Jeux et Applications à l Economie Industrielle

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1 Jeux et Applications à l Economie Industrielle Cours de Jean-Philippe Tropeano 1 Dossier de Travaux Dirigés 1er semestre version 04/11/15 1 Centre d Economie de la Sorbonne - Université Paris 1. tropeano@univ-paris1.fr

2 Listes des exercices A Introduction 1. Coût comptable et coût économique 2. Rente d innovation 3. Pouvoir de monopole et bien-être 4 Financement d infrastructure B Discrimination par les prix 5. Discrimination par les prix 6. Le vendeur de soda 7 Discrimination et revente entre les consommateurs 8. Vente liée C Discrimination intertemporelle 9. Bien durable et pouvoir de monopole D Eléments de théorie des jeux 10. Dans le bus 11. La bataille des sexes après vingt ans de mariage 11. Coopération entre firmes 13. Standard de HDTV 14 Stratégie punitive E Fondements des modèles d oligopole 15. Le coût des intrants 16. Cournot vs Bertrand avec coûts asymétriques 17. Concurrence à la Bertrand séquentielle 18. Libre entrée F Differenciation 19. Différenciation verticale et nombre de qualités viables 20. Différenciation horizontale, incitations à innover et structure des coûts G Politique de la concurrence 21. Fusions 22. Collusion en concurrence à la Bertrand 23. Collusion et demande aléatoire 24. Collusion et marchés séparés H Innovation 2

3 25. Choix technologique face à la concurrence potentielle 26. Learning by doing 27. Brevet optimal en concurrence à la Bertrand 3

4 A Introduction Exercice 1 Coût comptable et coût économique Vous envisagez d ouvrir un restaurant. Pour cela, vous allez devoir quitter votre travail actuel, qui vous rapporte euros par an. Par ailleurs, pour acheter le matériel nécessaire au fonctionnement du restaurant, vous allez devoir utiliser votre épargne qui s élève à euros et qui vous rapportait 6% par an. Vous estimez que l amortissement de cet équipement s élèvera à euros durant la première année. En outre, vous possédez des locaux pouvant accueillir votre restaurant. Actuellement, vous louez ces locaux pour 3000 euros par mois. Enfin, vous estimez que vous aurez à dépenser euros pour la nourriture, euros pour le personnel et euros en frais divers durant la première année. Il n y a pas d autres frais. Quelles doivent être les recettes la première année pour que ce projet soit rentable? Exercice 2 Rente d innovation Après avoir dépensé 6 milliards d euros en dix ans, vous avez finalement obtenu de l administration l autorisation de vendre un nouveau médicament breveté, qui permet de soulager certains maux des personnes âgées. Des études de marché ont montré que la demande annuelle peut être décrite par la fonction à élasticité constante suivante : q = D(p) = p Vous estimez que le coût marginal de production et de commercialisation d une unité de ce médicament est de 6 euros. 1. Quel est le prix de l unité qui maximise le profit de l entreprise? 2. Sachant que votre facteur d escompte annuel est δ = 0.9, combien d années votre brevet doit-il durer pour que votre investissement de R&D soit rentabilisé avant l expiration du brevet? Exercice 3 Pouvoir de monopole et bien-être 4

5 On considère un marché avec une entreprise en monopole. La fonction de demande, à élasticité constante, est donnée par : q = D(p) = p ε o ε > 1 1. Définir et calculer le surplus net des consommateurs, noté S(p). 2. Sachant que le coût marginal de production est égal à c, calculer le prix de monopole, noté p m. Comment varie le taux de marge, défini par µ = (p m c)/p m, avec l élasticité de la demande? 3. Définir le bien-être total dans le cas général, noté W(p). Montrer qu un régulateur cherchant à maximiser le bien-être conduirait à une valeur du bien-être égale à ew = c 1 ε /(ε 1) et donner le prix et la quantité correspondants. Commentez les résultats obtenus. Exercice 4 Financement d infrastructure Dans cet exercice, on va considérer deux villes, A et B, séparées par une rivière. Pour se rendre de l une à l autre, les habitants doivent effectuer un long détour. Les pouvoirs publics décident de faire construire un pont entre les deux villes. Ils estiment qu il y aura N consommateurs qui en profiteront, et que l utilité qu ils en retireront sera uniformément distribué entre 0 et 1. Le prix de construction du pont est F 2] N 2, N 4 [. Pour financer le projet, la mairie propose de déléguer la construction et l exploitation du pont à une entreprise. 1. En supposant que les individus paient un prix p pour utiliser le pont, donner la demande et le surplus des consommateurs. 2. Donner le prix et les profits du monopole (hors coût d investissement). Pourquoi est-ce qu aucune entreprise ne va accepter de construire le pont? 3. On suppose maintenant que les pouvoirs publics payent le monopole pour qu il construise ce pont. Soit T ce transfert monétaire. Que doit valoir T pour que le monopole accepte de construire le pont? 5

