CHAPITRE XIII LES LOGARITHMES
|
|
- Adam Lachapelle
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 CHAPITRE XIII LES LOGARITHMES Nous sommes ici à un tournant important, annoncé à plusieurs reprises déjà dans les pages qui précèdent : à notre avis, les Logarithmes font déjà partie des Mathématiques supérieures et, pourtant, ils se rattachent étroitement à ce que nous avons vu jusqu ici. Rien de magique ne s attache à ces Logarithmes qui ne sont, au départ, qu une méthode de calcul capable souvent de simplifier les opérations, mais indispensable dans bien d autres. Ce chapitre sera un peu plus long, car nous voulons y faire, au moins, un tour d horizon complet Définition des Logarithmes. Nous savons ( 1) que le nombre 1000 peut s écrire 1000 = 10 3 et nous dirons que, dans cette exemple, le chiffre 3, exposant de 10, est le LOGARITHME de De même, 2 sera le logarithme de 100, parce que 100 = 10 2 et 1 sera le logarithme de 10, car 10 = On écrira ainsi 4 = log = log et ainsi de suite, en utilisant ici la lettre l minuscule pour l abréviation «log». Voilà donc la définition, et toute la définition, des logarithmes : nous ne voyons là-dedans rien de compliqué. De façon plus générale, en partant d une expression telle, que y = 10 m, on appellera m le logarithme de y ; inversement dans cette même expression, y sera l antilogarithme de m ; par exemple 1000 (y) sera l antilogarithme de 3 (m), et l antilogarithme de 6. Pour des raisons qui nous échappent, on n emploie pas toujours ce terme d antilogarithme, pourtant fort pratique Systèmes de Logarithmes. Les trois expressions 1000 = = = 10 1 ont en commun le nombre 10, doté de divers exposants. Ce 10 sera la BASE d un système de logarithmes, les logarithmes décimaux, ou encore vulgaires. Cette définition des logarithmes, qui nous éloigne beaucoup de l enseignement «scolaire» traditionnel, nous permettrait de mettre sur pied, nous-même, n importe quel autre système de logarithmes. Ainsi, dans un système de logarithmes, dont la base serait 2, nous aurions encore 8 = = 2 2 et nous dirions encore 2 = log 4 3 = log 8 ou encore, dans un système de logarithmes dont la base serait 3, on aurait : 9 = 3 2 et 2 = log 9 27 = 3 3 et 3 = log 27
2 On devrait d ailleurs écrire, pour plus de précision, ici dans ces nouveaux systèmes, 3 = log 2 de 8 3 = log 3 de 27 Les indices 2 et 3, qui suivent l abréviation log, indiquent que la base utilisée est respectivement 2 ou 3 ; l absence d indice correspond aux logarithmes décimaux. Ou encore, si la base est ce fameux nombre «e» ( 103) on obtiendrait les logarithmes népériens et nous aurions encore e = 2,718 et 1 = Log 2,718 e 2 = 7,387 et 2 = Log 7,387 e 3 = 20,07 et 3 = Log 20,07 Pour désigner ces logarithmes népériens, nous proposons un «L» majuscule, soit «Log», par abréviation. Nous pourrons préciser maintenant la relation du 120, par laquelle nous définissons le logarithmes : y = a m et m = log a y en d autres termes, m est le logarithme de y dans un système, dont la base serait a Relations communes à tous les systèmes. Le tableau XIII-A TABLEAU XIII-A compare quelques antilogarithme valeurs, que logarithme décimal base de 2 base de 3 base de e présentent ces = = = 1 e 0 = 1 logarithmes dans = = = 3 e 1 = 2,718 divers systèmes, = = = 9 e 2 = 7,387 mais il révèle, = = = 27 e 3 = 20,07 surtout, deux = = = 81 e 4 = 54,5 propriétés = = = 243 e 5 = 148,13 élémentaires, Les mêmes logarithmes dans plusieurs systèmes possibles. communes à tous les systèmes de logarithmes possibles Relation de base des logarithmes. Nous connaissons le principe ( 60) a m. a n = a m+ n qui donnerait, par exemple, avec a = 10, m = 3, n = 2 ; = = 10 5 A chacun de ces termes, nous pourrions encore appliquer la définition générale des logarithmes ( 120), ce qui en confirme, d ailleurs, la solidité ; en effet, 3 = log 1000 ; 2 = log 100 et aussi = log Nous pouvons donc écrire log log 100 = log En d autres termes, on pourra remplacer le logarithme d un produit par la somme des logarithmes de chacun des facteurs : log (yy ) = log y + log y Ainsi, la multiplication de 100 par 100, par exemple, donne , alors qu en additionnant leurs logarithmes, soit 2 + 2, on trouve 4, qui est bien le logarithme de
