TP 2 : Analyse en composantes principales

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1 Université d'angers master MIM TD analyse de données p. I Etude d'un nuage de points TP : Analyse en composantes principales. Construire le nuage centré de 5 individus caractérisés par un couple de variables suivant une loi normale d'espérance (,) et de matrice de covariance Σ =.5 u u : u. Construire une fonction qui pour un vecteur unitaire.5 4 (fonction mvrnorm de MASS). - calcule l'inertie projetée sur l'axe, - calcule l'affixe de la projection de chaque individu sur l'axe, - dans la même fenêtre représente l'histogramme des affixes et l'ajustement d'une loi normale (fonction dnorm) représente le nuage de points et le vecteur 3. Etudier graphiquement (boxplot) la dispersion des projections pour différents vecteurs unitaires. Conclure. 4. Construire l'ellipse de concentration du nuage (fonction ellipse de car) et calculer les axes principaux ainsi que l'inertie suivant chaque axe. mvrnorm(5, mu = c(, ), Sig = matrix(c(,.5,.5, 4), c(, [,] )))[,] mvrnorm(5, mu = c(, ), Sig = matrix(c(,.5,.5, 4), c(, [,] )))[,] II DVS. Soit X un tableau centré et R sa forme réduite. Etudier la DVS de (X,diag( /σ j ), n I n) et (R,I p, n I n).. a. Effectuer la DVS (X,I p,i n ) de A = et b. Determiner l'opérateur de projection sur Im B. B =.

2 Université d'angers master MIM TD analyse de données p. III Etude d un tableau à l aide d une ACP Partie A : calcul à la main Le tableau de données ci-dessous est constitué de trois variables x, y et z, et de quatre individus A à D. On utilisera les valeurs exactes. x y z A B C D EFFECTUER L'ACP NORMEE DU TABLEAU ) Calculer le centre de gravité g I du nuage. ) Calculer le tableau centré réduit. 3) a. Calculer la matrice d'inertie S du nuage N(I). b. Que représente cette matrice? c. Quelle est l'inertie du nuage? 4) Recherche des axes principaux d'inertie : a. Déterminer les valeurs propres de S. b. Vérifier votre résultat à l'aide de la question 3) c. c. Déterminer les deux premiers vecteurs propres. 5) a. Quelle est la contribution absolue de l'axe F à l'inertie du nuage? b. Quel est le taux d'inertie extrait par l'axe F? c. Quelle est la meilleure représentation plane?

3 Université d'angers master MIM TD analyse de données p. 3 REPRESENTATION DES INDIVIDUS ) Compléter dans le tableau ci-dessous les composantes principales (coordonnées des individus). composantes principales qlt = cos² (/) ctr (/) F F F3 F F F F A B C D ) Calculer l'inertie des individus et 4 par rapport à g I. 3) Définir la qualité de représentation de i sur l'axe F et compléter le tableau ci-dessus. 4) Compléter les contributions relatives des individus à l'inertie de l'axe F? 5) Effectuer la représentation graphique du plan ()-().

4 Université d'angers master MIM TD analyse de données p. 4 REPRESENTATION DES VARIABLES ) Calculer les coordonnées des individus sur les différents axes et compléter le tableau. coordonnées ctr (/) F F F F V V V 3 ) Définir la qualité de la représentation de la variable j sur les axes et compléter le tableau. 3) Effectuer la représentation graphique dans les différents plans. INDIVIDUS ET VARIABLES SUPPLEMENTAIRES Construire la représentation graphique de l'individus de coordonnées (,,). Construire la représentation graphique de la variable de coordonnées (,-,,-,). Partie B : Calculs à l'aide du logiciel R. Construire une fonction R permettant de déterminer pour un tableau T les valeurs propres ainsi que les composantes principales et qui représente le plan factoriel FF pour les individus et les variables. Partie C : Un second exemple Reprendre les étapes du I (calcul manuel + vérification sous R) avec le tableau de données : T= ou T= 3 v v v F E D C B A

