3b-1 Argumentation. démonstration. Sommaire. Cours
|
|
- Hippolyte St-Gelais
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Cours 3b-1 Argumentation démonstration Sommaire 1 Un peu de vocabulaire Le raisonnement L argumentation La démonstration Comparaison argumentation/démonstration 2 2 Niveaux de pensée en géométrie dans le cursus scolaire Différents raisonnements mathématiques Quelques précisions «logiques» Raisonnement direct, déductif Raisonnement par l absurde Raisonnement par disjonction des cas Raisonnement par contre-exemple 6 4 Les erreurs dans la démonstration Dans l histoire des mathématiques, le rôle joué par la géométrie a évolué. À l origine, elle s est construite comme une technologie de l espace pour résoudre des problèmes spécifiques comme les problèmes d astronomie ou d arpentage. Des preuves visuelles ou des constructions matérielles suffisaient alors à convaincre les géomètres de l évidence de leurs résultats. Les Éléments d Euclide (300 av. J.C.) marquent une inflexion décisive qui va amener les géomètres grecs à refuser la simple vérification visuelle et l évidence intuitive. Par la suite, les géomètres grecs envisagent les objets géométriques en soi et non plus leurs traces matérielles visibles. La géométrie se reconstitue alors en un corps de savoirs, basé sur des axiomes et organisé par le raisonnement hypothético-déductif a a. Catherine Houdement et Alain Kuzniak, Paradigmes géométriques et enseignement de la géométrie. Papyrus trouvé à Oxyrhynque : proposition 5 du Livre II des Éléments
2 1 Un peu de vocabulaire Dans son livre Sémiosis et pensée humaine, Duval (1995) propose les caractérisations suivante : 1.1 Le raisonnement D une façon générale, tout discours ayant pour but de prouver la vérité d un énoncé ou de faire admettre par un interlocuteur le «bien-fondé» de son affirmation, ou de son rejet, est reconnu comme «raisonnement». Autrement dit, les deux caractéristiques suivantes sont nécessaires pour qu un discours puisse être reconnu comme un raisonnement : être orienté vers un énoncé-cible, c est-à-dire vers la proposition à justifier ; être centré sur la valeur, logique ou épistémique (degré de crédibilité aux yeux du sujet : évidente, absurde, vraisemblable, nécessaire, possible, neutre...) de cette proposition et non pas sur son contenu. 1.2 L argumentation L argumentation a pour but de modifier la valeur épistémique qu attache à l énoncécible celui à qui l on s adresse : «faire accepter comme plausible ce qu il estime impossible, faire reconnaître comme peu plausible ce qu il croit évident, ou comme absurde ce qu il considère comme vraisemblable ou même comme certain [...]». 1.3 La démonstration Une démonstration consiste en un enchaînement de pas de déduction ou inférences, chacune de structure ternaire, et où les propositions combinées prennent l un parmi trois statuts opératoires possibles : propositions d entrée (hypothèse) ou prémisses ; règle d inférence (axiome, définition ou théorème) ou énoncé-tiers ; proposition inférée ou conclusion. 1.4 Comparaison argumentation/démonstration En résumé, l argumentation a pour objet de changer l opinion de celui auquel elle s adresse alors que dans la démonstration, il s agit de s assurer qu un résultat est bien la conséquence de théorèmes déjà connus. Dans le tableau page suivante, tentons de faire le point sur ce qui distingue l argumentation de la démonstration (Duval, 1995). N@thalie DAVAL 2/8 ESPE de la Réunion
3 Argumentation. De nature dialogique. Aucunes autres contraintes d organisation que celles propres à un discours. Se développe à partir des relations de contenu entre les propositions, en interaction avec les valeurs épistémiques que leur donne l interlocuteur émetteur. Structure non hiérarchisée, qui repose sur le cumul d arguments dans le respect de la continuité thématique. Cherche à modifier la valeur épistémique qu a l énoncé-cible pour l un des deux interlocuteurs. La conclusion et sa valeur de vérité n en découlent pas nécessairement, puisqu elles y sont défendues par la pertinence du contenu des propositions avancées ; l argumentation convainc, mais ne prouve pas. Démonstration. De nature logique. Organisation stricte autour de l unité structurale qu est l inférence. Chaque proposition y a l un des trois statuts opératoires : hypothèse, règle d inférence, conclusion. Structure en arbre (ou encore modulaire), où les inférences s enchaînent, sans nécessaire continuité thématique. Cherche à modifier la valeur épistémique théorique de l énoncé-cible. Chaque proposition inférée est uniquement et nécessairement déterminée par l inférence, dont la validité peut être théoriquement contrôlée. 2 Niveaux de pensée en géométrie dans le cursus scolaire Comme toujours à l école primaire, les représentations mentales des objets mathématiques sont peu à peu construites à partir de la manipulation d objets physiques. L enseignement de la géométrie, de la maternelle à la fin du Collège passe par plusieurs étapes liées au développement des élèves : Pré-géométrie Perception Construction Propriétés cycle 1 cycle 2 cycle 3 collège perception globale analyse plus fine instruments démonstration Au Collège, la géométrie va devenir une partie volumineuse du programme de mathématiques. La géométrie du Collège est une géométrie des propriétés, où les élèves vont apprendre peu à peu à démontrer. N@thalie DAVAL 3/8 ESPE de la Réunion
