=F c. =m a c (11.1) F g. =v 2 / R et v=2 R/T ), il vient UNIVERSELLE

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1 C H A P I T R E 1 1. UNIVERSELLE L A G R A V I T A T I O N 1. Caractère universel de la gravitation. La légende de la pomme de Newton dit que c'est en voyant tomber une pomme que Newton eut l'idée de la «gravitation universelle». Au VII e siècle, le mot gravité signifie «peser», «être lourd». A cette époque, on considère que seuls les objets terrestres (situés à la surface de la Terre) ont cette propriété d e p e s e r, d ' ê t r e a t t i r é s p a r l a T e r r e. Contrairement à ceux-ci, les objets célestes tels que la Lune ou les planètes semblent échapper à cette gravité, car en apparence ils ne tombent pas. Le raisonnement tenu par Newton le mène à affirmer que les objets célestes sont également pesants. La gravité est donc universelle, car elle agit sur les objets célestes et les objets terrestres. Selon Newton, la Lune, tout comme la pomme, tombe sur la Terre (figure 11.1). Sous l'effet de la gravité une pomme lâchée à la surface de la Terre s'en approche: la distance entre la Terre et la pomme diminue. Qu'en est-il de la Lune? Si l'on se réfère au principe d'inertie, le mouvement naturel d'un corps en l'absence de force exercée consiste à poursuivre son mouvement rectiligne uniforme. Ainsi, la Lune passant à proximité de la Terre devrait poursuivre une trajectoire rectiligne et donc s'en écarter. Or, nous observons que la Lune reste à la même distance de la Terre. Elle est donc «tombée» comme le montre la figure (11.1). Figure Chute de la Lune et de la pomme sur la Terre. 2. Mouvement d'une planète autour du Soleil. Considérons une planète de masse m tournant autour du Soleil. L'excentricité de l'orbite de celleci étant relativement faible (voir lois de Kepler), nous pouvons supposer avec une bonne approximation que le mouvement de celle-ci est un mouvement circulaire de rayon R parcouru avec une vitesse d'intensité constante v. La planète animée d'un tel mouvement subit une accélération centripète a c causée par une force centripète F c qui selon Newton est la force de gravitation. Figure mouvement d'une planète autour du Soleil. Figure Chute de la Lune et de la pomme sur la Terre. D'autre part, lancée avec une vitesse suffisante, une pomme aura le même mouvement que celui de la Lune. Si nous lançons un objet à la surface de la terre avec une vitesse de plus en plus grande, l'objet parcourt une distance de plus en plus grande avant de toucher la surface de la Terre. Si la vitesse est suffisante, la surface courbe de la Terre se dérobe aussi rapidement que l'objet tombe. La loi fondamentale de la dynamique nous permet d'écrire =F c =m a c (11.1) En se référant aux relations de la cinématique du mouvement circulaire uniforme ( a c =v 2 / R et v=2 R/T ), il vient Physique 5e (2-3 p./sem.) - Chapitre 12 Page 1/7

2 = m v2 R = m 2 R T R 2 = 4 2 m R T 2 (11.2) universelle égale à 6, N kg -2 m 2. Or selon la troisième loi de Kepler, le carré de la période de révolution est proportionnel au cube du rayon moyen de l'orbite. Ce qui s'écrit T 2 R 3=cst T 2 =cst R 3 (11.3) En introduisant l'expression (11.3) dans (11.2), on obtient = 4 2 m R T 2 = 4 2 m R cst R 3 =cst ' m R 2 (11.4) Le quotient de 4 2 /cst étant une constante, notons la simplement cst '. Dès lors, =cst ' m p R 2 (11.5) Cette dernière relation montre que la force d'attraction entre une planète et le Soleil est proportionnelle à la masse de la planète et inversement proportionnelle au carré de la distance séparant la planète du Soleil. 4. Loi de la gravitation universelle. Entre deux corps matériels quels qu'ils soient, il s'exerce une force attractive dont l'intensité est proportionnelle au produit des masses des deux corps et inversement proportionnelle au carré de la distance séparant les deux corps. Figure Loi de la gravitation. Cette force d'attraction est universelle: s'exerce partout dans l'univers; a une portée illimitée : elle s'exerce toujours même si les objets sont très éloignés; décroit rapidement avec la distance : si la distance double, l'intensité de la force est divisée par quatre; est de faible intensité: pour que la force ait un effet observable, il faut qu'une des deux masses au moins soit très grande; est indépendante du milieu: la nature du milieu dans lequel sont les corps (air, vide, eau,...) n'a pas d'effet sur l'intensité de la force. 5. Constante de la gravitation universelle. En 1798, le physicien Cavendish a conçu un dispositif permettant de mesurer la constante de la gravitation universelle. Le système est appelé pendule de torsion et est illustré ci-dessous. Autrement dit =G m 1 m 2 d 2 (11.6) où e s t l ' i n t e n s i t é d e l a f o r c e gravitationnelle exprimée en N, m 1, m 2 sont les masses des deux corps exprimées en Kg, d est la distance séparant les deux corps exprimée en m G est la constante de la gravitation Figure Pendule de torsion de Cavendish. Physique 5e (2-3 p./sem.) - Chapitre 12 Page 2/7