3 A l aide du petit tableau XIII-B, qui TABLEAU XIII-B représente un extrait fort simple d une table des logarithmes fort nombre logarithme nombre logarithme simple, elle aussi nous pourrons 1 0, donner quelques exemples de cette 2 0, ,505 relation de base. 3 0, ,519 Premier exemple : multiplication de 4 0, ,531 2 par , ,544 Nous poserons : 6 0, ,556 log = log 2 + log 12 et nous 7 0, ,568 tirerons du tableau XIII-B 8 0, ,579 log 2 = 0,301, log 12 = 1,079 En additionnant les deux : log 2 + log 12 = 1,380. Cette dernière valeur représente le logarithme du produit recherché. Or, en face 1,380 (situé dans la 2 e colonne), nous lirons, dans la 1 ere ,954 1,000 1,041 1,079 1,114 1,146 1, ,591 1,602 1,612 1,623 1,633 1,643 1,653 colonne : 24, qui est bien le produit ,662 recherché. 20 1, ,672 Deuxième exemple : 21 1, ,681 produit de , ,690 Ici, il faudra même additionner , ,699 logarithmes. Le même tableau 24 1, XIII-B donne encore 25 1, ,785 log 2 = 0, , ,792 log 3 = 0, , ,799 log 6 = 0, , ,806 log x = 1,556 La 4 e 29 1, ,813 colonne contient ce logarithme Extrait d une table de logarithmes pour les nombres de 1 à ,556, à gauche duquel nous lisons 36. Troisième exemple : produit de 7 par 7. Comme dans les deux exemples précédents, nous poserons : log 7. 7 = log 7 + log 7 log 7 = 0,845 log 7 = 0,845 log x = 1,690 et nous lisons antilog 1,690 = Calcul des puissances. Dans ce troisième exemple, le produit de 7 par 7 correspond, au fond, à une élévation au carré du chiffre 7, et pour le résoudre, on s était borné à DOUBLER le logarithme de 7. En d autres termes et sous une forme plus générale, on pourra dire, qu élever un nombre à une puissance n, quelconque, revient à multiplier son logarithme par n, ce qui s écrit log a n = n log a Ainsi, on trouvera, d emblée, le cube de 3, par exemple log 3 3 = 3 log 3 = 3. 0,477 = 1,431
4 et nous voyons effectivement que c est là le logarithme de 27. De même encore, 2 6 ( deux puissance 6) se calculerait très simplement : log 2 6 = 6 log 2 = 6(0,301) = 1,806 et nous lirons directement le nombre 64 dans notre tableau XIII-B, en face de 1,806. Les logarithmes rendent donc de très grands services dans les élévations de puissance. Grâce à ces logarithmes, on déterminera encore, avec la même aisance, des exposants fractionnaires, plus complexes ( 85), tels que dans 9 3/2. Il n y a aucune raison pour ne pas appliquer encore la règle, que nous venons de trouver, en nous aidant encore du tableau XIII-B : log 9 3/2 = 2 3 log 9 = 2 3 (0,954) = 1,431 La 4 e colonne donne encore le nombre 27, qui est le résultat recherché, car il s agissait bien d élever au cube la racine carrée de Calcul des racines. Si les logarithmes facilitent les opérations dans les calculs qui précèdent, ils deviennent proprement INDISPENSABLES dans l extraction des racines de rang supérieur (à 3 surtout!). De toute évidence, le 61 restera, lui aussi, valable : au lieu de diviser 1 million par ( ce qui donnerait 100), on pourra soustraire leurs logarithmes soit 6 4 = 2 et 2 est effectivement le logarithme de 100. Cette nouvelle propriété aussi pourrait s écrire : log y y = log y log y Appliquons cette nouvelle donnée, à la division 63 : 3. Du logarithme de 63, soit 1,799, on retranchera le logarithme de 3, soit 0,477, ce qui donne 1,332, qui est bien le logarithme de 21. De même, 25 : 5 donnerait : log 25 : 5 = log 25 log 5 = 1,398 0,699 = 0,699 soit le logarithme de 5 qui est bien le résultat recherché. Ce dernier calcul revient encore à extraire la racine carrée de 25 et il suffi, pour cela, de diviser le logarithme de 25 par 2. Nous rejoignons là, le dernier exemple du paragraphe précédent, et cela confirme aussi notre façon d écrire une racine carrée, à l aide de l exposant fractionnaire ½ ( 84). De même, la racine cubique de 64 se calculerait comme suit : log 3 64 = 1 log 64= 1 ( 1,806) = 0, Cette dernière valeur 0,602 est bien le logarithme de 4, racine cubique de 64. Et la racine SIXIÈME de 64, que l on ne peut pratiquement calculer par aucun moyen arithmétique, s obtiendrait directement à l aide des logarithmes log 6 64 = 1 log 64 = 1 ( 1,806) = 0, Le tableau XIII-B indique le chiffre 2 comme antilogarithme de 0,301. C est là, l inverse du deuxième exemple du paragraphe précédent, où nous avions bien calculé 2 puissance La règle à calcul. Les règles à calcul (ou à calculer) appliquent essentiellement les principe, encore fort élémentaires, que nous venons de définir. Sur de telles règles, on
