Théorie des Langages Formels Chapitre 7 : Grammaires
|
|
- Marie-Paule Lebrun
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 1/22 Théorie des Langages Formels Chapitre 7 : Grammaires Florence Levé Florence.Leve@u-picardie.fr Année
2 2/22 Reconnaître ou engendrer Un automate peut être vu comme une machine permettant de reconnaître des mots. On entre un mot dans la machine, et en résultat, on a comme réponse le mot appartient au langage ou le mot n appartient pas au langage. Avec une grammaire, on s intéresse plus à la structure des mots du langage pour expliquer comment ils se fabriquent. Une fois qu on a les règles de fabrication (appelées "règles de production"), on peut engendrer tel ou tel mot. Exemple : Phrase = ujet + Verbe ujet = "L étudiant" "Le professeur" Verbe = "écoute" "enseigne"
3 3/22 Récursivité Les langages peuvent contenir un nombre infini de mots, de phrases... qui peuvent être exprimés par un nombre fini de productions. Pour cela, on utilise la répétition des éléments contenus dans les règles de production de la grammaire : on construit les éléments récursivement. Exemple : nombre = chiffre chiffre nombre chiffre = "0" "1" "2" "3" "4" "5" "6" "7" "8" "9"
4 Grammaire algébrique Une grammaire algébrique s appelle aussi grammaire hors contexte ou non contextuelle (en anglais, context-free grammar). Une grammaire algébrique est un quadruplet G = (Σ, N, P, ) où : Σ est un alphabet, dit alphabet des terminaux ; N est un alphabet, dit alphabet des non-terminaux ou des variables, tel que N Σ = ; P est une partie finie de N (Σ N) Chaque élément de P est appelé une règle de production ; est un élément de N appelé axiome de G (symbole initial). Tous les mots de la grammaire peuvent être obtenus en appliquant des règles de production successivement à partir de l axiome. Remarques : en général, les lettres terminales sont notées par des lettres minuscules ou des lettres grecques, et les lettres non terminales sont notées par des lettres majuscules. 4/22
5 5/22 Exemple : les mots bien parenthésés Décrivons le langage des mots bien parenthésés en ne nous occupant que des parenthèses (le langage de Dyck). Un mot bien parenthésé est : un mot sans parenthèse (le mot vide ε puisqu on ne considère que le langage des parenthèses), la concaténation de deux mots bien parenthésés : ( ) ( ), une parenthèse ouvrante, un mot bien parenthésé, une parenthèse fermante : ( ( ) ). i représente une expression bien parenthésée, ces trois règles peuvent s écrire : ε, et (). Les lettres terminales sont ( et ) et est une lettre non terminale, qui est également l axiome de la grammaire.
6 6/22 Exemple Remarques. Plutôt que de noter (X, u) une règle de production, on note usuellement X u. Quand il existe plusieurs règles de production (X, u 1 ), (X, u 2 ),..., (X, u n ), on note usuellement X u 1 u 2... u n (le symbole signifiant ou dans ce contexte). La grammaire des mots bien parenthésés peut donc se noter : G bp = ({(, )}, {}, {(, ε), (, ), (, ())}, ) ou encore : G bp = ({(, )}, {}, { ε ()}, ). Cette grammaire peut aussi s écrire : G bp = ({(, )}, {}, { ε ()}, ).
7 7/22 Mots dérivés directement Mot dérivé directement. oient u et v deux mots sur Σ N. Le mot v se dérive directement de u par la grammaire algébrique G = (Σ, N, P, ) s il existe des mots u 1 et u 2 et une règle de production X w tels que u = u 1 Xu 2 et v = u 1 wu 2. Exemple : Les mots ε, () et sont les seuls mots qui se dérivent directement de par la grammaire G bp.
8 8/22 Mots dérivés Mot dérivé. oient u et v deux mots sur Σ N. Le mot v se dérive de u par la grammaire algébrique G = (Σ, N, P, ) s il existe des mots w 0, w 1,..., w n tels que u = w 0, v = w n et pour tout entier i (0 i < n), w i+1 se dérive directement de w i. Exemples : Les mots ((())()), ()(), () et se dérivent de par la grammaire G bp.
9 9/22 Notation Une dérivation s écrit souvent : u = w 0 w 1 w 2... w n = v Par exemple : () ()() (())() Remarque. On observera que si on prend n = 0, on peut avoir v = u, et donc tout mot se dérive directement de lui-même.
