TD P16 : premier principe

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1 exercice 1 : travail reçu par un gaz TD P16 : premier principe Un piston de section S peut coulisser sans frottement dans le cylindre. On considère une mole de gaz (CO 2 ) enfermé dans le cylindre. Le vide règne de l autre côté du piston. Les parois sont diathermanes et l extérieur est à la température T 0 constante. A l état initial est défini par (V 0, T 0 ) et l état final par ( V 0 2, T 0). Données : V 0 = 24 L ; T 0 = 298 K ; a = 3,63 bar.l 2.mol 2 et b = 43 ml/mol On traitera le problème successivement pour les deux modèles suivants : il s agit d un gaz parfait il s agit d un gaz de Van der Waals (P + n2 a )(V nb) = nrt V 2 1. On exerce de manière très progressive une force sur le piston jusqu à arriver à une intensité F, permettant d obtenir l état final pour le gaz. (a) Exprimer la pression du gaz pour un état intermédiaire correspondant à un volume V de gaz. (b) Déterminer l expression du travail de la force au cours de la transformation. (c) Faire l application numérique 2. On applique brutalement cette force F sur le piston jusqu à obtenir l équilibre thermodynamique du système. (a) Déterminer le travail de la force. (b) Effectuer l application numérique et comparer à la valeur précédente. Conclure. Exercice 2 : cas d un liquide(*) De l eau liquide dans les conditions (P 0, V 0, T 0 ) subit une transformation quasi-statique mécaniquement réversible, son volume restant infiniment voisin de V 0. Les coefficients thermoélastiques α et χ T de l eau sont connus et supposés constants. 1. Justifier l expression du travail élémentaire sous la forme δw = V 0 P ( χ T dp - αdt ). 2. Préciser le travail reçu par l eau du milieu extérieur lors des transformations suivantes : a) transformation isochore ; b) transformation isobare (on exprimera W en fonction de α, P 0, V 0, T 0 et T 1 la température atteinte) ; c) transformation isotherme (on exprimera W en fonction de χ T, V 0, P 0 et P 1 la pression atteinte). Exercice 3 : cas d un solide Un solide a une compressibilité isotherme χ T constante. Il subit une transformation isotherme telle que la pression passe de la valeur P 1 à la valeur P Calculer le travail reçu par le solide de l extérieur. A.N. : χ T = 1, Pa 1 ; P 1 = 1 bar ; P 2 = 100 bars ; V in = 1,0 L. 2. Comparer au travail que recevrait un gaz parfait de même volume initial sous la pression P 1 lors d une transformation identique. Exercice 4 : travail reçu par un gaz pour différents chemins suivis On considère 2,0 moles de dioxygène, gaz supposé parfait, que l on peut faire passer réversiblement de l état initial A (P A, V A, T A ) à l état final B (P B = 3 P A, V B, T B = T A ) par trois chemins distincts : 1. chemin A 1 B : transformation isotherme ; 2. chemin A 2 B : transformation représentée par une droite dans le diagramme de Clapeyron ; 3. chemin A 3 B : transformation composée d une isochore puis d une isobare. Représenter les trois chemins dans un diagramme de Clapeyron, puis calculer dans chaque cas les travaux mis en jeu en fonction de T A. A.N. : T A = 300 K. exercice 5 : transfert thermique reçu par un gaz parfait Un gaz parfait est contenu dans un cylindre clos par un piston. La température initiale du gaz est égale à la température extérieure T 1 = 293 K, sa pression est P 1 = 1,0 bar et son volume est V 1 = 5,0 L. On néglige le poids du cylindre devant la force pressante due à l atmosphère. Les parois du cylindre et le piston sont de «bons» conducteurs de la chaleur (diathermanes). 1

