Electricité n 3 : OSCILLATIONS LIBRES D UN CIRCUIT RLC

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1 Physique - 6 ème année - Ecole Européenne Electricité n 3 : OSILLATIONS LIBRES D UN IRUIT RL I) Régime libre du circuit RL série : 1) Expérience : On constitue un circuit RL en associant en série : - un résistor de résistance R, - un condensateur de capacité, - une bobine d inductance L et de résistance r On s intéresse à l évolution de la charge q(t) du condensateur au cours du temps On peut faire une étude à l oscilloscope, dans ce cas, on utilise un GBF qui génère une tension en créneaux L évolution de q(t) est donnée par celle de u (t) = 1 q(t) à une constante multiplicative 1/ près On suit également l évolution de i(t) qui est identique à celle de u R (t) = Ri(t), à une constante multiplicative R près : on branche la masse de l oscilloscope en N, le générateur étant à "masse flottante" Il faut inverser le signal de la voie Y B Il est possible de faire une étude de la "décharge" oscillante du condensateur à l aide d un ordinateur, en utilisant un générateur de tension continue E ) Oscillations libres du circuit RL série : On dit qu un circuit RL série est en régime libre lorsqu il ne subit aucun apport d énergie après l instant initial Sur l écran de l oscilloscope, on observe des oscillations amorties de u (t) qui représentent la "charge" oscillante, puis la "décharge" oscillante du condensateur Pour une inductance L, et une capacité fixées, on observe trois régimes différents de l évolution de u (t) suivant la valeur de la résistance R tot = R + r a) Régime pseudo-périodique : Pour de faibles valeurs de R tot, la tension u (t) présente des oscillations amorties, c est le régime pseudo-périodique u (t) passe périodiquement par des valeurs nulles La durée entre deux passages successifs par une valeur nulle, avec une pente de même signe est la pseudo-période T des oscillations amorties L amplitude des oscillations de u (t) et de u R (t) décroît au cours du temps On remarque que u (t) est en retard de T/4 par rapport à u R (t) : quand u R (t) est maximum, u (t) s annule en croissant Quand u R (t) s annule en décroissant u (t) est maximum Ecole Européenne de Francfort Page 13

2 Oscillations libres d'un circuit RL b) Régime apériodique : Pour d importantes valeurs de R tot, la tension u (t) s amortit très vite, c est le régime apériodique On observe la décharge sans que u (t) oscille c) Régime apériodique critique : Pour une valeur particulière de la résistance R tot = L, le régime est qualifié de régime apériodique critique Lors de ce régime u (t) tend plus rapidement vers une valeur nulle Le régime apériodique critique est difficile à déterminer expérimentalement 3) Equation différentielle : On ne considère que la décharge oscillante pour laquelle, à partir de t = 0, u AB (t) = 0 : u AB (t) = u L,r (t) + u R (t) + u (t) = 0 di(t) Avec, en convention des récepteurs : u R (t) = Ri(t) ; u L,r (t) = ri(t) + L (t) ; q(t) = u (t) dq(t) du D autre part i(t) = = (t) di(t) d q(t) d u et (t) = = D où du(t) L + (R + r) + u (t) = 0 Qu on écrit : + R + r du (t) + 1 u (t) = 0 L L R + r du (t) L est le terme d amortissement qui détermine, pour L et fixés, le type de régime (pseudo-périodique, apériodique, critique) L étude générale est hors programme Nous allons étudier le cas limite où on peut négliger les résistances R tot = R + r 0 II) Décharge oscillante non amortie du circuit L : 1) Mise en équation : On considère un circuit dans lequel on néglige toutes les résistances Il est constitué d un condensateur de capacité et d une bobine idéale d inductance L Le condensateur est initialement chargé sous une tension U 0 et acquiert une charge Q 0 = U 0 et stocke une énergie W = 1 U 0 A l instant de date t = 0, on bascule l interrupteur en position : le circuit évolue alors en régime libre On a : u L (t) + u (t) = 0 Avec u (t) = 1 di(t) dq(t) du q(t) et ul (t) = L (t) ; i(t) = = (t) di(t) d q(t) d u et (t) = = D où L + u (t) = 0 On obtient l équation différentielle homogène du second ordre : + 1 u (t) = 0 L Page 14 hristian BOUVIER