10 10/22 Appartenance d un mot au langage de la grammaire Pour montrer qu un mot appartient au langage, il faut et il suffit de montrer qu il s obtient à partir des règles de production de la grammaire (en commençant par l axiome). Par exemple, le mot (())() s obtient par : () (()) ((ε)) = (()) (())() (())(ε) = (())(). Chaque dérivation peut être représentée sous la forme d un arbre de dérivation.
11 11/22 Arbre de dérivation Un arbre de dérivation est défini de la manière suivante : les sommets sont étiquetés par une lettre ou par ε, les feuilles par une lettre terminale ou ε, les sommets internes par une lettre non terminale ; un sommet interne étiqueté X a pour fils (dans cet ordre) x 1,..., x n avec x i Σ N, si X x 1... x n est une règle de production de la grammaire. Un arbre de dérivation est traditionnellement dessiné la racine en haut. ur un tel arbre dessiné, le mot dérivé s obtient en concaténant les étiquettes des feuilles de gauche à droite.
12 12/22 Exemple Arbre de dérivation du mot (())() : ( ) ( ) ( ) ε ε Remarque : deux dérivations peuvent être associées au même arbre de dérivation (les règles de productions peuvent être appliquées dans un ordre différent).
13 13/22 Autre exemple Certains mots peuvent s obtenir par plusieurs arbres de dérivations, comme par exemple le mot : ()()(). ( ) ( ) ε ( ) ( ) ( ) ( ) ε ε ε ε ε
14 14/22 Langages algébriques Le langage engendré par une grammaire algébrique (Σ, N, P, ) est l ensemble des mots de Σ qui se dérive de par la grammaire. Exemple : le langage des mots bien parenthésés est engendré par la grammaire G bp. Un langage est dit algébrique s il existe une grammaire algébrique qui l engendre. Exemple : le langage des mots bien parenthésés est un langage algébrique.
15 15/22 Exercice Ecrire une grammaire permettant d engendrer l ensemble des mots sur {a, b} ayant le même nombre d occurrences de a que de b. Ecrire une grammaire permettant d engendrer l ensemble des mots sur {a, b} ayant deux fois plus de a que de b.
16 16/22 Ambiguïté Une grammaire est ambiguë s il existe un mot qui admet deux arbres de dérivations distincts. Langage ambigu. Un langage est ambigu si toute grammaire qui l engendre est ambiguë. Théorème : Le problème de déterminer si une grammaire est ambiguë est indécidable (i.e. il n est pas possible d élaborer un algorithme qui soit capable de dire, après un temps fini, si une grammaire que l on lui soumet est ambiguë ou non.). Remarque : on peut toutefois montrer qu une grammaire donnée est ambiguë en donnant un mot engendré par cette grammaire admettant deux arbres de dérivations distincts...
17 17/22 Dérivation la plus à gauche On peut décider de toujours remplacer en premier la lettre non terminale la plus à gauche d une expression. Cela permet de simplifier la recherche d une dérivation entre deux mots, de montrer plus facilement qu il n y a pas de dérivation entre deux mots, ou qu il n y en a qu une seule...
18 18/22 Dérivation la plus à gauche Lemme : oit G = (Σ, N, P, ) une grammaire. i u 1, u 2, v sont trois mots tels que u 1 u 2 se dérivent en v, alors il existe des mots v 1 et v 2 tels que v = v 1 v 2, v 1 se dérive de u 1, et v 2 se dérive de u 2. oit G = (Σ, N, P, ) une grammaire. Une dérivation gauche d un mot v en un mot u est une suite de mots w 0,..., w n tels que u = w 0, v = w n et pour tout entier i, 0 i < n, w i = u i X i u i et w i+1 = u i v i u i avec u i Σ, (X i v i ) P, u i (Σ N). Proposition : oit G = (Σ, N, P, ) une grammaire. Pour tout mot u et v sur Σ N, si v se dérive de u alors v se dérive de u par une dérivation gauche.
19 19/22 Grammaires et langages reconnaissables Proposition : L union, le produit et l étoile de langages algébriques sont des langages algébriques. Pour tout langage fini, on peut donner facilement une grammaire engendrant le langage. Donc tout langage reconnaissable est un langage algébrique. La réciproque est fausse.