2 1. On appuie «lentement» sur le piston, de manière à assurer à chaque instant l équilibre thermique entre le gaz et l extérieur, jusqu à ce que le gaz atteigne la pression P 2 = 10 bars. Calculer le volume final V 2 occupé par le gaz, sa variation d énergie interne ainsi que le travail et le transfert thermique reçus par le gaz. 2. On applique d un seul coup une surpression extérieure, par exemple en posant une masse sur le piston, de telle sorte que la pression extérieure passe brusquement de la valeur P 1 à la valeur P 2. On attend qu un état d équilibre thermique se réinstaure avec l extérieur. Calculer le volume final V 2 occupé par le gaz, sa variation d énergie interne ainsi que le travail et le transfert thermique reçus par le gaz. exercice 6 : Chauffage d un gaz à l aide d un élément électrique Soit un système piston-cylindre contenant initialement V 1 = 0,50 m 3 d azote à P 1 = 400 kpa et à θ 1 = 27 C. L élément chauffant électrique est allumé, et un courant d intensité I = 2,0 A y circule pendant τ = 5,0 min sous la tension E = 120 V. L azote se détend de manière isobare. Au cours de cette transformation, le gaz cède aux parois et au piston un transfert thermique Q gaz/paroi = J. Déterminer la température finale T 2 de l azote. Données : M (N 2 )=28,0 g/mol ; capacité thermique massique à pression constante du diazote : c P = 1,039 kj.k 1.kg 1. exercice 7 : calorimétrie Un calorimètre et ses accessoires (agitateur, thermomètre,...) possède une capacité calorifique C. Un calorimètre est un récipient dont les parois sont thermiquement isolées. C est comme une bouteille thermos, à ceci près que le récipient possède une paroi mobile : dans une bouteille thermos, le volume est constant, dans un calorimètre, la pression est constante. Les échanges thermiques à l intérieur du calorimètre se font à pression constante. Donnée : c eau = 4,18 J.g 1.K Le calorimètre contenant une masse d eau M = 95 g à la température t 1 = 20 C, on lui ajoute une masse m = 71 g d eau à la température t 2 = 50,0 C. Après quelques instants, la température d équilibre observée est t f = 31,3 C. En déduire la valeur de la capacité thermique C du calorimètre. Calculer la masse en eau µ équivalente au calorimètre. 2. Le même calorimètre contient maintenant M = 100 g d eau à t 1 = 15 C. On y plonge un échantillon métallique de masse m = 25 g qui sort d une étuve à t 2 = 95 C. La température d équilibre est t f = 16,7 C. Calculer la capacité calorifique massique moyenne c du métal dans ce domaine de température. exercice 8 : évolution de la température d un conducteur ohmique Un conducteur ohmique de résistance électrique R, de capacité thermique C, est placé dans l air de température T 0. Lorsque la température de la résistance est T > T 0, on admet que le transfert thermique δq perdu pendant une durée dt est donnée par la loi de Newton : δq = ac(t T 0 )dt où a est une constante. À la date t = 0, la résistance étant à la température T 0, on fait passer dans la résistance électrique un courant d intensité I constante. 1. Quelle est la dimension de la constante a? 2. En faisant un bilan énergétique sur une durée dt, établir l équation différentielle vérifiée par T(t). 3. Identifier la constante de temps τ du phénomène ainsi que la température T atteinte par la résistance au bout d une durée t τ. exercice 9 : détente brutale d un gaz parfait (*) Un gaz parfait, de coefficient γ, est contenu dans un cylindre muni d un piston, l ensemble étant calorifugé. La pression extérieure est P 0. Dans l état initial, le piston est bloqué et le gaz est comprimé sous la pression P 1 > P 0, occupant le volume V 1 à la température T 1. On libère le piston et on laisse le système atteindre un nouvel état d équilibre. On pose x = P 0 P 1. 2

3 1. Exprimer la température T 2 du gaz à l équilibre, en fonction de γ, x, et T Comparer T 2 à T Exprimer le volume V 2 du gaz à l équilibre, en fonction de γ, x, et V 1. exercice 10 : détermination d une chaleur latente Un calorimètre contient M = 1,00 kg d eau, la température de l ensemble est t 1 = 15,00 C. On y ajoute la même masse d eau à la température t 2 = 65,00 C. La température d équilibre est t 3 = 38,85 C. 1. Déterminer la capacité thermique du calorimètre C cal et son équivalent en eau µ cal. On donne c eau = 4186 J.K 1.kg 1 2. Le même calorimètre contient M = 1,00 kg d eau, la température de l ensemble est t 1 = 15,00 C. On y ajoute une masse m = 50,0 g de glace à la température t 4 = 0,00 C. La température d équilibre est t 5 = 10,87 C. Déterminer la chaleur latente de fusion de la glace. 3. Le calorimètre contient M = 1,00 kg d eau, la température de l ensemble est t 1 = 15,00 C. On y ajoute une masse m = 50,0 g de glace à la température t 6 = - 5,00 C. La température d équilibre est t 7 = 10,75 C. Déterminer la capacité thermique massique de la glace. exercice 11 : analyse d un diagramme (P, h ). Pour l étude des fluides condensables, l un des diagrammes les plus utilisés est le diagramme (P, h) dans lequel on porte la pression P en ordonnée et l enthalpie massique h en abscisse. La figure ci-dessous montre un tel diagramme pour l eau. 1. Identifier les domaines du liquide, de la vapeur sèche et des états d équilibre liquide-vapeur. Où se situe le point critique C? 2. Justifier la forme des isothermes. 3. Expliquer comment déterminer l enthalpie de vaporisation à une température T. 4. Montrer que l on peut écrire un théorème des moments comme dans le diagramme de Clapeyron. 3

