SUITES NUMERIQUES. Une suite est un ensemble infini où chaque élément se voit attribuer un numéro

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1 SUITES NUMERIQUES I. Présentation des suites numériques Une suite est un ensemble infini où chaque élément se voit attribuer un numéro Définition d'une suite. Une suite (u n ) est une fonction définie sur l'ensemble qui à tout entier naturel n associe un et un seul réel noté u n. Autrement écrit : (u n ) : n u n = u(n) Note : l'image de l'entier n est notée u n au lieu de u(n). Ainsi : (u n ) désigne la suite. On aurait pu l'appeler u comme une fonction peut s'appeler f. Mais l'usage veut que ce soit (u n ). A retenir : On dit aussi que u n est le terme de rang n de la suite. Avec quoi peut-on définir une suite? Il y a deux manières de définir une suite : Par une formule explicite comme une fonction. n Par exemple, on peut parler de la suite (u n ) définie pour tout entier n par : U n = n +1 Pour calculer u 34, il suffit juste de remplacer n par 34. C'est comme pour les fonctions. x Cette suite est en fait un raccourci de la fonction f(x) = (x+1). En effet, pour tout entier n, u n = f(x). Exercice n 01 On considère la suite (u n ) n 3 définie par u n = 1 n 2 4. Calculer u 3 ; u 4 ; u 5 ; u 100. Exprimer u n+1 u n en fonction de n, et montrer que u n+1 u n < 0 pour tout n 3-1/9 -

2 Par une formule de récurrence. C'est-à-dire qu'un terme est défini par rapport au précédent. Par exemple, on peut considérer la suite (u n ) définie par : Pour calculer u 34, il faut auparavant calculer u 1, u 2,..., u 32 et u 33. C'est-à-dire tous les termes qui le précèdent... Un vrai travail de calculatrice ou d'ordinateur! C'est pour cela que le plus souvent, on essaie de trouver une formule explicite. Sauf que parfois il n'y en a pas... Il existe certainement d'autres façons de définir des suites mais elles ne sont quasiment pas employées au lycée. C'est pour cela que nous nous bornerons à ces deux manières. Exercice n 02 On considère la suite (w n ) n IN définie par w 0 = 2 et w n+1 = 1 2 w n 3. Calculer w 1 ; w 2 ; w 3 et w 4. II. Suites arithmétiques et géométriques a) Suites arithmétiques Définition d'une suite arithmétique. Dire que la suite (u n ) est arithmétique de raison r signifie que pour tout entier naturel n, u n+1 = u n + r Ainsi, si est une suite est arithmétique alors : Par exemple, la suite 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; est la suite arithmétique de 1er terme 2 et de raison 3 Propriété : Si (u n ) est une suite arithmétique de raison r alors pour tout entier n, u n = u 0 + n r De même, si n et p sont deux entiers naturels quelconques alors : u n = u p + (n p) r Ces formules permettent de calculer n'importe quel terme d'une suite arithmétique ou bien encore sa raison. - 2/9 -

3 Exercice n 03 (u n ) n IN désigne une suite arithmétique de raison r. Sachant que r = 2 et u 4 = 30, calculer u 0 et u 8. Sachant que u 4 = 35 et u 2 = 15, calculer r et u 0. Sachant que u 1 = 2π et u 3 = 4π 2, calculer u 2. Le truc en plus : pour démontrer qu'une suite est arithmétique, il suffit de prouver que la différence entre deux termes consécutifs est constante. C'est-à-dire qu'il suffit de montrer que pour tout entier n, u n+1 - u n = constante = r Si r est négatif alors (u n ) est décroissante. Si r est nul alors (u n ) est constante. Si r est positif alors (u n ) est croissante. Exercice n 04 Les suites définies sur IN par u n = 3n + 5 ; w n = 3 x 2 n sont-elles arithmétiques? si oui, quel est leur sens de variations? Somme des n premiers entiers. Si le premier terme est u 0, la somme des n premiers termes est k = n-1 S = u 0 + u 1 + u 2 + Λ + u n-1 = uk k = 0 k = n Si le premier terme est u 1, la somme des n premiers termes est S = u 1 + u 2 + u 3 + Λ + u n = uk k = 1 Attention la somme S = u 0 + u 1 + u 2 + Λ + u n est une somme de (n + 1) termes. Théorème : Si n est un entier naturel non nul alors : ou plus généralement : S = nombre de termes 1er terme + dernier terme 2 Par exemple, la somme des 100 premiers entiers est égale à : = = 5050 Exercice n 05 (u n ) désigne une suite arithmétique de raison r, S n = u 0 + u 1 + Λ + u n. Sachant que r = 5 et u 0 = 1, calculer u 4 et S 10. Sachant que u 3 = 5 et S 4 = 15, calculer r et u /9 -

