Le nombre d or. La proportion divine dans tous ses états!!!!!!!

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1 Le nombre d or La proportion divine dans tous ses états Page 1

2 Quelques préliminaires Tout commence avec 0 et 1 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,. Quelle est la suite logique des nombres précédents? Calculez les dix nombres suivants de cette suite. Leonardo Fibonacci ( ) Cette suite est appelée la suite de Fibonacci. Leonardo Fibonacci est né à Pise en Italie. Il s enrichit de ses séjours en Kabylie ( l Algérie actuelle), l Egypte et la Syrie entre autres. De ses voyages il ramène les chiffres arabes et la notation algébrique. Prenez deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci et divisez-les: Page 2

3 Propriété Si on divise un nombre de la suite de Fibonacci par son précédent, le résultat sera une approximation du nombre φ = , Ce nombre est appelé le nombre d or. Ce nombre est un nombre comme un autre, comme π, 2, 1 2,... Pourquoi ce nombre est-il donc surnommé la proportion divine? Le franciscain Luca Pacioli définit le nombre d or dont les caractéristiques concordent avec des attributs qui appartiennent à Dieu Qu en est-il? pourquoi de tels qualificatifs? Ou trouve-t-on le nombre d or? Page 3

4 Le nombre d or dans la nature Observation d une pomme de pin. Prenez la pomme de pin devant et calculez le nombre de rangs à gauche et à droite. Dans ce cas nous avons 16 rangs qui vont vers la droite Et 10 rangs vers la gauche. Page 4

5 Que pouvez-vous dire sur le nombre de rang à gauche et à droite? Quel lien avec le nombre d or? Dans l expression proportion divine, pourquoi parle-t-on de proportion? Page 5

6 Ce rangement ordonné se répète sur la peau des ananas. La fleur de marguerite est caractérisée par la présence (dans son coeur) de nombreux primordia formant deux groupes de spirales ou parastiches tournant en sens contraire (nous les avons tracées cidessous). Connaissez-vous d autres éléments de la nature qui s ordonne selon la proportion du nombre d or? La proportion divine est donc un rapport entre deux mesures ( exemples: le nombre de rangs de gauche et ceux de droites). Page 6

7 Le nombre d or et la Géométrie. Un peu d Histoire autour du nombre d or Euclide d Alexandrie (325 avjc-265 avjc) On ne peut parler de géométrie sans parler d Euclide, père fondateur de cette matière. Vous savez sûrement que par un point il passe une infinité de droites, ou qu entre deux points il passe une seule droite.ça c est grâce à Euclide et ses fondements de la Géométrie. Euclide développe la Géométrie à travers les quatre premiers volume de son oeuvre Les Élements. Il est vrai que le nombre d or est bien présent avant Euclide : Dans l architecture de la pyramide de Khéops vers 2560 avjc. Dans le Parthénon d Athènes vers 447 avjc. Et après Euclide Dans l homme de Vitruve de Da Vinci Et bien d autres Page 7

8 a = 1 La proportion d'or Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle est toute entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit. Euclide, Eléments, livre VI, 3ème définition. On trouve une première définition de la proportion d or grâce à Euclide. En traduisant: Deux longueurs strictement positives a et b respectent la «proportion d'or» si et seulement si, le rapport de a sur b est égal au rapport de a + b sur a : a b a b = a + b a Si l on applique cette définition à un segment dont la longueur a=1 la proportion d or donnera la valeur du nombre d or. 1) Vérifiez que le nombre φ = 1+ 5 est solution de l équation précédente. 2 Deux longueurs respectent la proportion d or si le rapport du plus grand avec le plus petit est x-1 1 x 1 = 1 x 1 x x 1= 1 x x 2 x = 1 x 2 x 1= 0 Page 8

9 Le rectangle d'or Un rectangle dont le rapport entre la longueur et la largueur vaut le nombre d or est appelé un rectangle d or. Un rectangle d or est un agrandissement ou réduction du rectangle d or: φ 1, Observez les rectangles donnés aveux leur largueur et leur longueur: Que pouvez vous dire sur leurs dimensions? S agit-il de rectangles d or? Page 9