3 Physique - 6 ème année - Ecole Européenne ) Solution de l équation différentielle : a) Oscillateur harmonique : On a = -- 1 u (t), on cherche comme solution de cette équation différentielle, L une fonction u (t) égale à sa dérivée seconde au facteur -- 1/L près La fonction cosinus présente cette propriété On cherche une solution de la forme : u (t) = Acos( π t + ϕ) est la période propre (en s) des oscillations non amorties de la tension u (t) n est pas une inconnue c est une constante que l on va déterminer par identification A et ϕ sont des constantes d intégration inconnues, il nous faut des informations supplémentaires pour les déterminer A (en V) est l amplitude des oscillations propres de u (t) ( π t + ϕ) est la phase des oscillations, φ est la phase à l origine des dates (pour t = 0) u (t) oscille de façon sinusoïdale, on dit que le circuit constitue un oscillateur harmonique - Identification de : si u (t) = Acos( π du t + ϕ), alors (t) = A π sin( π t + ϕ) et T0 T0 = -- A( π ) cos( π t + ϕ) la substitution dans l équation différentielle s écrit : A( π ) cos( π t + ϕ) -- A 1 cos( π t + ϕ) = 0 qui doit être vrai pour tout t! L T0 Soit [A( π ) -- A 1 ]cos( π t + ϕ) = 0 qui doit être vrai pour tout t L T0 On a donc A( π ) = A L 1 T 0 = π L A et ϕ restent indéterminés - Analyse dimensionnelle de la période propre : L inductance est donnée par u L = L di, L = L [ Tension] x[temps] est homogène à, diu / [Intensité] dq [harge] [ Tension] x[temps] or i = est homogène à, donc L est homogène à [Temps] [harge] q [harge] La capacité = est homogène à u [Tension] [ Tension] x[temps] [harge] Le produit L est homogène à x = [Temps] [harge] [Tension] b) onditions initiales : = π L est donc homogène à un [Temps] Pour déterminer A et ϕ il faut obtenir d autres informations : les conditions initiales Il nous faut deux conditions pour déterminer deux inconnues On étudie la "décharge" oscillante du condensateur, donc à l instant de date t = 0 : - le condensateur est chargé : q(0) = Q 0 = U 0 - l intensité du courant est encore nulle : i(0) = 0 Or, à chaque instant : u (t) = 1 du q(t) et (t) = 1 dq(t) = 1 i(t) Donc, à t = 0 : u (0) = 1 du q(0) = U0 et (t) )t = 0 = 1 dq(t) ) t = 0 = 1 i(0) = 0 Ecole Européenne de Francfort Page 15

4 Oscillations libres d'un circuit RL du (t) Soit u (0) = Acos(ϕ) = U 0 et )t = 0 = -- A π sin(ϕ) = 0 D où sin(ϕ) = 0 et ϕ = 0 Et cos(ϕ) = 1 donc A = U 0 La solution de l équation différentielle avec les conditions initiales définies plus haut est : c) Notion d avance et de retard : u (t) = U 0 cos( π t) avec T T0 = π L 0 du (t) u R (t) = Ri(t) = R = -- RU0 π sin( π t) = -- U1 sin( T0 On a donc : u (t) = U 0 cos( π t) et ur (t) = U 1 cos( π t) = U1 cos( π t + π ) π t + π ) On dit que u R (t) est en avance phase de π/ sur u (t) ou que u R (t) est en quadrature avance sur u (t) On peut dire que u R (t) est en avance d un quart de période sur u (t) 3) Période et pseudo-période : La résolution analytique des équations différentielles et l expérience montre que la pseudopériode T est toujours plus grande que la période propre Néanmoins, lorsque l amortissement est assez faible, on a pratiquement T = π L Sur un oscilloscope, on peut observer simultanément les deux courbes u (t) et u R (t) amorties et vérifier leur décalage dans le temps : Sur l'axe du temps, u R (t) qui est en quadrature avance, s'annule ou atteint sa valeur maximale un quart de période (T/4) avant u (t) Lors de l'étude des oscillations forcées, nous verrons une autre technique pour mettre en évidence les notions de quadrature avance ou retard III) Etude énergétique : 1) Montage : On s'intéresse à un circuit R, L, dans lequel on peut faire une étude expérimentale à l'ordinateur L'ordinateur enregistre par points l'évolution au cours du temps de la tension u (t) aux bornes du condensateur Page 16 hristian BOUVIER