4 Un carré n est plus un carré parce que je le vois, ni même parce que je l ai construit comme tel, mais parce que je peux citer les propriétés de cette figure qui me permettent, avec les théorèmes et définitions du cours, de prouver que cette figure est un carré. cycle1 : je le vois! cycle 2 : j examine le réseau pointé cycle 3 : je le vérifie aux instruments collège : je le déduis des propriétés du quadrilatère Cette nouvelle étape nécessite une riche imagerie mentale, pour «voir» les figures dans sa tête, anticiper le résultat d une transformation, du changement de valeur d un paramètre. Les élèves qui ont pratiqué de vraies activités de géométrie au cycle 3 sont évidemment avantagés. 1 Quel que soit le niveau des élèves, on peut lister des étapes possibles d une démarche d investigation pour un problème de géométrie (valable pour n importe quel domaine mathématique, d ailleurs!) : Réflexion sur le problème posé. 1. appropriation du problème, vocabulaire, contexte ; 2. confrontation avec les savoirs disponibles ; 3. recherche éventuelle d informations sur le thème. Élaboration d une conjecture. 1. recherche, avec mise en place éventuelle d une première expérimentation, 2. émission de la conjecture, 3. confirmation, avec mise en place éventuelle d une seconde expérimentation. Mise en place d une preuve argumentée. 3 Différents raisonnements mathématiques Un premier raisonnement inductif est utilisé lorsqu il s agit de faire émerger une conjecture après avoir traité des exemples. L utilisation des logiciels de géométrie dynamique est sous tendue par cette approche. Il restera ensuite, à démontrer la véracité de cette conjecture. Au collège, on utilise principalement un raisonnement déductif, par l absurde, par disjonction des cas et par contre-exemple. 1. Source : Luc Tiennot, Savoirs didactiques et analyse des programmes de mathématiques. N@thalie DAVAL 4/8 ESPE de la Réunion
5 3.1 Quelques précisions «logiques» non : la négation. En mathématiques, on se situe dans le cadre d une logique à deux valeurs : une proposition P est soit vraie, soit fausse. On note «non P» la négation de la proposition P, c est-à-dire la proposition qui est vraie quand P est fausse et fausse quand P est vraie. et : la conjonction. Lorsqu on a deux propositions P ; Q, on peut former la proposition (P et Q). Celle-ci est vraie lorsque les deux propositions sont vraies en même temps. ou : la disjonction logique. Lorsqu on a deux propositions P ; Q, on peut former la proposition (P ou Q). Celle-ci est vraie lorsque l une au moins des deux propositions est vraie. Attention : dans le langage courant, le «ou» est exclusif alors que le «ou» mathématique est par défaut non exclusif. Par exemple, si l on demande à une femme qui vient d accoucher «Est-ce une fille ou un garçon?», la réponse de la mère sera soit «C est une fille» soit «C est un garçon» alors que la réponse de la mathématicienne sera «oui!». : l implication. On peut considérer que les phrases suivantes ont le même sens : P Q ; P implique Q ; Si P alors Q ; Si la proposition P est vraie, alors la proposition Q est vraie. 3.2 Raisonnement direct, déductif Raisonnement 1. Soit deux assertions P et Q. On veut montrer que l assertion (P Q) est vraie. Il suffit donc de se placer dans le cas où P est vraie et montrer qu alors Q est vraie également. Il s agit du raisonnement classique où l on utilise les propriétés, théorèmes connus (règles d inférence). Il met en jeu des compétences spécifiques comme la reconnaissance et le tri de données, le lien entre ces données, les connaissances et la déduction à établir. D A E Exemple 2 ABC est un triangle quelconque et I est le milieu de [BC]. Tracer la droite parallèle à (AC) passant par I, elle coupe la droite (AB) en D. Tracer la droite parallèle à (BC) passant par D, elle coupe la droite (AC) en E. Démontrer que E est le milieu du segment [AC]. B I C Il suffit d appliquer deux fois le théorème de la droite des milieux. N@thalie DAVAL 5/8 ESPE de la Réunion
