléré) s intègre aisément et donne s déc = P T V 2 déc 2g (1.42) La vitesse de décollage V déc est généralement fixée à 1,2 fois la vitesse de décrochage V s, de sorte qu avec on obtient V s = 2P ρsc z,max s déc = P (P/S) = P 1, 44(P/S) = P 1, 44(P/S) T ρ 0 σgc z,déc T ρ 0 σgc z,max T 0 ρ 0 σ 2 (1.43) gc z,max si l on suppose que la poussée T est proportionnelle à la masse volumique ρ. Bien que résultant d une analyse simplifiée à l extrême, cette expression est néanmoins utile en ce sens qu elle permet d identifier l influence des divers paramètres affectant la distance au sol. Ainsi, on constate que la distance au sol est extrêmement sensible au poids, variant quadratiquement avec celui-ci, la distance au sol dépend fortement des conditions atmosphériques locales, étant inversément proportionnelle au carré de la masse volumique, la distance au sol diminue en augmentant la surface alaire, le C z,max et la poussée. Comme on l a mentionné précédemment, l augmentation de la surface alaire influence cependant négativement la distance fran-

33 1.4. MANŒUVRES ENVELOPPE DE MANŒUVRE 27 chissable. C est également le cas de l augmentation de la poussée car elle ne peut s obtenir que par l installation d un moteur plus lourd. Évaluons à présent l influence de la résistance à l avancement. Celle-ci comprend d une part la traînée aérodynamique et d autre part la résistance de roulement. La traînée aérodynamique s exprime par la relation habituelle F x = ρ V2 2 SC x mais deux effets soivent être pris en compte pour l évaluation du C x : 1. l effet du déploiement des volets, qui se manifeste par une augmentation du coefficient de traînée parasite par rapport à la configuration normale (volets non déployés), et 2. l effet de sol, qui se manifeste par une diminution de la traînée induite. Ce dernier effet, qui est la cause de la tendance des avions à «flotter» au moment de l atterrissage, peut s évaluer approximativement par la méthode des images [4], qui fournit l expression suivante du coefficient de réduction de la traînée induite : φ = (16h/πb)2 1 + (16h/πb) 2 (1.44) où h est la hauteur de l aile au-dessus du sol et b son envergure. Pour h/b = 0.1, on trouve ainsi φ = 0.2, soit une réduction de 80% de la traînée induite. La résistance de roulement, elle, est proportionnelle à la différence entre le poids et la portance, qui s exprime selon l expression habituelle, mais pour la configuration volets déployés et à l incidence au sol. On constate que tant la traînée aérodynamique que la résistance au roulement sont des fonctions linéaires de la pression dynamique, tout comme (en première approximation) la distance parcourue depuis le repos. De plus, elles varient en sens inverse, de sorte que leur somme est approximativement constante au cours de la phase d accélération. Une méthode simple couramment utilisée pour tenir compte de ces résistances consiste dès lors à considérer une résistance moyenne, évaluée à une vitesse égale à 70% de la vitesse de décollage [2]. Cette méthode fournit des valeurs de la distance au sol correctes à quelques pourcents près. La résistance à l avancement (traînée aérodynamique plus résistance au roulement) représente typiquement de 10 à 20% de la poussée disponible. La manœuvre de rotation est entamée au sol (à une vitesse V R inférieure à la vitesse de décollage V déc ). Le pilote tire sur le manche pour défléchir la gouverne de profondeur vers le haut. Ceci crée un couple aérodynamique cabreur qui met l avion en rotation à une vitesse de rotation de l ordre de 3 à 4 degrés par seconde, jusqu à ce qu il atteigne l incidence de décollage, alors que l accélération se poursuit pour amener l avion à la vitesse V déc. Au moment où il atteint ces vitesse et incidence, l avion quitte le sol. La trajectoire de l avion après le décollage se calcule à partir des équations du vol incliné accéléré (1.33) auxquelles s ajoute l équation de rotation de