Ondes stationnaires page 1/8 ONDES STATIONNAIRES

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1 Ondes stationnaires page 1/8 A. L epérience de Melde ONDES SAIONNAIRES 1. Description de l epérience Nous considérons une corde tendue entre un vibreur et une poulie. Voir figure ci-dessous. Le vibreur communique { l etrémité S un mouvement sinusoïdal d amplitude a et de période (de pulsation ω = π/, de fréquence f = 1/). S habituer { ces trois paramètres! L etrémité O est fie, la présence de la poulie l empêchant de vibrer. S O S O. Observations a) Observation des fuseau Lorsque la longueur de la corde est quelconque le mouvement de la corde est très faible et irrégulier. Lorsque la longueur de la corde est adéquate, on observe une série de fuseau succession de nœuds et de ventres toutes les plaisanteries ont déjà été faites! L amplitude des fuseau est très grande par rapport { l amplitude du vibreur. Le point S est pratiquement fie. b) Le mouvement de la corde Lorsque nous observons la corde { l aide d un stroboscope, nous voyons son mouvement au ralenti. La corde oscille autour de sa position d équilibre. Voir figure ci-dessous où sont représentées quelques positions de la corde.

2 Ondes stationnaires page /8 ous les points du premier fuseau montent ensemble puis descendent ensemble : ils vibrent en phase. De même pour les deu autres fuseau. Mais les points du deuième fuseau sont en opposition de phase avec ceu du premier : ils descendent quand les premiers montent et réciproquement. Ceu du troisième fuseau vibrent en phase avec ceu du premier et en opposition de phase avec ceu du deuième ; Et ainsi de suite s il y avait plus de fuseau. c) Nœuds et ventres de déformation Considérons une petite portion de corde entourant un ventre de déplacement (au milieu d un fuseau). Au cours du mouvement elle ne se déforme pratiquement pas : à un ventre de déplacement correspond un nœud de déformation. Considérons une petite portion de corde entourant un nœud de déplacement. Au cours du mouvement elle se déforme beaucoup : { un nœud de déplacement correspond un ventre de déformation. A un ventre de déplacement correspond un maimum d énergie cinétique et un minimum d énergie potentielle de déformation ; A un nœud de déplacement correspond un maimum d énergie potentielle de déformation et un minimum d énergie cinétique. B. Analyse du phénomène 1. L onde incidente et l onde réfléchie Le vibreur met en mouvement l etrémité S de la corde. Cette vibration se propage le long de la corde avec une célérité c. Il s agit l{ d une onde progressive. Lorsque l onde atteint l etrémité O de la corde, cette onde progressive se réfléchit sur l obstacle. Cette réfleion donne naissance { une deuième onde progressive se propageant en sens inverse avec la même célérité. (La célérité ne dépend que du milieu et de son état, ici de la masse linéique de la corde et de sa tension.). Obtention de l onde stationnaire L onde incidente et l onde réfléchie se superposent et c est cette superposition qui donne naissance { l onde stationnaire. Si la longueur de la corde n est pas adéquate, des maima de l onde incidente coïncident (eactement ou presque) avec des minima de l onde réfléchie et les ondes se brouillent : on n observe pas la succession de ventres et de nœuds. L onde est dite «stationnaire» car l emplacement des fuseau est fie. Cela s oppose { l onde «progressive» dans laquelle les positions des points d amplitude donnée varient au cours du temps. 3. Remarque En arrivant sur l etrémité S l onde réfléchie se réfléchit { nouveau et ainsi de suite. On a donc en réalité superposition d une infinité d ondes. Mais ces ondes sont de plus en plus faibles car la propagation s accompagne d un amortissement. C est ce qui eplique que l amplitude des ventres n est pas infinie. C. Mise en équation du phénomène 1. Le modèle Nous allons utiliser un modèle simple ne tenant compte que de la première onde incidente et de la première onde réfléchie et négligeant l amortissement. Ce modèle malgré sa simplicité va nous permettre d epliquer l eistence d une onde stationnaire et de calculer la longueur d un fuseau, donc de maîtriser le réglage de la longueur de la corde (qui est manifestement égale à un nombre entier de fuseau).