3 Deux petites sphères sont accrochées aux deux extrémités d'une barre rigide suspendue en son centre à un fil de quartz. Lorsque deux grosses sphères sont approchées des petites sphères, la barre tourne sous l'effet de la force de gravitation. Or l'angle de torsion du fil est proportionnel à l'intensité de la force exercée. Connaissant les propriétés du fil, on peut déterminer l'intensité de la force en mesurant l'angle de torsion. Cavendish a obtenu G = 6, N m 2 kg -2, résultat très proche de la valeur actuellement admise. 4. Applications Mesure de la masse de la Terre. Ayant déterminé la valeur de la constante G de la gravitation universelle, Cavendish put calculer la masse M de la Terre. En effet, considérons un objet de masse m à la surface de la Terre. La force de gravitation exercée sur cet objet est =G m M r T 2 (11.7) où r T est le rayon du globe terrestre. dans cette expression. M = F r 2 g T m G Isolons M (11.8) Or la force de gravitation sur un objet de masse m à la surface de la Terre est égale au poids de cet objet. Donc en remplaçant par P = mg dans (11.8), on obtient une force centripète gravitationnelle. F c = =G m M R 2 (11.11) Or l'intensité de la force centripète peut s'exprimer à partir de la loi fondamentale de la dynamique et de l'expression de l'accélération centripète tirée de la cinématique du MCU (voir relation 11.3). F c = m 4 2 R T 2 (11.12) En égalant (11.11) à (11.12) et en isolant M, on obtient G m M R 2 = m 4 2 R T 2 M = 4 2 R 3 G T 2 (11.12) En introduisant dans cette dernière relation les données relatives à l'orbite de la Terre (R = km et T = 365,25 j), on peut calculer la masse du Soleil M Soleil kg 6, , , Calcul de la vitesse orbitale d'un Satellite En égalant les expressions de la force centripète et de la force gravitationnelle pour un satellite animé d'un MCU de rayon R autour d'un astre de masse M, on obtient une expression de la vitesse orbitale v. M = m g r 2 T m G = g r 2 T G (11.9) F c = mv2 m M =G R R 2 v= G M R (11.13) Le rayon de la Terre étant environ égal à 6400 km, on obtient la masse de la Terre. M 9,81 6, , , kg (11.10) 4.2. Mesure de la masse du Soleil. Considérons un satellite de masse m animé d'un MCU autour d'un astre centrale de masse M. La connaissance du rayon R de l'orbite et de la période de révolution T permet de calculer la masse M de l'astre central. Le satellite étant animé d'un MCU, il s'exerce sur lui 5. Champ gravitationnel Notion de champ. En mécanique classique, la notion de champ est introduite pour comprendre l'interaction à distance. Une pomme située à proximité de la Terre est attirée à distance par celle-ci car il existe autour de la Terre une propriété appelée champ gravitationnel qui «informe» la pomme de cette attraction. Vu sous cet angle, il n'y a plus interaction directe entre la pomme et la Terre mais entre la pomme et le champ gravitationnel engendré par la Terre. Dans cet exemple, la Terre est la «source» du champ gravitationnel et la pomme en est le «témoin». Le Physique 5e (2-3 p./sem.) - Chapitre 12 Page 3/7

