Thème N 13: PUISSANCES

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1 Thème N : PUISSANCES ACTIVITE : «Les bactéries». Complète le tableau suivant : Une bactérie est un organisme microscopique constitué d'une seule cellule et qui se reproduit en se divisant en deux. Lors d une culture de bactéries, on a constaté que la population double toutes les heures. Nombre de bactéries au départ au bout d au bout de au bout de au bout de au bout de heure heures heures heures heures 8. Ecris un calcul permettant de déterminer le nombre de bactéries au bout de la ème heure, de la ème heure et de la ème heure. Au bout de la ème heure : = 0. Au bout de la ème heure : = 8. Au bout de la ème heure : = 09.. Que peux-tu dire de l écriture des calculs proposés dans la question précédente? : Ils sont longs Propose un codage pour écrire ces différents calculs de façon beaucoup plus courte. On constate que pour le calcul : au bout de la ème heure il y a facteurs. On peut codifier ce produit par au bout de la ème heure il y a facteurs. On peut codifier ce produit par au bout de la ème heure il y a facteurs. On peut codifier ce produit par Exercice n : Complète chaque expression par l exposant manquant = ; 0, 0, 0, 0, 0, = 0, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ; Exercice n : Décompose chaque nombre comme dans l exercice : = ; ( ) = ( ) ( ) ( ) ;, =,,,,, Exercice n : Ecris les nombres suivants sous la forme d un produit :. de puissances de et de : A = = ( ) ( ) = B = 8 = ( ) ( ) ( ) =( ) ( ) = C = = ( ) ( ) = 9

2 . de puissances de, de et de : D = = E = 9 = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = F = = ( ) ( ) ( )= ( ) ( ) = G = = ( ou ) Exercice n : Calcule sans calculatrice: = ; ( ) = ; = 9 ; ( ) = ; ( ) 0 = (0,) = 0,0 ; = ; ( ) = ; ( ) = ; 0 = 0 ACTIVITE : «Avec un exposant négatif» On dispose d un jeu mathématique constitué de sept pièces. Sur chaque pièce sont inscrits deux nombres : l un sur un ovale et l autre sur un carré Pièce Pièce Pièce Pièce Pièce Pièce Pièce. Compare les deux nombres inscrits sur les pièces, et : 8 = ; = ; 9 =. Quel est le procédé qui permet de passer du nombre inscrit sur un ovale au nombre inscrit sur l ovale suivant? : Le procédé est «on divise le nombre par» 8 : = ; : = 9. Quel est le procédé qui permet de passer du nombre inscrit sur un carré au nombre inscrit sur le carré suivant? : Le procédé est «on soustrait à l exposant» = ; =. Complète ces deux suites logiques Pièce Pièce Pièce Pièce Pièce Pièce Pièce. Ecris chaque nombre sous la forme d une fraction ( tu peux utiliser la notation «puissance» au dénominateur ) : ; 8 ; = ; 8 = ; =

3 Exercice n : Complète : = ; = 9 ;, = ; ( ) = ; 9, ( ) ( = ( ) ) Exercice n : Ecris les nombres suivants sous la forme d un produit :. de puissances de et de : A = = = =. de puissances de, de et de : ; B = = = = = C = = = = D = = = = = 9 D = Exercice n : En utilisant ta calculatrice, complète le tableau en donnant l écriture décimale: a, n 8 a n 8, Exercice n 8 : Ecris sous la forme d une puissance. On pourra s aider à chaque du modèle proposé.. Produit de deux puissances d'un même nombre: Exemple : = ( ) ( ) = = ( ) ( ) = = ( ) ( ) = = ( ) ( ) =,, =, (,,,) =,. Quotient de deux puissances d'un même nombre: Exemple : = = = =, ; =, =,, ;. Puissance d un produit Exemple : ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = (, ) = (, ) (, ) = (,,) ( ) = ( ), = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) =

