SYSTÈME D'ÉQUATIONS DU 1 er DEGRÉ À DEUX INCONNUES RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE

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1 FICHE DE PRÉSENTATION FICHE DE PRÉSENTATION FICHE DE PRÉSENTATION OBJECTIF(S) Résoudre algébriquement un sstème d'équations du premier degré à deux inconnues. EXPLICITATION Être capable à l'issue des travaux de calculer les valeurs numériques des inconnues dans un sstème aant un seul couple de solutions par exemple : 3 = 1 les valeurs de x et dans le sstème : + 5 les valeurs de d et t dans le sstème : Maîtriser : PRÉ-REQUIS d = 90t d + 50t = 280 la résolution d'une équation du premier degré à une inconnue. l'écriture d'un couple de nombres. Traiter la fiche d'entraînement en trois parties. CONDITIONS Après chaque partie consulter la fiche auto-corrective. Première partie : Exercice 1. Deuxième partie : Exercices 2 et 3. Troisième partie : Exercices 4 et 5. CRITÈRES DE RÉUSSITE Au moins trois réponses exactes dans la partie 3. CONSEILS Vérifier vos réponses avant de consulter la fiche auto-corrective. 1/1

2 FICHE DE FORMATION FICHE DE FORMATION FICHE DE FORMATION Introduction : Un fleuriste propose deux tpes de bouquets : l'un composé de 5 roses jaunes et 4 iris pour 16. l'autre composé de 3 roses jaunes et 6 iris pour 15. Pour calculer le prix x en d'une rose et le prix en d'un iris, il faut résoudre le sstème suivant : Mode de résolution : 5 x + 4 = 16 3 x + 6 = 15 Par combinaison linéaire (ou addition) : 1 ère ÉTAPE : Transformer le sstème pour obtenir deux équations à une inconnue Éliminer : Éliminer x : ( 3) 5 x + 4 = 16 ( 3) 5 x + 4 = 16 ( 2) 3 x + 6 = 15 ( 5) 3 x + 6 = x + 12 = x 12 = 48 6 x 12 = x + 30 = 75 Additionner les deux équations : Additionner les deux équations : 9 x = = 27 On obtient deux équations à une inconnue chacune : 9 x = = 27 2 e ÉTAPE : Résoudre chaque équation 9 x = = x = = 9 18 x = 2 = 1,5 = 2 = 1,5 3 e ÉTAPE : Vérification : avec x = 2 et = 1,5 Première équation : 5 x + 4 = 16 Deuxième équation : 3 x + 6 = 15 5 x + 4 = ,5 3 x + 6 = ,5 5 x + 4 = x + 6 = x + 4 = 16 3 x + 6 = 15 4 e ÉTAPE : Donner la solution du sstème Le couple (x ; ) solution du sstème est égal à (2 ; 1,5) 5 e ÉTAPE : Donner la solution du problème 1/1

3 FICHE DE FORMATION FICHE DE FORMATION FICHE DE FORMATION Le prix d'une rose est 2. Le prix d'un iris est 1,50. Par substitution : 1 ère Transformer le sstème pour que l'une des deux équations soit une équation à ÉTAPE : une inconnue Exprimer x en fonction de dans l'équation : 5 x + 4 = 16 3 x + 6 = 15 5 x + 4 = 16 5 x + 4 = 16 3 x = 15 6 = 5 2 Remplacer (ou substituer) x par l'expression dans l'équation : 5 (5 2 ) + 4 = 16 x = 5 2 = e ÉTAPE : Résoudre l'équation : 5 (5 2 ) + 4 = = 16 = = = = 9 = 5 2 = 1, 5 = e ÉTAPE : Résoudre l'autre équation : x = 5 2 Remplacer dans l'expression, par la valeur trouvée = 1, 5 = 1, 5 = 5 2 1,5 = 5 3 = 1,5 = 2 4 e ÉTAPE : Vérification : avec x = 2 et = 1,5 Première équation : 5 x + 4 = 16 Deuxième équation : 3 x + 6 = 15 5 x + 4 = ,5 3 x + 6 = ,5 5 x + 4 = x + 6 = x + 4 = 16 3 x + 6 = 15 5 e ÉTAPE : Donner la solution du sstème Le couple (x ; ) solution du sstème est égal à (2 ; 1,5) 6 e ÉTAPE : Donner la solution du problème Le prix d'une rose est 2. Le prix d'un iris est 1,50. Remarque : 2/2