4 champ gravitationnel existe autour de la Terre en l'absence de la pomme, mais la présence de celle-ci est nécessaire pour le révéler. Comme, le champ engendré par un objet source «informe» l'objet témoin de la direction, du sens et de l'intensité de la force gravitationnelle exercée par la source sur le témoin, le champ est nécessairement une grandeur vectorielle. 5.2 Définition. Considérons un objet de masse m situé en un point de l'espace et soumis à une force gravitationnelle, le champ gravitationnel g à l'endroit où se trouve l'objet (témoin de l'existence du champ) est défini par le rapport g= m (11.14) Figure Champ gravitationnel autour d'un objet sphérique de densité homogène. D'après cette définition, le champ gravitationnel a la même orientation que la force exercée sur le témoin et son unité est le N/kg où le m/s Champ gravitationnel autour d'un objet sphérique homogène. Soit un objet de masse M de forme sphérique et de densité homogène source d'un champ gravitationnel (figure 11.6). Considérons un objet témoin de masse m situé à une distance d du centre de M Champ gravitationnel à la surface d'un astre. Considérons une région de l'espace de faible étendue située à la surface d'un astre. Si la région considérée est suffisamment petite, le champ gravitationnel varie faiblement suivant l'endroit considéré, on dit que celui-ci est uniforme. En tout point, le champ est vertical, orienté vers le bas et d' intensité égale à g=g M r 2 (11.16) où M et r correspondent à la masse et au rayon de l'astre. Figure Champ gravitationnel. La loi de la gravitation universelle (11.6) et la définition du champ (11.14) nous permettent de déterminer l'intensité g du champ g= /m=g Mm d 2 /m=g M d 2 (11.15) L'intensité du champ gravitationnel est donc proportionnelle à la masse de l'objet source et inversement proportionnelle au carré de la distance entre le point considéré et la source du champ. En tout point, le champ gravitationnel pointe vers le centre de l'astre source. Figure Champ gravitationnel uniforme à la surface d'un astre. Physique 5e (2-3 p./sem.) - Chapitre 12 Page 4/7

5 Exemple numérique Calculons l'intensité du champ gravitationnel à la surface de la Terre à l'aide de la relation (11.6). g=g M r 6, ,8 N / kg 6. Energie potentielle gravitationnelle. Considérons un corps de masse m placé dans un champ de gravité g. La différence d'énergie potentielle de la masse m entre les points A et B est égale au travail qu'il faut effectuer pour déplacer le corps du point A au point B. E p =E p B E p A =W A B (11.17) 6.1. Cas d'un champ gravitationnel uniforme. Supposons qu'un corps de masse m est placée dans un champ gravitationnel uniforme g vertical dirigé vers le bas. Pour déplacer le corps d'un point A à un point B, il faut exercer sur le corps une force F constante opposée au poids et déplacer le point d'application de celle-ci entre les points A et B. Par conséquent, la différence d'énergie potentielle entre les points A et B est E B p E A p =mg h B h A (11.20) En supposant que l'énergie potentielle est nulle pour un point A situé au niveau du sol (c-à-d pour une hauteur h A =0 ), on trouve la formule de l'énergie potentielle d'un corps m situé à une hauteur h au dessus du sol dans un champ gravitationnel uniforme E p =mg h (11.21) 6.2. Cas d'un champ gravitationnel autour d'un objet sphérique homogène. Supposons qu'un corps de masse m est placé dans un champ gravitationnel g créé par un objet sphérique homogène de masse M. Pour déplacer le corps d'un point A à un point B, il faut exercer sur le corps une force F opposée à la force gravitationnelle et déplacer le point d'application de celle-ci entre les points A et B. Figure Travail pour déplacer une masse m dans un champ uniforme. Figure Travail pour déplacer une masse m dans le champ gravitationnel d'un objet sphérique homogène. La force exercée étant constante, le travail effectué est égal au produit scalaire de la force et du déplacement W A B = r=p. r.cos (11.18) Or, le produit r.cos est égal à la différence des hauteurs h B h A et le poids est égal au produit mg. Le travail est alors égal à Ici, l'intensité de la force dépend de la distance r séparant les centres des masses M et m. Pour pouvoir calculer le travail, nous devons progresser par étapes successives suffisamment petites pour que l'intensité de la force puisse être supposée constante. W A B =W A1 = A A 2 W A2 A 3...W AN 1 A N = B W A B = W i (11.22) W A B =mg h B h A (11.19) Physique 5e (2-3 p./sem.) - Chapitre 12 Page 5/7