6 3.3 Raisonnement par l absurde Raisonnement 3. Pour démontrer qu une proposition P est vraie, on peut supposer que P est fausse puis on en déduit une contradiction. Une assertion est soit vraie, soit fausse ; elle ne peut être les deux à la fois. Montrer qu une assertion P est vraie est donc équivalent à montrer que l assertion (non P) est fausse. Le raisonnement par l absurde consiste à supposer que (non P) est une assertion vraie et à trouver une contradiction. Exemple 4 Le quadrilatère ABCD est-il un trapèze? On peut supposer que les droites (AB) et (DC) et utiliser la propriété de Thalès pour aboutir à une contradiction. D A 4,1 6,7 O 13,5 8,2 B C 3.4 Raisonnement par disjonction des cas Raisonnement 5. Pour démontrer qu une propriété est vraie pour tout élément d un ensemble E, on peut démontrer successivement que cette propriété est vraie pour les éléments de sous-ensembles disjoints de E dont la réunion est E. Exemple 6 Démontrer le théorème de l angle inscrit : «Dans tout cercle, tout angle inscrit est égal à la moitié de l angle au centre qui intercepte le même arc que l angle inscrit». On considère les trois cas selon la position du centre du cercle par rapport aux côtés de l angle inscrit : le centre est situé sur un des côtés de l angle inscrit ; le centre est situé entre les deux côtés de l angle inscrit ; le centre n est pas situé entre les deux côtés de l angle inscrit. 3.5 Raisonnement par contre-exemple Raisonnement 7. Si l on veut montrer qu une assertion du type (pour tout x E, P(x)) est vraie alors pour chaque x de E, il faut montrer que P(x) est vraie. Par contre, pour montrer que cette assertion est fausse, il suffit de trouver un x E tel que P(x) soit fausse (il s agit d un contre-exemple). Exemple 8 Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Deux rectangles de même périmètre ont aussi la même aire. Deux rectangles de même aire ont aussi le même périmètre. Il suffit de trouver un contre-exemple à chacune des assertions. N@thalie DAVAL 6/8 ESPE de la Réunion
7 4 Les erreurs dans la démonstration Les erreurs et les obstacles rencontrés dans l apprentissage de la démonstration en géométrie sont directement liées à leur cause. Jean Pierre Muller, de l IREM de Reims distingue cinq causes possibles détaillés ci-dessous. 2 Le statut de la figure : Qu est-ce qu une figure géométrique? Difficile d en donner une définition précise, on parle plus de la relation entre figure, dessin, schéma, représentation. Une figure sert à raisonner, et le tracé visible n est que le représentant d un objet abstrait. Tout d abord, la lecture de figure n est pas une activité naturelle puisqu elle nécessite un décodage, ce qui sous-entend apprentissage. Ensuite, la lecture d une figure n implique pas un ordre de saisie déterminé des propriétés : la prise d informations peut faire émerger des propriétés dans des ordres divers. Lors de la résolution d un problème, les difficultés dues à la figure se situent à deux niveaux : la réalisation d une figure lisible va conditionner en grande partie la réussite ; la lecture de cette figure dépend du niveau de connaissances du lecteur. Tout au long de la scolarité des élèves, le statut de la figure évolue : jusqu en début de cinquième la figure a un statut de preuve. La reconnaissance visuelle des objets suffit pour démontrer. En quatrième ce statut change complètement ; la figure géométrique ne doit plus être considérée comme une preuve ou comme la représentation de la réalité mais comme la représentation d un modèle mathématique. Le discours consistant à dire qu une figure ne sert pas pour démontrer, serait dommageable car en réalité la figure est une étape très importante dans la démonstration puisqu elle est intervient systématiquement dans l approche de la résolution de problèmes et c est elle qui donne l idée du cheminement de la preuve. Les illusions et le problème des mesures : On peut commettre des erreurs en ayant une vision du problème faussée par une figure particulière ou une illusion d optique. Une autre source d erreurs est la mesure sur la figure avec un instrument (règle, compas, rapporteur). Dans les deux cas, on a tendance à utiliser des hypothèses supplémentaires lues ou mesurées sur la figure, introduisant ainsi des erreurs dans la solution. Les règles du contrat didactique : Le contrat didactique contient une grande part d implicite. Certaines erreurs sont dues à une non-appropriation des règles spécifiques à une activité donnée : on ne comprend pas ce que l on attend de nous. Or, la démonstration en géométrie est une activité complexe soumise à certaines règles qui ne sont absolument pas évidentes pour certaines personnes : tri des informations de l énoncé (dégager les données qui apparaissent sous diverses formes : textes, figures, codages,...) ; mobilisation et utilisations des outils mathématiques (définitions, théorèmes, propriétés) appropriés ; articulation logique de ces objets : «chaînon déductif» ; multiplicité des tâches à gérer simultanément (faire une figure, dégager les données de l énoncé, rechercher les «bonnes» propriétés, trouver un schéma de résolution, rédiger la réponse) N@thalie DAVAL 7/8 ESPE de la Réunion
