PANORAMA 15 - Des expériences aléatoires aux probabilités

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1 PANORAMA 15 - Des expériences aléatoires aux probabilités 15.1 / 15.3 / 15.5 Probabilités et diagramme en arbre Probabilité théorique d un événement : c est un nombre (fraction, %, décimale) entre 0 et 1 qui quantifie la possibilité qu un événement se produise. nombre de résultats favorables Probabilité théorique= nombre de résultats possibles Expérience aléatoire : choisir un point au hasard dans la figure ci-dessus. Événement recherché : le point est à l intérieur du losange. Probabilité : aire du losange P(le point est à l intérieur du losange) = aire du rec tangle = 20cm2 40cm = Probabilité fréquentielle d un événement : c est un nombre obtenu suite à une expérimentation. Elle est utile quand il est impossible de calculer la probabilité théorique. nombre de fois que le résultat attendu s'est réalisé Probabilité fréquentielle = nombre de fois que l'expérience a été répétée On établit la probabilité fréquentielle qu un joueur de hockey compte un but d après ses performances précédentes. Probabilité d un événement composé La probabilité d un événement composé de plusieurs événements élémentaires est égale à la somme des probabilités de chacun de ces événements élémentaires. Expérience aléatoire : piger une seule bille dans un bocal contenant 6 billes rouges, 3 billes vertes et 2 billes blanches. Événements élémentaires : «piger une bille rouge», «piger une bille verte», «piger une bille blanche». Probabilité : P(piger une bille rouge OU verte) = = 9 11 Expériences aléatoires à plusieurs étapes (avec ou sans remise) Dans ce chapitre, tu devras être capable de : DocumentréaliséparAudrayPageau

2 Déterminer le nombre de résultats possibles d une expérience à plusieurs étapes 1. Pour ce faire, on peut multiplier le nombre de résultats possibles à chacune des étapes. 2. On peut également s aider d un diagramme en arbre. Calculer la probabilité d un événement élémentaire d une exp. à plusieurs étapes 1. On fait le produit des probabilités de chacun des événements intermédiaires à chacune des étapes. Identifier des événements dépendants et indépendants 1. Événements dépendants : la réalisation de l un influence la probabilité de la réalisation de l autre. [surtout expérience SANS REMISE] 2. Événements indépendants : la réalisation de l un n influence pas la probabilité de la réalisation de l autre. [surtout expérience AVEC REMISE] Calculer la probabilité d un événement composé d une exp. à plusieurs étapes 1. Construire le diagramme en arbre associé à l expérience. 2. Additionner toutes les probabilités des événements élémentaires qui correspondent à l événement recherché. Savoir que la somme des probabilités de TOUS les événements élémentaires d une expérience aléatoire est 1. DocumentréaliséparAudrayPageau

3 Exemple 1 : Expérience aléatoire avec remise Diagramme en arbre Un sac contient 7 billes rouges (r), 4 billes vertes (v) et 6 billes blanches (b). Expérience aléatoire : piger 2 billes successivement, avec remise. Nombre de résultats possibles 3 x 3 = 9 résultats possibles Voici des événements et leur probabilité correspondante : 1. Piger deux billes rouges P (piger deux billes rouges) = P (r, r) = 2. Piger au moins une bille verte P (piger au moins une bille verte) = = P ((r, v) ou (v, r) ou (v, v) ou (v, b) ou (b, v)) = 3. Piger deux billes de couleur différente P (piger deux billes de même couleur) = P ((v, v) ou (b, b) ou (r, r)) = = = DocumentréaliséparAudrayPageau

4 Exemple 2 : Expérience aléatoire sans remise Diagramme en arbre Un sac contient 7 billes rouges (r), 4 billes vertes (v) et 6 billes blanches (b). Expérience aléatoire : piger 2 billes successivement, sans remise. Nombre de résultats possibles 3 x 3 = 9 résultats possibles Voici des événements et leur probabilité correspondante : 1. Piger deux billes rouges P (piger deux billes rouges) = P (r, r) = 2. Piger au moins une bille verte P (piger au moins une bille verte) = P ((r, v) ou (v, r) ou (v, v) ou (v, b) ou (b, v)) 28 = = = Piger deux billes de couleur différente = = P (piger deux billes de même couleur) = P ((v, v) ou (b, b) ou (r, r)) = = = DocumentréaliséparAudrayPageau