6 4. On suppose maintenant que les pouvoirs publics souhaitent réguler le monopole. Montrer que le bien-être pour un prix p et des transferts T s écrit : W = N 2 1 p 2 F. (Ne pas oublier que les transferts monétaires partent des consommateurs pour aller au monopole, ce sont les consommateurs qui payent les impôts!) 5. En déduire le prix fixé par les pouvoirs publics. Que vaut le profit du monopole? Le bien-être est il supérieur au cas de la question 3)? B Discrimination par les prix Exercice 5 Discrimination par les prix Un monopole vend un bien dont le coût unitaire de production est normalisé à 0. Le bien peut être vendu sur deux marchés différents, i = 1, 2. Chaque marché est composé q d un consommateur représentatif d utilité U i (p, q) = a i q 2 2 pq, i = 1, 2. On supposera que a 1 > a Déterminer les fonctions de demande sur chacun des marchès. Pourquoi parle-t-on de "taille de marché" pour les paramètres a i? 2. On suppose que le monopole peut discriminer et fixe donc deux prix différents p d 1 et p d 2 pour les deux différents marché. Calculer ces deux prix, les quantités correspondantes, le surplus des consommateurs sur chaque marché, le profit du monopole et le bien-être total. 3. On suppose maintenant et pour toute la suite que la discrimination est impossible (soit parce qu elle est interdite, soit parce que les consommateurs peuvent se revendre des produits entre eux). En supposant que le monopole décide de servir les deux marchés, calculer l unique prix p nd qui serait choisi par le monopole. Montrer que p d 1 > pnd > p d En considérant la demande sur le marché 2 quand le monopole ne discrimine pas, montrer que le monopole préfère ne pas servir le marché 2 si a 1 > 3a 2. 6

7 5. Donner en termes de profits la condition qui détermine le choix du monopole entre servir les deux marchés et servir le marché 1 uniquement. Expliquer le raisonnement. 6. Expliquer pourquoi, lorsque a 1 > p 1 a 2 1 2, l interdiction de la discrimination diminue le bien être social. Qu en est-il du surplus du consommateur? 7. Calculer le bien-être social lorsque a 1 < p 1 a si le monopole ne discrimine pas. Montrer que l interdiction de la discrimination par les prix augmente le bien-être social dans ce cas. Exercice 6 Le vendeur de soda Un vendeur de soda, M, est en monopole sur son marché. Il produit des bouteilles de différentes contenances q. Le coût de production d un volume q est C(q) = q. Le monopole vend à ses clients au tarif p(q) quand la bouteille est de taille q. Les clients pour ce soda sont de deux types : certains l apprécient beaucoup, d autres plus modérément. Les clients diffèrent donc par un paramètre θ qui prend deux valeurs θ = 8 et θ = 3. Les consommateurs sont au nombre de N, dont 20% de type θ. Pour une bouteille de taille q vendue au prix p(q), le profit du monopole et l utilité d un client C sont : Π M = p(q) C(q) U C = θ ln(1 + q) p(q) Le problème du vendeur est donc de choisir la taille des bouteilles qu il vend, ainsi que leur prix. Les clients n achèteront le soda que s ils en retirent au total une utilité positive. Première partie : tarif linéaire et discrimination à la vente 1.1 Le monopole vend à un tarif linéaire fixé son produit, c est-à-dire p(q) = r.q où r est le prix au litre. Quelles quantités choisissent les clients? Quelle est la fonction de demande totale, Q(r)? 1.2 Si le monopole veut vendre à tous les clients, quel prix au litre fixe-t-il? Quelles seront alors les différentes allocations? 7

8 1.3 Si le monopole n est pas contraint à un tarif linéaire, quels couples (q, p) et (q, p) propose-t-il? Le tarif correspondant est-il linéaire? Deuxième partie : la discrimination à la vente est interdite 2.1 Ecrire le programme du vendeur de soda. 2.2 Calculer les tailles et prix optimaux des bouteilles. (On admettra que la contrainte de participation du type θ et la contrainte d incitation du type θ sont saturées.) 2.3 Montrer que le tarif optimal est un tarif dégressif. Le monopole gagne-t-il plus qu avec le tarif linéaire de la question 1.2? Exercice 7 Discrimination et revente entre les consommateurs On considère une entreprise pharmaceutique en monopole vendant un médicament dans deux pays différents. Dans le pays A (pays riche), il y a un nombre N de malades prêts à payer θ. Dans le pays B (pays pauvre), il y a aussi N malades, mais prêts à payer seulement θ ε (ε > 0). Le coût de production du médicament est supposé nul. 1. Donner les prix et les profits optimaux du monopole lorsqu il peut discriminer parfaitement entre les deux marchés. 2. On suppose maintenant que les consommateur du pays B peuvent revendre leur médicament au consommateur du pays A sans le moindre cout. En supposant que, pour des raisons ethiques, le monopole ne peut pas limiter le nombre de médicament vendu dans un pays, quel sera le prix optimal du médicament pour le monopole? Tous les malades seront-ils soignés? 3. Si ε < c, en supposant que le monopole choissisent ses prix de discrimination de la question 1, est ce qu il y a revente entre les consommateurs? En déduire les prix optimaux du monopole. 4. Si ε > c, donner, en fonction de p B, le prix de revente des consommateurs du pays B. En déduire les prix optimaux du monopole. Exercice 8 Vente liée 8

