EM2 : Étude des conducteurs dans l ARQS

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1 EM2 : Étude des conducteurs dans l ARQS 1 L Approximation des régimes quasi-stationnaires 1.1 Condition et conséquences de l ARQS ¼ ½ È Ø Ö Condition d application de l ARQS Ö Ø ¼ È Øµ ½ Ö soitö Ì Ce qui revient à vérifierø Ö Ø, soitö Ø ÈÅ. ÈÅ È Øµet Les effets d une distribution µde courants de charges È Øµavec Ⱦ µsont observés enå. Tout régime sinusoïdal de longueur d onde pourra être étudié dans l Approximation des Régimes Quasi Stationnaires (ARQS) si Voir la définition des potentiels retardés au chapitre précédent. On cherche les conditions pour lesquelles on pourra négliger le temps de propagation de l information. Cela correspond alors à poserî Šص Ø En considérant un phénomène sinusoïdal, le retard doit donc être négligeable devant la périodeìdu système, :ƼÀÞ Application Ordres de grandeur de l ARQS :Æ ½ ÀÞ ¼¼¼ Ñ ¼Ñ ÖÑ Ü ½¼¼ Ñ ÖÑ Ü ½Ñ Fréquence Longueur d onde Dimensions maximum des circuits EDF Ordinateur Ondes et ARQS Dans l ARQS, les états électromagnétiques³ Šصsont tous identiques à un même instantøen tout pointå. On néglige donc les pnénomènes ondulatoires dans l ARQS. 2 Circuits électriques dans l ARQS 2.1 Loi d Ohm Dans l ARQS, on supposera que la mobilité des proteurs est indépendante de l intensité du champ électrique.

2 ÚÔ Ô On peut alors considéré un coefficient de mobilité tel que pour un porteur : En reprenant la définition du vecteur densité volumique de courant, on aboutit à la relation : Pour un conducteur dont la densité volumique de porteurs de charge peut être considérée comme uniforme ( un conducteur métallique par exemple), cela revient à définir un coefficient de conductivité électrique etl que avec la conductivité du milieu Loi d Ohm locale Dans le référentiel du conducteur pouvant être considéré comme galiléen, le vecteur densité de courant et le champ électrique peuvent êtres reliés par la loi d Ohm 1 ོ Ë Ñ La conductivité d un solide peut nous permettre de le classer (½¼ en trois catégories : Métaux / semi-conducteurs / isolants Métal : Sa conductivité est supérieure ½et peut aller jusqu ོ Ë Ñ ½pour des métaux nobles comme l argent. Le cuivre est un bon conducteur. Semi-conducteurs : Ils ont des conductivités moindres ½¼ ), mais leur conductivité dépend fortement d influences variées, ce qui fait leur intérêt en électronique. ÈÚ ¾ queèú Ú Ò Ñ 2.2 Effet Joule Puissance volumique cédée aux porteurs de charge On a montrer soit ici Ú Ú Ò Ñ Ú Ú Ò Ñ¾ Ò Õµ¾ ¾ ¾ Ú qe Dans le cadre du modèle de Drüde, on a la force volumique de frottement qui donne comme expression de la puissance volumique Effet Joule L énergie fournie par le champ aux porteurs de charges est entièrement dissipée par echauffement du milieu conducteur. 1. Ohm : Physicien Allemand du ÁÁÁ Ñ siècle

3 2.3 Équations de Maxwell dans l ARQS :½¼ ½¼ Ö Ø ½ En étudiant l équation de Maxwell-Ampère, on peut définir En considérant un champ de type sinusoïdal de pulsation, cherchons la condition pour que : ¼, soit ¼AN ¼ Ø On s apreçoit que la condition de l A.R.Q.S est plus restrictive que celle-ci. En régime quasi-stationnaire, on néglige les courants de déplacement devant devant les courants électriques Ú Ú Å Øµ ¼ Šص Šص ¼ ÖÓØ ÖÓØ Å Øµ¼ Šص Šص Ø Å Øµ On peut alors écrire les équations de Maxwell dans l ARQS Maxwell-Gauss Maxwell-Faraday :Ú ¼ Maxwell-Flux Maxwell-Ampère 2.4 Conservation de la charge de Maxwell-Gauss Temps de relaxation On part de L équation estú ¼, ce qui permet d écrire La loi d Ohm ¼ locale : Ø ¼ Or l équation locale de conservation de la charge Ø ¼ce qui donne En posant ¼ ص¼Ø¼ Ø on en déduit la loi d évolution de la charge dans le conducteur Or pour les conducteurs, ½¼ ce qui donne½¼ Ì à½ñsoitì ½¼ ½. Neutralité du milieu Les conditions d application de l ARQS correspondent. On peut donc en déduire que dans l ARQS La densité locale ÎÚ de charges d un conducteur Ë Ú ¼ est globalement nulle dans l ARQS. L équation locale de la conservation de la charge s écrit alors Loi des Noeuds La loi des noeuds est une conséquences de cette loi de conservation de la charge dans l ARQS. En effet, on a ¼donc Ë ¼. Les courants de conduction Les courants de déplacement ¼

4 :Ú ¼ 2.5 Equation de la diffusion ÖÓØ ¼ Ø L objectif est ici de déterminer la champ du vecteur densité de courants à l intérieur d un conducteur de conductivité. Rassemblons les équations propres au conducteur dans l ARQS Loi de conservation de la charge Equation de Maxwell-Faraday : Ö ÖÓØ Ú ßÞ ÖÓØ Ð ÖÓØ Ø ÖÓØ ßÞ Ð ¼ Equation de maxwell-ampère : Ø Ø On en déduit que ¼ Ø Dans un conducteur de conductivité, les vecteurs et vérifient l équation de la diffusion du type Dans un conducteur de conductivité, les courants sont localisés sur une épaisseuræà la surface du conducteur, appelée épaisseur de peau. Ædiminue si on augmente et. Un conducteur sera dit idéal si cette épaisseur est négligeable devant les caractéristiques de la section du conducteur. ¼ Ó Øµ ܵ Ü ¼ ص ici¾ ܵ ܾ ¼ Application On considère un demi-plan de l espace (Ü ¼) conducteur, de conductivité. On définit le vecteur densité de courant ÙÞen tout pointè Ü Ý Þµdu conducteur. On donne la condition aux limites ÙÞ. ¾ ܵ ܾ ¼¼ ܵ Ø Exprimer en fonction de et. L équation de la diffusion s écrit On associe à ܵla représentation complexe Ü Øµ¼ ܵ Ø ³ ܵµ¼ ܵ ص. On obtient alors poseæ ¾ Ö Ô ¼ ½ Ô¾ Ô ¼ On associe à cette E.D. l équation caractéristiqueö¾ ¼ ¾ ¼qui a pour solutions ܵ½ Æ Ü ½ Þ» A ¼ Æ Ü On de peau. On en déduit donc ¼l épaisseur Þ ¼ B¼ Le module de ܵdevant rester borné Ü ¼, cela impose.

5 Ü Øµ¼ Æ Ó Ø Ü :Æ ¾ Pour un demi-espaceü ¼de conductivité, on obtient ( ½¼ Ë Ñ ¼ ÞÆ avec auraæ ÑÑpour une fréquenceæ¼àþ A titre d exemple, pour le cuivre ½), on Ñpour une fréquenceæ ½ÅÀÞ ¼ÑÑpour une fréquenceæ ÀÞ

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