5 n inscrit pas directement les chiffres 1, 2, 3, 4, etc., mais des longueurs, proportionnelles aux logarithmes de ces chiffres (fig. XIII-1). Une règle à calcul, longue de 10 cm, par exemple, portera la division 2 à 3,01 cm, parce que log 2 = 0,301 (tableau XIII-B) ; la division 3 à 4,77 cm, la division 4 à 6,02 cm et ainsi de suite. Le tableau XIII-C contient ces distances pour deux règles à calcul possible. Multiplier 2 par 3 revient alors d après le 123, à additionner (fig. XIII-2) les longueurs, qui correspondent, respectivement, au logarithme de 2 et au logarithme de 3, soit 3,01 cm et 4,77 cm = 7,78 cm ; a cette DISTANCE, nous trouverons, effectivement, la division 6, qui est bien le résultat recherché. Pour rendre plus aisées encore de telles multiplications, on place, face à face, deux règles identiques, l une fixe et l autre constituée par une réglette mobile. Inversement on le comprend sans peine la division se réduira à la soustraction de deux de ces longueurs. Pour diviser 9 par 3, on retranchera (fig. XIII-3), dans une règle de 10 cm, 4,77 cm de 9,54 cm, et il subsiste une longueur de 4,77 cm, qui correspond bien à la division N 3, quotient recherché. Une élévation au carré revient encore a additionner 2 longueurs égales d une règle à calcul deux fois plus courte, comme celle, par exemple, de la troisième colonne de notre tableau XIII-C, ou encore l échelle B 2. Elever au carré 3, par exemple, revient à additionner la longueur 2,385 à 2,385, soit 4,77 cm, mais la lecture pourrait être plus directe encore. Cette longueur correspond à la fois à la division 3 de la première règle et à la division 9 de la deuxième règle. A la verticale du 3 (échelle B), on lit, en effet, 9, échelle B 2 ; de même, que l on trouve, à la verticale du 2 (échelle B), le 4 de l échelle B 2, ou encore 100 (B 2 ), à la verticale de 10 (B) Mantisses et caractéristiques. Reprenons deux valeurs de notre tableau XIII-B : log 2 = 0,301 log 20 = 1,301 Nous trouvons dans la colonne de gauche, en passant d une ligne à l autre, un nombre 10 fois plus grand, alors que le logarithme (colonne de droite) augmente d une unité seulement : la partie décimale, elle n a pas changé et reste 301. L B 3 B 2 b 2 a b Fig. XIII-1. Extrait d une règle à calcul très répandue (modèle Elec-log-log, Graphoplexe, aussi appelée Rietz dans d autres marques). L échelle B (nombre de base) fait partie de la réglette fixe inférieure alors que la réglette supérieure porte B 3 (cubes) et (Logarithmes décimaux). Les échelles b et b 2 sur la réglette mobile correspondent respectivement à B et B 2 ; l échelle a porte les inverses de B, soit par exemple 1/ 8 pour 8, 1 / 6 pour 6 et ainsi de suite. En plus, détail de quelques divisions.
6 Fig. XIII-2. Position des réglettes pour la multiplication de 2 par 3. Fig. XIII-3. Position des réglettes pour la division de 9 par 3 Ce même tableau XIII-B montre aussi le logarithmes, inférieurs à l unité pour les nombres ne comprenant que le chiffre des unités et des logarithmes, compris entre 1 et 2, pour des nombres comportant des dizaines. Tout cela est fort logique et découle directement de notre définition des logarithmes ( 120). Ainsi, tout logarithme se compose de deux parties : La CARACTÉRISTIQUE, qui précède la virgule et qui indique combien le nombre contient de chiffres ( la caractéristique 1 correspond à 2 chiffres, 3 à 4 chiffres, etc.). La MANTISSE, qui suit la virgule et qui ne tient compte que de la valeur du nombre, soit 301, pour 2 ; peu importe, pour cette mantisse, que 2 soit contenu dans 20 ou dans C est cette seule valeur, que contiennent les tables normales de logarithmes, et les règles à calcul (échelle L, fig. XIII-1). A la verticale du 2 (échelle B) nous lisons bien, dans l échelle L un peu plus de 3, ou encore 0,300 ; de même, à la verticale du 5 (échelle B), près de 0,700 (échelle L) ; dans ce dernier cas, le tableau XIII-B donne 0,699! La précision de la lecture dépend de la dimension même de la règle. Cette remarque étend notablement le tableau XIII-B, puisqu il nous fournit même le logarithme de 4 700, par exemple. Ce nombre comporte 4 chiffres et sa caractéristique sera donc 3 ; la mantisse sera la même que pour 47, soit 0,672, et cela donne log 4700 = 3,672 Inversement le logarithme 2,544 se décomposera en une caractéristique 2, indice d un nombre de 3 chiffres, et une mantisse 0,544 ; le tableau XIII-B porte 1,544 pour 35 ; nous aurons donc, ici, antilog 2,544 = Echelle logarithmique. TABLEAU XIII-C Division Longueur de la règle 10 cm 5 cm ,01 cm 1,5 cm 3 4,77 cm 2,385 cm 4 6,02 cm 3,01 cm 5 6,99 cm 3,50 cm 6 7,78 cm 3,89 cm 7 8,45 cm 4,23 cm 8 9,03 cm 4,52 cm 9 9,54 cm 4,77 cm cm 5 cm 11 10,41 cm 5,2 cm 12 10,79 cm 5,4 cm Dimensions géométriques de deux modèles de règles à calcul.