5 Physique - 6 ème année - Ecole Européenne ) Résultats : A partir de u (t) = (1/)q(t) l'ordinateur peut calculer : q(t) = u AB (t) et i(t) = dq(t)/ Puis les différentes formes d'énergies : Energie emmagasinée par le condensateur : E o = 1 [u (t)] = 1 Energie emmagasinée par la bobine : E Bo = 1 L[i(t)] q (t) Energie emmagasinée totale E Emm = E o + E Bo Les courbes obtenues montrent que : L'énergie non dissipée par effet Joule subit des conversions successives d une forme à une autre 3) Interprétation qualitative des oscillations : En partant d'un condensateur chargé de charge q = Q 0 on analyse l'évolution au cours du temps des états du système On peut construire cette évolution dans l'espace des phases du système défini par le plan q(t), i(t) : D'une façon générale, l'étude de l'évolution d'un système dans l'espace de la phase se révèle très efficace en Physique moderne Ecole Européenne de Francfort Page 17

6 IV) Analogie électro-mécanique : 1) Tableau comparatif : Oscillations libres d'un circuit RL Equation différentielle de l'oscillateur harmonique : frottements négligeables résistance négligeable d x(t) + k d q(t) x(t) = m q(t) = 0 L Grandeurs caractéristiques : élongation x(t) charge électrique q(t) dx(t) dq(t) vitesse v x (t) = intensité i(t) = masse m inductance L raideur k inverse de la capacité 1/ Période propre : Energies : = π m k = π L potentielle : E Pé = 1 k[x(t)] [ q(t)] électrostatique : E él = 1 cinétique : E = 1 m[v(t)] magnétique : E magn = 1 L[i(t)] ) Autres points de comparaison : - Pour "lancer" l oscillateur mécanique il faut qu un opérateur extérieur étire le ressort puis, lâche la masse sans vitesse initiale : est l opérateur qui fournit l énergie initialement emmagasinée dans l oscillateur - Pour "lancer" l oscillateur électrique il faut qu un générateur extérieur charge le condensateur, l interrupteur étant ouvert, puis qu on débranche le générateur et qu on ferme l interrupteur : est le générateur qui fournit l énergie initialement emmagasinée dans l oscillateur 3) Etude de l'oscillateur amorti : a) Oscillateur mécanique amorti : Nous avons toujours idéalisé l'oscillateur mécanique, aussi bien lors de l'étude mécaniste, où nous avons négligé les frottements, que lors de l'étude énergétique où nous avons supposé l'énergie mécanique comme constante On considère l'oscillateur élastique horizontal, soumis à des frottements fluides Bilan des forces : le mobile est soumis à : - son poids P et la réaction normale du support R, - la force de rappel F du ressort, - à la force de frottement fluide f = -- h v, h est le coefficient de frottement On applique le théorème du centre d'inertie : P + R + F + f = m a En projection sur l axe Ox, on a :F x + f x = ma x, or F x = -- kx et f x = -- hv x d x(t) d x(t) dx(t) D'où -- kx(t) -- hv x (t) = m et m + h + kx(t) = 0 d x(t) Soit l'équation différentielle + h dx(t) k + x(t) = 0 m m Page 18 hristian BOUVIER

