PROBABILITÉS. Examen - Première session - Décembre heures

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1 UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Economie et Gestion Licence d Économie et Gestion L - S3 PROBABILITÉS Examen - Première session - Décembre 0 - heures Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l ordre choisi par le candidat. Il sera tenu compte de l orthographe et du soin apporté à la rédaction. CALCULATRICES INTERDITES LES PORTABLES DOIVENT ÊTRE DÉBRANCHÉS ET RANGÉS. Exercice - 7 points On lance un dé bien équilibré tétraédrique (hypothèse d équiprobabilité) dont les faces sont numérotées de à 4. Si k est le nombre obtenu avec le dé, on place k boules numérotées de à k dans une urne, puis on tire au hasard une des boules. (tirages équiprobables) On note X la V.A. égale au numéro obtenu au dé et Y la V.A. égale au numéro de la boule tirée. Tous les résultats de cet exercice seront donnés sous forme de fractions irréductibles.. Préciser la loi de X. Calculer E(X) puis V (X).. Justifier que P(X = 3 Y = ) =. 3. Déterminer dans un tableau la loi conjointe du couple (X, Y ), puis la loi marginale de Y. 4. Déterminer la loi conditionnelle de X sachant (Y = 3). 5. Calculer E(Y ) et V (Y ). 6. Déterminer la loi de la V.A. Z = X + Y. 7. On admet que V (X + Y ) = 6. En déduire la valeur de cov(x, Y ). 48 Exercice - 5 points En 955, David Wechsler a proposé de mesurer le «quotient intellectuel»(qi) à l aide de tests mesurant les facultés cognitives des personnes testées. On compare le score global de la personne testée avec la distribution des scores obtenus par un échantillon représentatif de la population d un âge donné, dont les performances suivent une loi normale de moyenne 00 et d écart-type 5. Dans cet exercice on prendra pour valeurs arrondies : 3 = 0, 33, = 0, 67 etc... et on donnera 3 les solutions arrondies à 0 près en utilisant la table de la loi normale N (0; ) fournie.. Quel est le pourcentage de personnes dont le QI est inférieur à 80?. Quelle est la probabilité d avoir un QI compris entre 05 et 0? 3. En dessous de quel QI se trouve le tiers des individus? 4. Quel QI minimum faut-il obtenir pour faire partie des 5% d individus les plus «performants»?

2 Exercice 3-5 points On considère la fonction f définie sur R par f(x) = a ln x si x [; e] x f(x) = 0 sinon. Déterminer la valeur de a R de telle sorte que f soit la densité de probabilité d une V.A.R. X.. Déterminer la fonction de répartition F X de X. 3. Calculer P( < X < e). 4. Calculer E(X) et V (X). Exercice 4-3 points Une urne contient n boules numérotées de à n. (n est un entier supérieur ou égal à 3). On tire 3 boules, successivement et avec remise, de cette urne. On note X la V.A.R.D. égale au nombre de valeurs distinctes obtenues. Par exemple, si les numéros des boules sont (, 6, ) alors X = 3 ; si ces numéros sont (4, 4, ), alors X =.. Quel univers peut-on associer à cette expérience aléatoire? Donner une expression de son cardinal. De : Jérôme STEPHAN <jerome.stephan@wanadoo.fr>. Déterminer la Objet loi: de Loi probabilité normale - Wikipédia de X et sa fonction de répartition F. Date : 5 novembre 0 00:3:7 HNEC Table de la loi Normale N (0; ) 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

3 UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Economie et Gestion Licence d Économie et Gestion L - S3 PROBABILITÉS Corrigé du partiel - Décembre 0 Exercice - 7 points.,5 point X U [[;4]]. E(X) = 4 + =, 5 et V (X) = 4 = ,5 point P(X = 3 Y = ) = P(X = 3) P (X=3) (Y = ) = 4 3 = car il y a trois boules dans l urne et donc une chance sur trois d obtenir la boule numéro. 3.,5 point 4. 0,5 point X Y 3 4 Loi de X / /4 /8 /8 0 0 /4 3 / / / 0 /4 4 /6 /6 /6 /6 /4 Loi de Y 5/48 3/48 7/48 3/48 X/(Y = 3) 3 4 p 0 0 4/7 3/7 5.,5 point E(Y ) = 7 4 et E(Y ) = = 47 donc V (Y ) = E(Y ) 6. point 7. 0,5 point cov(x, Y ) = z i p i /4 /8 5/4 7/48 7/48 /6 /6 (V (X + Y ) V (X) V (Y )) = (E(Y ) ) = 4 48 Exercice - 5 points Dans tout l exercice on note Y la V.A. définie par Y = X 00, alors Y suit la loi normale 5 centrée réduite N (0; ) point P(X < 80) = P(Y < ) = P(Y <, 33) = Φ(, 33) = 5 Φ(, 33) 0, 09 soit environ 9% de la population a un QI inférieur à point P(05 < X < 0) = P(X < 0) P(X < 05) = P(Y < ) P(Y < ) = Φ(0, 67) Φ(0, 33) 0, 75 0, 63 = 0,. 5 La probabilité d avoir un QI compris entre 05 et 0 est d environ 0, 3.,5 point On cherche α tel que P(Y < α) = Φ(α) = 0, 33. Par lecture inverse de la table, on cherche α tel que Φ( α) = Φ(α) = 0, 67 ; on lit Φ(0, 44) 0, 67, i.e. α 0, 44, d où α 0, 44 = 5 8

4 x 00 On résout : = 0, 44 x = 93, 4. Le tiers de cette population a un QI 5 inférieur à 93, 4. 4.,5 point On cherche α tel que Φ(α) = 0, 95 : par lecture inverse de la table on lit α, 65 On résout x 00 =, 65 x = 4, 75. Le QI minimum des 5% des individus les 5 plus performants est environ 5. Exercice 3-6 points On considère la fonction f définie sur R par f(x) = a ln x si x [; e] x f(x) = 0 sinon. points La fonction logarithme népérien est positive sur [; e] donc f est positive si et seulement si a > 0 f est clairement continue sur ] ; [, ]e, + [ (car nulle) et sur ]; e[ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s annule pas. De plus, lim f(x) = 0 = x x> lim f(x) et lim f(x) = a et lim f(x) = 0 : f est continue en x e x< x e x<e x e x>e et possède une limite réelle à gauche et à droite de e + [ ] e a ln t (ln t) e Enfin f(t)dt = f(t)dt = dt = a t Donc f est une densité de probabilité si et seulement si a =. point F X est définie par : 0 si x x ln t F X (x) = dt = = (ln x) si x [; e] t si x e ( ) = a 0 = a 3. 0,5 point P( < X < e) = F X ( e) F X () = 4 4.,5 points E(X) = tf(t)dt = ln tdt = ([t ln t] e t ) t dt = (e [t] e ) = (I.p.p. vue en cours avec u (t) = et v(t) = ln t) [ ] e E(X ) = t f(t)dt = t ln tdt = t ln t u (t) = t et v(t) = ln t) d où V (X) = E(X ) (E(X)) = e 7 Exercice 4-3 points tdt = = e + (I.p.p. avec. point L univers Ω est l ensemble des 3-listes d éléments de [[; n] et Card(Ω) = n 3. points x i 3 p i n n 3 = 3n(n ) 3(n ) n(n )(n ) (n )(n ) n n 3 = n n 3 = n

5 La fonction de répartition F de X est alors définie par : F (x) = 0 si x < F (x) = n si x < F (x) = 3n n si x < 3 F (x) = si x 3