9 Une firme en monopole vend un produit A depuis des années, et introduit un nouveau produit, B. Les coûts unitaires sont nuls et la masse des consommateur est normalisée à 1. La firme connaît la disponibilité à payer v A des consommateurs pour le produit A : une moitié des consommateurs est prête à payer v A = v et l autre moitié v A = (1 + δ)v avec δ 0. Pour déterminer la demande pour son produit B, la firme effectue un sondage qui révèle que v B = v avec probabilité 1/2 et v B = (1 + δ)v avec probabilité 1/2. De plus, le fait d acheter ou non un des produit n a pas d influence sur la disponibilité à payer pour l autre produit. 1. Pendant le premier mois, la firme vend séparément les deux produits. Déterminer les stratégies possibles et les commenter. Quels sont ses prix et profits d équilibre en fonction de δ? 2. Le deuxième mois, un expert en marketing explique à la firme que la vente liée de ses produits peut éventuellement lui rapporter plus. Sur la base des sondages effectués, la firme considère ainsi qu elle fait face à quatre types de consommateurs équiprobables, avec (v A, v B ) 2 f(v, v), ((1 + δ)v, v), (v, (1 + δ)v), ((1 + δ)v, (1 + δ)v)g. Quelle est la fonction de demande en fonction du prix du produit lié A + B? Quelle est en fonction de δ la décision d offre optimale de la firme entre la vente liée et la vente séparée? 3. L expert en marketing assure que δ = 1. En utilisant la question précédente, quelle est la stratégie optimale de la firme dans ce cas? Cette stratégie s avère être un échec : les profits de la firme sont inférieurs à ceux du premier mois. Quelles peuvent en être les raisons? 4. Sur les conseils d un économiste, la firme décide d effectuer un nouveau sondage, demandant à chaque sondé ses deux disponibilités à payer. La distribution des consommateurs obtenue est la suivante : (v A, v B ) probabilité (v, v) 1/4 + γ ((1 + δ)v, v) 1/4 γ (v, (1 + δ)v) 1/4 γ ((1 + δ)v, (1 + δ)v) 1/4 + γ où 1 4 γ 1 4. Que représente le paramètre γ et quel est sa signification? Quelle 9

10 indication sur γ la baisse des profits à la question précédente donne-t-elle? 10

11 C Discrimination intertemporelle Exercice 9 Bien durable et pouvoir de monopole Un fabricant d objets électroniques à la mode a développé un nouveau téléphone cellulaire, qu il produit à un coût unitaire normalisé à 0. Il le vend sur deux périodes. A la fin de la deuxième période, le téléphone devient obsolète. Les consommateurs qui achètent dès la première période utilisent le téléphone sur les deux périodes, tandis que ceux qui l achètent en deuxième période ne l utilisent donc qu une seule période. Les consommateurs diffèrent par leur valeur d utilisation du bien par période, v, qui est distribuée uniformément sur [0, 1]. On supposera que les consommateurs et les firmes ont un taux d escompte commun δ entre les deux périodes. On notera p t le prix choisi par le producteur innovant à la période t. 1. Déterminer les stratégies possibles et les utilités correspondantes des consommateurs. Montrer que si un consommateur avec une disponibilité à payer v 0 achète en première période, alors tous les consommateurs avec v v 0 achètent aussi en première période. 2. En considérant les consommateurs qui n ont pas encore acheté en début de deuxième période, expliquer pourquoi le monopole fixe nécessairement p 2 < p 1. Soit ṽ 1 le consommateur avec la plus grand disponibilité à payer en deuxième période. Quelle est la demande pour le fabricant en deuxième période en fonction de ṽ 1? Quel est le prix de monopole de deuxième période en fonction de ṽ 1 3. En utilisant les questions précédentes, montrer que le consommateur indifférent entre acheter en première période ou acheter en deuxième période est : ṽ(p 1 ) = δ p 1 4. Déterminer les prix d équilibre et le profit du fabricant. 5. On suppose maintenant que le fabricant peut s engager à ne pas modifier son prix entre les deux périodes. Quel est le prix optimal p et le profit dans ce cas? 6. Comparer les deux situations étudiées. Discuter des moyens alternatifs pour permettre au monopole de bien durable d extraire plus de profit. 11