4 b) Suites géométriques Définition d'une suite géométrique. Dire que la suite (u n ) est géométrique de raison q signifie que pour tout entier naturel n, u n+1 = u n q Autrement dit, nous avons la chose suivante : Par exemple, la suite 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; est la suite géométrique de 1er terme 3 et de raison 2 Propriété : Si (u n ) est une suite géométrique de raison q alors pour tout entier n, u n = u 0 q n De même, si n et p sont deux entiers naturels quelconques alors u n = u p q n-p Ces formules permettent de calculer n'importe quel terme d'une suite géométrique ou bien encore sa raison. Exemple : (u n ) est une suite géométrique de raison q = -3 et telle que u 7 = 24. Déterminer u 13. Nous pourrions passer par le premier terme de la suite u 0. Mais ce n'est pas nécessaire. On peut écrire que : u 13 = u 7 q 13-7 = 24 (-3) 6 = = Déterminer la raison q et le premier terme v 0 de la suite géométrique (v n ) sachant que v 4 = 7 et v 7 = 56. Commençons par la raison q. On peut écrire que : v 7 = v 4 q 7-4 d'où 56 = 7 q 3 d'où q 3 = 8 d'où q = 2 Car un seul nombre a pour cube 8 : il s'agit de 2. Pour ce qui est du premier terme v 0, on peut écrire que : v 4 = v 0 q 4 d'où 7 = v d'où v 0 = Exercice n 06 (u n ) n IN désigne une suite géométrique de raison q. Sachant que u 2 = 5 et u 3 = 7, calculer u 4. Trouver toutes les suites géométriques telles que u 0 = 1 et u 2 = 1. Le truc en plus : pour démontrer qu'une suite est géométrique, il suffit de prouver que le quotient de deux termes consécutifs est constant. C'est-à-dire qu'il suffit de montrer que pour tout entier n, = constante - 4/9 -

5 Exercice n 07 Les suites suivantes sont-elles géométrisues? Si oui, quel est leur sens de variation? U n = 2 3 n V n = 1 n Somme des n+1 premières puissances d'un nombre réel. Théorème : Si n est un entier naturel non nul et si q est un réel différent de 1 alors : S n = U 0 + U U n = U 0 1 qn+1 1 q Et dans le cas général : S n = 1 er de termes 1 qnombre terme 1 q Par exemple, la somme des 11 premières puissances de 2 est égale à : exercice n 08 (u n ) désigne une suite géométrique de raison q, S n = u 0 + u 1 + Λ + u n. Sachant que u 0 = 3 et q = 5, calculer u 3 et S 3. Sachant que u 0 = 1 et q = 2, calculer S 63 Exercice n 09 On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 8 et u n+1 = 2u n 3 pour tout n IN. 1. Soit (v n ) la suite définie pour tout n IN par v n = u n a ; a étant un réel fixé. Exprimer v n+1 en fonction de v n et de a. Déterminer une valeur de a pour laquelle la suite (v n ) est géométrique. 2. Soit (v n ) la suite définie pour tout n IN par v n = u n 3. Exprimer v n en fonction de n. En déduire une expression de u n en fonction de n. 3. Soit N un entier. Exprimer en fonction de N la somme S N = u 0 + u u N-1 Vérifier pour N = 5 en calculant u 1, u 2, u 3 et u 4. III. Propriétés des suites Suites bornées. Une suite est dite bornée si elle ne dépasse pas une certaine borne! Définition d'une suite minorée ou majorée. Dire que la suite (u n ) est minorée par le réel m signifie que pour tout entier n, u n m. Dire que la suite (u n ) est majorée par le réel M signifie que pour tout entier n, u n M. - 5/9 -

6 Monotonie. Une suite est dite monotone lorsqu'elle a toujours le même sens de variation, c'est-à-dire lorsqu'elle est exclusivement croissante ou bien décroissante ou bien constante. La définition de la croissance ou de la décroissance est exactement la même que celle des fonctions. Théorème : caractériser la monotonie d'une suite. Dire qu'une suite (u n ) est croissante équivaut à dire que pour tout entier n, u n u n+1 L'ordre est conservé Dire qu'une suite (u n ) est décroissante équivaut à dire que pour tout entier n, u n u n+1 L'ordre est inversé Exemple On considère la suite (u n ) définie pour tout entier n par : u n = n n nous allons regarder comment sont deux termes consécutifs quelconques u n et u n+1 Pour cela, nous allons nous intéresser au signe de leur différence u n+1 - u n. Pour tout entier n, on peut écrire : Or n est un entier naturel donc il est positif comme 2n + 1. Pour tout entier naturel, on a u n+1 u n 0 c'est-à-dire u n+1 u n. Donc la suite (u n ) est croissante. Conclusion : la suite (u n ) est monotone : elle ne fait que croître. Pour la décroissance, on procède de même! Exercice n 10 On considère la suite définie par u n = n - 1 n + 2 Démontrer que la suite (u n ) est croissante. pour tout n IN. Propriété Soit n 0 IN. Si f est une fonction croissante sur [ n 0 ; + [, la suite (u n ) n n0 suite croissante. définie par u n = f(n) est une Remarque On a une propriété identique avec une fonction décroissante. La condition est suffisante, mais pas nécessaire, c'est-à-dire que la suite peut être croissante alors que la fonction ne l'est pas. (voir représentations graphiques ci-dessous) f(x) = cos(2π x) + x La fonction n'est pas croissante u n = cos(2π n) + n La suite est croissante - 6/9 -

