Synthèse de correcteurs

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1 Synthèse de correcteurs 1 Les actions Proportionnelles, Intégrales et Dérivées Compte tenu de certains choix (e.g., celui du facteur de résonance), on peut, grâce à des organes appelés correcteurs, améliorer certains facteurs (il y a lieu d adopter des compromis entre les différents facteurs). Un correcteur peut toujours se traduire mathématiquement par un élément de fonction de transfert C(s) placé après le comparateur, même si physiquement le dispositif n est pas placé en ce point. On peut ainsi toujours se ramener à : Entrée de commande + Σ - Signal d Erreur Contrôleur Entrée du processus Processus Sortie du processus Capteur On peut ainsi, en modifiant la fonction de transfert en boucle ouverte (B.O.): diminuer les erreurs stationnaires (c est-à-dire augmenter K de T(jw)) sans modifier le facteur de résonance (Q) et la bande passante ( ω c ) augmenter la bande passante sans modifier le facteur de résonance augmenter l ordre du pôle à l origine sans rendre le système instable augmenter le degré de stabilité sans modifier le gain en B.O. K + Σ - ε ( s ) c ( s ) C(s) ε G(s) H(s) C( s) = ε c ε ( s ) ( s) - 1 -

2 Soit T(s) la fonction de transfert en B.O., et Tc(s) la fonction de transfert en B.O. corrigé. Tc ( s) = C( s). T ( s) Définir un correcteur C(s) revient donc à définir Tc(s). = C( s). G( s). H ( s) Définitions des actions Proportionnelles, Intégrales et Dérivées : L action est dite proportionnelle lorsque le signal de commande ε c( t ) est proportionnel au signal d erreur ε ( t). La fonction de transfert est dans ce cas une constante : D( s ) = 1. L action est dite intégrale lorsque le signal de commande est proportionnel à 1 l intégrale du signal d erreur : D( s) = s. L action est dite dérivée lorsque le signal de commande est proportionnel à la dérivée du signal d erreur : D( s) = s. Les actions intégrales et dérivées ne suffisent jamais seules, mais sont utilisées en combinaison avec l action proportionnelle (on désire qu en régime permanent, s, le signal de commande soit proportionnel au signal d erreur). Pour l étude des différentes actions correctrices, on se donne le système à corriger suivant : G( s) = = H(s) = 1 (1 + s)(1 +.1 s)(1 +.1 s) ( s + 1)( s + 1)( s + 1) Le diagramme de Bode de T(jw) en boucle ouverte est le suivant (avec indication du degré de stabilité du système) : 5 B o d e D ia g r a m G m = ( a t r a d / s e c ), P m = d e g ( a t r a d / s e c )

3 Le diagramme de Black-Nichols correspondant est : N i c h o l s C h a r t. 2 5 d B. 5 d B d B d B - 4 d B - 6 d B - 8 d B d B d B d B Une vue plus rapprochée nous permet de lire un facteur de résonance de Q = 3dB :. 5 d B. 2 5 d B N i c h o l s C h a r t d B d B - 3 -

4 Ceci est confirmé en observant les courbes de Bode du système en BF : 2 B o d e D ia g r a m là encore une vue rapprochée de la courbe d amplitude s impose : B o d e D ia g r a m La courbe d amplitude permet de vérifier la résonance et de lui adjoindre la pulsation ω correspondante : ω r = 11.1 rd / s, mais aussi d y lire une fréquence de coupure ω c, par exemple ω à 6dB : ω = 2 rd / s. c c r - 4 -

5 2 Action Proportionnelle Dérivée 2.1 Correcteur Proportionnel Dérivé C( s) = 1 + s 2 5 B o d e D ia g r a m fo r T a u = Effet de l action Proportionnelle Dérivée : A c t i o n P r o p o rt i o n n e l l e D é r i v é e : G (j w ) e n b l e u e e t G c ( j w ) e n v e r t. 2 5 d B. 5 d B d B d B - 4 d B d B - 8 d B Avec ce choix de Tau, on constate que la courbe corrigée Gc(jw) s est éloignée du point critique

6 En chiffre, les marges de phase et de gain deviennent : 4 B o d e D ia g r a m G m = In f, P m = d e g ( a t r a d / s e c ) Si au départ la stabilité était insuffisante, on a nettement amélioré la stabilité du système. Si le facteur de résonance est acceptable (avant correction), nous pouvons alors augmenter le gain de manière à obtenir le facteur de résonance précédent. 4 A c t i o n P r o p o rt i o n n e l l e D é r i v é e : G (j w ) e n b l e u e e t G c ( j w ) e n v e r t d B d B. 5 d B d B d B Cette fois-ci on a amélioré la précision statique (un gain statique plus important) et la bande passante

7 Une fois encore (car dans Matlab le diagramme de Nichols n est pas gradué en pulsation), nous allons observer la boucle fermée dans le plan de Bode afin d examiner les pulsations de résonance et de coupure. 2 A c t i o n P r o p o rt i o n n e l l e D é r i v é e : G (j w ) e n b l e u e e t G c ( j w ) e n v e r t En gros, nous avons gagné une décade en termes de pulsations. Le bon choix permettant d améliorer les performances est de choisir 1 < ω r. Attention à l implémentation du correcteur Proportionnel Dérivé (amplification des pulsations élevées)! - 7 -