6 Sur chaque étape l'intensité de la force varie de F i =G mm 2 à F i 1 =G mm 2 (11.23) r i r i1 Une valeur moyenne de la force à exercer sur l'étape i est F mi = GmM r i r i 1 (11.24) Pour chaque étape i, il faut alors effectuer un travail W i =F mi r i = GmM r i r i1 r i1 r i W i r i 1 r i r i r i 1 1 r i 1 r i1 (11.25) Le travail total est égal à la somme des travaux des différentes étapes W A B r 1 r 2 r 2 r 3 r N 1 r N W A B 1 r 1 1 r N (11.26) 1 r A 1 r B La différence d'énergie potentielle est dès lors E B p E A p 1 1 (11.27) r A r B On suppose généralement que l'énergie potentielle est nulle en un point B infiniment éloigné de M ( r B ). On peut alors déterminer l'énergie potentielle en A 0 E A p 1 r A 0 E A p = GmM (11.28) r A L'énergie potentielle d'un objet de masse m situé à une distance r d'un objet sphérique de masse M est E p = GmM r (11.29) Attribuer une valeur nulle à l'énergie potentielle lorsque la distance est infinie implique que celle-ci est négative lorsque la distance est finie. Figure Energie potentielle en fonction de la distance Vitesse de libération On appelle vitesse de libération d'un astre, la vitesse minimale qu'il faut communiquer à un objet situé à sa surface pour qu'il échappe à l'attraction de l'astre. Le principe de conservation de l'énergie mécanique (somme des énergies cinétique et potentielle) permet de déterminer cette vitesse. En effet, en l'absence de frottements, l'énergie mécanique à la surface de la Terre d'un objet m lancé à la vitesse de libération v lib est la même que celle du même objet ayant une vitesse nulle à un distance infinie de la Terre. L'énergie mécanique de l'objet est donc nulle à l'infini et à la surface de la Terre. En tenant compte de la relation (11.29), nous pouvons écrire E m =E c E p = mv 2 lib 2 GmM =0 (11.30) r En isolant la vitesse de libération v lib, on obtient v lib= 2GM r (11.31) où M et r désignent la masse et le rayon de l'astre. Exemple numérique La vitesse de libération de la Terre est v lib = 2GM 2 6, r 6, v lib 11, m/s km/h Physique 5e (2-3 p./sem.) - Chapitre 12 Page 6/7

7 7. Apesanteur Lorsque l'on parle de l'apesanteur, on s'imagine généralement un cosmonaute flottant dans sa cabine en orbite autour de la Terre. Au sens littéral, le te r m e «a-pesanteur» s i g n i f i e «absence de pesanteur». Cette appellation est ambigüe car elle suggère que le cosmonaute dans sa cabine n'est plus soumis à la gravité. Ceci n'est évidemment pas le cas, car en l'absence de gravité le cosmonaute s'éloignerait indéfiniment de la Terre en poursuivant son mouvement rectiligne uniforme. Le terme apesanteur signifie qu'en apparence, dans la cabine, tout se passe comme si il n'y avait pas de pesanteur. Le terme apesanteur fait référence à la notion de poids apparent d'un objet c-à-d la grandeur mesurée à l'aide d'une balance (graduée en N). Pour éviter les confusions, appelons force gravitationnelle (au lieu de poids) la force d'attraction entre l'astre et un corps dans son voisinage. Cas d'un homme debout dans un ascenseur accélérant vers le bas. Plaçons l'homme et la balance dans un ascenseur (figure 11.13) qui accélère vers le bas avec une accélération a. L'accélération de l'homme étant identique, la loi fondamentale de la dynamique appliquée à l'homme permet de déterminer l'intensité du poids apparent de celui-ci. En effet, F r = R=ma R= ma (11.33) Cette dernière relation montre que l'intensité du poids apparent R est plus petite que celle de la force de gravitation. Cas d'un homme à la surface de la Terre. Considérons un homme debout sur une balance à la surface de la Terre (figure 1212). L'homme étant à l'équilibre, le plateau de la balance exerce une force R sur celui-ci opposée à la force gravitationnelle notée entre l'homme et la Terre. F r = R=0 R= (11.32) En vertu du principe d'action-réaction, l'homme exerce une force P a sur le plateau de la balance. L'intensité P a de cette force mesurée par la balance est le poids apparent de l'homme. Puisque les forces P a et R ont la même intensité, désignons par R l'intensité du poids apparent de l'homme. Dans ce cas, la force gravitationnelle et le poids apparent ont même intensité. Figure Poids apparent dans un ascenseur accélérant vers le bas et en chute libre. Cas d'un homme debout dans un ascenseur en chute libre Coupons le câble qui maintient la cage de l'ascenseur (figure 11.13). L'homme et l'ascenseur tombent alors en chute libre avec une accélération d'intensité g. A partir de (11.33), on vérifie que le poids apparent est nul. R= ma=mg mg=0 (11.34) L'homme est donc en apesanteur. Figure Poids apparent à la surface de la Terre. Cas d'un homme en orbite dans une capsule spatiale En orbite autour de la Terre, la capsule et l'homme ont une accélération d'intensité g égale au champ gravitationnel à l'endroit de la capsule. La relation (11.34) montre que le poids apparent est également nul. L'homme est également en apesanteur. Physique 5e (2-3 p./sem.) - Chapitre 12 Page 7/7