4 exercice 12 : expérience de Clément et Desormes On considère un ballon de grand volume V 1 contenant de l air ( G.P. ) sous une pression P 1 légèrement inférieure à P 0. Le manomètre indique une dénivellation h 1. On ouvre le robinet pendant une courte durée. Une petite quantité d air entre dans le ballon. La pression de l air dans le ballon devient P 2 = P 0. Cette légère compression va provoquer un léger échauffement du gaz. Cette compression étant rapide et la pression étant modifiée de manière faible, elle peut être considérée comme adiabatique et réversible ( l air entrant joue le rôle d un piston qui comprime l air du ballon ). Ensuite le gaz va se refroidir pour retrouver la température T 0, la pression va passer de P 0 à P 3. ( la nouvelle dénivellation est h 3 ) Au cours de cette étape on peut considérer que la transformation est isochore. On étudiera le système constitué de l air se trouvant dans le ballon à la fin de la dernière étape.. Les variations de pression dans les diverses étapes sont infinitésimales. 1. Tracer le diagramme de Clapeyron. 2. Déterminer γ en fonction de P 1, P 3 et P 0 puis en fonction de h 1 et h 3. ( On rappelle que pour une transformation adiabatique réversible d un G.P. P.V γ = Cte ) exercice 13 : détente dans le vide d un gaz parfait Deux récipients de même volume V sont reliés par un mince tube sur lequel est monté un robinet. L ensemble est calorifugé. Le robinet étant fermé, le récipient (1) contient 1 mol d un GP de coefficient γ = 1.4, à la température t 0 = 0 C, sous la pression P 0 = 1 bar, et le récipient (2) est vide. Le robinet est alors ouvert, ce qui permet un écoulement gazeux «lent» du récipient (1) vers le récipient (2). Le robinet est fermé dès que les pressions dans les deux récipients deviennent identiques. On note P cette pression commune, t 1 la température du gaz restant dans le récipient (1) et t 2 la température du gaz transvasé dans le récipient (2). On note x la quantité de matière restant dans le récipient (1). 1. Etablir une relation entre les températures t 0, t 1, t 2 et la valeur x. 2. Calculer la pression P. 3. Quelle est la nature de la transformation subie par le gaz restant dans le récipient (1)? En déduire la valeur de x. 4. Calculer les températures t 1 et t 2. Réponses : exercice 1 : GP : W= nrt 0 ln2 = 1,7 kj ; 2 : GP : W = nrt 0 = 2,5 kj exercice 4 : W 1 = nrt A = 5, 5 kj ; W 1 = 4 3 nrt A = 6, 7 kj ; W 3 = 2nRT A = 10 kj exercice 5 : 1. Q = -1,2 kj ; V 2 = 0,50 L ; 2. Q = -4,5 kj ; V 2 = 0,50 L exercice 6 : T 2 = T 1 + Q P 1 V 1 M(N 2 )c p RT 1 = 330 K exercice 7 : C = 94 J/K ; µ =22 g ; 2. c = 0,44 kj.kg 1.K 1 exercice 8 : 3. τ = 1 a ; T = T 0 + RI2 ac (γ 1)x + 1 (γ 1)x + 1 exercice 9 : 1. T 2 = T 1 ; 3. V 2 = V 1 γ γx exercice 10 : 1. µ cal = 96,44 g ; 2. L fus = 333,5 kj/kg ; 3. c glace = 2, 303 J.kg 1.K 1 exercice 11 : 1. liquide à basse enthalpie, haute pression (à gauche de la courbe de saturation) et vapeur à droite de cette courbe ; point critique pour T = 370 K, P = 220 bars environ. exercice 12 : γ = h 1 h 1 h 3 exercice 13 : 1. x = T 2 T 0 T 2 T 1 ; 2. P = P 0 2 ; 4. T 1 = - 49 C et T 2 = 77 C 4

5 Répertoire P16 transformation transformation brutale /quasi-statique transformation réversible / irréversible travail des forces de pression parois diathermanes / athermanes, calorifugées transformation isochore transformation isobare transformation monobare transformation isotherme transformation monotherme transformation cyclique transformation adiabatique cycle moteur / récepteur compression détente conduction thermique / convection / rayonnement loi de Newton pour les pertes thermiques premier principe enthalpie capacité thermique à pression constante relation de Mayer enthalpie de changement d état réaction exothermique / endothermique 5

6 1. L énergie interne est de nature microscopique. Vrai ou faux P16 2. La variation d énergie interne d un système est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures 3. Le rôle d une isolation thermique est de maintenir la température du système constante. 4. Le travail des forces de pression s écrit W = P dv. 5. Pendant une transformation monobare, P = Cte. 6. L enthalpie H est une fonction d état seulement pour un gaz parfait. 7. Au cours d une transformation, la variation d une fonction d état dépend du chemin suivi. 8. Au cours d une transformation isotherme réversible, la température du système est égale à celle du milieu extérieur. 9. Il existe trois modes de transfert thermique. 10. L enthalpie molaire d un gaz parfait monoatomique vaut H m = 7 2 RT. 11. L enthalpie d un liquide dépend de son volume. 12. L enthalpie de sublimation d un corps pur est positive. Réponses : 1. V ; 2. F ; 3. F ; 4. F ; 5. F ; 6. F ; 7. F ; 8. V ; 9. V ; 10. F ; 11. V ; 12. V 6