12 D Exercices de théorie des jeux Exercice 10 Dans le bus Deux personnes entre dans un bus où seules deux places adjacentes sont libres. Chaque personne décide soit de s asseoir soit de rester debout. Etre assis seul est plus agréable qu être assis à côté de quelqu un, ce qui est tout de même plus confortable qu être debout. 1. On suppose que chacun ne se préoccupe que de son propre confort. Modéliser la situation comme un jeu sous forme normale. Est-ce un dilemme du prisonnier? Trouver le ou les équilibre(s) de Nash. 2. On suppose maintenant que chacun est altruiste et ordonne les issues selon le confort de l autre personne. De plus, par politesse, chacun préfère rester debout si l autre reste debout. Modéliser la situation comme un jeu sous forme normale. Est-ce un dilemme du prisonnier? Trouver le ou les équilibre(s) de Nash. 3. Comparer le confort des passagers à l équilibre dans l un et l autre jeu. Exercice 11 La bataille des sexes après vingt ans de mariage Après vingt ans de mariage, madame préfère sortir sans monsieur. Monsieur a des préférences inchangées : il préfère le football au théâtre, mais préfère toujours sortir avec monsieur théâtre foot son épouse. théâtre (1, 2) (3, 1) madame foot (2, 0) (0, 3) 1. Déterminer l ensemble des équilibres de Nash. 2. Représenter graphiquement les fonctions de meilleure réponse et les équilibres. Exercice 12 Coopération inter-firmes 12

13 Deux firmes décident de commercialiser ensemble un produit en se partageant également les ventes. Le bien se vend à un prix unitaire normalisé à 1. La quantité vendue dépend de l effort d investissement de chacune des firmes. On considère deux niveaux d effort : élevé et faible. Un niveau d effort élevé coûte c 2 (1/2, 1), le niveau d investissement faible coûte 0. Les profits des firmes sont au total égaux à la moitié de la quantité produite moins le coût d investissement. 1. On suppose que la quantité vendue est 2 quand les firmes investissent toutes les deux, 1 quand une seule investit, et 0 quand aucune n investit. Représenter le jeux sous forme normale. De quel type de jeu s agit-il? Quels sont les équilibres de Nash? 2. on suppose maintenant que la quantité vendue est 2 si les firmes investissent et 0 dans tous les autres cas. De quel type de jeu s agit-il maintenant? Quels sont les équilibres de Nash? Exercice 13 Standard de HDTV Lors du processus de standardisation des télévisions haute-définition (HDTV), les Etats-Unis et le Japon ont dû simultanément choisir s ils investissaient beaucoup ou non dans la recherche liée à la HDTV. Les paiements de chaque pays sont résumés dans la bi-matrice suivante : Japon Investissement faible Investissement fort E.U. Investissement faible (4, 3) (2, 4) Investissement fort (3, 2) (1, 1) où le gain des E.U. est la 1ère composante du vecteur. 1. Y a-t-il des stratégies dominantes dans ce jeu? Quel est l équilibre de Nash de ce jeu? 2. Supposons maintenant que le jeu comporte deux étapes : à la 1ère étape, les Etats- Unis choisissent une stratégie ; à la 2ème me étape, après avoir observé le choix des Etats-Unis, le Japon prend à son tour une décision. Comment représenteriez-vous cette nouvelle situation en redéfinissant les espaces de stratégies et les fonctions de 13

14 gain? Quels sont les équilibres de Nash de ce nouveau jeu? Reposent-ils tous sur des "menaces crédibles"? Déterminer l équilibre parfait en sous-jeux du nouveau jeu. 3. Comparer les deux situations précédentes. Que pouvez-vous dire sur la valeur d engagement des Etats-Unis? Exercice 14 Stratégie punitive On considère les matrices de paiement : J2 J2 M 1 : J1 a b a (2,2) (0,3), M 2 : J1 a b a (2,2) (1,1). b (3,0) (1,1) b (1,1) (4,4) Avec comme premier chiffre le paiement du joueur ligne, 1. On noteras (x,y) le couple de stratégie qui consiste à joueur x pour le joueur 1 et y pour le joueur Donner le(s) équilibre(s) de Nash du jeu à une période de matrice de paiement M Donner le(s) équilibre(s) de Nash du jeu à une période de matrice de paiement M 2. On supposera qu il n y a pas de taux d escompte entre les périodes, c est à dire que le profit inter-temporel est la somme des profits de première et de deuxième période. 2 Donner le(s) équilibre(s) de Nash en sous-jeu parfait du jeu à deux périodes de matrice de paiement M 2 pour la première période et M 1 pour la deuxième. 3 Si l on considère le jeu à deux périodes de matrice de paiement M 1 pour la première période et M 2 pour la deuxième, donner un équilibre de Nash en sous-jeu parfait qui permet aux joueur d obtenir le paiement (2,2) en première période. 14

