Ecoulements multiphasiques

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1 Ecoulements multiphasiques 1. Principes généraux et notions de base 2. Ecoulements gaz-liquide en conduite : approche globale 3. Interfaces : propriétés et évolutions 4. Particules, gouttes et bulles 5. Interactions particules-turbulence 6. Traitement des écoulements avec particules ou bulles 7. Synthèse étude de cas 1 4. Particules, gouttes et bulles 4.3. Temps de relaxation et vitesse terminale 4.4. Transferts de chaleur et de masse 2

2 Force de traînée sur une particule sphérique rigide caractérisée par la relation ( + influence de Mach si compressible) 2 R C D = f (Re P ), avec 2 (rappel : F = 1 ρ V SC avec S = π a pour une sphère de rayon a) D 2 F D -Si Loi de Stokes : 6π µ = FaVR CD = ρfvrπ a 24 C D ReP 2 - Sinon : (Schiller & Nauman) 3 ou bien : (Morsi & Alexander) - coefficient de traînée d une sphère rigide 4

3 Particule sphérique rigide en rotation - traînée peu modifiée - existence d une force de portance F L et d un couple hydrodynamique Γ - dans le domaine de Stokes : 3 - portance nulle, couple : Γ = 8πµ a Ω - à Reynolds plus élevé : - portance non nulle («effet Magnus») - expressions approchées disponibles Particule sphérique rigide en écoulement cisaillé Formule de Faxen (particules rigides, très petits Reynolds, fluide illimité) - force résultante 5 «correction de Faxen» (nulle si cisaillement uniforme) Particule sphérique rigide en écoulement cisaillé (suite) Force de portance de Saffman (effets inertiels, petits Reynolds) - conditions : écoulement unidirectionnel, cisaillement uniforme χ et - résultat : - pb.: conditions très restrictives rarement applicable 6 extension (McLaughlin) avec conditions moins restrictives

4 Ecoulement cisaillé, fluide illimité (suite) : Très grands nombres de Reynolds (effets visqueux négligeables) - expression de la portance (Auton) : - expression équivalente : intéressant surtout pour calculer la portance sur des bulles à Reynolds de l ordre de 100 ou plus (bulles de diamètre de l ordre du mm ou plus) en pratique, on utilise plutôt 0.25 à 0.3 pour des bulles (empirique) 7 Pour information : corrections pour particules au voisinage d une paroi corrections possibles pour particules non sphériques prise en compte possible de l influence de la concentration sur la traînée (qui est modifiée par les interactions hydrodynamiques entre particules lorsque les distances interparticulaires deviennent relativement faibles) 8

5 Effets instationnaires Aux très petits nombres de Reynolds : - Basset-Boussinesq-Oseen (fluide au repos, mise en évidence du terme historique) - Gatignol, Maxey-Riley (fluide en mouvement) : traînée quasi-stationnaire force de masse ajoutée force de masse déplacée force d histoire 9 (pour une particule sphérique rigide) Effets instationnaires (suite) Extensions aux nombres de Reynolds plus élevés : - écriture plus générale de la force d histoire expressions relativement complexes, fonctions en particulier du nombre de Reynolds instantané - des résultats existent aussi pour les particules non rigides (bulles et gouttes) - les forces de masse ajoutée et de masse déplacée ne dépendent pas du Reynolds et sont donc les mêmes que précédemment En pratique : - force d histoire très coûteuse à calculer - par chance, elle ne joue un rôle important que dans le cas où les masses volumiques ρ P et ρ F sont du même ordre de grandeur 10

6 4. Particules, gouttes et bulles 4.3. Temps de relaxation et vitesse terminale 4.4. Transferts de chaleur et de masse 11 Force de traînée sur une particule sphérique fluide Interface propre Loi de Hadamard : - Extensions aux nombres de Reynolds plus grands (bulles) : (Mei & Klausner) - Bulles avec interface contaminée : C D 24 Re pour Re = P P << Reynolds plus grands : voir plus loin

7 - coefficient de traînée d une bulle sphérique : loi de Stokes loi de Hadamard Mei-Klausner 13 Déformation des particules fluides La forme d une particule fluide est fonction de 4 paramètres adimensionnels, par exemple : ou (d e = diamètre équivalent = diamètre de la sphère de même volume) + éventuels effets de contamination d interface problème général très complexe Le plus souvent : influence de κ négligeable pour des bulles l influence du rapport de densités est également négligeable 14

8 Caractérisation de la forme des particules fluides dans un liquide Abaque de Grace : nombre de Reynolds basé sur la vitesse terminale en fonction des nombres de Bond Bo et de Morton Mo 15 Bo Forme des particules fluides dans un liquide (suite) 16

