ECE Colle de mathématiques 24

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1 ECE Colle de mathématiques 24 I) Programme de colle : semaine 24 du lundi 0 juin au vendredi 4 juin Variables aléatoires discrètes Définitions générales Variable aléatoire à valeurs réelles Variable aléatoire réelle discrète Loi de probabilité d une variable aléatoire Système complet d événements associé à une variable aléatoire X Cas d une variable aléatoire réelle discrète finie Cas d une variable aléatoire réelle discrète infinie Fonction de répartition Propriétés Loi d une fonction d une variable aléatoire réelle discrète Moments d une variable aléatoire réelle discrète Espérance Cas d une variable aléatoire réelle discrète finie Cas d une variable aléatoire réelle discrète infinie Propriétés Théorème de transfert Moments d ordre r Variance et écart type Formule de Koenig-Huygens Propriétés Variables centrées réduites Lois usuelles Loi de Bernoulli Loi binomiale Loi de Bernoulli Loi hypergéométrique Loi uniforme Loi de géométrique Loi de Poisson Les exercices suivants ont été traités en classe et sont donnés à titre d indication :

2 II) Exercices traités en classe : Exercice : Soit X une variable aléatoire réelle prenant les valeurs, 4, et 6 Déterminer la loi de probabilité de X sachant que : P (X = ) = P (X = 4), P (X < ) = et P (X > ) = 4 2 Calculer l espérance E(X) puis la variance V (X) de X Exercice 2 : Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires On effectue des tirages successifs (sans remise) jusqu a ce qu il ne reste plus qu une seule couleur dans l urne On note X la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués Déterminer la loi de X 2 Calculer l espérance puis la variance de X Exercice : On tire simultanément trois jetons dans une urne contenant n jetons numérotés de à n (n ) Soit X la variable aléatoire égale au plus grand numéro obtenu Déterminer la loi de X n 2 En déduire la formule : k=2 ( ) k = 2 ( ) n Remarque : en généralisant le procédé, on obtient : 0 p n, n k=p ( ) k = p ( ) n + p + CalculerE(X) (on utilisera la formule : K ( ) ( K N = N K N ) puis celle rappelée ci-dessus) Exercice 4 : Une urne contient une boule blanche et une boule rouge On effectue des tirages successifs d une boule dans cette urne avec la règle suivante : si on obtient une boule rouge, on arrête ; si on obtient la boule blanche, on la remet dans l urne et on ajoute une boule rouge avant d effectuer un nouveau tirage On note T la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués (on admet que l événement on ne tire jamais de boule rouge est de probabilité nulle) Déterminer la loi de T 2 On pose : S = T + (a) Donner la loi de S (b) Montrer que S admet une espérance et la calculer (c) En déduire que T admet une espérance et donner sa valeur Calcul de la variance de T (a) Montrer que (T )(T + ) admet une espérance et calculer E((T )(T + )) (b) En déduire l existence puis la valeur de V (T ) Exercice : On joue à pile ou face avec une pièce non équilibrée À chaque lancer, la probabilité d obtenir pile est égale à 2 tandis que celle d obtenir face est égale à On note X la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires pour l obtention, pour la première fois, des deux côtés de la pièce (on admet que l événement la pièce retombe toujours du même côté est de probabilité nulle)