5 Université d'angers master MIM TD analyse de données p. 5 IV Etude d'exemples Exemple : Etude olfacto-gustative de cidres Plusieurs caractéristiques du cidre ont été mesurées sur cidres différents. Les résultats de l ACP sont présentés page suivante. cidre odeur sucre acide amer astringence suffocante piquante alcool parfum fruitée,4,86 3,9,9,4,9,86,9,9,43,79,7,57,43,57,86,43,4 3,7 3,4,57,57,43,4,4,86,9, ,7,4,7,57,9 3,4 3,4 5 3,43,9,86 3,4,7,86,86,4,9 6 3,4,86,86 3,79,57,4,7 3,9,4 7 3,4,4,86,86,43,7,86,4 8,43 3,7 3,,57,7,57,57,86 9 5,,86,86 3,7,79,7,43,43,57,7 3,7 3,4,57 3,43,9,57 3,7 Partie I : Examen des données Utiliser les résultats ci-dessous pour justifier vos réponses. a. Justifier l'utilisation d'une ACP. b. Expliquer les différences obtenues entre une ACP normée et non normée? c. Déterminer trois groupes de variables qui présentent des corrélations entre elles (r>.5). d. Que représentent les ellipses dans la représentation en 3D. e. Expliquez les différences entre les ellipses obtenues dans les deux nuages. Pour réaliser les différents traitements avec R, il faut charger les packages rgl, ade4 et éventuellement Rcmdr (interface concivial). > cidre <- read.table("../echange/cidre.txt") Paramètres statistiques acid alco amer astr fruit odeu parf piqu sucr suffo > round(cov(cidre),) odeu sucr acid amer astr suffo piqu alco parf fruit odeu sucr acid amer astr suffo piqu alco parf fruit > round(cor(cidre),) odeu sucr acid amer astr suffo piqu alco parf fruit odeu sucr acid amer astr suffo piqu alco parf fruit

6 Université d'angers master MIM TD analyse de données p. 6 Examen graphique : >library("rgl") > cidrer = as.data.frame(scale(cidre)*sqrt(/9)) >attach(cidrer) nuage : >plot3d(acid,alco,suffo,type="s",xlim=c(-3,3),ylim=c(-3,3),zlim=c(-3,3)) >plot3d(ellipse3d(cor(cbind(acid,alco,suffo))),col="grey",alpha=.5,add=true) nuage : >plot3d(parf,alco,sucr,type="s",xlim=c(-3,3),ylim=c(-3,3),zlim=c(-3,3)) >plot3d(ellipse3d(cor(cbind(parf,alco,sucr))),col="grey",alpha=.5,add=true)

7 Université d'angers master MIM TD analyse de données p. 7 Partie II : ACP normée du tableau. Nombre de facteurs retenus > round(acp$eig,) [] > round(cumsum(acp$eig*),) [] a. Les deux premiers facteurs ont été retenus ici. Quel est le pourcentage de variance expliqué par ces deux facteurs? b. Que signifie ce pourcentage? / Analyse des variables >inertie <-inertia.dudi(acp, col.inertia=true) [coordonnées des variables] > round(acp$co,) Comp Comp odeu sucr acid amer astr suffo piqu alco parf.9. fruit [ctr en %] > inertie$col.abs/ Comp Comp odeu sucr acid.7.94 amer astr suffo piqu alco parf fruit [qlt en %] > inertie$col.re/ Comp Comp con.tra odeu sucr acid amer astr suffo piqu alco parf fruit > s.corcircle(acp$co,xax=,yax=) a. Comment reconnaît-on sur la figure des variables qu une variable est bien représentée? h. Donner une signification à cet axe. b. Quelles sont les variables mal représentées dans le plan F-F? Justifier votre réponse. c. A l aide de la figure sur les variables, préciser la variable la plus corrélée positivement à alcool, la plus corrélée négativement à alcool, la moins corrélée à alcool. d. Quelles sont les variables qui ont contribuées à l axe F? Justifier votre réponse. e. f. Donner une signification à cet axe. g. Quelles sont les variables qui ont contribuées à l axe F? Justifier votre réponse.