8 La difficulté de mobiliser les connaissances : Devant un problème de géométrie, une des difficultés rencontrées est de «savoir quoi faire?». Quelle(s) connaissance(s) doit-on utiliser pour résoudre tel problème? On peut avoir des difficultés à trouver dans l énoncé les indices qui conduisent à utiliser la «bonne propriété». Les obstacles linguistiques : Les mots pièges : les énoncés d un problème de géométrie sont, en général, complexes tant grammaticalement qu au niveau du vocabulaire employé (certains mots ont deux sens différents en mathématiques et dans le langage courant, on a vu précédemment les sens du «ou»). Les mots d articulation : le recours systématique à «donc» en géométrie peut être dangereux. Le mot «soit» en mathématiques peut être utilisé dans différents sens. Dans les énoncés, on peut lire : «Soit ABC un triangle...» ; on peut trouver aussi : «Soit H le pied de la hauteur issue de A» ; il a ici un statut de notation d un élément déterminé dont on connaît l existence. Ce mot peut également désigner la conjonction de coordination, comme dans «La droite (D) coupe soit le côté [AC], soit le côté [AB].» Les expressions complexes : par exemple, «Construire la perpendiculaire à la droite (d) en A.»... N@thalie DAVAL 8/8 ESPE de la Réunion
NOM : Prénom : Date de naissance : Ecole : CM2 Palier 2
NOM : Prénom : Date de naissance : Ecole : CM2 Palier 2 Résultats aux évaluations nationales CM2 Annexe 1 Résultats de l élève Compétence validée Lire / Ecrire / Vocabulaire / Grammaire / Orthographe /
Plus en détailTâche complexe produite par l académie de Clermont-Ferrand. Mai 2012 LE TIR A L ARC. (d après une idée du collège des Portes du Midi de Maurs)
(d après une idée du collège des Portes du Midi de Maurs) Table des matières Fiche professeur... 2 Fiche élève... 5 1 Fiche professeur Niveaux et objectifs pédagogiques 5 e : introduction ou utilisation
Plus en détailSOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique
SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique DOMAINE P3.C3.D1. Pratiquer une démarche scientifique et technologique, résoudre des
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailLe contexte. Le questionnement du P.E.R. :
Le contexte Ce travail a débuté en janvier. Le P.E.R. engagé depuis fin septembre a permis de faire émerger ou de réactiver : Des raisons d être de la géométrie : Calculer des grandeurs inaccessibles et
Plus en détailAttestation de maîtrise des connaissances et compétences au cours moyen deuxième année
Attestation de maîtrise des connaissances et compétences au cours moyen deuxième année PALIER 2 CM2 La maîtrise de la langue française DIRE S'exprimer à l'oral comme à l'écrit dans un vocabulaire approprié
Plus en détailLes droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites
I Droites perpendiculaires Lorsque deux droites se coupent, on dit qu elles sont sécantes Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites Lorsque deux
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailSi deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux
Plus en détailSynthèse «Le Plus Grand Produit»
Introduction et Objectifs Synthèse «Le Plus Grand Produit» Le document suivant est extrait d un ensemble de ressources plus vastes construites par un groupe de recherche INRP-IREM-IUFM-LEPS. La problématique
Plus en détail6. Les différents types de démonstrations
LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,
Plus en détailEXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2
EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2 NOMBRES ET CALCUL Exercices FRACTIONS Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : 3 R1 demi, tiers, quart, dixième, centième. Utiliser
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailLIVRET PERSONNEL DE COMPÉTENCES
Nom... Prénom... Date de naissance... Note aux parents Le livret personnel de compétences vous permet de suivre la progression des apprentissages de votre enfant à l école et au collège. C est un outil
Plus en détailDemande d admission au Centre pédagogique Lucien-Guilbault Secteur primaire
Date d envoi : Demande d admission au Centre pédagogique Lucien-Guilbault Secteur primaire QUESTIONNAIRE AU TITULAIRE Ce document doit être complété par le titulaire de classe et/ou par l orthopédagogue
Plus en détailActivités numériques [13 Points]
N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible
Plus en détailProblématique / Problématiser / Problématisation / Problème
Problématique / Problématiser / Problématisation / PROBLÉMATIQUE : UN GROUPEMENT DE DÉFINITIONS. «Art, science de poser les problèmes. Voir questionnement. Ensemble de problèmes dont les éléments sont
Plus en détailTemps forts départementaux. Le calcul au cycle 2 Technique opératoire La soustraction
Temps forts départementaux Le calcul au cycle 2 Technique opératoire La soustraction Calcul au cycle 2 La soustraction fait partie du champ opératoire additif D un point de vue strictement mathématique,
Plus en détailChapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Plus en détailLe théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Plus en détailSommaire de la séquence 10
Sommaire de la séquence 10 Séance 1........................................................................................................ J étudie un problème concret................................................................................