20 20/22 Grammaires linéaires Une grammaire G = (Σ, N, P, ) est dite linéaire gauche si toutes les règles de production appartiennent à N (NΣ Σ ). Une grammaire G = (Σ, N, P, ) est dite linéaire droite si toutes les règles de production appartiennent à N (Σ N Σ ). Une grammaire G = (Σ, N, P, ) est dite linéaire si toutes les règles de production appartiennent à N (Σ NΣ Σ ). Proposition : ont équivalents pour un langage L : 1. L est reconnaissable, 2. L est engendré par une grammaire linéaire gauche, 3. L est engendré par une grammaire linéaire droite.
21 21/22 Idée de la preuve : 1) 2) i un langage L est reconnaissable, nous avons vu précédemment comment définir des équations définissant le langage. Ces équations peuvent être vues commes des règles de grammaires linéaires droites. b A a a b B D C La grammaire associée est : A ab bd B bc C aa D ε
22 22/22 Idée de la preuve : 2) 1) Réciproquement, si nous avons une grammaire linéaire gauche, grâce au lemme d Arden, nous pouvons donner une expression régulière représentant le langage engendré. Ce langage est donc reconnaissable. Remarques : Pour l équivalence avec grammaire linéaire droite, il faut "lire" l automate à l envers. Attention : un langage engendré par une grammaire linéaire n est pas nécessairement reconnaissable.
AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailChap 4: Analyse syntaxique. Prof. M.D. RAHMANI Compilation SMI- S5 2013/14 1
Chap 4: Analyse syntaxique 1 III- L'analyse syntaxique: 1- Le rôle d'un analyseur syntaxique 2- Grammaires non contextuelles 3- Ecriture d'une grammaire 4- Les méthodes d'analyse 5- L'analyse LL(1) 6-
Plus en détailCH.6 Propriétés des langages non contextuels
CH.6 Propriétés des langages non contetuels 6.1 Le lemme de pompage 6.2 Les propriétés de fermeture 6.3 Les problèmes de décidabilité 6.4 Les langages non contetuels déterministes utomates ch6 1 6.1 Le
Plus en détailCours d introduction à l informatique. Partie 2 : Comment écrire un algorithme? Qu est-ce qu une variable? Expressions et instructions
Cours d introduction à l informatique Partie 2 : Comment écrire un algorithme? Qu est-ce qu une variable? Expressions et instructions Qu est-ce qu un Une recette de cuisine algorithme? Protocole expérimental
Plus en détailTP 1. Prise en main du langage Python
TP. Prise en main du langage Python Cette année nous travaillerons avec le langage Python version 3. ; nous utiliserons l environnement de développement IDLE. Étape 0. Dans votre espace personnel, créer
Plus en détailThéorie des Langages
Théorie des Langages Analyse syntaxique descendante Claude Moulin Université de Technologie de Compiègne Printemps 2010 Sommaire 1 Principe 2 Premiers 3 Suivants 4 Analyse 5 Grammaire LL(1) Exemple : Grammaire
Plus en détail2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh
2 Fonctions binaires 45 2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh On peut définir complètement une fonction binaire en dressant son tableau de Karnaugh, table de vérité à 2 n cases pour n variables
Plus en détailFondements de l informatique Logique, modèles, et calculs
Fondements de l informatique Logique, modèles, et calculs Cours INF423 de l Ecole Polytechnique Olivier Bournez Version du 20 septembre 2013 2 Table des matières 1 Introduction 9 1.1 Concepts mathématiques........................
Plus en détailDéfinitions. Numéro à préciser. (Durée : )
Numéro à préciser (Durée : ) On étudie dans ce problème l ordre lexicographique pour les mots sur un alphabet fini et plusieurs constructions des cycles de De Bruijn. Les trois parties sont largement indépendantes.
Plus en détailchapitre 4 Nombres de Catalan
chapitre 4 Nombres de Catalan I Dénitions Dénition 1 La suite de Catalan (C n ) n est la suite dénie par C 0 = 1 et, pour tout n N, C n+1 = C k C n k. Exemple 2 On trouve rapidement C 0 = 1, C 1 = 1, C
Plus en détailAlgorithme. Table des matières
1 Algorithme Table des matières 1 Codage 2 1.1 Système binaire.............................. 2 1.2 La numérotation de position en base décimale............ 2 1.3 La numérotation de position en base binaire..............