3 Ondes stationnaires page 3/8. Principe de superposition des petits mouvements Considérons un point M sollicité par deu ondes. Si la première onde eistait seule, l élongation de M serait y M, 1 ; de même y M, pour la deuième onde seule. Lorsque ces deu élongations sont petites l élongation résultante de M est la somme algébrique de y M, 1 et y M, : y M = y M, 1 + y M, Remarque : Ce principe et sa limitation peuvent s observer facilement près d une digue en bord de mer. Personnellement j affectionne le Plat-Gousset à Granville par grande marée! Lorsque les vagues arrivent sur la digue, elles s y réfléchissent. Si la mer n est pas trop forte les vagues incidentes s ajoutent au vagues réfléchies quand elles se rencontrent puis se séparent retrouvant leurs formes initiales. Principe de superposition des petits mouvements. Si la mer est déchaînée, lorsque les vagues se rencontrent, de l écume se forme jaillissant très haut puis retombant platement en détruisant les deu vagues. Limitation du principe de superposition des petits mouvements. 3. Repérage Il faut écrire l epression mathématique de l onde incidente et de l onde réfléchie. La réfleion se produisant en O, c est ce point que nous prenons pour origine. Les positions des points de la corde sont repérées grâce à un ae (O) orienté de O vers S. S L 0 M O 4. Le mouvement de O Le point O est immobile et son immobilité résulte de la superposition de l onde incidente et de l onde réfléchie. En notant y O l élongation du point O, cela donne : y 0 y y O O, i O, r L élongation incidente y O, i résulte de la propagation du mouvement du vibreur de S à O. Elle est donc sinusoïdale : yoi, a cos( t ' ) a cos t ' a cos( ft ' ) Nous pouvons choisir l origine des dates de façon que la phase { l origine φ soit nulle : yoi, a cos( t) a cos t a cos( ft) L immobilité de O impose donc pour l onde réfléchie : yo, r a cos( t) a cos t a cos( ft) a cos( ft ) La réfleion s accompagne donc d un changement de signe qui correspond à une augmentation de la phase de π. Au moment de la réfleion une bosse se transforme en un creu.

4 Ondes stationnaires page 4/8 5. Le mouvement de M Le point M est un point quelconque de la corde. a) Onde incidente L onde incidente arrive en M avant d arriver en O. L onde met un temps Δt = /c pour se propager de M en O. Le mouvement de M à la date t est celui que O aura /c secondes plus tard, c'est-à-dire à la date t + /c. Donc : ym, i a cos t a cos t a cos f t c c c Remarque : Nous pouvons développer la deuième forme pour faire apparaître la longueur d onde et mettre ainsi en évidence les deu périodes, temporelle et spatiale, de l onde progressive sinusoïdale : t t ym, i a cos t a cos a cos c c b) Onde réfléchie L onde réfléchie arrive en M après avoir quitté O. L onde met un temps Δt = /c pour se propager de O en M. Le mouvement de M à la date t est celui que O avait /c secondes plus tôt, c'est-à-dire à la date t - /c. Donc : ym, r a cos t a cos t a cos f t c c c Remarque : Nous pouvons développer la deuième forme pour faire apparaître la longueur d onde et mettre ainsi en évidence les deu périodes, temporelle et spatiale, de l onde progressive sinusoïdale : t t ym, r a cos t a cos a cos c c c) Superposition Le mouvement de M résulte de la superposition de ces deu ondes : ym ym, i ym, r a cos t a cos t c c Or p q p q cos p cos q sin sin Donc y asin t sin M c y asin sin t M

5 Ondes stationnaires page 5/8 Car sin t sin c c t D. Interprétation 1. Comparaison entre onde progressive et stationnaire Les ondes progressives incidente et réfléchie s écrivent : y, acos M i t y, acos M r t L onde stationnaire s écrit : y asin sin t M Nous voyons immédiatement que dans l onde progressive l influence du temps et de l espace sont intimement liées dans un même facteur tandis que dans l onde stationnaire ces deu influences interviennent dans deu facteurs différents.. L onde stationnaire Le facteur dépendant de la date sin(ωt + φ) montre que le mouvement de M est sinusoïdal de période (de pulsation ω = π/, de fréquence f = 1/). Le terme dépendant de l abscisse asin apparaît comme l amplitude du mouvement sinusoïdal de M. Conclusion : ous les points de la corde vibrent à la même pulsation ω mais avec des amplitudes qui dépendent de leur position. 3. Etude de l amplitude L amplitude est une fonction sinusoïdale de. En fait l amplitude est la valeur absolue du sinus car elle est par définition positive. Nous allons rechercher ses minima - qui correspondent au nœuds - et ses maima - qui correspondent au ventres. a) Recherche des minima : les nœuds La plus petite valeur de la valeur absolue d un sinus est zéro : asin 0 n n

6 Ondes stationnaires page 6/8 La distance entre deu minima consécutifs correspond { Δn = 1 : La longueur d un fuseau est donc λ/. b) Recherche des maima : les ventres La plus grande valeur de la valeur absolue d un sinus est 1 (l amplitude d un ventre est donc a) : sin 1 sin 1 n (n 1) (n 1) 4 Le premier maima correspond à n =0, donc à : 4 La distance entre deu maima consécutifs correspond { Δn = 1 : c) Conclusion Les nœuds et les ventres sont régulièrement espacés tous les λ/4. La corde présente un nombre entier de fuseau : L p Donc si nous disposons d une corde déterminée (de longueur, de masse linéique et de tension données) pour observer l onde stationnaire il faut ajuster la période temporelle (ou fréquence ou pulsation) de l onde : c L p p L c c f p p cp L L Dans ce modèle simple l amplitude maimum est a, beaucoup plus faible que l amplitude observée, car nous avons négligé les réfleions successives qui ont pour effet de renforcer l onde stationnaire lorsque la fréquence du vibreur est f = p c/l. 4. Les instruments à cordes a) Oscillations forcées, oscillations propres Nous venons d étudier ce qu on appelle les oscillations (sinusoïdales) forcées d une corde. Forcées car c est le vibreur qui obligent la corde { vibrer, et lorsqu elle vibre notablement, elle le fait à la fréquence imposée par le vibreur.