7 Exemple On peut démontrer que la suite (un ) définie par u n = n 1 est croissante en justifiant que la n + 2 fonction x x 1 est une fonction croissante sur [ 0 ; + [. x + 2 Exercice n 10 Étudier le sens de variation des suites : n n n³1 n n³1 2 n 1 - n n 3 n IN IV. Suites adjacentes Définition : On dit que deux suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes lorsque : (u n ) est une suite croissante ; (v n ) est une suite décroissante ; lim V n U n = 0 n + ( ) Propriété : Si (u n ) et (v n ) sont des suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite. Exercice n 11 On considère les suites (u n ) et (v n ) définies par : U n = 1 10 n 1. Donner les valeurs de u 0, v 0, u 1, v 1, u 2, v 2, u 3, v 3, u 4,v Démontrer que les suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes. 3. Quelle est leur limite? et V n = n Exercice n 12 On considère les suites (u n ) et (v n ) définies par : u0 = 0 3un + 1 un + 1 =, pour tout entier naturel n 4 et v0 = 2 3vn + 1,pour tout entier naturel vn + 1 = 4 n. 1. Dans un repère orthonormé (O, i, j ) tracer les droites ( ) et ( ) d équations respectives y = 3x + 1 et y = x 4 2. En utilisant ces deux droites, placer sur l axe des abscisses les réels u 1, u 2, u 3 puis v 1, v 2 et v Calculer u 1, u 2, u 3 puis v 1, v 2 et v Démontrer que les suites (u n ) et (v n ) sont convergentes et donner leur limite. - 7/9 -

8 V. Le raisonnement par récurrence De quoi s'agit-il? Avant toute chose, nous allons dire ce qu'est un raisonnement par récurrence. Le raisonnement par récurrence s'apparente à la théorie des dominos : On considère une suite de dominos. Si un domino tombe alors le suivant tombera. Comme le premier tombe alors le second tombera, puis le troisième,...etc.. Conclusion : si le premier domino tombe alors tous tomberont. Tout repose en fait sur le principe de propagation "si l'un tombe alors le suivant aussi". C'est une sorte de réaction en chaîne. Un seul domino qui tombe et tous seront par terre! Le raisonnement par récurrence comporte deux phases : prouver que le premier domino tombe. établir le principe : si le nième domino tombe alors le suivant (le numéro n+1) tombera.. Si on démontre ces deux choses alors la réaction se déclenche. Donc la propriété est démontrée pour tous les dominos! Un premier exemple : démontrer une formule. L'utilisation classique du raisonnement par récurrence est la démonstration d'une propriété d'une suite définie par récurrence. On considère la suite (u n ) définie par : u 0 = 7 et pour tout entier n, u n+1 = 2 u n 3 Démontrons par récurrence que pour tout entier n, P(n) : u n = 2 n Nous avons deux choses à démontrer. La formule est vraie au rang 0 (Le premier domino tombe) u 0 = = = 7 Donc pour n = 0, nous avons que : u n = 2 n La formule est donc vraie au rang 0. Le premier domino tombe. P(0) est vraie La formule se propage (Un domino qui tombe entraîne le suivant) Supposons que la formule soit vraie à un rang n, c'est-à-dire que : u n = 2 n Nous allons prouver qu'alors elle est vraie au rang n+1. A ce stade, la seule chose que nous sachions sur u n+1 est la relation qui le lie à u n. On peut écrire que : - 8/9 -

9 Donc la formule est alors aussi vraie au rang n+1. Donc elle se propage de rang en rang : un domino qui tombe, entraînera la chute du suivant... La propriété est donc vraie au rang n : P(n) P(n + 1) Le principe de propagation que nous avons établi, nous permet alors de dire que la propriété est alors vraie au rang 1, donc au rang 2, donc au rang 3,... Tous les dominos tombent... Conclusion : Pour tout entier naturel n, u n = 2 n Second exemple : la somme des n premiers entiers : par récurrence Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul n, P(n) : La formule est vraie au rang 1/Le premier domino tombe. S 1 = 1 Ainsi pour n = 1, nous avons que : La formule est donc vraie au rang 1. P(1) vraie. La formule se propage Supposons que la formule soit vraie à un rang n, c'est-à-dire que : Nous allons prouver qu'alors elle est vraie au rang n+1. A ce stade, la seule chose que nous sachions sur S n+1 est qu'il est la somme des n+1 premiers entiers. Autrement dit : Donc la formule est alors vraie au rang n+1. Donc elle se propage de rang en rang P(n) P(n + 1) Conclusion : la somme des n premiers entiers est égale à. - 9/9 -