Plus en détailReprésentation d un entier en base b
Représentation d un entier en base b 13 octobre 2012 1 Prérequis Les bases de la programmation en langage sont supposées avoir été travaillées L écriture en base b d un entier est ainsi défini à partir
Plus en détailArithmétique binaire. Chapitre. 5.1 Notions. 5.1.1 Bit. 5.1.2 Mot
Chapitre 5 Arithmétique binaire L es codes sont manipulés au quotidien sans qu on s en rende compte, et leur compréhension est quasi instinctive. Le seul fait de lire fait appel au codage alphabétique,
Plus en détailINF 232: Langages et Automates. Travaux Dirigés. Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies
INF 232: Langages et Automates Travaux Dirigés Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies Année Académique 2013-2014 Année Académique 2013-2014 UNIVERSITÉ JOSEPH
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailDérivation : Résumé de cours et méthodes
Dérivation : Résumé de cours et métodes Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION (a + ) (a) Etant donné est une onction déinie sur un intervalle I contenant le réel a, est dérivable en a si tend vers
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailChapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Plus en détailCours d Informatique
Cours d Informatique 1ère année SM/SMI 2007/2008, Info 2 Département de Mathématiques et d Informatique, Université Mohammed V elbenani@hotmail.com sayah@fsr.ac.ma 2007/2008 Info2, 1ère année SM/SMI 1
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailUEO11 COURS/TD 1. nombres entiers et réels codés en mémoire centrale. Caractères alphabétiques et caractères spéciaux.
UEO11 COURS/TD 1 Contenu du semestre Cours et TDs sont intégrés L objectif de ce cours équivalent a 6h de cours, 10h de TD et 8h de TP est le suivant : - initiation à l algorithmique - notions de bases
Plus en détailObjets Combinatoires élementaires
Objets Combinatoires élementaires 0-0 Permutations Arrangements Permutations pour un multi-ensemble mots sous-ensemble à k éléments (Problème du choix) Compositions LE2I 04 1 Permutations Supposons que
Plus en détailPrésentation du langage et premières fonctions
1 Présentation de l interface logicielle Si les langages de haut niveau sont nombreux, nous allons travaillé cette année avec le langage Python, un langage de programmation très en vue sur internet en
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailChapitre 1 I:\ Soyez courageux!
Chapitre 1 I:\ Soyez courageux! Pour ne rien vous cacher, le langage d'assembleur (souvent désigné sous le terme "Assembleur", bien que ce soit un abus de langage, puisque "Assembleur" désigne le logiciel
Plus en détailNote de cours. Introduction à Excel 2007
Note de cours Introduction à Excel 2007 par Armande Pinette Cégep du Vieux Montréal Excel 2007 Page: 2 de 47 Table des matières Comment aller chercher un document sur CVMVirtuel?... 8 Souris... 8 Clavier
Plus en détailProjet d informatique M1BI : Compression et décompression de texte. 1 Généralités sur la compression/décompression de texte
Projet d informatique M1BI : Compression et décompression de texte Le but de ce projet est de coder un programme réalisant de la compression et décompression de texte. On se proposera de coder deux algorithmes
Plus en détailBAREME sur 40 points. Informatique - session 2 - Master de psychologie 2006/2007
BAREME ur 40 point Informatique - eion 2 - Mater de pychologie 2006/2007 Bae de donnée PRET de MATERIEL AUDIO VISUEL. Remarque : Le ujet comporte 7 page. Vérifier qu il et complet avant de commencer. Une
Plus en détail1 Introduction au codage
CélestineOscarDésiréAnatoleGastonEugène 1 Introduction au codage 1.1 Les ensembles L ensemble de tout les ensembles est Dieu lui-même. Kantor Ensemble des parties d un ensemble désigne l ensemble des sous-ensembles
Plus en détailIntroduction à la théorie des graphes. Solutions des exercices
CAHIERS DE LA CRM Introduction à la théorie des graphes Solutions des exercices Didier Müller CAHIER N O 6 COMMISSION ROMANDE DE MATHÉMATIQUE 1 Graphes non orientés Exercice 1 On obtient le graphe biparti
Plus en détailCompter à Babylone. L écriture des nombres
Compter à Babylone d après l article de Christine Proust «Le calcul sexagésimal en Mésopotamie : enseignement dans les écoles de scribes» disponible sur http://www.dma.ens.fr/culturemath/ Les mathématiciens
Plus en détailTaux d évolution moyen.
Chapitre 1 Indice Taux d'évolution moyen Terminale STMG Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Indice simple en base 100. Passer de l indice au taux d évolution, et réciproquement.