10 Le pentagone et le nombre d or Construisez un pentagone régulier à la règle et au compas. Page 10

11 Le pentagone et le nombre d or Construisez un pentagone régulier à la règle et au compas. 1) Construisez un cercle C de rayon quelconque. 2) Tracez deux diamètres perpendiculaires. Le cercle coupe les diamètres en A, B, C, D. 3) Tracez un cercle C de rayon OA et de centre I: le rayon R =R/2 4) Tracez une droite d passant par B et par I: d coupe C en E et en F. 5) Tracez deux arc de cercle de rayon BE et BF. Ces deux arcs de cercles coupe C en D 1, D 2, D 3 et D 4. D D 1 D 2 D 3 D 4 est un pentagone régulier Calculez a) Tracez et mesurez les diagonales DD 2 et DD 3. b) Mesurez le côté du pentagone DD 1. DD 2 DD 1 = Les pentagones réguliers sont des objets mathématiques dans lesquels le nombre d or est fortement impliqué. Page 11

12 Voici quelques pentagones réguliers naturels: - Les étoiles de mer forment des pentagones réguliers. - Les fleurs de passiflore dites fleurs de la passion dont les pétales forment un décagone et dont les pistils forment un pentagone régulier sont l expression de l harmonie du nombre d or dans la nature. - La carambole, Page 12

13 Le triangle d or Considérons le pentagone régulier ADBEC. Les triangles générés par les diagonales ABC et ADE sont des triangles isocèles. Aidez-vous de vos connaissances de trigonométrie pour calculer l angle BAC et l angle ABC Les triangles ABC et ADE sont appelés les triangles d or. Page 13

14 Le nombre d or dans l Art La pyramide de Khéops L apothème SH mesure 188,4546m La longueur HA mesure 116,5025m Calculer SH HA Le Parthénon d Athènes Bâtit par Phidias vers 447 av JC, le Parthénon est dédié à la déesse Athéna. Bon nombre d études concluent que le nombre d or est à peu près présent partout. - Le rectangle CDEF est un rectangle d or et nous observons sur la toiture que GF =φ GI Page 14

15 Le nombre d or en peinture - La Joconde De Leonardo da Vinci ( ). - La Sainte Famille de Michel Ange ( ). - Le maître de la renaissance a peint le visage de la Mona Lisa dans un rectangle d or ( en rouge). - On arrive a superposer une spirale d or sur la toile. - On retrouve la proportion d or a plusieurs niveaux. Une étoile d or ( pentagone régulier ) se superpose sur la toile. Page 15

16 De nombreux artistes contemporains se plongent sur l harmonie du nombre d or: - Salvador Dali ( ), maître du surréalisme du XXème siècle, applique la proportion d or sur bon nombre de ses oeuvres: - Bernard Rangel, peintre anglais d origine indien consacre toutes une série de son oeuvre à l univers mathématique. Page 16

17 L homme de Vitruve Peint par Léonard de Vinci vers 1492, l homme de Vitruve est le symbole de l humanisme, courant culturel de la renaiscance qui place l homme aux capacités intellectuelles illimités au centre de l Univers. L homme de Vitruve illustre la Divina Proportione du franciscain Luca Paccioli ( 1498). L homme de Vitruve montrent les proportions idéales du corps humain. De Vinci place l homme au centre d un cercle et inscrit dans un carré: deux figures géométriques symboliquement opposées mais emboîtées, l union des contraire, la dualité - Mesurer le côté du carré de x : - Mesurer le rayon du cercle r: - Calculer Le rapport entre le côté du carré et le rayon est le nombre d or. - L homme de Vitruve est inscrit dans un pentagone régulier, forme géométrique liée au nombre d or. x r = Page 17

18 En découpant le carré par une grille 8x8 on obtient: - L ouverture maximale des bras égale la hauteur de l homme. - Mesurez votre taille: - Mesurez l ouverture de vos bras: - De la base du menton au crâne, c est le huitième de la hauteur de l homme. - Mesurez la distance du menton au sommet du crâne: - De la plante du pied à la limite inférieure du genou, c est la quatrième partie de l homme. - Mesurez de la plante du pied à la limite inférieure du genou - Du coude à l extrémité de la main, c est la quatrième partie de l homme. - Mesurez du coude à l extrémité de la main: Page 18

19 Le nombre d or en Anatomie Sur la main - Mesurer PH1 votre 1ère phalange: - Mesurer PH2 votre 2eme phalange: Calculer PH2 PH3 = - Mesurer PH3 votre 3ème phalange: PH1 PH2 = Sur le visage - Mesurer la distance des lèvres à l'endroit où se croisent les sourcils/la longueur du nez - Mesurer la longueur du visage/la largeur du visage - Mesurer la longueur de la bouche/la largeur du nez - Mesurer la largeur du nez/la distance entre les narines - Mesurer la distance entre les pupilles / la distance entre les sourcils Page 19

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