Plus en détailPROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.
PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailDeux disques dans un carré
Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................
Plus en détailCabri et le programme de géométrie au secondaire au Québec
Cabri et le programme de géométrie au secondaire au Québec Benoît Côté Département de mathématiques, UQAM, Québec cote.benoit@uqam.ca 1. Introduction - Exercice de didactique fiction Que signifie intégrer
Plus en détailDate : 18.11.2013 Tangram en carré page
Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches
Plus en détailCorrection : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11
Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détailLES CARTES À POINTS : POUR UNE MEILLEURE PERCEPTION
LES CARTES À POINTS : POUR UNE MEILLEURE PERCEPTION DES NOMBRES par Jean-Luc BREGEON professeur formateur à l IUFM d Auvergne LE PROBLÈME DE LA REPRÉSENTATION DES NOMBRES On ne conçoit pas un premier enseignement
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailENSEIGNEMENT DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE A L ECOLE PRIMAIRE : QUELLE DEMARCHE?
ENSEIGNEMENT DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE A L ECOLE PRIMAIRE : QUELLE DEMARCHE? Les nouveaux programmes 2008 confirment que l observation, le questionnement, l expérimentation et l argumentation sont
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailDocument d aide au suivi scolaire
Document d aide au suivi scolaire Ecoles Famille Le lien Enfant D une école à l autre «Enfants du voyage et de familles non sédentaires» Nom :... Prénom(s) :... Date de naissance :... Ce document garde
Plus en détailLES REPRESENTATIONS DES NOMBRES
LES CARTES A POINTS POUR VOIR LES NOMBRES INTRODUCTION On ne concevrait pas en maternelle une manipulation des nombres sans représentation spatiale. L enfant manipule des collections qu il va comparer,
Plus en détailEXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES DU TABLEUR EN STG
Exploitations pédagogiques du tableur en STG Académie de Créteil 2006 1 EXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES DU TABLEUR EN STG Commission inter-irem lycées techniques contact : dutarte@club-internet.fr La maquette
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailCONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE
CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE Jean Luc Bovet, Auvernier L'article de Monsieur Jean Piquerez (Bulletin de la SSPMP No 86), consacré aux symédianes me paraît appeler une généralisation. En
Plus en détailÉquipe Académique Mathématiques - 2009
25 ans après l apparition des premiers PC dans les foyers, 10 ans après la disparition de l option informatique, l algorithmique prend une l prend une place non négligeable dans le programme de seconde.
Plus en détailChapitre 14. La diagonale du carré
Chapitre 4 La diagonale du carré Préambule Examinons un puzzle tout simple : on se donne deux carrés de même aire et on demande, au moyen de quelques découpages, de construire un nouveau carré qui aurait
Plus en détailSeconde MESURER LA TERRE Page 1 MESURER LA TERRE
Seconde MESURER LA TERRE Page 1 TRAVAUX DIRIGES MESURER LA TERRE -580-570 -335-230 +400 IX - XI siècles 1670 1669/1716 1736/1743 THALES (-à Milet) considère la terre comme une grande galette, dans une
Plus en détailO b s e r v a t o i r e E V A P M. Taxonomie R. Gras - développée
O b s e r v a t o i r e E V A P M É q u i p e d e R e c h e r c h e a s s o c i é e à l ' I N R P Taxonomie R. Gras - développée Grille d'analyse des objectifs du domaine mathématique et de leurs relations
Plus en détailMéthode du commentaire de document en Histoire
Méthode du commentaire de document en Histoire I. Qu est-ce qu un commentaire de document? En quelques mots, le commentaire de texte est un exercice de critique historique, fondé sur la démarche analytique.