9 Forme des particules fluides dans un liquide (suite) Bulles en calotte sphérique 17 Expressions de C D pour des bulles ou gouttes dans un liquide, applicables dans toute la gamme des nombres de Bond (Tomiyama) : 18

10 4. Particules, gouttes et bulles 4.3. Temps de relaxation et vitesse terminale 4.4. Transferts de chaleur et de masse Temps de relaxation et vitesse terminale Temps de relaxation d une particule = τ P = temps de réponse dynamique d une particule dans un fluide donné = caractéristique ristique extrêmement importante de l inertie l des particules En tenant compte de la force de masse ajoutée (voir diapo 9) et de l expression générale de la traînée, l équation du mouvement d une particule sphérique s écrit : où et où est la masse virtuelle de la particule, regroupe les autres forces éventuelles (pesanteur, masse déplacée, etc.) On définit τ P de façon à pouvoir écrire l équation du mouvement sous la forme soit : 20

11 4.3. Temps de relaxation et vitesse terminale Temps de relaxation d une particule : illustration Mise en mouvement d une particule obéissant à la loi de Stokes (sans pesanteur) : valable uniquement pour loi de Stokes, sinon utiliser l expression générale (diapo précédente) Temps de relaxation et vitesse terminale Vitesse limite de chute ou ascensionnelle Poids apparent : Traînée = poids apparent soit : avec (nombre de Galilée) Dans le domaine de Stokes : Lien entre vitesse limite et temps de relaxation : 22 Particule lourde dans un gaz : Bulle dans un liquide : (ascensionnelle)

12 4.3. Temps de relaxation et vitesse terminale Temps de relaxation et vitesse terminale Vitesse terminale des particules déformables On peut toujours utiliser la relation vue plus haut d e g ρp ρf ρf à condition que Ga soit basé sur le diamètre équivalent, soit : Ga = 2 µ 3 F - lorsque Bo > 40 et Re P > 150 (domaine des grosses bulles ou gouttes en forme de calotte sphérique), on obtient C D 8/3 ce qui conduit à : et (formule de Davies-Taylor, avec d e =8r/9, r étant le rayon de la calotte sphérique) 24 N.B. : pour des gouttes dans un gaz à Bo > 5 :

13 4.3. Temps de relaxation et vitesse terminale Vitesse terminale des particules déformables : exemple pour des bulles d air dans l eau Particules, gouttes et bulles 4.3. Temps de relaxation et vitesse terminale 4.4. Transferts de chaleur et de masse 26

14 4.4. Transferts de chaleur et de masse Nombre de Nusselt d une particule sphérique rappel (définition) : (flux de chaleur adimensionnel) en conduction pure (fluide stagnant) : on montre facilement que Nu = 2 en convection forcée, nombreuses corrélations, par exemple : Froessling : avec pour Ranz & Marshall : idem avec Kramers : pour 27 Transfert de masse : évaporation d une gouttelette loi de Fick : 4.4. Transferts de chaleur et de masse où = flux massique de l espèce A = masse volumique du mélange = coeff. de diffusion de A dans B = fraction massique de l espèce A ( étant la masse de A dans l unité de volume du mélange) gouttelette sphérique : conservation de la masse (convection + diffusion) avec = vitesse du mélange telle que a - on en déduit puis, avec la loi de Fick et la conservation de la masse : 28 d où

15 4.4. Transferts de chaleur et de masse Evaporation d une gouttelette (suite) évolution du diamètre et durée de vie : - conservation de la masse liquide d où (puisque q mv est proportionnel à d ) : «loi du d 2» ( K = «constante d évaporation») - la durée de vie théorique est donc ( < durée de vie réelle) Nombre de Sherwood on définit le coeff. de transfert de masse par et le nombre de Sherwood par (analogie avec Nusselt) Transferts de chaleur et de masse Nombre de Sherwood (suite) dans le cas de la gouttelette, la solution obtenue plus haut peut s écrire, lorsque (faibles taux d évaporation convection négligeable atmosphère stagnante) : on en déduit en régime purement diffusif (soit Re P 0, analogue à Nu = 2 en conduction pure) Prise en compte de la convection : Sh sera fonction de Re P et du nombre de Schmidt Sc défini par (analogue au nombre de Prandtl en transfert de chaleur) Corrélation la plus courante pour le nombre de Sherwood d une sphère : (analogue à Froessling ou Ranz & Marshall pour le Nusselt, valable dans un gaz pour ) aux taux d évaporation plus élevés, les corrélations existantes font intervenir en plus le nombre B M appelé «nombre de Spalding», défini par 30

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