7 Physique - 6 ème année - Ecole Européenne b) Oscillateur électrique avec résistance : Nous avons établi l'équation différentielle dans le cas général d'un circuit RL : Soit + c) onclusion : R + r du (t) + 1 u (t) = 0 L L On peut donc étendre l'analogie : Equation différentielle de l'oscillateur amorti (non harmonique) : frottements fluides résistance R T d x(t) + h dx(t) k d u + x(t) = 0 (t) + R T du (t) m m + 1 u (t) = 0 L L Grandeur caractéristique : coefficient de frottement fluide h résistance totale R T - Pour l oscillateur mécanique, les frottements de la masse lors de son mouvement sont la cause de la non-conservation de l énergie du système - Pour l oscillateur électrique, c est la présence de résistances dans le circuit qui sont la cause de la non-conservation de l énergie du système V) Entretien des oscillations : 1) Amplificateur opérationnel, résistance négative : Un amplificateur opérationnel (AO) est un petit circuit intégré qui comporte 6 broches de connexion Seules 3 de ces broches serons utilisées dans les calculs suivants On considère un amplificateur opérationnel comme idéal et utilisé en mode linéaire : i + = i 0 A et ε 0 V On oriente géométriquement (flèches) les différentes branches du circuit : les tentions u et les intensités i instantanées sont algébrisées en fonction de ces orientations Désignons par i AS l'intensité algébrique du courant allant de A vers S dans le premier résistor de résistance R' et par i SB l'intensité algébrique du courant allant de S vers B dans le deuxième résistor de résistance R' Au nœud A on peut écrire : i + i AS + i = 0, or i 0 AO d'où i AS = i; de même au nœud B, on peut écrire : i SB = i + + i', mais i + 0 donc i SB = i' Dans la branche A, M du dipôle contenant l'ao u AM = u AS + u SB + u BM = R'i AS + R'i SB = R 0 i' soit u AM = R'i + R'i' + R 0 i' [1] D'autre part que u AM = u AB + u BM = ε + R 0 i', mais ε 0, d'où : u AM = R 0 i' [] ( et ) En égalant [1] et [] on obtient : AO idéal en R 0 i' = -- R'i + R'i' + R 0 i' mode linéaire d'où -- R'i + R'i' = 0 et i = i' i + = i 0 A D'après [] : u AM = R 0 i' = R 0 i [3] et ε 0 V On peut interpréter cette relation en disant que, si entre A et M il y avait un résistor de résistance K, étant donné le choix algébrique de l'orientation, on écrirait pour ce résistor : u AM = -- Ki = R 0 i Le montage électronique est donc équivalent à un résistor de résistance K = -- R 0 On dit que le circuit électronique ainsi constitué joue le rôle d'une résistance négative Ecole Européenne de Francfort Page 19

8 Oscillations libres d'un circuit RL e circuit permet de compenser les pertes d'énergie dissipées par effet Joule dans les résistances L'énergie que fournit l'amplificateur opérationnel au reste du circuit lui est communiquée par le générateur de tension continue qui alimente l'ao pour son fonctionnement ) ircuit oscillant : Aux bornes du circuit RL : d q dq 1 u AM = u L,r (t) + u R (t) + u (t) = L + (R + r) + q avec q(t) = u (t), on a du(t) u AM = L + (R + r ) + u (t) en posant R = r = R T et en égalant avec [3] : du(t) du(t) L + R T + u (t) = R 0 i(t) = R 0 soit + RT R0 du (t) + L L 1 u (t) = 0 On voit que si R 0 = R le deuxième terme de l'équation précédente disparaît L'équation devient alors : + L 1 u (t) = 0 'est l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique dont la solution est de la forme u (t) = Acos( T π t + φ) avec = π L 0 En fait l'expérience montre qu'il y a apparition spontanée des oscillations lorsque R 0 > R e montage, muni d'un AO, constitue un générateur d'oscillations électriques dont la période T ne dépend que des valeurs données à l'inductance L de la bobine et à la capacité du condensateur Page 130 hristian BOUVIER

9 I) Régime libre du circuit RL série : 1) Expérience : Physique - 6 ème année - Ecole Européenne A RETENIR On constitue un circuit RL en associant en série : - un résistor de résistance R, - un condensateur de capacité, - une bobine d inductance L et de résistance r On s intéresse à l évolution de la charge q(t) du condensateur au cours du temps L évolution de q(t) est donnée par celle de u (t) = 1 q(t) à une constante multiplicative près ) Oscillations libres du circuit RL série : On dit qu un circuit RL série est en régime libre lorsqu il ne subit aucun apport d énergie après l instant initial a) Régime pseudo-périodique : Pour de faibles valeurs de R tot, la tension u (t) présente des oscillations amorties, c est le régime pseudo-périodique u (t) passe périodiquement par des valeurs nulles La durée entre deux passages successifs par une valeur nulle, avec une pente de même signe est la pseudo-période T des oscillations amorties L amplitude des oscillations de u (t) et de u R (t) décroît au cours du temps On remarque que u (t) est en retard de T/4 par rapport à u R (t) : quand u R (t) est maximum, u (t) s annule en croissant Quand u R (t) s annule en décroissant u (t) est maximum b) Régime apériodique : Pour d importantes valeurs de R tot, la tension u (t) s amortit très vite, c est le régime apériodique c) Régime apériodique critique : Pour R tot = L, le régime est qualifié de régime apériodique critique Lors de ce régime u (t) tend plus rapidement vers une valeur nulle 3) Equation différentielle : + R + r du (t) + 1 u (t) = 0 L L II) Décharge oscillante non amortie du circuit L : 1) Mise en équation : On considère un circuit dans lequel on néglige toutes les résistances R + r 0 Le condensateur est initialement chargé sous une tension U 0 et une charge Q 0 = U u (t) = 0 L Ecole Européenne de Francfort Page 131

