Baccalauréat en génie électrique et en. génie informatique. Signaux et systèmes discrets GEL Transformée de Fourier rapide. Jean-Yves Chouinard

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1 Baccalauréat en génie électrique et en génie informatique Signaux et systèmes discrets GEL-3003 Transformée de Fourier rapide Édition automne 01 Jean-Yves Chouinard Faculté des sciences et de génie Département de génie électrique et de génie informatique

2 Plan de la section Transformée de Fourier rapide (FFT) Architecture en papillon (butterfly) Transformée de Fourier rapide avec décimation fréquentielle Transformée de Fourier rapide avec décimation temporelle (sections 8.13 et 8.14 du manuel de cours)

3 Transformée de Fourier discrète () sous forme matricielle 1 1 j nk nk j où n0 n0 k x n e x n W W e W W W W x W W W W x W W W x W W x 1 W W W x n j nk nk ke xnw k0 n0 1 * Wx x W * 3

4 Exemple : transformée de Fourier discrète () j j xn 1,,1,0, 4 W W4 e e j nk 1 3 k x n W x n e n0 n0 jkn W W W W x x 1 W 1 1 W W j j W j W x W W W W x 3 W W W 1 j 1 j 0 j k 4, j,0, j 4

5 Transformée de Fourier discrète () sous forme matricielle Symétries et périodicité de la : 1 1 j nk nk j où n0 n0 k x n e x n W W e e e W W j n j n n n e e W W j n j n n n jk jk k e e 1 W 1 j j e e W W 5

6 Transformée de Fourier rapide (FFT) Exploitation des symétries et de la périodicité dans les expressions de la transformée de Fourier discrète () : W e j n Réduction de la complexité de calcul Décomposition de la séquence de longueur en sous séquences : m m r1 r rm r FFT en radix- (radix : r) Transformée de Fourier rapide (FFT) avec décimation fréquentielle (DIF) Transformée de Fourier rapide (FFT) avec décimation temporelle (DIT) 6

7 Transformée de Fourier rapide (FFT) Radix- FFT : pour k 0,1,,, 1, (n1) k n0 n0 n0 nk nk n n 1 k x n W x W x W 1 1 nk k W 1 k x n W x n W n0 n0 1 1 nk n W W x n W n0 n0 nk k 1 k x e k o k k k W nk,toujours pour k 0,1,,, 1 e k o k kw k, k 0,1,,, 1 e k o e k o 1 k k W k k W k, k 0,1,,, 1 On applique donc la à séquences périodiques de échantillons complexité réduite 7

8 Transformée de Fourier rapide (FFT) 1 1 j nk nk n0 n0 k x n e x n W 1 n x 0 (résultat trivial) 0 x 0 x 1 et x x Transformée de Fourier rapide FFT radix- à points : nk k x n W, k 0,1,,, 1 e k k k k o W, k 0,1,,, 1 e k o k k W k 8

9 Transformée de Fourier rapide (FFT) Transformée de Fourier rapide FFT radix- à points : nk 1 séquence de échantillons : k x n W, k 0,1,,, 1 1 n0 e k o k k W k séquences de échantillons :, e k o k kw k k k k 0,1,,, 1 e ee eo k k W k e ee k eo k k W k 4 4 séquences de échantillons :, k 0,1,,, 1 4 o oe oo k k W 4 k o oe k oo k kw k 4 et ainsi de suite... 9

10 Transformée de Fourier rapide : architecture en papillon avec décimation temporelle Source : fig du manuel de cours (Ashok Ambardar, Digital Signal Processing: A Modern Introduction). 10

11 Transformée de Fourier rapide : décimation temporelle Source : fig. 8.0 du manuel de cours (Ashok Ambardar, Digital Signal Processing: A Modern Introduction). 11

12 Exemple : transformée de Fourier rapide en base avec décimation temporelle Source : fig de la référence (Proakis et Manolakis, Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications). 1

13 Exemple : FFT à = 4 points (décimation temporelle) Transformée de Fourier rapide FFT radix- à 4 points : j W4 e j 3 nk 4 n0 1 séquence de 4 échantillons : k x n W, k 0,1,,3. séquences de = échantillons : e k o e k o k k W k 4 k k W k 4, pour k 0,1 et où k x[0] x[] W et k x[1] x[3] W. e k o k

14 Exemple : FFT à = 4 points (décimation temporelle) Transformée de Fourier rapide FFT radix- à 4 points : 3 nk 4 n0 k x n W, k 0,1,,3. j W4 e j e k o e k o k k Pour k k W k et k k W k 4 4 et où k x[0] x[] W et k x[1] x[3] W, on obtient : e o 4 4 e 1 o 1 e o 4 4 e 3 o e 0 o W 0 x[0] x[] W W x[1] x[3] W x[0] x[] x[1] x[3] 1 1 W 1 x[0] x[] W W x[1] x[3] W x[0] x[] jx[1] jx[3] W x[0] x[] W W x[1] x[3] W x[0] x[] x[1] x[3] 3 W 3 x[0] x[] W W x[1] x[3] W x[0] x[] jx[1] jx[3] 14

15 Transformée de Fourier rapide : architecture en papillon avec décimation fréquentielle (DIF) Source : fig du manuel de cours (Ashok Ambardar, Digital Signal Processing: A Modern Introduction). 15

16 Exemple : transformée de Fourier rapide en base avec décimation fréquentielle (DIF) Source : fig de la référence (Proakis et Manolakis, Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications). 16

17 Transformée de Fourier rapide (FFT) Complexité de calcul de la transformée de Fourier discrète () sur points : Solution de équations à inconnues, multiplications complexes et (-1) additions complexes Transformée de Fourier rapide (FFT) avec décimation fréquentielle (DIF) ou avec décimation temporelle (DIT): ½ papillons (butterflies) par niveau de décimation et m niveaux de décimation (stages) ½ m = ½ log multiplications complexes et m = log additions complexes. 17

18 Transformée de Fourier rapide en base Source : fig de la référence (Proakis et Manolakis, Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications). 18