TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT
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- Raphaël Normandin
- il y a 7 ans
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1 TRINGLE RETNGLE ET ERLE IRONSRIT I) onjecture : Tracer les médiatrices des segments [] et [] des trois triangles rectangles suivant. Tracer le cercle circonscrit de chacun des triangles rectangles suivant. Questions Que constatez-vous dans chacun des cas. Il semble que le centre du cercle se situe au milieu de [] II) Démonstration : est un triangle rectangle en et O est le milieu de l hypoténuse []. onstruire le point, symétrique de par rapport à O. Données : On sait que est rectangle en. O est le milieu de []. est le symétrique de par rapport à O. Propriétés 1: et sont symétriques par rapport à O, donc O est le milieu de [ ]. onclusion1 : omme les segments [] et [ ] ont même milieu, lors est un parallélogramme. Propriété2 : Si un parallélogramme a un angle droit, alors c est un rectangle. onclusion2 : [ ] = [] [O] = [O ] = [O] =[O] On peut donc conclure que dans un triangle rectangle en, le milieu de son hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.
2 TRINGLE RETNGLE ET ERLE IRONSRIT III) Propriétés : 1) Propriété 1 : Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse. Propriété 1 Le triangle est rectangle en 2) onséquences : Le cercle circonscrit au triangle a pour diamètre l hypoténuse []. Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a : Pour centre, le milieu de l hypoténuse, Pour rayon, la moitié de la longueur de l hypoténuse. 3) Propriéte 2 : Si un triangle est rectangle, alors la médiane relative à son hypoténuse a pour longueur la moitié de celle de l hypoténuse. Médiane relative à l hypoténuse Propriété 2 Le triangle est rectangle en 4) Exercices Exercices 8 ; 9 ; 14 page 243 La médiane [O] relative à l hypoténuse [] a pour longueur la moitié de celle de l hypoténuse 1 O = 2
3 TRINGLE INSRIT ET TRINGLE RETNGLE Propriétés réciproques I) onjecture l aide du logiciel GeoGebra, tracer un cercle de centre O et de diamètre []. Placer un point sur ce cercle et tracer les segments [], et []. Déplacer le point sur le cercle. Quelle semble être la nature du triangle dans chaque cas? Le triangle semble rectangle en. II) Démonstration : Soit un cercle de centre O et de diamètre [] est un point variable placé sur le cercle distint de et de. est le symétrique de par rapport à O. Données : On sait que le cercle de centre O a comme diamètre []. est un point du cercle est le symétrique de par rapport à O. Propriétés 1: Si un segment est un diamètre d un cercle, alors le centre du cercle est le milieu de ce segment. onclusion1 : omme O milieu de [], alors O = O Propriété2 : omme les points et appartiennent au même cercle, alors ils sont équidistants du centre de ce cercle. onclusion2 : O = O Propriété3 : et sont symétriques par rapport au point O, donc O est le milieu de [ ]. onclusion3 : omme O milieu de[ ], alors O = O Donc O = O = O = O et donc = onclusion : omme O est le milieu de [ ] et de [], alors le quadrilatère est un parallèlogramme Or, on sait que =, donc est un rectangle. Donc le triangle est rectangle en.
4 III) Propriétés : TRINGLE INSRIT ET TRINGLE RETNGLE Propriétés réciproques Propriété 3 : Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est ce côté. Propriété 3 Le triangle est inscrit dans le cercle de diamètre [] Le triangle est rectangle en Propriéte 4 : Si la médiane relative à un côté d un triangle a pour longueur la moitié de celle de ce côté, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est ce côté. Propriété 4 Dans le triangle, la médiane [O] a pour longueur la moitié de 1 celle du côté [] O =. 2 Le triangle est rectangle en IV) Exercices Exercices 11 ; 12; 15, 16 page 243
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8 Propriété 1 Le triangle est rectangle en Le cercle circonscrit au triangle a pour diamètre l hypoténuse [].
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Construction de la bissectrice d un angle
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