10 ) Solution de l équation différentielle : Oscillations libres d'un circuit RL a) Oscillateur harmonique : On cherche une solution de la forme : u (t) = Acos( π t + ϕ) est la période propre (en s) des oscillations non amorties de la tension u (t) A (en V) est l amplitude des oscillations propres de u (t) ( π t + ϕ) est la phase des oscillations, ϕ est la phase à l origine des dates (pour t = 0) u (t) oscille de façon sinusoïdale, on dit que le circuit constitue un oscillateur harmonique On a A et φ restent indéterminés = π b) onditions initiales : = π L L est donc homogène à un [Temps] Pour déterminer A et ϕ il faut obtenir d autres informations : les conditions initiales Il nous faut deux conditions pour déterminer deux inconnues On étudie la "décharge" oscillante du condensateur, donc à l instant de date t = 0 : - le condensateur est chargé : q(0) = Q 0 = U 0 - l intensité du courant est encore nulle : i(0) = 0 La solution de l équation différentielle avec les conditions initiales définies plus haut est : c) Notion d avance et de retard : u (t) = U 0 cos( π t) avec T T0 = π L 0 On dit que u R (t) est en avance phase de π/ sur u (t) ou que u R (t) est en quadrature avance sur u (t) On peut dire que u R (t) est en avance d un quart de période sur u (t) 3) Période et pseudo-période : Néanmoins, lorsque l amortissement est assez faible, on a pratiquement T = π L Sur un oscilloscope, on peut observer simultanément les deux courbes u (t) et u R (t) amorties et vérifier leur décalage dans le temps : Page 13 hristian BOUVIER

11 III) Etude énergétique : Physique - 6 ème année - Ecole Européenne Energie emmagasinée par le condensateur : E o = Energie emmagasinée par la bobine : E Bo = 1 L[i(t)] Energie emmagasinée totale E Emm = E o + E Bo IV) Analogie électro-mécanique : Tableau comparatif : 1 [u (t)] q = 1 (t) Equation différentielle de l'oscillateur harmonique : frottements négligeables résistance négligeable d x(t) + k d q(t) x(t) = m q(t) = 0 L Grandeurs caractéristiques : élongation x(t) charge électrique q(t) dx(t) dq(t) vitesse v x (t) = intensité i(t) = masse m inductance L raideur k inverse de la capacité 1/ Période propre : Energies : = π m k = π L potentielle : E Pé = 1 k[x(t)] [ q(t)] électrostatique : E él = 1 cinétique : E = 1 m[v(t)] magnétique : E magn = 1 L[i(t)] Equation différentielle de l'oscillateur amorti (non harmonique) : frottements fluides résistance R T d x(t) + h dx(t) k d u + x(t) = 0 (t) + R T du (t) m m + 1 u (t) = 0 L L Grandeur caractéristique : coefficient de frottement fluide h résistance totale R T - Pour l oscillateur mécanique, les frottements de la masse lors de son mouvement sont la cause de la non-conservation de l énergie du système - Pour l oscillateur électrique, c est la présence de résistances dans le circuit qui sont la cause de la non-conservation de l énergie du système V) Entretien des oscillations : 1) Amplificateur opérationnel, résistance négative : Le montage électronique est équivalent à un résistor de résistance K = -- R 0 On dit que le circuit électronique ainsi constitué joue le rôle d'une résistance négative ) ircuit oscillant : En fait l'expérience montre qu'il y a apparition spontanée des oscillations lorsque R 0 > R e montage, muni d'un AO, constitue un générateur d'oscillations électriques dont la période T ne dépend que des valeurs données à l'inductance L de la bobine et à la capacité du condensateur Ecole Européenne de Francfort Page 133