7 Les règles graduées normales, telles qu on les utilises pour le dessin, utilisent une échelle linéaire : la même distance sépare les divisions 2 et 3, ou encore 8 et 9. En utilisant les divisions du tableau XIII-C, par contre, on obtiendrait une échelle logarithmique (fig. XIII-4), aux propriétés les plus intéressantes distances 0,3 cm 0,47 cm 0,6 cm 0,7 cm 0,84 cm 0,95 cm 0,77 cm 0,9 cm Fig. XIII-4. Exemple d une échelle logarithmique. Supposons, que nous ayons à étudier les variations de la fonction y = ax, pour une très grande étendue de valeurs, attribuées à la variable indépendante. Si nous réservons à chaque buées à la variable indépendante. Si nous réservons à chaque unité de x, par exemple, 5 mm (fig. XIII-5), nous pourrons facilement tracer la variation jusqu à x = 40 environ, mais au-delà? Pour x = 100, déjà, notre feuille de papier devrait avoir une largeur de 50 centimètres et pour x = , il nous faudrait un rouleau de 50 mètres! y+ y+ x x+ Fig. XIII-5. Une même fonction, représentée sur échelle linéaire et sur échelle logarithmique: pour une même longueur, on place près de fois plus de valeurs de x. Si, par contre, nous portons en abscisse non pas x directement, mais son logarithme, nous obtiendrons la fonction y = a log x et nous pourrons embrasser, d un même coup d œil, une étendue de valeurs de x allant de 0 à et même plus loin.
8 De part leur définition même, les logarithmes réservent une même longueur à des intervalles allant de 0 à 1, 1 à 10, 10 à 100, 100 à 1000, 1000 à 10000, etc. La courbe obtenue (fig. XIII-5) pourra ne plus avoir la même forme, disons géométrique, mais elle nous permettra d observer tout aussi bien le sens général et les accidents (minimum, maximum, inversion, inflexion, etc.) de la variation. D ailleurs, pour qu une fonction linéaire redonne une droite (chapitre XVIII) il suffira de prévoir la même échelle logarithmique pour l ordonnée aussi bien que pour l abscisse. Et c est là peut-être, que les logarithmes cessent d être un simple artifice de calcul : par leurs lois sensorielles, Fechner et Weber ont montré que notre ouïe, en particulier, réagissait suivant une loi logarithmique, et nullement linéaire! Il faut mettre en ligne 100 fois (10 2 ) plus d énergie pour donner à notre oreille l impression de 2 (logarithme de 100) fois plus de bruit.
Fonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme
Fonctions linéaires et affines 3eme 1 Fonctions linéaires 1.1 Vocabulaire Définition 1 Soit a un nombre quelconque «fixe». Une fonction linéaire associe à un nombre x quelconque le nombre a x. a s appelle
Plus en détailavec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Plus en détailLe chiffre est le signe, le nombre est la valeur.
Extrait de cours de maths de 6e Chapitre 1 : Les nombres et les opérations I) Chiffre et nombre 1.1 La numération décimale En mathématique, un chiffre est un signe utilisé pour l'écriture des nombres.
Plus en détailPriorités de calcul :
EXERCICES DE REVISION POUR LE PASSAGE EN QUATRIEME : Priorités de calcul : Exercice 1 : Calcule en détaillant : A = 4 + 5 6 + 7 B = 6 3 + 5 C = 35 5 3 D = 6 7 + 8 E = 38 6 3 + 7 Exercice : Calcule en détaillant
Plus en détailFctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines
FctsAffines.nb 1 Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008 Fonctions affines Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hpertete vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec2/inde.html
Plus en détailPetit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007
Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007 page 1 / 10 abscisse addition additionner ajouter appliquer
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailPuissances d un nombre relatif
Puissances d un nombre relatif Activités 1. Puissances d un entier relatif 1. Diffusion d information (Activité avec un tableur) Stéphane vient d apprendre à 10h, la sortie d une nouvelle console de jeu.
Plus en détail2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh
2 Fonctions binaires 45 2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh On peut définir complètement une fonction binaire en dressant son tableau de Karnaugh, table de vérité à 2 n cases pour n variables
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailenquête pour les fautes sur le fond, ce qui est graves pour une encyclopédie.
4.0 Contrôles /4 4 e enquête pour les fautes sur le fond, ce qui est graves pour une encyclopédie. RPPEL de 0. Wikipédia 2/2 Dans le chapitre : XX e siècle : ( 4.0 mythe paroxysme ) sous la photo d un
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailTechnique opératoire de la division (1)
Unité 17 Technique opératoire de la division (1) Effectuer un calcul posé : division euclidienne de deux entiers. 1 Trois camarades jouent aux cartes. Manu fait la distribution en donnant à chaque joueur
Plus en détailLes Conditions aux limites
Chapitre 5 Les Conditions aux limites Lorsque nous désirons appliquer les équations de base de l EM à des problèmes d exploration géophysique, il est essentiel, pour pouvoir résoudre les équations différentielles,
Plus en détailSalle de technologie
Prénom : Nom : Classe : Date : Salle de technologie Séquence Le dessin technique Définition du dessin technique : Le dessin technique est un ensemble de règles pour représenter des objets ; ces règles
Plus en détailModule 16 : Les fonctions de recherche et de référence
Module 16 : Les fonctions de recherche et de référence 16.0 Introduction L une des fonctions les plus importantes d Excel, c est la possibilité de chercher une valeur spécifique dans un grand nombre de
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailDérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES
Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable
Plus en détailDéfinition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3
8 Systèmes de numération INTRODUCTION SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS Dans un système positionnel, le nombre de symboles est fixe On représente par un symbole chaque chiffre inférieur à la base, incluant
Plus en détailCORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»
Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.