Plus en détailProposition de programmes de calculs en mise en train
Proposition de programmes de calculs en mise en train Programme 1 : Je choisis un nombre, je lui ajoute 1, je calcule le carré du résultat, je retranche le carré du nombre de départ. Essai-conjecture-preuve.
Plus en détail5 ème Chapitre 4 Triangles
5 ème Chapitre 4 Triangles 1) Médiatrices Définition : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment (cours de 6 ème ). Si M appartient à la médiatrice du
Plus en détailIntroduction à la méthodologie de la recherche
MASTER DE RECHERCHE Relations Économiques Internationales 2006-2007 Introduction à la méthodologie de la recherche geraldine.kutas@sciences-po.org Les Etapes de la Recherche Les étapes de la démarche Etape
Plus en détailpoint On obtient ainsi le ou les points d inter- entre deux objets».
Déplacer un objet Cliquer sur le bouton «Déplacer». On peut ainsi rendre la figure dynamique. Attraper l objet à déplacer avec la souris. Ici, on veut déplacer le point A du triangle point ABC. A du triangle
Plus en détailSpécialité auxiliaire en prothèse dentaire du brevet d études professionnelles. ANNEXE IIb DEFINITION DES EPREUVES
ANNEXE IIb DEFINITION DES EPREUVES 51 Epreuve EP1 : ANALYSE ET COMMUNICATION TECHNOLOGIQUES UP1 Coefficient 4 Finalité et objectifs de l épreuve L épreuve vise à évaluer la capacité du candidat à mobiliser
Plus en détailUE5 Mise en situation professionnelle M1 et M2. Note de cadrage Master MEEF enseignement Mention second degré
UE5 Mise en situation professionnelle M1 et M2 Note de cadrage Master MEEF enseignement Mention second degré ESPE Lille Nord de France Année 2014-2015 Cette note de cadrage a pour but d aider les collègues
Plus en détail«Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement.
«Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement.» Léonard de Vinci MATHEMATIQUES Les mathématiques revêtaient un caractère particulier
Plus en détailIndications pour une progression au CM1 et au CM2
Indications pour une progression au CM1 et au CM2 Objectif 1 Construire et utiliser de nouveaux nombres, plus précis que les entiers naturels pour mesurer les grandeurs continues. Introduction : Découvrir
Plus en détailManuel de recherche en sciences sociales
Résumé de QUIVY R; VAN CAMPENHOUDT L. 95, "Manuel de recherches en sciences sociales", Dunod Cours de TC5 du DEA GSI de l intergroupe des écoles Centrales 11/2002 Manuel de recherche en sciences sociales
Plus en détailCours 1 : La compilation
/38 Interprétation des programmes Cours 1 : La compilation Yann Régis-Gianas yrg@pps.univ-paris-diderot.fr PPS - Université Denis Diderot Paris 7 2/38 Qu est-ce que la compilation? Vous avez tous déjà
Plus en détailAlgèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008)
Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits
Plus en détailBaccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS
Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin
Plus en détailLa médiatrice d un segment
EXTRT DE CURS DE THS DE 4E 1 La médiatrice d un segment, la bissectrice d un angle La médiatrice d un segment Définition : La médiatrice d un segment est l ae de smétrie de ce segment ; c'est-à-dire que
Plus en détailQu est-ce qu une problématique?
Fiche méthodologique préparée par Cécile Vigour octobre 2006 1 Qu est-ce qu une problématique? Trois étapes : 1. Définition de la problématique 2. Qu est-ce qu une bonne problématique? 3. Comment problématiser?
Plus en détailMAT2027 Activités sur Geogebra
MAT2027 Activités sur Geogebra NOTE: Il n est pas interdit d utiliser du papier et un crayon!! En particulier, quand vous demandez des informations sur les différentes mesures dans une construction, il
Plus en détailSciences de Gestion Spécialité : SYSTÈMES D INFORMATION DE GESTION
Sciences de Gestion Spécialité : SYSTÈMES D INFORMATION DE GESTION Classe de terminale de la série Sciences et Technologie du Management et de la Gestion Préambule Présentation Les technologies de l information
Plus en détailCOMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre?