4 Exercice n 9: a) Indique le signe du nombre sans effectuer de calculs. positif négatif négatif ( ) ( ) ( ) négatif 8 postif négatif ( ) positif ( 9 ( ) ) positif 8 8 négatif b) Calcule en utilisant la calculatrice (,) = (,) 99, ;,,08, ; (,) (,) 9,90 0, 99 8,88 Exercice n : Calcule sans calculatrice les expressions suivantes: ( ) A = ( ) + ( ) B = 8 ( ) A = ( ) + ( ) A = + A = + A = B = 8 ( ) ( ) ( ) ( ) B = ( ) ( ) B = B = ACTIVITE : «Goutte d eau». Un orage s est abattu sur Brive. Le terrain de rugby, de longueur 0 m et de largeur 0 m, a reçu 0 mm d eau de pluie. a) Convertir en millimètres les dimensions du terrain : 0 m = mm ; 0 m = mm b) Le volume d un goutte d eau est d environ mm. Combien de gouttes d eau sont tombées sur la pelouse? Faire d abord le calcul à la main puis à la machine. Rappel : Le volume d un parallélépipède rectangle de hauteur h et de base un rectangle de longueur L et de largeur l est : Volume = L l h. A la main : = A la machine : ( écris ce que tu vois apparaître ) : Ce nombre est la puissance de d exposant. On dit aussi «puissance» ou encore «exposant». Il s écrit et suivant la calculatrice, on lit ou E.

5 . a) L aire d un carré de côté c a pour formule : Aire = c c = c Le volume d un cube d arête c a pour formule : Volume = c c c = c b) Complète : 0 = = exposant ; 000 = = exposant c) Propose une écriture avec exposant, des puissances de dix suivantes : 000 = = ; = = d) Que peux-tu dire du nombre de zéros de l écriture décimale de ces puissances de dix et de l exposant de la nouvelle écriture? : Le nombre de zéro est le même que celui de l exposant Complète : = ; = ; = 0. a) Complète le tableau suivant : Ecriture décimale Opération associée Ecriture sous forme de puissance de Exercice n : Ecris les nombres de deux façons : milliard s écrit : ou 9 La distance entre deux molécules gazeuses est d environ de dix mille nanomètres : 000 nm = nm Une galaxie contient environ cent milliards d étoiles : = Un grain de sel contient environ mille milliards d atomes = Exercice n : ) Complète : 000 = 000 = ; 00 = 0 = ; 00 =, 000 =, ; = 8, = 8, =, = 0 = 0, 8 ; 9 = 0,9 = 0,09 = =,88.. = 880 = 0,088 ) Complète par un nombre : = ; 0, = 0,008 ; 0,000 8 = , = ;,9 = 900 ; 0,0 =,

6 Exercice n : «Produit par une puissance de» Exemple : Donne l écriture décimale du nombre, Avec la Casio D : Pour afficher (la plupart du temps) les résultats sous forme décimale : SHIFT MODE 8 ( Norm ) ( Norm? ) Pour afficher le résultat :, x EXE Avec la TI-Collège : Pour afficher (la plupart du temps) les résultats sous forme décimale : nde MODE ENTER ( SCI/ING) ENTER ( FLO) Pour afficher le résultat : ENTER, x ENTER Complète le tableau : JE TAPE : JE VOIS : C EST LE CALCUL DE : x = x = ,0 x = 0, x = 000 x = x = ,000 8 x = 0, ,0 x = =,