3 Déterminer la loi de X 2 Montrer que X admet une espérance et calculer E(X) Calcul de la variance de X (a) Montrer que X(X ) admet une espérance et calculer E(X(X )) (b) En déduire l existence puis la valeur de V (X) II) Lois usuelles Exercice 6 : Soit Y une variable aléatoire de loi : 7 9 Déterminer deux réels a et b vérifiant Y = ax + b, où la variable aléatoire X suit une loi usuelle En déduire l espérance et la variance de la variable aléatoire Y Exercice 7 : Une pièce de monnaie est telle qu à chaque lancer la probabilité d obtenir face est On lance 20 fois de 4 suite cette pièce et on appelle X la variable aléatoire égale au nombre de côtés face obtenus Reconnaître la loi suivie par X 2 Calculer P (X = ) et P (X 7) Exercice 8 : Un écolier vous propose des tickets de tombola qui se présentent sous la forme de carnets de dix tickets dont un seul est gagnant Vous décidez d acheter deux tickets Vaut-il mieux les prendre dans le même carnet ou dans deux carnets différents? Exercice 9 : On tire une à une et sans remise cartes d un jeu de 2 cartes Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de rois obtenus Reconnaître la loi de probabilité de Y et donner la valeur de E(Y ) 2 Un jeu consiste à miser 2 euros et à recevoir a euros par roi obtenu Soit G Y la variable aléatoire égale au gain en euros (a) Exprimer G Y en fonction de Y et de a (b) Pour quelles valeurs de a le jeu est-il favorable au joueur? Exercice 0 : Sur une chaîne de production, une machine fabrique des paquets constitués d un mélange de deux produits A et B La machine est usagée et les poids sont variables : pour le produit A, elle met 00 grammes avec la probabilité 9 et 0 g avec la probabilité ; pour le produit B, elle met 0 g avec la probabilité et g avec la probabilité 0 0 Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire M égale au poids en gramme d un paquet issu de la chaîne de production 2 Calculer le poids moyen d un paquet issu de la chaîne de production (pour simplifier les calculs, on pourra s intresser à la variable aléatoire X = M 0 )

4 Dans un lot de 400 paquets issus de la chaîne de production, on note N le nombre de paquets dont le poids est 2 g Reconnaître la loi suivie par N Exercice : Une piste rectiligne est divisée en cases numérotées 0,, 2,, 00, de gauche à droite Une puce se déplace vers la droite de une ou deux cases au hasard à chaque saut Au départ, elle est sur la case 0 Soit X n la variable aléatoire égale au numéro de la case occupée par la puce après n sauts L objectif de cet exercice est de déterminer la loi de probabilité de X n puis de calculer E(X n ) et V (X n ) Déterminer la loi de probabilité de X 2 On appelle Y n la variable aléatoire égale au nombre de fois où la puce a sauté d une case au cours des n premiers sauts Reconnaître la loi de probabilité de Y n puis déterminer son espérance ainsi que sa variance Déterminer X n en fonction de Y n, en déduire la loi de probabilité de X n puis déterminer les valeurs de E(X n ) et de V (X n ) Exercice 2 : Une urne contient a boules blanches et b boules noires On effectue une série infinie de tirages successifs en remettant à chaque fois la boule tirée Soit X la variable aléatoire égale au rang d apparition de la première boule blanche Reconnaître la loi de X et donner la valeur de E(X) 2 Soit Y la variable aléatoire égale au rang d apparition de la deuxième boule blanche Déterminer la loi de Y et calculer son espérance Exercice : Une pièce de monnaie amène pile avec la probabilité p ( 0 < p < ) et face avec la probabilité q = p Un joueur lance cette pièce jusqu à obtenir le côté pile pour la première fois mais sans dépasser un nombre m de lancers quil s est fixé au départ On note Y la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués par ce joueur Justifier que Y = min(x, m) où X est une variable aléatoire qui suit une loi usuelle 2 Déterminer la loi de Y et calculer son espérance Exercice 4 : On déplace un pion sur les cases ci-contre selon les règles suivantes : Au début, le pion est en O Lorsqu il est en O, on le déplace sur l une des cases A Lorsqu il est en A, la probabilité qu il retourne en O est et la probabilité qu il aille sur l une des cases B voisines de A est 2 Lorsqu il est en B, on le déplace sur l une des cases A voisines Soit X la variable aléatoire égale au nombre de déplacements nécessaires au retour pour la première fois du jeton en O Déterminer la loi de X 2 On pose : Y = X Montrer que Y suit une loi usuelle dont on déterminera le(s) paramètre(s) 2 En déduire l espérance et la variance de Y puis celles de X Exercice :

5 On note N le nombre de personnes entrant dans un service de radiologie entre 9 h et 0 h On suppose que N suit une loi de Poisson et que de plus, il entre en moyenne 6 personnes pendant cette heure Déterminer la probabilité qu il n entre dans ce service pas plus de 2 personnes entre 9 h et 0 h 2 Déterminer la probabilité qu il entre dans ce service au moins 4 personnes entre 9 h et 0 h On sait qu il est entré dans ce service strictement plus de personnes entre 9 h et 0 h Déterminer la probabilité qu il ne soit pas entré plus de personnes