Claire FORGACZ Marion GALLART Hasnia GOUDJILI COMPTERENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Si l on se pose la question de savoir comment on peut faire
Plus en détailComparer des surfaces suivant leur aire en utilisant leurs propriétés géométriques Découverte et manipulation
Socle commun - palier 2 : Compétence 3 : les principaux éléments de mathématiques Grandeurs et mesures Compétences : Comparer des surfaces selon leurs aires (par pavage) Mesurer l aire d une surface par
Plus en détailL'EPS à l'école primaire aucune modification des programmes
L'EPS à l'école primaire aucune modification des programmes Les 3 objectifs sont poursuivis aussi bien à l'école maternelle, qu'à l école primaire MATERNELLE * Favoriser la construction des actions motrices
Plus en détailOUTILS DE GESTION ET D EVALUATION AU POSTE : Collecte/réparation/vente d électroménager. Assistant(e) secrétaire commercial(e)
OUTILS DE GESTION ET D EVALUATION AU POSTE : Collecte/réparation/vente d électroménager Assistant(e) secrétaire commercial(e) Référentiel d activités+analyse d activités Référentiel de compétences Référentiel
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailCOURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE
COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par
Plus en détailNotes de lecture : Dan SPERBER & Deirdre WILSON, La pertinence
Notes de lecture : Dan SPERBER & Deirdre WILSON, La pertinence Gwenole Fortin To cite this version: Gwenole Fortin. Notes de lecture : Dan SPERBER & Deirdre WILSON, La pertinence. 2006.
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailLe 13 e RMT, première édition en Communauté française de Belgique. PHILIPPE SKILBECQ, Responsable de l organisation du RMT pour la SBPMef
RMT Tome 1, 5, 2004-2005 5 Le 13 e RMT, première édition en Communauté française de Belgique. PHILIPPE SKILBECQ, Responsable de l organisation du RMT pour la SBPMef Le Rallye Mathématique Transalpin est
Plus en détail10 REPÈRES «PLUS DE MAÎTRES QUE DE CLASSES» JUIN 2013 POUR LA MISE EN ŒUVRE DU DISPOSITIF
10 REPÈRES POUR LA MISE EN ŒUVRE DU DISPOSITIF «PLUS DE MAÎTRES QUE DE CLASSES» JUIN 2013 MEN-DGESCO 2013 Sommaire 1. LES OBJECTIFS DU DISPOSITIF 2. LES ACQUISITIONS PRIORITAIREMENT VISÉES 3. LES LIEUX
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailEléments de Choix d Utilisation de l Informatique dans l Enseignement des Mathématiques en Classe de Cinquième
GUYOT Stéphanie Professeur stagiaire en mathématiques au collège Lo Trentanel de GIGNAC I.U.F.M. de l académie de Montpellier Site de Montpellier Eléments de Choix d Utilisation de l Informatique dans
Plus en détailManuel d utilisation 26 juin 2011. 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2
éducalgo Manuel d utilisation 26 juin 2011 Table des matières 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2 2 Comment écrire un algorithme? 3 2.1 Avec quoi écrit-on? Avec les boutons d écriture........
Plus en détailUTILISATION DE CABRI-GEOMETRE POUR LES PROGRAMMES DE CONSTRUCTION EN CLASSE DE SIXIEME
I.U.F.M Académie de Montpellier Site de Montpellier BUFFET Charles UTILISATION DE CABRI-GEOMETRE POUR LES PROGRAMMES DE CONSTRUCTION EN CLASSE DE SIXIEME Contexte du mémoire Discipline : Mathématiques
Plus en détailMesure d angles et trigonométrie
Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi
Plus en détailÉcole : Maternelle. Livret de suivi de l élève. Nom : Prénom : Date de naissance : Année d entrée à l école maternelle :
École : Maternelle Livret de suivi de l élève Nom : Prénom : Date de naissance : Année d entrée à l école maternelle : Livret de suivi de l élève à l école maternelle Chaque compétence est évaluée selon
Plus en détailMIS 102 Initiation à l Informatique
MIS 102 Initiation à l Informatique Responsables et cours : Cyril Gavoille Catherine Pannier Matthias Robine Marc Zeitoun Planning : 6 séances de cours 5 séances de TD (2h40) 4 séances de TP (2h40) + environ
Plus en détailPlan académique de formation. Le socle commun : formation, évaluation, validation
ACADÉMIE DE BORDEAUX Plan académique de formation Le socle commun : formation, évaluation, validation Nous devons valider les sept compétences du palier 3 du Livret personnel de compétences (LPC). Nous
Plus en détailLES FIGURES DYNAMIQUES DANS UN ESPACE DE TRAVAIL
SYLVIA COUTAT ET PHILIPPE R. RICHARD LES FIGURES DYNAMIQUES DANS UN ESPACE DE TRAVAIL MATHÉMATIQUE POUR L APPRENTISSAGE DES PROPRIÉTES GÉOMÉTRIQUES Abstract. Dynamic figures in a mathematical workspace
