Amélioration des performances des systèmes asservis

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1 Amélioration des performances des systèmes asservis Fichier : 2_SLCI_Amelioration. Introduction On déduit les performances d un système asservi à partir de sa fonction de transfert. Ces performances sont plus ou moins satisfaisantes pour un usage donné. On essaie donc de les améliorer en fonction du cahier des charges à satisfaire. Rappelons les caractéristiques importantes : La stabilité : c est la plus importante. A une consigne bornée, la réponse doit être bornée. Le système peut être soumis à différentes perturbations, il faut donc garantir des marges de phase et de gain suffisantes. La rapidité : elle caractérise la facilité du système à suivre des variations rapides de la consigne. Elle est essentiellement liée à la bande passante du système. La précision : elle est donnée par la valeur de l erreur, une fois le régime transitoire passé. 2. Principe d amélioration des performances Prenons l exemple d un système du troisième ordre dont le lieu de transfert est représenté dans le plan de Nyquist : H(p) = ( + 0,22p+ p 2 )( + 3p) Ce système () est stable mais peu précis, son gain est faible. La stabilité se déduit de la position du lieu de transfert vis à vis du point critique (-,0). Augmentation du gain Une première correction consiste à augmenter le gain. Dans l exemple cicontre, le gain a été multiplié par 2. Le nouveau système (2) est plus précis mais instable. 2 H(p) = + 0,22p+ p 2 + 3p ( )( ) Pour augmenter la précision, il faudrait augmenter le gain en basse fréquence sans approcher le point critique dans les hautes fréquences. On peut utiliser soit une action dérivée, soit une action intégrale. Correction des SLCI, page /3

2 Action dérivée : On part du lieu (2) et, pour une même fréquence, on garde la même amplitude mais on avance la phase dans la zone critique (hautes fréquences). On obtient le lieu (4). C est ce qu on appelle la compensation par avance de phase ou encore l action dérivée. Action intégrale : On part du lieu () et on augmente le gain uniquement aux basses fréquences. Conclusion L augmentation du gain entraîne une augmentation de la précision et de la rapidité mais diminue la stabilité. L action dérivée à avance de phase permet, à précision égale, de rendre le système plus stable. L action intégrale à retard de phase permet, à stabilité égale, de rendre le système plus précis. 3. Correction des systèmes De façon générale, ces corrections se réalisent en introduisant un correcteur dans la chaîne directe. Ce correcteur est placé en sortie de comparateur afin de travailler sur des signaux peu énergétiques. E(p) + Correcteur Ampli Système C(p) K H(p) S(p) - Cap(p) Correction des SLCI, page 2/3

3 3.. Action proportionnelle 3... Influence du gain K E(p) + Ampli K Système H(p) S(p) - Cap(p) K F BO(p) = +... L action du gain intervient sur trois caractéristiques : La stabilité La rapidité La précision Le gain optimum, pour une application donnée, sera un compromis entre la stabilité et les autres performances. Si K est faible, la stabilité est bonne mais l asservissement est peu rapide et peu précis. Si K est élevé, l asservissement est plus rapide et plus précis risque d être instable Réglage du gain Le réglage du gain peut se faire à partir du diagramme de Bode mais aussi à partir du diagramme de Black. Dans les deux cas, une variation du gain se traduit par une translation verticale : du diagramme de Gain dans le cas de Bode du lieu de transfert dans le cas de Black. Cette translation est ascendante dans le cas d un gain positif Réglage à partir du diagramme de Bode. Exemple : Soit FT (p) K BO = p + 0,p + 0,2p ( )( ) On a vu précédemment qu il était souhaitable d obtenir en BO une marge de gain de 2 db et une marge de phase de 45. Dans le cas où K =, on obtient les diagrammes de Bode suivants : Correction des SLCI, Page 3/3

4 Détermination du gain pour obtenir une marge de phase de 45. Soit 45 la valeur de la pulsation pour laquelle la marge de phase est de 45. En résolution graphique, il suffit de rechercher le point d intersection de la courbe de phase et de la droite ϕ = -35. On remonte sur le diagramme de gain et on en déduit la valeur du gain pour cette pulsation. Soit G 45 la valeur de ce gain. Il suffit maintenant de remonter la courbe de gain de G45 db pour que la marge de phase soit de 45. Donc : 20Log K = G45 G45 Log K = 20 K = 0 AN G G45 = db K = 0 = 3,548 Réglage de la marge de gain. On souhaite une marge de gain MGdB =2dB On recherche 2, la pulsation pour laquelle la courbe de phase coupe la droite des -80. Et on regarde sur la courbe la valeur du gain G. Il suffit de déplacer la courbe de gain pour que la valeur de G soit égale à -2 db G + 20LogK = -2 Dans notre exemple on lit, sur le diagramme, G = -24dB LogK = 2 20LogK = = K = 0 = 3,98 Correction des SLCI, page 4/3

5 Réglage à partir du diagramme de Black Dans le plan de Black, une variation de gain se traduit par une translation du lieu de transfert dans le sens du gain : translation verticale ascendante pour les gains positifs. Une marge de phase de 45 représente un facteur de surtension de 2,3 db en boucle fermée. Cette surtension est matérialisée par le contour de Hall dans le diagramme de Black. Reprenons l exemple précédent : H(p) = p+ 0,p + 0,2p ( )( ) Pour trouver le gain désiré, il suffit de translater le lieu de transfert de H(j), suivant une verticale jusqu à sa tangence avec le contour de Hall. La valeur de la translation exprimée en db permet de déduire le gain K. On trouve évidemment aussi une translation de db ce qui correspond à un gain K de 3, Action dérivée But : Modifier le comportement du système aux alentours de la pulsation critique soit pour stabiliser un système ne possédant pas assez de marge de phase, soit pour pouvoir augmenter le gain (donc la rapidité) sans déstabiliser le système. Soit un système caractérisé par la fonction de transfert suivante en BO : H(p) = p 2p 0,2p ( + )( + ) Ce système présente une marge de phase de 35. On souhaite obtenir une marge de phase de 50. Correction des SLCI, Page 5/3