Plus en détailV- Manipulations de nombres en binaire
1 V- Manipulations de nombres en binaire L ordinateur est constitué de milliards de transistors qui travaillent comme des interrupteurs électriques, soit ouverts soit fermés. Soit la ligne est activée,
Plus en détaila)390 + 520 + 150 b)702 + 159 +100
Ex 1 : Calcule un ordre de grandeur du résultat et indique s il sera supérieur à 1 000 L addition est une opération qui permet de calculer la somme de plusieurs nombres. On peut changer l ordre de ses
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détailINTRODUCTION A L ELECTRONIQUE NUMERIQUE ECHANTILLONNAGE ET QUANTIFICATION I. ARCHITECTURE DE L ELECRONIQUE NUMERIQUE
INTRODUCTION A L ELECTRONIQUE NUMERIQUE ECHANTILLONNAGE ET QUANTIFICATION I. ARCHITECTURE DE L ELECRONIQUE NUMERIQUE Le schéma synoptique ci-dessous décrit les différentes étapes du traitement numérique
Plus en détailMon aide mémoire traitement de texte (Microsoft Word)
. Philippe Ratat Mon aide mémoire traitement de texte (Microsoft Word) Département Ressources, Technologies et Communication Décembre 2006. Sommaire PRÉSENTATION DU DOCUMENT 1 Objectif principal 1 Deux
Plus en détailLeçon N 4 : Statistiques à deux variables
Leçon N 4 : Statistiques à deux variables En premier lieu, il te faut relire les cours de première sur les statistiques à une variable, il y a tout un langage à se remémorer : étude d un échantillon d
Plus en détailEtude de fonctions: procédure et exemple
Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons
Plus en détailRÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES
RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES Sommaire 1 Méthodes de résolution... 3 1.1. Méthode de Substitution... 3 1.2. Méthode des combinaisons linéaires... 6 La rubrique d'aide qui suit s'attardera aux
Plus en détailExercice 6 Associer chaque expression de gauche à sa forme réduite (à droite) :
Eercice a Développer les epressions suivantes : A-(-) - + B-0(3 ²+3-0) -0 3²+-0 3+00 B -30²-30+00 C-3(-) -3 + 3-3²+6 D-(-) + ² Eerciceb Parmi les epressions suivantes, lesquelles sont sous forme réduite?
Plus en détailles Formulaires / Sous-Formulaires Présentation...2 1. Créer un formulaire à partir d une table...3
Présentation...2 1. Créer un formulaire à partir d une table...3 2. Les contrôles :...10 2.1 Le contrôle "Intitulé"...11 2.2 Le contrôle "Zone de Texte"...12 2.3 Le contrôle «Groupe d options»...14 2.4
Plus en détailDiviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000
Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000 Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000. 23 1 et 2 Pauline collectionne les cartes «Tokéron» depuis plusieurs mois. Elle en possède 364 et veut les
Plus en détailArithmétique binaire. Chapitre. 5.1 Notions. 5.1.1 Bit. 5.1.2 Mot
Chapitre 5 Arithmétique binaire L es codes sont manipulés au quotidien sans qu on s en rende compte, et leur compréhension est quasi instinctive. Le seul fait de lire fait appel au codage alphabétique,
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailUNITÉS ET MESURES UNITÉS DE MESURE DES LONGUEURS. Dossier n 1 Juin 2005
UNITÉS ET MESURES UNITÉS DE MESURE DES LONGUEURS Dossier n 1 Juin 2005 Tous droits réservés au réseau AGRIMÉDIA Conçu et réalisé par : Marie-Christine LIEFOOGHE Bruno VANBAELINGHEM Annie VANDERSTRAELE
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailCodage d information. Codage d information : -Définition-
Introduction Plan Systèmes de numération et Représentation des nombres Systèmes de numération Système de numération décimale Représentation dans une base b Représentation binaire, Octale et Hexadécimale
Plus en détailLes Différents types de Requêtes dans Access
Les Différents types de Requêtes dans Access Il existe six types de requêtes. Les Requêtes «Sélection», qui sont le mode par défaut et correspondent à des «vues» des tables originelles. Cela signifie que
Plus en détailReprésentation des Nombres
Chapitre 5 Représentation des Nombres 5. Representation des entiers 5.. Principe des représentations en base b Base L entier écrit 344 correspond a 3 mille + 4 cent + dix + 4. Plus généralement a n a n...
Plus en détail1. Informations préliminaires
1 Tout d abord, nous vous remercions vivement de faire confiance aux Éditions Honoré Champion, dont le prestige a toujours tenu à l extrême qualité du fond et au soin apporté à la forme. D où ces quelques
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailLA PNL. Programmation Neuro Linguistique
LA PNL Programmation Neuro Linguistique Définition : Programmation «A partir des expériences que nous vivons depuis notre enfance (et peut être avant), nous nous créons des programmes de fonctionnement
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailFeuille couverture de tâche du cadre du CLAO
Feuille couverture de tâche du cadre du CLAO Titre de la tâche : Trouver de l information nutritionnelle en ligne Nom de la personne apprenante : Date de début : Date de fin : Réussite : Oui Non Voie :
Plus en détailNotion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine.