15 E Fondements des modèles d oligopole Exercice 15 Le coûts des intrants On considère un duopole avec produits homogènes. La firme 1 produit une unité à partir d une unité de matière première et d une unité de travail. La firme 2 produit une unité à partir d une unité de matière première et de deux unités de travail. Les prix des intrants sont r pour la matière première et s pour le travail. La demande inverse est p(q) = 1 Q. et les firmes se font concurrence à la Cournot. 1. Calculer l équilibre de Cournot 2. Montrer que dans une certaine plage le profit de la firme 1 n est pas affecté par le prix du travail. Commenter. Exercice 16 Cournot vs Bertrand avec coûts asymétriques On considère le marché d un bien homogène composé d un grand nombre de consommateurs et desservi par deux producteurs en duopole. Chaque producteur, indicé par i, i = 1, 2, produit une quantité q i avec un coût marginal constant c i. On pose c 1 > c 2 > 0. Le comportement des consommateurs est représenté par la fonction de demande inverse suivante : p(q 1, q 2 ) = 1 (q 1 + q 2 ), 1 > 2c 1 c Déterminer l équilibre de Cournot. On notera le prix, les quantités et les profits p c, q c i et Πc i. 2. Déterminer l équilibre de cartel avec transferts latéraux. On note le prix, les quantités et les profits p, q i et Π i. 3. Déterminer l équilibre concurrentiel. On note le prix, les quantités et les profits p, q i et Π i. 4. Déterminer l équilibre de Bertrand. On note le prix, les quantités et les profits p b, q b i et Π b i. Commenter. 5. Comparer les surplus totaux dans les cas des questions 2, 3 et 4. Commenter. Comparer les prix dans les cas des questions 1 et 3. Commenter. En déduire sans calcul la comparaison des surplus totaux dans ces deux derniers cas. Commenter. 15

16 6. Les coûts marginaux des deux firmes diminuent de t. Comparer l effet d une telle baisse sur les prix d équilibre selon le mode de concurrence. Commenter. En quoi ce dernier résultat peut être utile pour estimer empiriquement le pouvoir de marché des firmes? Exercice 17 Concurrence à la Bertrand séquentielle On considère un jeu à deux périodes en prix. Les demandes pour les deux biens sont : q 1 = 168 2p 1 + p 2 q 2 = p 1 2p 2 1. Que peut-on dire sur la différenciation de ces produits? 2. Déterminer l équilibre de Bertrand à une seule période (prix et profit de chaque firme). Présenter graphiquement les résultats dans l espace des stratégies. 3. Déterminer la situation d entente collusive entre les firmes. 4. Supposons maintenant que la firm 1 fixe son prix avant la firme 2 (la firme 1 fixe son prix en période 1 et une fois ce prix choisi ne peut plus le modifier en période 2). Quel est l équilibre de ce jeu à deux périodes? 5. Comparez la solution des jeux ci-dessus. Les firmes ont-elles des préférences identiques sur la séquentialité du jeu? Interpréter économiquement ces résultats. Exercice 18 Libre entrée On considère un modèle de Cournot avec n entreprise et fonction de demande D(p) = max (1 p, 0). On suppose que chaque entreprise i à un coût marginal c < Donner la fonction de demande inverse. Calculer le surplus des consommateurs pour un prix p. 2. Calculer l équilibre de Cournot. On considère maintenant que pour rentrer sur le marché, les firmes doivent payer un cout fixe F. 16

17 3. Calculer le bien-être du marché pour n fixé. 4. Quelle va être le nombre de firmes qui rentrent à l équilibre? Donner le bien-être dans ce cas là. 5. Quel est le nombre de firmes qui maximisent le bien-être? Commenter. F Differenciation Exercice 19 Différenciation verticale et nombre de qualités viables On considère un marché sur lequel consommateurs ont différents revenus. Un consommateur dispose d un revenu R = 1 + 4θ où θ 2 [0, 1] représente le paramètre de revenu associé à ce consommateur. La distribution de θ est uniforme sur l intervalle. Sur ce marché interviennent des firmes qui fabriquent des biens avec des coûts de production nuls et se font concurrence en prix. Chaque consommateur peut choisir de ne rien consommer ou d acheter une seule unité de l un des biens. Un consommateur qui ne consomme aucun bien a une utilité U 0 = R. Si le consommateur consomme un bien i, alors son utilité dépend de la qualité du bien notée u i et du prix du bien p i : elle est donnée par U i = u i (R p i ). Un consommateur consomme un certain bien j si U j > U i, 8i 6= j et U j > U 0. On dit que le marché est couvert si chaque consommateur choisit de consommer un bien quel que soit son paramètre de revenu θ. 1. Seule la firme 1 est présente sur le marché et elle vend un bien de qualité u 1 = 2. Soit θ 1 (p 1 ) le paramètre de revenu de l individu indifférent entre acheter à la firme 1 et ne pas acheter du tout. Déterminez son expression. Que décident les individus dont θ > θ 1? Exprimez la fonction de demande qui s adresse à la firme 1 selon que le marché est couvert ou non. 2. En supposant que le marché n est pas couvert, calculez le prix sur ce marché. Vérifiez que le marché n est pas totalement servi. 3. Une firme 2 décide d entrer sur le marché : elle propose un bien de qualité u 2 = 4. Calculez θ 2 (p 1, p 2 ) le paramètre de revenu de l individu indifférent entre acheter à la firme 1 et acheter à la firme 2. Exprimez les fonctions de demande qui s adressent aux firmes. 17