12 Oscillations libres d'un circuit RL POUR S'ENTRAÎNER I) Energie emmagasinée dans un condensateur On considère le circuit suivant : E = 10 V, L = 100 mh Pour charger le condensateur on bascule l interrupteur en position 1 a) A un instant t = 0 pris comme origine des dates, on bascule l interrupteur en position On étudie les oscillations libres qui prennent naissance dans le circuit Pourquoi parle-t-on d oscillations libres à partir de cet instant? b) On suppose, dans cette question, que r = 0 i Etablir l équation différentielle régissant l évolution de u (t) ii En déduire le bilan énergétique du circuit faisant intervenir l énergie E emmagasinée dans le condensateur et l énergie E L emmagasinée dans la bobine iii Interpréter ce bilan et représenter qualitativement sur une même figure l allure de E (t) et E L (t) emmagasinée dans la bobine c) Le document suivant donne l évolution de l énergie E (t) emmagasinée dans le condensateur au cours du temps i Que peut-on dire de l évolution de E (t) omparer avec le cas de la question c) ii A quel type d oscillations libres a-t-on affaire? iii Expliquer, sans calcul, comment il faut modifier le bilan d énergie établie à la question ) b) iv Exprimer en fonction de la capacité, l énergie E (0) emmagasinée dans le condensateur à la date t = 0 v En utilisant la courbe E (t), déduire la valeur de d) On s intéresse maintenant à la courbe de u (t) i alculer la pseudo-période T des oscillations ii Indiquer alors de la courbe (A), (B) ou (), celle qui représente effectivement u (t) Page 134 hristian BOUVIER

13 Physique - 6 ème année - Ecole Européenne II) ircuit oscillant entretenu On considère un circuit oscillant RL série dont les oscillations sinusoïdales sont entretenues par un dipôle à résistance négative (-- R 0 ) Un ordinateur interfacé et muni d un logiciel de traitement, permet d effectuer la capture de la tension u (t) aux bornes du condensateur a) Donner la relation qui existe entre la résistance totale R du circuit et R 0 b) Le graphe est la représentation de la tension u (t) aux bornes du condensateur : Déterminer graphiquement la valeur de l amplitude U et de la période T de cette tension c) On veut étudier l influence de l inductance L et de la capacité sur la période T de la tension u (t) On fait donc varier L et dans le circuit, on obtient le tableau suivant : L (mh) 68, (µf 0,80 0,60 0,40 0,10 0,10 0,40 0,60 0,40 1,0 0,40 0,0 0,40 T (ms) 1,5 0,3 0,49 0,63 0,0 1,0 1,3 0,59 1,6 1,3 0,73 0,86 Tracer deux graphes : un graphe ayant pour abscisse L, et un graphe ayant abscisse Montrer que T est proportionnel à L omparer la période T à la période propre du circuit oscillant d) L équation différentielle d évolution de l oscillateur entretenu peut s écrire : + k u (t) = 0 Pour la tension u (t) de la question ), on a représenté le graphe suivant : Est-il en accord avec l équation différentielle? Retrouver la valeur de la période T des oscillations e) Exprimer la conservation de l énergie E de l oscillateur sinusoïdal entretenu et en déduire que : T [ 0 du (t) ] + [u (t)] = K π Où K sera exprimé en fonction de E et de la capacité f) Donner l allure du graphe représentatif des différents couples ([u (t)] ; [ cours du temps π du (t) ] ) au Ecole Européenne de Francfort Page 135

14 Oscillations libres d'un circuit RL II) "Décharge" d une bobine dans un condensateur Un générateur idéal de courant constant, débitant une intensité I 0 = 5 ma, est connecté à un condensateur de capacité = 175 nf et à une bobine d inductance L = 4, mh et de résistance négligeable A un instant, qu on prendra comme origine des dates, on ouvre l interrupteur K a) Quelle est, à l instant de date t = 0, la tension u (0) aux bornes du condensateur Justifier b) Quelle est, à cet instant, l intensité i(0) du courant dans la bobine Justifier c) Etablir l équation différentielle traduisant l évolution de la tension u (t) aux bornes du condensateur d) Donner la solution de cette équation différentielle en tenant compte des conditions initiales particulières de cet exercice e) Quelle valeur maximale U 0 atteint la tension u (t) aux bornes du condensateur? En déduire la valeur maximale Q 0 de la charge du condensateur f) Quelle est l énergie E L (0) initialement stockée dans la bobine? g) En faisant un bilan énergétique, retrouver la valeur maximale U 0 atteinte par la tension u (t) aux bornes du condensateur h) A partir du résultat de la question 4), exprimer l intensité du courant i(t) et la charge q(t) du condensateur au cours du temps i) Représenter l allure de l évolution de l état du circuit L dans un diagramme des phases : q(t) en abscisses (1 cm pour 5 µ) et i(t) en ordonnées (1 cm pour 100 ma) Indiquer le point représentant l état initial du circuit et le sens de parcourt du point d état Page 136 hristian BOUVIER