8 Université d'angers master MIM TD analyse de données p. 8 3/ Analyse des individus >inertie <-inertia.dudi(acp, row.inertia=true) Composantes principales > round(acp$li,) Axis Axis [ctr en %] > inertie$row.abs/ Axis Axis [qlt en %] > inertie$row.re/ Axis Axis con.tra > s.label(acp$li,xax=,yax=) a. Comment évalue-t-on si un individu est bien représenté dans un plan? b. Quel est l individu le mieux représenté dans le plan F-F? Justifier votre réponses. c. Quels sont les 3 individus les moins bien représentés dans le plan F-F? Justifier votre réponse. d. Quels sont les individus qui ont contribuées à l axe F? Justifier votre réponse. e. Quels sont les individus qui ont contribuées à l axe F? Justifier votre réponse. f. Proposer 4 groupes de cidres en précisant clairement les principales caractéristiques de ces groupes. 4. Vers la classification. Les individus semblent se répartir en quatre groupes : groupe : groupe : groupe 3 : 9 groupe 4 : Créons un facteur indiquant le groupe : > fac <- as.factor(c(4,,,,,,,,3,)) > s.class(dfxy=acp$li,fac=fac,xax=,yax=)

9 Université d'angers master MIM TD analyse de données p. 9 Exemple II : Charolais Zebu Nous étudions dans cette partie les masses de différentes parties d'un groupe de 3 bovins constitué de charolais ( à ) et zebus (3 à 3). Les variables représentent: poids vif. poids de la carcasse. poids de la viande de première qualité. poids de la viande totale. poids du gras. poids des os. Analyser les résultats ci-dessous. > zebu<-read.table("zebu.txt",header=t) > zebu vif carc qsup tota gras os race > race <- as.factor(race) > zebu <- zebu[,:6]. Paramètres statistiques: Moyenne et écart-type par race Variable: carc Variable: gras Variable: os Variable: qsup Variable: tota Variable: vif Matrice des corrélations vif carc qsup tota gras os vif carc qsup tota gras os Représentation graphique 6 8 carc gras os qsup tota vif

10 Université d'angers master MIM TD analyse de données p. 3. Valeurs propres > library(ade4) > acp <- dudi.pca(zebu) > round(acp$eig,) [] > round(cumsum(acp$eig*),) [] Analyse des variables inertie <-inertia.dudi(acp, col.inertia=true) Coordonnées >round(acp$co,) Comp Comp Comp3 vif carc qsup tota gras os [CTR en ième ] > inertie$col.abs Comp Comp Comp3 vif carc qsup tota gras os [Qlt en ième ] > inertie$col.re Comp Comp Comp3 con.tra vif carc qsup tota gras os s.corcircle(acp$co,xax=,yax=) axes axes - 3 axes - 3

11 Université d'angers master MIM TD analyse de données p. 4. Analyse des individus inertie <-inertia.dudi(acp, row.inertia=true) Composantes principales > round(acp$li,3) Axis Axis Axis [CTR en ième ] > inertie$row.abs Axis Axis Axis [Qlt en ième ] > inertie$row.re Axis Axis Axis3 con.tra axes axes - 3

12 Université d'angers : master MIM TP analyse des données p. axes Avec les informations sur les races : axes - axes - 3

13 Université d'angers : master MIM TP analyse des données p. 3 Exemple 3 : Etude de l'alimentation des foyers français Soit le tableau suivant décrivant en 97 la consommation annuelle en francs de différentes catégories socio-professionnelles pour différents aliments. pain légumes fruits viandes volailles lait vin MA EM CA MA EM CA MA EM CA MA EM CA CA, MA, EM indiquent la profession: cadre, agent de maintenance et employé. Le chiffre indique le nombre de personnes constituant la famille. Le fichier s'appelle csp.txt. Reprendre l'étude de l'exemple précédent pour étudier ce tableau.