18 4. Calculez les prix si le marché n est pas couvert et déduisez-en que tout le marché est servi. Dans ce cas, p 1 = p 1 est tel que θ 1(p 1 ) = 0 : déterminez les prix d équilibre. 5. Une firme 3 entre sur le marché en proposant un bien de qualité u 3 = 8. Exprimez les demandes par la même méthode que précédemment. 6. Etablir que si (p1, p 2, p 3 ) est un équilibre de Nash avec p 1 = 2 1 alors on ne peut pas avoir p2 > 3 4. Quelle est donc la demande qui s adresse à la firme 1 à l équilibre? Commentez. Calculez les nouveaux prix d équilibre. Exercice 20 Différenciation horizontale, incitations à innover et structure des coûts On considère trois firmes situées aux sommets d un triangle équilatéral et produisant un même bien. Les consommateurs sont uniformément répartis (avec une densité égale à 1) sur les trois côtés du triangle. On indice par i = 1, 2, 3 les trois firmes et on note c i le coût marginal constant de la firme i. On suppose c 1 < c 2 < c 3. Chaque consommateur achète au plus une unité du bien à l une des trois firmes. On note t le coût de transport par unité de distance. Lorsqu un consommateur distant de d i de la firme i achète au prix p i une unité du bien à la firme i, son prix global est donné par p i + td i. Chaque consommateur choisit d acheter le bien à la firme pour laquelle le prix global est le plus faible. On suppose que tout le marché est couvert. 1. Montrer que la fonction de demande qui s adresse à la firme i est donnée par D i (p 1, p 2, p 3, t) = [2t + p j 2p i ]/(2t) i = 1, 2, 3. j6=i 2. La firme i choisit p i de manière à maximiser son profit Π i (p 1, p 2, p 3, t) = (p i c i )D i (p 1, p 2, p 3, t) Déterminer alors en fonction de c 1, c 2, c 3 et t l équilibre de Nash du jeu de concurrence en prix et les valeurs des profits d équilibre des trois firmes. 3. On suppose qu un laboratoire de recherche a mis au point une nouvelle technologie permettant de produire au coût c 0 < c 1. Cette technologie est mise aux enchères et 18

19 vendue à celle des trois firmes qui est disposée à payer le prix le plus élevé pour disposer de cette technologie. Supposons que seules les firmes 2 et 3 soient intéressées par cette technologie c 0. Chacune de ces deux firmes sait que si ce n est pas elle qui acquiert la technologie, c est l autre qui l acquiert. On suppose que c i = 2 i (i = 0, 1, 2, 3). On note 2 (t) la disponibilité de la firme 2 à payer la technologie et 3 (t) celle de la firme 3. Ces valeurs sont définies par 2 (t) = Π 2 (c 1, c 0, c 3, t) Π 2 (c 1, c 2, c 0, t) Interpréter ces valeurs et montrer que 3 (t) = Π 3 (c 1, c 2, c 0, t) Π 3 (c 1, c 0, c 3, t) 2 (t) = [(5t + 8) 2 (5t 5) 2 ]/(25t) 3 (t) = [(5t + 4) 2 (5t 13) 2 ]/(25t) 4. On suppose que t 2 [4, 10]. Représenter en fonction de t les graphes de 2 (t) et 3 (t). Montrer qu il existe un seuil et tel que si t 2 [4,et), c est la firme 2 qui acquiert la technologie c 0, et si t 2 (et, 10], c est la firme 3 qui acquiert la technologie c En définissant le facteur ρ = 1/t comme un indicateur de concurrence, interpréter le résultat obtenu à la question précédente. G Structure de marché endogène Exercice 21 Fusions On considère un oligopole de Cournot à n firmes ayant des coûts quadratiques identiques c(q) = 1 2 cq2, et faisant face à une fonction de demande inverse linéaire p(q) = a bq. 1. Calculer l équilibre de Cournot pour tout n. 19