Plus en détailConstruction d un cercle tangent à deux cercles donnés.
Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R
Plus en détail1.1 Rappels sur le produit cartésien... 1. 1.2 Relations... 3. 1.3 Graphes dirigés... 8. 1.4 Arbres... 12. 1.5 Exercices... 19. 2.1 Motivation...
Table des matières 1 Relations et graphes 1 1.1 Rappels sur le produit cartésien.................... 1 1.2 Relations.................................. 3 1.3 Graphes dirigés..............................
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailMaple: premiers calculs et premières applications
TP Maple: premiers calculs et premières applications Maple: un logiciel de calcul formel Le logiciel Maple est un système de calcul formel. Alors que la plupart des logiciels de mathématiques utilisent
Plus en détailGuide de l Administrateur
Guide de l Administrateur 2014 Contenu Comment me connecter?... 3 Comment me déconnecter?... 3 Comment réinitialiser mon mot de passe?... 3 Comment modifier mon profil?... 3 Comment créer un produit?...
Plus en détailExcel 2007 Niveau 3 Page 1 www.admexcel.com
Excel 2007 Niveau 3 Page 1 TABLE DES MATIERES UTILISATION DE LISTES DE DONNEES... 4 REMARQUES PREALABLES SUR LES LISTES DE DONNEES... 4 METTRE EN FORME LE TABLEAU... 6 METTRE LA LISTE A JOUR... 7 a/ Directement
Plus en détailINITIATION AU LANGAGE C SUR PIC DE MICROSHIP
COURS PROGRAMMATION INITIATION AU LANGAGE C SUR MICROCONTROLEUR PIC page 1 / 7 INITIATION AU LANGAGE C SUR PIC DE MICROSHIP I. Historique du langage C 1972 : naissance du C dans les laboratoires BELL par
Plus en détailRappels sur les suites - Algorithme
DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailFactorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode
Factorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode Rappel : Distributivité simple Soient les nombres, et. On a : Factoriser, c est transformer une somme ou une différence de termes en
Plus en détailPROJET ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION II
PROJET 1 ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION II CONTENU DU RAPPORT A RENDRE : o Fiche signalétique du binôme o Listing des différents fichiers sources o CD sources o Il sera tenu compte de la présentation du
Plus en détailManuel d utilisation 26 juin 2011. 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2
éducalgo Manuel d utilisation 26 juin 2011 Table des matières 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2 2 Comment écrire un algorithme? 3 2.1 Avec quoi écrit-on? Avec les boutons d écriture........
Plus en détailLe théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailCours 1 : Introduction. Langages objets. but du module. contrôle des connaissances. Pourquoi Java? présentation du module. Présentation de Java
Langages objets Introduction M2 Pro CCI, Informatique Emmanuel Waller, LRI, Orsay présentation du module logistique 12 blocs de 4h + 1 bloc 2h = 50h 1h15 cours, 45mn exercices table, 2h TD machine page
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailInitiation à la Programmation en Logique avec SISCtus Prolog
Initiation à la Programmation en Logique avec SISCtus Prolog Identificateurs Ils sont représentés par une suite de caractères alphanumériques commençant par une lettre minuscule (les lettres accentuées
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailInformatique Théorique : Théorie des Langages, Analyse Lexicale, Analyse Syntaxique Jean-Pierre Jouannaud Professeur
Université Paris-Sud Licence d Informatique Informatique Théorique : Théorie des Langages, Analyse Lexicale, Analyse Syntaxique Jean-Pierre Jouannaud Professeur Adresse de l auteur : LIX École Polytechnique
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailLes indices à surplus constant
Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailTravaux pratiques. Compression en codage de Huffman. 1.3. Organisation d un projet de programmation
Université de Savoie Module ETRS711 Travaux pratiques Compression en codage de Huffman 1. Organisation du projet 1.1. Objectifs Le but de ce projet est d'écrire un programme permettant de compresser des
Plus en détail108y= 1 où x et y sont des entiers
Polynésie Juin 202 Série S Exercice Partie A On considère l équation ( ) relatifs E :x y= où x et y sont des entiers Vérifier que le couple ( ;3 ) est solution de cette équation 2 Déterminer l ensemble
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailCORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»
Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.