TABLE DES MATIÈRES 1 Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. Paul Milan LMA Seconde le 12 décembre 2011 Table des matières 1 Fonction numérique 2 1.1 Introduction.................................
Plus en détailBACCALAURÉAT PROFESSIONNEL SUJET
SESSION 203 Métropole - Réunion - Mayotte BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE E4 CULTURE SCIENTIFIQUE ET TECHNOLOGIQUE : MATHÉMATIQUES Toutes options Durée : 2 heures Matériel(s) et document(s) autorisé(s)
Plus en détailMathématiques financières
Mathématiques financières Table des matières 1 Intérêt simple 1 1.1 Exercices........................................ 1 2 Intérêt composé 2 2.1 Taux nominal, taux périodique, taux réel.......................
Plus en détailLogiciel de Base. I. Représentation des nombres
Logiciel de Base (A1-06/07) Léon Mugwaneza ESIL/Dépt. Informatique (bureau A118) mugwaneza@univmed.fr I. Représentation des nombres Codage et représentation de l'information Information externe formats
Plus en détailNotions physiques Niveau 2
14 novembre 2011 Contenu 1. Les pressions Les différentes pressions 2. La loi de Mariotte (Autonomie en air) 2.1. Principes 2.2. Applications à la plongée 3. Le théorème d Archimède (Flottabilité) 3.1.
Plus en détailSTAGE D INITIATION RAPPORT DE. Elaboré par. Prénom NOM. Encadré par : Mr Prénom NOM (Société) Société d accueil :. (Sigle de la société d accueil)
(Sigle de la société d accueil) REPUBLIQUE TUNISIENNE ***** MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR, DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE ET DE LA TECHNOLOGIE ***** DIRECTION GENERALE DES ETUDES TECHNOLOGIQUES *****
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détailMaple: premiers calculs et premières applications
TP Maple: premiers calculs et premières applications Maple: un logiciel de calcul formel Le logiciel Maple est un système de calcul formel. Alors que la plupart des logiciels de mathématiques utilisent
Plus en détailCommission Polydog Règlement de compétition SportPlaisir Catalogue des disciplines catégorie adresse niveau B
1 FAIRE UNE PIROUETTE SUR UNE PALETTE Description des installations Une estrade plane (palette) est placée au sol à environ 7 pas du point de départ. Pour le CCh, une ligne de démarcation est tracée un
Plus en détailPROJET DE GESTION PORTEFEUILLE. Evaluation d une Stratégie de Trading
PROJET DE GESTION PORTEFEUILLE Evaluation d une Stratégie de Trading Encadré par M. Philippe Bernard Master 1 Economie Appliquée-Ingénierie Economique et Financière Taylan Kunal 2011-2012 Sommaire 1) Introduction
Plus en détailTP 7 : oscillateur de torsion
TP 7 : oscillateur de torsion Objectif : étude des oscillations libres et forcées d un pendule de torsion 1 Principe général 1.1 Définition Un pendule de torsion est constitué par un fil large (métallique)
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailEPFL 2010. TP n 3 Essai oedomètrique. Moncef Radi Sehaqui Hamza - Nguyen Ha-Phong - Ilias Nafaï Weil Florian
1 EPFL 2010 Moncef Radi Sehaqui Hamza - Nguyen Ha-Phong - Ilia Nafaï Weil Florian 11 Table de matière Ø Introduction 3 Ø Objectif 3 Ø Déroulement de l eai 4 Ø Exécution de deux palier de charge 6 Ø Calcul
Plus en détailNb. De pages : 24 MANGO. Manuel d'utilisation. Version 1.2. décembre 2010
N. de page : 1 MANGO Manuel d'utilisation Version décembre 2010 N. de page : 2 Table des matières 1.Présentation...3 Description technique... 3 2.Caractéristiques techniques...5 Aspect technique d'une
Plus en détailÉGOUTS ANALISATIONS NETTOYAGE PROFESSIONNEL
Setting the standard POUR LE NETTOYAGE PROFESSIONNEL DES ANALISATIONS ÉGOUTS Sommaire de déboucheurs moteur électrique de haute performance parfaite qualité de flexible avec gaine riocore système d accouplement
Plus en détailCOMPTABILITE SAGE LIGNE 30
COMPTABILITE SAGE LIGNE 30 Date : 25/09/2006 Auteur : Pascal VIGUIER Réf. : SAGE092006 SOMMAIRE SOMMAIRE... 1 1. MENU FICHIER... 3 1.1 1.2 AUTORISATION D ACCES... 3 A PROPOS DE VOTRE SOCIETE... 4 1.2.1
Plus en détailUne version javascript sera disponible directement dans le cours prochainement.