8 2.2 Correcteur Avance de Phase Une forme approchée du correcteur proportionnel dérivé est le correcteur avance de phase s C( s) = avec 1 + 2s > ou encore 1 + a s C( s) = avec a > s C o r r e c t e u r A va n c e d e P h a s e a ve c T a u =. 1 e t a = La pulsation qui correspond à un maximum en phase est calculée avec : 1 1 ω m = = = rd / s a.1 1 a 1 ϕ m = arcsin = 54.9 a + 1 Pour être efficace, le correcteur à avance de phase doit agir au voisinage de la pulsation de 1 résonance, soit ω r. a - 8 -

9 4 C o r r e c t e u r A va n c e d e P h a s e : G ( j w ) e n b l e u e e t G c ( j w ) e n v e r t d B d B. 5 d B d B d B Les marges de phase et de gain ont été sensiblement augmentées (meilleure stabilité). Dans le cas où les marges de stabilité initiales étaient suffisantes, on peut augmenter le gain de manière à retrouver ces marges. 4 C o r r e c t e u r A va n c e d e P h a s e : G ( j w ) e n b l e u e e t G c ( j w ) e n v e r t d B d B. 5 d B d B d B Le gain a été augmenté de 1.8dB (3.47). La conséquence est une meilleure précision statique et une augmentation de la bande passante ( ω c )

10 3 Action Proportionnelle Intégrale 3.2 Correcteur Proportionnel Intégral s C( s) = 1 + = s s Ce correcteur rajoute un pôle à l origine et une action proportionnelle dérivée. 4 C o r r e c t e u r P ro p o r ti o n n e l In t é g r a l a ve c T a u = A c t i o n P r o p o rt i o n n e l l e In t é g r a l e : G ( j w ) e n b l e u e e t G c ( jw ) e n ve r t d B d B. 5 d B d B d B Le choix de = 3 < ω r laisse la précision dynamique inchangée, mais améliore la précision statique

11 3.3 Correcteur Retard de Phase La forme approchée du correcteur PI est le correcteur retard de phase s C( s) = avec 1 + 2s > ou encore 1 + s C( s) = avec b > b s 2 1 Ce n est qu une forme approchée car cette fois-ci on ne rajoute pas de pôle à l origine. Son objectif est identique à celui du correcteur PI, c est-à-dire améliorer le gain statique (en laissant la précision dynamique inchangée). Ainsi, nous le présenterons directement sous la forme : 1 + s C( s) = b avec b > b s Avec le choix Tau = 2 et b = 1, on obtient : 2 C o r r e c t e u r R e t a r d d e P h a s e a v e c T a u = 2 e t b =

12 5 C o r r e c t e u r R e t a r d d e P h a s e : G ( j w ) e n b l e u e e t G c ( j w ) e n ve r t 4 d B d B d B d B On a donc amélioré le gain statique de 2dB (1), c est-à-dire de b db. Ce correcteur est très facile à déterminer : On choisit tel que : 1 < ω r b correspond à l augmentation de gain souhaitée

13 4 Action Proportionnelle Intégrale Dérivée 4.2 Correcteur Proportionnel Intégral Dérivé 1 C( s) = s s = s 2 ( 1s 1 2s ) 1 1 = ( ξ s + s ) avec = et ξ = 2ξ s Avec un tel correcteur, on ajoute une action proportionnelle, une action dérivée première, et une action dérivée seconde. Il y a maintenant deux paramètres à définir : ξ et. Un cas qui marche bien (mis au point avec l outil SISOTOOL) : =.2 et ξ = C o r r e c t e u r P ro p o r ti o n n e l In t é g r a l D é r i vé a ve c T a u =. 2 e t k s i =

14 6 A c t i o n P r o p o r t i o n n e l l e I n t é g r a l e D é r i v é e : G ( j w ) e n b l e u e e t G c ( j w ) e n v e r t 4 d B 2. 5 d B. 2 5 d B d B d B d B d B On a augmenté la précision statique (pôle à l origine) et la précision dynamique (marge de phase). Choix de : pour la partie PI : 1 < ω r pour la partie PD : 1 < ω r

15 4.3 Correcteur Avance Retard de Phase C est une forme approchée de l action PID. (1 + 1s)(1 + 3s) C( s) = (1 + 2s)(1 + 4s) ou encore 1 + a as 1 + bs C( s) = avec a > 1 et b>1 1 + s 1 + b s a b Dans le cas où a = b, l augmentation apportée par l un est compensée par l autre. Exemple : avec les valeurs de l avance de phase et du retard de phase précédent : a =.1s a = b = 1, = 2s b 2 C o r r e c t e u r A va n c e R e t a r d d e P h a s e

16 6 C o r r e c t e u r A va n c e R e t a r d d e P h a s e : G ( j w ) e n b l e u e e t G c ( j w ) e n v e r t d B. 5 d B d B d B - 4 d B - 6 d B - 8 d B d B d B d B A nouveau, on améliore précision statique et dynamique

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