Plus en détailDéroulement. Evaluation. Préambule. Définition. Définition. Algorithmes et structures de données 28/09/2009
Déroulement Algorithmes et structures de données Cours 1 et 2 Patrick Reuter http://www.labri.fr/~preuter/asd2009 CM mercredi de 8h00 à 9h00 (Amphi Bât. E, 3 ème étage) ED - Groupe 3 : mercredi, 10h30
Plus en détail6. Les différents types de démonstrations
LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,
Plus en détailCRÉER UN COURS EN LIGNE
Anne DELABY CRÉER UN COURS EN LIGNE Deuxième édition, 2006, 2008 ISBN : 978-2-212-54153-3 2 Que recouvre le concept d interactivité? Dans une perspective de cours en ligne, une activité interactive est
Plus en détailCodage d information. Codage d information : -Définition-
Introduction Plan Systèmes de numération et Représentation des nombres Systèmes de numération Système de numération décimale Représentation dans une base b Représentation binaire, Octale et Hexadécimale
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailLes Conditions aux limites
Chapitre 5 Les Conditions aux limites Lorsque nous désirons appliquer les équations de base de l EM à des problèmes d exploration géophysique, il est essentiel, pour pouvoir résoudre les équations différentielles,
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailPartie 1 - Séquence 3 Original d une fonction
Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)
Plus en détailLe chiffre est le signe, le nombre est la valeur.
Extrait de cours de maths de 6e Chapitre 1 : Les nombres et les opérations I) Chiffre et nombre 1.1 La numération décimale En mathématique, un chiffre est un signe utilisé pour l'écriture des nombres.
Plus en détailLa programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique
La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation
Plus en détail3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements
3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme Qu est-ce qu une somme? Qu est-ce qu un produit?
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailLES TYPES DE DONNÉES DU LANGAGE PASCAL
LES TYPES DE DONNÉES DU LANGAGE PASCAL 75 LES TYPES DE DONNÉES DU LANGAGE PASCAL CHAPITRE 4 OBJECTIFS PRÉSENTER LES NOTIONS D ÉTIQUETTE, DE CONS- TANTE ET DE IABLE DANS LE CONTEXTE DU LAN- GAGE PASCAL.
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailChp. 4. Minimisation d une fonction d une variable
Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie
Plus en détailÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2008 - Partie D
ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2008 - Partie D TITRE : Les Fonctions de Hachage Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant le jury :.10 minutes Entretien avec le jury :..10 minutes GUIDE
Plus en détailMicrosoft Excel. Tableur
Microsoft Excel Tableur 1 Introduction à la notion du tableur Un tableur est un logiciel permettant de manipuler des données numériques et d'effectuer automatiquement des calculs sur des nombres stockés
Plus en détailL informatique en BCPST
L informatique en BCPST Présentation générale Sylvain Pelletier Septembre 2014 Sylvain Pelletier L informatique en BCPST Septembre 2014 1 / 20 Informatique, algorithmique, programmation Utiliser la rapidité
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailCours 1 : Introduction Ordinateurs - Langages de haut niveau - Application
Université de Provence Licence Math-Info Première Année V. Phan Luong Algorithmique et Programmation en Python Cours 1 : Introduction Ordinateurs - Langages de haut niveau - Application 1 Ordinateur Un
Plus en détailDébuter avec Excel. Excel 2007-2010
Débuter avec Excel Excel 2007-2010 Fabienne ROUX Conseils & Formation 10/04/2010 TABLE DES MATIÈRES LE RUBAN 4 LE CLASSEUR 4 RENOMMER LES FEUILLES DU CLASSEUR 4 SUPPRIMER DES FEUILLES D UN CLASSEUR 4 AJOUTER
Plus en détailAlgorithmique et programmation : les bases (VBA) Corrigé
PAD INPT ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION 1 Cours VBA, Semaine 1 mai juin 2006 Corrigé Résumé Ce document décrit l écriture dans le langage VBA des éléments vus en algorithmique. Table des matières 1 Pourquoi
Plus en détailCalculabilité Cours 3 : Problèmes non-calculables. http://www.irisa.fr/lande/pichardie/l3/log/
Calculabilité Cours 3 : Problèmes non-calculables http://www.irisa.fr/lande/pichardie/l3/log/ Problèmes et classes de décidabilité Problèmes et classes de décidabilité Nous nous intéressons aux problèmes
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailLes chaînes de caractères
Les chaînes de caractères Dans un programme informatique, les chaînes de caractères servent à stocker les informations non numériques comme par exemple une liste de nom de personne ou des adresses. Il
Plus en détail