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailExercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT
Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Ces exercices portent sur les items 2, 3 et 5 du programme d informatique des classes préparatoires,
Plus en détailGuide d enseignement efficace des mathématiques, de la maternelle à la 3 e année Modélisation et algèbre
Guide d enseignement efficace des mathématiques, de la maternelle à la 3 e année Modélisation et algèbre Fascicule 1 : Régularités et relations Le Guide d enseignement efficace des mathématiques, de la
Plus en détailSTATISTIQUES A DEUX VARIABLES
Evaluation de Mathématiques Bac Pro Date : STATISTIQUES A DEUX VARIABLES Liste des capacités, connaissances et attitudes évaluées Capacités Connaissances Attitudes Evaluation A l aide des TIC, représenter
Plus en détailChères collègues, chers collègues,
Chères collègues, chers collègues, Les IREM ont été créés en 1969 avec les missions suivantes : - mener des recherches sur l enseignement des mathématiques ; - contribuer à la formation initiale et continue
Plus en détailLa construction du temps et de. Construction du temps et de l'espace au cycle 2, F. Pollard, CPC Bièvre-Valloire
La construction du temps et de l espace au cycle 2 Rappel de la conférence de Pierre Hess -Démarche de recherche: importance de se poser des questions, de chercher, -Envisager la démarche mentale qui permet
Plus en détailPetit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007
Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007 page 1 / 10 abscisse addition additionner ajouter appliquer
Plus en détailRessources pour la classe de seconde
Mathématiques Lycée Ressources pour la classe de seconde - Fonctions - Ce document peut être utilisé librement dans le cadre des enseignements et de la formation des enseignants. Toute reproduction, même
Plus en détailAP 2nde G.T : «Organiser l information de manière visuelle et créative»
AP 2nde G.T : «Organiser l information de manière visuelle et créative» Les TICE, un mode d accès à mon autonomie bien sûr! «L'autonomie n'est pas un don! Elle ne survient pas par une sorte de miracle!
Plus en détailENSEIGNEMENT ASSISTÉ PAR ORDINATEUR ET E.A.O. ET LANGUES ÉTRANGÈRES À L'UNIVERSITÉ
192 ENSEIGNEMENT ASSISTÉ PAR ORDINATEUR ET LANGUES ÉTRANGÈRES À L'UNIVERSITÉ 1. APPLICATIONS PÉDAGOGIQUES DE L'INFORMATIQUE ET ENSEIGNEMENT ASSISTÉ PAR ORDINATEUR (EAOI. 1.1 Différents niveaux d'intervention
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailREFERENTIEL PROFESSIONNEL DES ASSISTANTS DE SERVICE SOCIAL
1 REFERENTIEL PROFESSIONNEL DES ASSISTANTS DE SERVICE SOCIAL DEFINITION DE LA PROFESSION ET DU CONTEXTE DE L INTERVENTION L assistant de service social exerce de façon qualifiée, dans le cadre d un mandat
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailL E C O U T E P r i n c i p e s, t e c h n i q u e s e t a t t i t u d e s
L E C O U T E P r i n c i p e s, t e c h n i q u e s e t a t t i t u d e s L E C O U T E P r i n c i p e s, t e c h n i q u e s e t a t t i t u d e s Stéphane Safin Psychologue - Ergonome Lucid Group -
Plus en détailConsolidation de fondamentaux
Consolidation de fondamentaux Introduction aux Sciences de l Information et de la Communication Consolidation - Stéphanie MARTY - 2009/2010 1 Consolidation de fondamentaux Démarche en sciences humaines
Plus en détailAcadémie de Créteil. Projet présenté autour de l album «Trois souris peintres» d Ellen Stoll Walsh
Projet académique 2013-2014 «Des boîtes à histoires» Comment créer un outil au service de la mise en mémoire et de la compréhension des textes littéraires Académie de Créteil Projet présenté autour de
Plus en détailLa persistance des nombres
regards logique & calcul La persistance des nombres Quand on multiplie les chiffres d un nombre entier, on trouve un autre nombre entier, et l on peut recommencer. Combien de fois? Onze fois au plus...
Plus en détailExercice numéro 1 - L'escalier
Exercice numéro 1 - L'escalier On peut monter un escalier une ou deux marches à la fois. La figure de droite montre un exemple. 1. De combien de façons différentes peut-on monter un escalier de une marche?
Plus en détailDévelopper, factoriser pour résoudre
Développer, factoriser pour résoudre Avec le vocabulaire Associer à chaque epression un terme A B A différence produit A+ B A B inverse quotient A B A opposé somme Écrire la somme de et du carré de + Écrire
Plus en détail