5 15.2 Ensembles, événements et probabilités Intersection de deux ensembles Le symbole I se lit «inter» ou «intersection». Il représente les éléments communs à deux ensembles. A : ensemble des diviseurs de 20 B : ensemble des diviseurs de 36 A I B = {1, 2, 4} Ce sont les diviseurs communs de 20 et de 36. Réunion de deux ensembles Le symbole U se lit «union». Il représente tous les éléments des deux ensembles. A : ensemble des diviseurs de 20 B : ensemble des diviseurs de 36 A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 18, 20, 36} Ce sont les diviseurs de 20 OU de 36. Événements complémentaires Deux événements sont complémentaires s ils ne possèdent aucun résultat commun et si la réunion des résultats possibles des deux événements correspond à l univers des résultats possibles (tous les résultats possibles). A et B sont complémentaires si AI B = et A B = Ω L événement complémentaire à A est noté A et se lit «A complément». La somme des probabilités de ces deux événements est 1. P(A) + P(A') =1 Expérience aléatoire : lancer un dé à 6 faces Événement A : obtenir un nombre pair Événement A : obtenir un nombre impair P(A) + P(A') = = 6 6 =1 DocumentréaliséparAudrayPageau

6 Événements incompatibles ou compatibles Événements incompatibles : ils ne possèdent aucun résultat commun ( AI B = ). Ils ne peuvent pas se produire en même temps. Expérience aléatoire : lancer un dé à 6 faces Événement A : obtenir un nombre inférieur à 3 Événement B : obtenir un nombre supérieur à 4 P (obtenir un nombre à la fois f 3 ET p 4) = P (obtenir un nombre f 3 OU p 4) = = 4 6 = 2 3 Événements compatibles : ils possèdent au moins 1 résultat commun ( AI B ). Ils peuvent se produire en même temps. Expérience aléatoire : lancer un dé à 6 faces Événement A : obtenir un nombre pair Événement B : obtenir un diviseur de 6 P (obtenir un nombre pair ET un diviseur de 6) = P (obtenir 2 ou 6) = = 2 6 = 1 3 P (obtenir un nombre pair OU un diviseur de 6) =P (A ou B) = P(A) + P(B) P( AI B) = = 5 6 * On doit soustraire la probabilité de l intersection car on l a additionné deux fois! DocumentréaliséparAudrayPageau

7 15.4 Expérience aléatoire avec ordre ou sans ordre On détermine le nombre de résultats possibles d une expérience aléatoire sans ordre et sans remise ainsi : nombre de résultats possibles en tenant compte de l'ordre nombre de façons différentes d'écrire un résultat en tenant compte de l'ordre Expérience aléatoire : tirer 3 billes de couleur sans ordre et sans remise d un sac contenant 4 billes : 1 rouge, 1 verte, 1 mauve et 1 orange. Nombre de résultats possibles = = 24 6 = 4 Résultats possibles en tenant compte de l ordre = { (r, v, m), (r, m, v), (v, m, r), (v, r, m), (m, v, r), (m, r, v), (v, m, o), (v, o, m), (o, m, v), (o, v, m), (m, o, v), (m, v, o), (r, m, o), (r, o, m), (m, o, r), (m, r, o), (o, m, r), (o, r, m), (v, o, r), (v, r, o), (o, r, v), (o, v, r), (r, o, v), (r, v, o)} Une fois que 3 billes ont été choisie, il y a 6 façons d écrire le résultat en tenant compte de l ordre. Avec les billes rouge, verte et mauve, cela donne : (r, v, m), (r, m, v), (v, m, r), (v, r, m), (m, v, r), (m, r, v) L univers des résultats possibles de cette expérience aléatoire (sans ordre et sans remise) est : Ω = {(v, m, r), (v, m, o), (v, o, r), (m, o, r)} DocumentréaliséparAudrayPageau

8 Notes personnelles et autres exemples DocumentréaliséparAudrayPageau