6 Utilisons un correcteur de type : C(p) = K ( +τ p). Si l on soumet une entrée E(p) à ce correcteur, on obtient en sortie : ( ) S(p) = K +τp E(p) Soit : de(t) s(t) = K.e(t) + K. τ. dt où Ke(t) représente une action proportiennelle et de(t) K. τ. représente une action dérivée. dt Posons K = pour ce qui suit : GdB Pour K =, Ce correcteur 20 db n apporte aucun gain aux basses fréquences mais une avance de +3dB phase de 45 pour = et τ jusqu à 90 pour les hautes fréquences mais avec l inconvénient d un très grand gain. ϕ /τ 0/τ +2/décade Pente Correction des SLCI, page 6/3

7 Correcteur à avance de phase : + τp C(p) = K a < + aτp Pour ce qui suit, posons K =. L intérêt de ce correcteur est de limiter le gain dans les hautes fréquences. GdB /τ /aτ ϕ Fonctionnement de ce correcteur : En basse fréquence, il ne modifie pas le lieu primitif. En très haute fréquence, il apporte simplement un gain sans déphasage. On choisit τ et a de façon que le correcteur agisse au voisinage de en prenant τ Résultat de la correction dans Bode GdB Corrigé ϕ Non corrigé Mϕ=35 Mϕ=50 Correction des SLCI, Page 7/3

8 Résultat de la correction dans le diagramme de Black. GdB Non corrigé corrigé -35 ϕ Action intégrale Correcteur Proportionnel Intégral (PI) But : ajouter du gain en basse fréquence sans modifier le degré de stabilité. Le plus simple serait d introduire un intégrateur pur qui donnerait un gain infini aux basses fréquences ce qui entraînerait une erreur de position nulle. Malheureusement ce correcteur introduirait une phase de 90 à toutes les fréquences ce qui aurait pour effet de déstabiliser le système. -90 On utilise donc un correcteur de type : C(p) = K + qui introduit bien τ.p un gain infini aux basses fréquence et ne modifie pas la phase à la fréquence critique. τ -90 Correction des SLCI, page 8/3

9 Pour ce qui suit posons K =. Si l on soumet une entrée E(p) à ce correcteur, on obtient en sortie : S(p) = + E(p) τ.p Soit : s(t) = e(t) + e(t).dt τ où e(t) représente une action proportiennelle et e(t).dt représente une action intégrale. τ C est un correcteur à action proportionnelle intégrale noté P.I Placement du correcteur PI Le rôle essentiel est d annuler l erreur statique de position sans altérer les performances initiales. Si le système ne possède pas de réserve de marge de phase (Mϕ 45 ), il faut placer le correcteur PI à une décade en avant de c de façon à ne pas ajouter de phase. Si le système à une marge de phase suffisante (Mϕ > 45 ), on peut placer le correcteur PI plus près de c. 5 Exemple : H(p) = + 0,0p + 0,p ( )( ) GdB ϕ Gain Phase 0 Mϕ=48 c -35 La marge de phase est limite, 48 pour c = 0. On va donc placer la pulsation de cassure du correcteur PI une décade en avant de c. Correction des SLCI, Page 9/3

10 = 0 = C Correction des SLCI cor τ cor = = 0,09 C(p) = + 0,09p Résultat dans Bode GdB ϕ Gain Gain corrigé Phase Phase corrigée Mϕ=48 c 0-35 Résultat dans Black GdB Corrigé Non corrigé ϕ Correcteur à retard de phase Dans certaines applications, on peut avoir besoin de filtrer (passe-bas) seulement sur une certaine fréquence. On utilise alors un correcteur à retarde de phase. + τp C(p) = K avec b > + bτp Pour ce qui suit, nous avons pris K =. Correction des SLCI, page 0/3

11 GdB ϕ ϕ min 0 bτ τ 3.4. Action Intégrale et Dérivée (correcteur P.I.D) Le correcteur «dérivé» et le correcteur «intégral» concernant des domaines de fréquences différents, il peut être judicieux d associer ces deux correcteurs en un seul. On obtient alors un correcteur P.I.D : Proportionnel, Intégral, Dérivé. C(p) = K ( +τ d.p) + τi.p Si τ i >>τd C(p) K + +τd.p τi.p Diagrammes de Bode d un PID Action intégrale Action dérivée 0 Phase Gain Action proportionnelle τ i τ d Correction des SLCI, Page /3

12 4. Réalisation des correcteurs 4.. Réseau correcteur à avance de phase R Ve C Vs ( + ) ( + ) + Vs(p) R.C.p ) C(p) = = Ve(p) R.C.p + R.C.p = R+ R..C.p + R+ +τ.p = K + a. τ.p K = a = R+ τ= R.C 4.2. Réseau correcteur à retard de phase R C2 Ve Vs C(p) + Vs(p) C2.p.C2.p + = = = Ve(p) R+ + ( R+ ) C2.p + C2.p +.C2.p +τ.p = = K R+ +.C2.p + b. τ.p R+ K = b= > τ=.c2 Correction des SLCI, page 2/3

13 4.3. Réseau PID série R R3 C3 C Ve + Vs R3 R3.C3.p + R.C.p + C(p) =.. R+ R3 R3.C3.p R. C.p + R Parallèle C(p) = K p + +τd.p τ.p i Correction des SLCI, Page 3/3