7 ACTIVITE : a. Complète le tableau suivant : Ecriture sous forme Son écriture décimale L inverse du nombre en Son écriture décimale d une puissance de écriture fractionnaire 0 0, , , , , b. Compare d après le tableau ci-dessus le nombre de zéros des deux écritures décimales : même nombre de zéros. On écrira 0,0 =. Ce nombre est la puissance de d exposant -. On l appelle «puissance» ou bien «exposant -». Complète : 0,00 = - ; 0,000 0 = - ; 0, = - 8 ; 0, = = ; = ; Exercice n : Un neurone est une cellule appartenant au système nerveux. Le cerveau contient environ neurones. L influx nerveux est transmis d un neurone à l autre au niveau de zones appelées synapses. Le nombre total de synapses est estimé à environ Le diamètre du corps cellulaire des neurones varie selon leur type de 0, à 0,000 m Ecris chacun des nombres sous la forme d une puissance de ou d un nombre multiplié par une puissance de 0, = 0, = - = - ; 0,000 = 0,000 0 = - = - Exercice : a) Ecrire sous forme de puissances de 000 = ; 000 = ; = 0 ; 0, = - ; = ; 0,00 = - 0, = - ; 0 = ; 0, = - ; = 9 b) Donne l écriture décimale des nombres suivants : = 000 ; - = 0,000 ; - 9 = 0, ; = ; 0 = ; - = 0,00 ; - = 0, ; =

8 Exercice n : ) Complète : 0,000 = 0,000 0 = - ; 0, 00 = 0,000 = - ; 0,000 =, 0,000 0 =, - 0, = - 8 =, - = 0-9 ; 0,9 = 9 - = 0,09 = =,88 = = ) Complète par un nombre décimale : - = 0, ; 0,008 = 8 ; 00 - = 0,0 8, - = 0,008 ; 8 - = 0,000 8 ; 0,0 = ) a. Trouve la touche qui permet de calculer 8 - en tapant 8? (-) = b. Calcule, en utilisant la touche précédente : - = 0,000 0 ; - - = 0,0 ; - = 0, ; 8 - = 8, Exercice n : Calcule, = 0 ; = ,0 = 00 ; 0 =, = 0,00 ; 0,0 = 0,000 ACTIVITE :. Complète le tableau : Opérations avec des puissances de dix Opérations écrites sous forme décimale Résultat de l opération sous forme décimale Résultat sous de forme de puissance de ,0-0, , , ,0 0, , , 0. Comment peux- tu passer directement de la première colonne à la dernière colonne? : En ajoutant les exposants. Ecris sous forme de puissance de dix les nombres suivants : = + = ; = + = ; - = + (-) = - ; - - = - + (-) = - 9 Si n et m sont deux entiers relatifs, alors n m = n + m

9 Exercice n 8 : Ecrire sous forme d une puissance de dix : - - = - + (-) = - 8 ; 9 = + 9 = ; - - = - +(-) = - - = - + = - ; - 0 = = - ; = + = ; - = + (-) = 0 ; - - = - + (-) = -. Exercice n 9 : A = - ; B = a. Existe-t-il une règle de calcul sur les puissances de permettant le calcul de A? Si oui laquelle?: Oui, il s agit de la règle n m = n + m b. Calculer A : A = - = + (- ) = = 0. Même question pour B. : Non : B = + - = , = 000,. Vérifier avec la calculatrice. ACTIVITE : Ecriture scientifique. Observe les nombres de l encadré ci-dessous. Ils sont écrits sous la forme a p : Comment a été choisi le décimal a? : Il s écrit avec un seul chiffre autre que le zéro avant la virgule. Cette écriture d un nombre s appelle la notation scientifique.. Donne la notation scientifique des nombres suivants : Constantes physiques Masse de l électron au repos 9, kg Masse du proton au repos, - kg Charge de l électron -, - 9 coulomb Nombre d Avogadro,0 Masse du neutron au repos, - kg 0 =,0 ; 00 =, ; = 8, ; 0, =, - 0,09 = 9, - ; 0,00 8 =,8 - ; -,9 = -,9 ; 8, =,8 Exercice n 0 :. Ecris la notation scientifique des nombres suivants : 0, =,0 ; = -,8 ; - 0,0 = -, - ; 0,000 = = ; 00 =,00 ; 9 - =, 9 - =, 9 0 milliards = 9 =, ; 0, =, - =, =, ; 0 millions = 0 =, =,0 8 ; = 9, ; 0,0 - =, - - =, -. Donne l écriture décimale des nombres suivants :, = 000 ; -, = -, ;,000 - = 0,00 00 ; = ;,0 = ;, - = 0,0 ;, = 0 ; 98 - = 9,8