4 FICHE DE FORMATION FICHE DE FORMATION FICHE DE FORMATION Dans un sstème, l'une des inconnues peut être calculée par combinaison linéaire et l'autre par substitution. 3/3

5 FICHE D'ENTRAÎNEMENT FICHE D'ENTRAÎNEMENT FICHE D'ENTRAÎNEMENT 1. Résoudre le sstème en utilisant successivement les deux méthodes (combinaison linéaire et substitution) : = Méthode par combinaison linéaire : Méthode par substitution : 1/1

6 FICHE D'ENTRAÎNEMENT FICHE D'ENTRAÎNEMENT FICHE D'ENTRAÎNEMENT 2. Résoudre par la méthode de combinaison linéaire le sstème suivant : 3x + 7 = 11 5x + 2 = 5 3. Résoudre par la méthode de substitution le sstème suivant : = = 14 2/2

7 FICHE D'ENTRAÎNEMENT FICHE D'ENTRAÎNEMENT FICHE D'ENTRAÎNEMENT 4. Résoudre par la méthode de calcul de votre choix le sstème suivant : + = 29 = 5 Méthode choisie : 5. Problème : Un groupe de personnes a réservé dans un restaurant.toutes les tables sont identiques. Si les personnes sont réparties sur 5 tables, il reste 4 personnes non placées. Si les personnes sont réparties sur 6 tables, 2 places sont inoccupées. Pour calculer le nombre t de places à chaque table et le nombre p de personnes du groupe, il faut résoudre le sstème : 5t = p 4 6t = p + 2 3/3

8 FICHE AUTO-CORRECTIVE FICHE AUTO-CORRECTIVE FICHE AUTO-CORRECTIVE 1. Méthode par combinaison linéaire : = on multiplie tous les termes par 5 on multiplie tous les termes par 1 = on multiplie tous les termes par 3 on multiplie tous les termes par 2 10x 5 = x = 26 6x + 3 = 3 6x + 10 = = 39 13x = = 39 = 2 = 3 Méthode par substitution : Transformation de la première équation : = = + 5 On remplace par son expression dans la deuxième équation : 1= + 5(2x 1) 1= + 10x 5= 21 1= 13x = 26 1= = 2 On remplace x par sa valeur dans la première équation : 2 2 1= = 2 3= x =2 Vérification : = 4 3= = Réponse : Le couple ( x ; ) solution du sstème est égal à ( 2 ; 3 ). 1/1

9 FICHE AUTO-CORRECTIVE FICHE AUTO-CORRECTIVE FICHE AUTO-CORRECTIVE 2. 3x + 7 = 11 on multiplie tous les termes par 2 5x + 2 = 5 on multiplie tous les termes par 7 3x + 7 = 11 5x + 2 = 5 on multiplie tous les termes par 5 on multiplie tous les termes par 3 6x+ 14 = 22 35x 14 = x = 13 15x+ 35 = 55 15x + 6 = = 70 41x = = x = = 41 Réponse : Le couple ( x ; ) solution du sstème est égal à ( ; ). 3. Transformation de la première équation : = = 14 18= + 9 = 14 On remplace par son expression dans la deuxième équation : 18= + 9(4x 18) = 14 18= + 36x 162 = 14 18= 37 x = = = 4 On remplace x par sa valeur dans la première équation : = = 4 2 = x = 4 Réponse : Le couple ( x ; ) solution du sstème est égal à ( 4 ; 2 ). 2/2

10 FICHE AUTO-CORRECTIVE FICHE AUTO-CORRECTIVE FICHE AUTO-CORRECTIVE 4. Méthode par combinaison linéaire : + = 29 = 5 2 x = 34 Méthode par substitution : = 34 2 = 24 = 17 = 12 + = 29 x + = 5 2 = 24 + = 29 = 5 = 29 = 5 = = 5 = 29 2 = 24 = = 12 = 17 = 12 Réponse : Le couple ( x ; ) solution du sstème est égal à ( 17 ; 12 ). 5. Problème : Résolution du sstème donné par substitution : 5t = p 4 6t = p + 2 5t + 4= p 6t = p + 2 5t + 4= p 6 t = (5t + 4) + 2 5t + 4= p 6t = 5t t + 4= p t = = p t = = p t = 6 34 = p t = 6 Le couple ( t ; p ) solution est égal à ( 6 ; 34 ) Réponse : Les tables avaient 6 places et le groupe était de 34 personnes. 3/3