Author : Cédric Vanconingsloo Ce cours est principalement axé sur la compréhension du fonctionnement d'un ordinateur et l'étude du seul langage qu'il connaisse, le binaire. De ce fait, le cours est relativement
Plus en détailBien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Plus en détailArrêté Royal du 7 juillet 1994 fixant les normes de base en matière de prévention contre l incendie et l explosion : Notice explicative
Arrêté Royal du 7 juillet 1994 fixant les normes de base en matière de prévention contre l incendie et l explosion : Notice explicative A n n e x e 1 Annexe 1 1.2.1 hauteur d un bâtiment La hauteur h d'un
Plus en détailAFFAIBLISSEMENT DÛ AUX NUAGES ET AU BROUILLARD
Rec. UIT-R P.84- RECOMMANDATION UIT-R P.84- AFFAIBLISSEMENT DÛ AUX NUAGES ET AU BROUILLARD (Question UIT-R /3) Rec. UIT-R P.84- (99-994-997) L'Assemblée des radiocommunications de l'uit, considérant a)
Plus en détailDate M.P Libellé Catégorie S.Catégorie Crédit Débit Solde S.B
Excel : Réalisation d un classeur Compta Saisir les étiquettes Renommer la première feuille Compta Laisser la première ligne vide et sur la deuxième ligne saisir les étiquettes Se placer sur A2 et saisir
Plus en détailCompter à Babylone. L écriture des nombres
Compter à Babylone d après l article de Christine Proust «Le calcul sexagésimal en Mésopotamie : enseignement dans les écoles de scribes» disponible sur http://www.dma.ens.fr/culturemath/ Les mathématiciens
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailDÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Plus en détailChapitre 2 Les ondes progressives périodiques
DERNIÈRE IMPRESSION LE er août 203 à 7:04 Chapitre 2 Les ondes progressives périodiques Table des matières Onde périodique 2 2 Les ondes sinusoïdales 3 3 Les ondes acoustiques 4 3. Les sons audibles.............................
Plus en détailIMAGES NUMÉRIQUES MATRICIELLES EN SCILAB
IMAGES NUMÉRIQUES MATRICIELLES EN SCILAB Ce document, écrit par des animateurs de l IREM de Besançon, a pour objectif de présenter quelques unes des fonctions du logiciel Scilab, celles qui sont spécifiques
Plus en détailREMARQUES SUR LE PETIT FRAGMENT DE TABLETTE CHYPRO MINOENNE TROUVÉ A ENKOMI EN 1952. par EMILIA MAS SON
REMARQUES SUR LE PETIT FRAGMENT DE TABLETTE CHYPRO MINOENNE TROUVÉ A ENKOMI EN 952 par EMILIA MAS SON. C'est pendant sa campagne de 952 à Enkomi que M. Porphyrios Dikaios a trouvé un petit fragment de
Plus en détailCOURS BARDON - EXCEL 2010
COURS BARDON - EXCEL 2010 Sommaire EXCEL 2010 - INTRODUCTION 3 FONDAMENTAUX OFFICE 2010 3 EXCEL 3 1. L ECRAN 3 2. BARRE D ETAT : CALCULS ET MODES D AFFICHAGE 7 3. PARAMETRAGE DU LOGICIEL 7 Chapitre 1 GESTION
Plus en détailIntensité sonore et niveau d intensité sonore
ntensité sonore et niveau d intensité sonore Dans le programme figure la compétence suivante : Connaître et exploiter la relation liant le niveau d intensité sonore à l intensité sonore. Cette fiche se
Plus en détailChapitre 5. Calculs financiers. 5.1 Introduction - notations
Chapitre 5 Calculs financiers 5.1 Introduction - notations Sur un marché économique, des acteurs peuvent prêter ou emprunter un capital (une somme d argent) en contrepartie de quoi ils perçoivent ou respectivement
Plus en détailDébuter avec Excel. Excel 2007-2010
Débuter avec Excel Excel 2007-2010 Fabienne ROUX Conseils & Formation 10/04/2010 TABLE DES MATIÈRES LE RUBAN 4 LE CLASSEUR 4 RENOMMER LES FEUILLES DU CLASSEUR 4 SUPPRIMER DES FEUILLES D UN CLASSEUR 4 AJOUTER
Plus en détailt 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :
Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant
Plus en détailTraitement de texte : Quelques rappels de quelques notions de base
Traitement de texte : Quelques rappels de quelques notions de base 1 Quelques rappels sur le fonctionnement du clavier Voici quelques rappels, ou quelques appels (selon un de mes profs, quelque chose qui
Plus en détailTraceur de courbes planes
Traceur de courbes planes Version 2.5 Manuel d utilisation Patrice Rabiller Lycée Notre Dame Fontenay le Comte Mise à jour de Janvier 2008 Téléchargement : http://perso.orange.fr/patrice.rabiller/sinequanon/menusqn.htm
Plus en détailFormation tableur niveau 1 (Excel 2013)
Formation tableur niveau 1 (Excel 2013) L objectif général de cette formation est de repérer les différents éléments de la fenêtre Excel, de réaliser et de mettre en forme un tableau simple en utilisant
Plus en détailRelation entre deux variables : estimation de la corrélation linéaire
CHAPITRE 3 Relation entre deux variables : estimation de la corrélation linéaire Parmi les analyses statistiques descriptives, l une d entre elles est particulièrement utilisée pour mettre en évidence
Plus en détailSINE QUA NON. Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases
SINE QUA NON Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases Sine qua non est un logiciel «traceur de courbes planes» mais il possède aussi bien d autres fonctionnalités que nous verrons tout
Plus en détailDescription des pratiques à adopter pour la mise à jour du layout en utilisant le gestionnaire de conception de Sharepoint 2013
Exemple d utilisation du gestionnaire de conception Description des pratiques à adopter pour la mise à jour du layout en utilisant le gestionnaire de conception de Sharepoint 2013 6, rue de l Etang, L-5326
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailOuverture d'un point de vente L étude de la zone de chalandise.