20 2. On considère maintenant le cas n = 3. Deux firmes fusionnent (disons 2 et 3), pour former une entité unique notée 2. On suppose que la nouvelle direction définit de manière optimale les plans de production, en termes de répartition entre les deux entités qui ont fusionné. Quelle est la fonction de coût c(.) de la nouvelle entreprise? 3. Comparer les quantités produites par la firme 1 avant et après la fusions de ses concurrents et les quantités produites par la firme fusionnée par rapport à celles que produisaient les entités indépendantes. Exercice 22 Collusion en concurrence à la Bertrand Soit un bien pour lequel N consommateurs ont une disponibilité à payer de 1. On suppose que les deux entreprises produisant ce bien (à un cout c = 0.5) se font une concurrence à la Bertrand. 1.1 Donner la fonction de demande de la firme i pour deux prix p i, p j. 1.2 Expliquer pourquoi le prix d équilibre est c. On va maintenant supposer que les entreprises se font une concurrence sur une infinité de période. Soit δ = 0.9 le taux d escompte. 2.1 Donner le profit d une entreprise en fonction des prix de chaque période t, p 1 t et p2 t, et de la fonction de demande trouvé à la question Les stratégies p i t = c = p2 t forment-elle un équilibre de Nash? Un équilibre en sousjeux parfait? 3.1 On suppose maintenant que la stratégie de chaque entreprise est de choisir un prix égal à 1 tant que l autre entreprise a toujours choisit un prix égal à 1 dans le passé, et de choisir un prix nul sinon. C est à dire : ( p i 1 si p j ) s = 1 pour tout s < t t =. 0 sinon Montrer que dans ce cas, la firme j n a jamais intérêt à choisir un prix différent 1. S agit-il d un équilibre de Nash? 3.2 Cet équilibre repose-t-il sur des menaces crédibles? Pourquoi? 20

21 3.3 Donner (sans démonstration) un équilibre en sous-jeux parfait qui permet aux firmes de faire un profit positif. Exercice 23 Collusion et demande aléatoire L objectif de cet exercice est de déterminer si les fluctuations de la demande facilitent ou rendent plus difficile la collusion. On considère un marché sur lequel à chaque période t la demande est soit faible (q = θ 1 D(p)) avec probabilité 1 2 soit élevée (q = θ 2D(p)) avec probabilité 1 2. On suppose θ 2 > θ 1. Les événements sont indépendants. Les deux firmes fixent leur prix simultanément à chaque période après avoir observé la demande. Le coût unitaire de production est égal à 0. On note p m le prix de monopole (qui maximise θ 1 D(p)p ou θ 2 D(p)p). La concurrence en prix est répétée un nombre infini de périodes. L objectif des entreprises consiste à maximiser la somme actualisé des profits. On note δ le facteur d escompte. On cherche un équilibre sous-jeux parfait du type suivant : (i) Une firme i fixe un prix p 1 = p m si la demande est θ 1 D(p) et un prix p 2 = p m si la demande est θ 2 D(p). (ii) Si une entreprise dévie du prix p m, les deux entreprises fixent un prix p = 0 à partir de la période suivante et pour toutes les autres périodes. 1. Considérons comme situation de référence le cas où θ 1 = θ 2. A quelle condition sur δ les stratégies décrites précédemment forment un équilibre parfait en sous-jeux? 2. Revenons au cas où θ 2 > θ 1. Si la demande est égale à θ 1 D(p), à quelle condition sur δ une entreprise n a pas intérêt à dévier du prix de monopole? Même question lorsque la demande est égale à θ 2 D(p). Commenter. 3. A quelle condition sur δ les stratégies décrites en (i) et (ii) sont des stratégies d équilibre? 4. Supposons que δ soit inférieur au seuil trouvé en 3. Quel prix (p 1 ou p 2 ) doit-être inférieur à p m pour que la collusion soit soutenable? Commenter. 21

22 Exercice 24 Collusion et marchés séparés L objectif de cet exercice est de déterminer si la présence des mêmes firmes sur différents marchés rend plus difficile ou plus facile la collusion. On considère deux marchés 1 et 2 de même demande D(p). L information sur le marché 2 est moins bonne de sorte que le prix du concurrent ne peut être observé qu après un laps de temps de deux périodes et non d une seule comme sur le marché 1. Le coût unitaire de production est égal à 0. On note p m le prix de monopole (qui maximise pd(p)). La concurrence en prix est répétée un nombre infini de périodes. L objectif des entreprises consiste à maximiser la somme actualisé des profits. On note δ le facteur d escompte. On cherche un équilibre sous-jeux parfait du type suivant : (i) Une firme i fixe un prix p i = p m sur les deux marchés si le concurrent observe un prix égal à p m à toutes les périodes précédentes et sur les deux marchés. (ii) Si une entreprise dévie du prix p m sur au moins un marché, les deux entreprises fixent un prix p = 0 à partir de la période suivante et pour toutes les autres périodes sur les deux marchés. 1. Considérons comme situation de référence le cas où les deux marchés sont identiques au marché 1. A quelle condition les entreprises fixent, à l équilibre, un prix égal à p m à toutes les périodes? Si les firmes étaient en concurrence sur un seul marché de demande 2D(p), les conditions de collusion seraient-elles différentes? 2. Considérons à présent le cas où le marché 2 est moins transparent que le marché 1. A quelle condition sur δ les stratégies décrites précédemment forment un équilibre parfait en sous-jeux? 3. Les contacts multi-marchés facilitent-ils la collusion? H Innovation Exercice 25 Choix technologique face à la concurrence potentielle 22