7 Ondes stationnaires page 7/8 Dans les instruments de musique (guitare, violon, etc.) l instrumentiste pince ou frotte la corde qui est ainsi écartée de sa position d équilibre. Laissée { elle-même, elle retourne vers sa position d équilibre en vibrant. Ces vibrations sont les oscillations propres de la corde. Propres car la corde vibre selon une de ses fréquences propres, c'est-à-dire une des siennes. b) Résonance Dans le cas des oscillations forcées, nous avons en fait observé un phénomène de résonance. Lorsque la fréquence du vibreur s écarte d une des fréquences f = p c/l, la corde vibre mais avec une amplitude d autant plus faible que l écart de fréquence est grand. Lorsque la fréquence du vibreur est proche d une des fréquences f = p c/l, la corde vibre avec une amplitude d autant plus grande que l écart de fréquence est petit ; l amplitude est maimum { la résonance c'est-àdire lorsque f = p c/l. c) Les modes propres On constate epérimentalement que les fréquences propres de la corde et les fréquences de résonance sont égales. On peut mettre en équation le mouvement propre de la corde et l on trouve qu une corde donnée possède une infinité de modes propres qui sont définis par leurs fréquences f = p c/l. Le premier mode (p = 1) est le premier «harmonique» aussi appelé «fondamental» ; lorsqu elle vibre selon ce mode, la corde prend l aspect d un fuseau. Le deuième harmonique (p = ) donne { la corde l aspect de deu fuseau. Et ainsi de suite. En général la corde vibre selon une superposition du fondamental et d harmoniques. Le fondamental détermine la fréquence du son. (Le fondamental est de période 1 = L/c.Une fonction de période 1/p est aussi de période 1. Donc la somme des vibrations est de période 1.) Les harmoniques suivants correspondent au timbre de l instrument. d) Etrémité libre On peut conduire l epérience de Melde avec une corde verticale. On retrouve bien sûr les mêmes résultats mais cette disposition permet aussi de laisser l etrémité basse libre de vibrer. On y observe alors un ventre de déplacement. Et la longueur de la corde devient égale à : L p p Les instruments à vent Les instruments { vent fonctionnent de la même manière. C est l air contenu dans les tuyau qui vibre. Chaque tranche d air se comporte comme chaque élément de corde. Mais la vibration est longitudinale (la direction de propagation des ondes est la même que la direction du déplacement des tranches d air) tandis que la vibration d une corde est transversale (la direction de propagation des ondes est perpendiculaire à la direction du déplacement des éléments de corde). La déformation des tranches d air se traduit par des variations de la pression P autour de la pression atmosphérique P 0. On introduit la surpression ou pression acoustique p = P P 0 (elle peut être positive, nulle ou négative). A un nœud de déplacement correspond un ventre de pression acoustique et { un ventre de déplacement un nœud de pression acoustique.

8 Ondes stationnaires page 8/8 La figure ci-dessus représente un fuseau découpé en tranches d air. En pointillés leurs positions au repos, en traits pleins, leurs positions à une date donnée. Au centre de la figure se trouve un ventre de déplacement, les tranches d air y sont peu déformées donc c est un nœud de pression. Au etrémités se trouvent des nœuds de déplacement ; { gauche les tranches d air sont dilatées, à gauche, elles sont comprimées donc ce sont des ventres de pression. ous les dispositifs de production du son (lèvres, anche ) imposent un ventre de déplacement (nœud de pression acoustique) en S. Un tuyau fermé en O impose à cette etrémité un nœud de déplacement (ventre de pression acoustique). La longueur du tuyau est un multiple impair du quart de la longueur d onde. Un tuyau ouvert impose { son etrémité un nœud de pression acoustique car la pression est imposée par l atmosphère etérieure et ne peut donc varier. La longueur du tuyau est un multiple entier de la demi-longueur d onde. E. Complément mathématique cos( a b) cos acos b sin asin b Si a = b, cos( a) cos a sin a (air connu) cos( a b) cos acos b sin asin b Il suffit de changer b en b. cos( a b) cos a cosb sin asin b cos( a b) cos a cosb sin asin b cos( a b) cos( a b) sin asin b Si a = b, cos(0) 1 cos a sin a (air connu) p q p q cos p cos q sin sin En ayant posé a b p a b q