Ouverture d'un point de vente L étude de la zone de chalandise. La zone de chalandise : une zone géographique de captation La zone de chalandise, ou zone d attraction, est le territoire géographique dans
Plus en détailAlgorithme. Table des matières
1 Algorithme Table des matières 1 Codage 2 1.1 Système binaire.............................. 2 1.2 La numérotation de position en base décimale............ 2 1.3 La numérotation de position en base binaire..............
Plus en détail6 ème. Rallye mathématique de la Sarthe 2013/2014. 1 ère épreuve de qualification : Problèmes Jeudi 21 novembre 2013
Retrouver tous les sujets, les corrigés, les annales, les finales sur le site du rallye : http://sarthe.cijm.org I Stéphane, Eric et Christophe sont 3 garçons avec des chevelures différentes. Stéphane
Plus en détailPARCOURS 3 EXPERIMENTATION APPRENTISSAGE : PHASE 2 CARA CREATION DU PROGRAMME POUR LA PHASE 2
REMARQUE : Pour créer un programme, vous devez avoir un profil Parcours 3 «Administrateur». 1. Création des motifs de sortie du programme PHASE 2 CARA Pour correspondre au souhait des évaluateurs, nous
Plus en détailLA TYPOGRAPHIE (Norme ISO 31)
LA TYPOGRAPHIE (Norme ISO 31) AVERTISSEMENT : Les exemples en vert sont recommandés, ceux en rouge, interdits. L'écriture des unités de mesure Les unités de mesure s'écrivent en totalité lorsqu'elles -
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détail22 Nous Reconnaissons la force du pardon
22 Nous Reconnaissons la force du pardon 23 Par le rite pénitentiel, les chrétiens se tournent vers Dieu pour lui demander son pardon. Dieu nous reçoit tels que nous sommes et nous pardonne pour que nous
Plus en détailFonction inverse Fonctions homographiques
Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................
Plus en détailCréer sa première base de données Access Partie 3/4 - Création d un formulaire
- le 12/02/2013 Créer sa première base de données Access Partie 3/4 - Création d un formulaire Ce tutoriel est la suite de l article sur la création d une table et l article sur la création d une requête.
Plus en détailEXCEL PERFECTIONNEMENT SERVICE INFORMATIQUE. Version 1.0 30/11/05
EXCEL PERFECTIONNEMENT Version 1.0 30/11/05 SERVICE INFORMATIQUE TABLE DES MATIERES 1RAPPELS...3 1.1RACCOURCIS CLAVIER & SOURIS... 3 1.2NAVIGUER DANS UNE FEUILLE ET UN CLASSEUR... 3 1.3PERSONNALISER LA
Plus en détailLecture graphique. Table des matières
Lecture graphique Table des matières 1 Lecture d une courbe 2 1.1 Définition d une fonction.......................... 2 1.2 Exemple d une courbe........................... 2 1.3 Coût, recette et bénéfice...........................
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailPROPORTIONNALITÉ LES ÉCHELLES. Dossier n 2 Juin 2005. Conçu et réalisé par : Marie-Christine LIEFOOGHE Bruno VANBAELINGHEM Annie VANDERSTRAELE
PROPORTIONNALITÉ LES ÉCHELLES 0 000 000 Dossier n 2 Juin 2005 Tous droits réservés au réseau AGRIMÉDIA Conçu et réalisé par : Marie-Christine LIEFOOGHE Bruno VANBAELINGHEM Annie VANDERSTRAELE C.D.R. AGRIMEDIA
Plus en détailKIT D AIDE A LA MISE EN ACCESSIBILITE DES ETABLISSEMENTS DE TOURISME ET DE COMMERCE Édition Janvier 2015 FICHE N 2D RENDRE MON COMMERCE ACCESSIBLE
KIT D AIDE A LA MISE EN ACCESSIBILITE DES ETABLISSEMENTS DE TOURISME ET DE COMMERCE Édition Janvier 2015 FICHE N 2D RENDRE MON COMMERCE ACCESSIBLE RAPPEL : Pour les ERP classés 1, 2, 3, 4e catégorie :
Plus en détailmaintenance Remplacement des réfractaires 1 Remplacement de la grille du cendrier 2 Remplacement du secoueur de grille 3
maintenance 30 Remplacement des réfractaires 1 Remplacement de la grille du cendrier 2 Remplacement du secoueur de grille 3 Remplacement du verrou et du ressort de verrou du tambour 3 Remplacement du positionneur
Plus en détailSOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... LES MESURES
SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... SOMMAIRE... LES MESURES MES 1 Les mesures de longueurs MES 2 Lecture de l heure MES 3 Les mesures de masse MES 4 Comparer des longueurs, périmètres.
Plus en détail