23 La firme 1, présente sur le marché d un bien homogène dont la demande est p = 1 interagit avec un entrant potentiel, la firme 2, lors d un jeu en 3 étapes. A la première étape, la firme 1 décide d investir dans une technologie de réduction de son coût unitaire de production c 1 = c x 1 où c est le coût en l absence d investissement et x 1 la réduction obtenue grâce à un investissement représenté par un coût fixe F(x 1 ) = x1 2. A la seconde étape, la firme 2 décide d entrer ou de ne pas entrer en fonction du choix d investissement de la firme 1. Si elle entre, elle supporte un coût fixe F et produit au coût unitaire c 2 = c. A la dernière étape, les firmes présentes se font une concurrence en quantités. 1. A la dernière étape du jeu, si les deux firmes sont présentes sur le marché, quels sont les prix, quantités et profits à l équilibre? 2. La firme 1 choisit la valeur de x 1 qui maximise son profit. Quelles sont les valeurs à l équilibre? Dans quel cas l entrée de la firme 2 sur le marché est-elle bloquée? 3. Etudions désormais un comportement stratégique de la firme 1 qui consiste à surinvestir afin de décourager l entrée de sa rivale. Quelle est la valeur de x1 d qui annule le profit de la firme 2? Quel profit Π1 d réalise la firme 1 lorsqu elle choisit cette valeur? 4. Comparez Π1 d avec le profit obtenu par la firme 1 à la question 2. Pour quelles valeurs de F la firme 1 a-t-elle intérêt à décourager l entrée de la firme 2? Récapitulez les différents cas. q Exercice 26 Learning by doing Soit un bien dont la demande à chaque période de temps est donnée par la fonction suivante : q = 1 p. On considère deux périodes t = 1 et t = 2. Le taux d escompte est égal à Une entreprise (la firme I) en monopole produit ce bien. Le coût marginal de production à la période 1 est égal à c < 1. A t = 2, le coût marginal de production est égal à c 2 I = c λq1 I où q1 I désigne la quantité produite en t = 1 et λ est un paramètre positif. (a) Pourquoi peut-on parler de learning by doing? 23

24 (b) Montrer que la quantité optimale produite en t = 1 est égale à 2 1 λ c. Commenter. 2. Le monopole fait face à l entrée d une firme concurrente (firme E) en t = 2. Le coût marginal de production de cette firme est égal à c. Les deux entreprises se font concurrence à la Cournot. (a) Déterminer les quantités produites par les deux entreprises en fonction de c et c 2 I à la période 2. Commenter. (b) En supposant que la firme E observe q 1 I, déterminer la quantité produite par la firme I à la période 1. Quels sont les deux effets d une augmentation de q 1 I sur le profit de I à la période 2? (c) La firme E supporte un coût fixe d entrée sur le marché. Expliquez pourquoi la firme I peut être incitée à augmenter q 1 I par rapport à la quantité trouvée à la question précédente? Exercice 27 Brevet optimal en concurrence à la Bertrand On considère une industrie composé de n firmes se faisant une concurrence à la Bertrand. Le cout de production d une unité de bien est c = 1 2. La masse des consommateurs est égale à 1. Il existe une technologie permettant de produire à un cout nul, mais seule l entreprise 1 peut rechercher cette technologie. Le coût de developpement de cette technologie diminue au cours du temps, et vaut F(t) = 1 t. Lorsque l entreprise 1 à rechercher la technologie, elle est la seul à en bénéficié pour T périodes, puis toutes les entreprises l utilisent et on des coûts de production nul. Le taux d escompte est δ et le jeux est infiniment répété (avec temps discret). 1. Donner le surplus des consommateurs en fonction de t acqu, la date d acquisition de la technologie par la firme 1, et T, la durée du brevet. 2. Donner la date d acquisition de la technologie par la firme 1, en fonction de T. Quel est la date qui maximise le surplus des consommateurs? 3. Le plannificateur social ne peut choisir que le nombre de période du brevet. Expliquer les deux forces en présences pour le choix du plannificateur, puis donner le nombre de période du brevet qui maximise le surplus du consommateur. 24