10 Exercice n : Ecris les nombres suivants en notation scientifique : A = 0, =,8 - B =, =, C = 0, =, - D = 000 =, =, E = 0,0 - =, - - =, - F = =,8 0 =,8 8 G = 0, =,8 - =,8 - Exercice n : a. Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui sont écris en notation scientifique? 8 A = 0, ; B =,8 ; C = ; D =,98 Les nombres B et D sont en notation scientifique. b. Ecris les nombres suivants en notation scientifique : A = 000 =, B = 0,000 =, - C = 0, =, - D = =, =, E = 0, =, - =, F =, =, - =, - ACTIVITE : ) Complète suivant le modèle : ( ) = = ( ) = = 8 ; ( ) = = ( ) = = ; ( ) = = 8 ( m ) n = m n ) D après certains astronomes, dans un cube centré au Soleil et de km de côté on compterait une centaine d étoiles. Calculer en km le volume de ce gros cube. ( ) = = Exercice n : Complète : ( ) = = ( ) ; ( ) = = ; ( ) = = - ( ) ; ( ) = = -

11 ACTIVITE 8 : ) Complète le tableau n m Ecriture décimale de = = 0, = = 0, n Ecriture décimale de n Ecriture décimale de n m Ecriture décimale de n m = 0, = = 0 0 = = 0 = 0, = = = = 0 - = = 000 0,000 0,000 = 000 = = 000 0, = - = 0, = = 0,0 0 0 = 0,0 = = ,00 - = - = 0, = = 0,00 0,00 0,00 = 000 = = 0,000 - ( - ) = = - = = 0, = = 0 00 = 0,00 = = 0, = 0 = = = ( - ) = 8 = , 0 - = - = 0, ) En observant le tableau, complète : n = - n ; n m = n - m ) Trouve une autre façon en utilisant les puissances de dix de calculer : = = = 0 ) Ecrire les quotients suivants sous la forme n : 8 8 = = ; = = - ; = - ( ) ; = = 9 ; =

12 Exercice n : Ecris sous la forme d une seule puissance de dix : + = = + ; = = + ; = = ; + ( ) = = ( ) ; = = - + ; = = ; = = = ; = = ; = = ; = = ; = - ; = = 8 ; = = - ; ( ) = = 8 ; 8 ( ) = = ; ( ) = = 0 ; ( ) = = 0 ; ( ) = = ; + 0 = = = + ; ( ) = = = = ; - + ( ) 000 = = = + + ( ) ; = = ; ( ) = = = = ; + = = = = ; ( = = = ) = ; Exercice n : Sujets de Brevet N : A = 0, 0009 =,9 B =, =, N :, ( ), 0,8 C = = = = = 0, 0 =,, 0, D = = = 0,8 = 8 N :. = 0, E = = =. F = = =,, G = = = =, N : 0 0,, H = = = = = = = 0 ( ) ( ) ( ) 8 I = = = = = = 8 N : J =, + =, ,0 = , = 00,

13 Corrigé des exercices du livre. Exercice n _ page 8 : distance On a : vitesse =. temps a) On a vitesse = km / s et distance = km, Donc : = soit encore temps = = = = 0, 0000 temps Il s est écoulé 0,000 0 seconde avant de voir l éclair. b) On a vitesse = 0 m / s et distance = km = 000 m, Donc : 0 = soit encore temps = 8, 8 temps 0 Il s est écoulé environ 8,8 secondes avant d entendre le tonnerre. c) L instant qui sépare la vue de l ouïe est de environ 8,8 0, ,8 Soit en multipliant par 0,, on obtient environ, km Exercice n _ page 9 : On a : = = 0000 Le rayon du noyau est fois plus petit que le rayon de l atome. Exercice n 8_ page 9 : On a :,0,99 =,0,99 0 =,988, 98 Une mole de carbone pèse environ,98 grammes Exercice n 9 page 9 : Il s agit d une situation de proportionnalité.,0 On a : =,, Il y a, globules rouges dans litres de sang