Rallye mathématiques cycle III-6ème

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1 Rallye mathématiquesguide méthodologique Année scolaire 2012/ 2013 Rallye mathématiques cycle III6ème GUIDE METHODOLOGIQUE 1. ENJEUX Améliorer l acquisition de la compétence 3 du socle commun relative à la résolution de problème. Mettre en œuvre une séquence d apprentissage en résolution de problème. Résoudre des problèmes ouverts en utilisant la démarche scientifique afin de développer les capacités de raisonnement et de logique. Résoudre des problèmes en utilisant des procédures expertes. Favoriser le passage à l abstraction, du langage oral au langage mathématique. 2. COMPETENCES A. COMPETENCES DU SOCLE COMMUN Deuxième palier pour la maîtrise du socle commun : compétences attendues à la fin du CM2 Compétence 1 : La maîtrise de la langue française L élève est capable de : s exprimer à l oral comme à l écrit dans un vocabulaire approprié et précis, utiliser ses connaissances pour réfléchir sur un texte (mieux le comprendre). Compétence 3 : Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique. A) Les principaux éléments de mathématiques L élève est capable de : résoudre des problèmes relevant des quatre opérations, de la proportionnalité, et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures, «règle de trois», figures géométriques, schémas ; savoir organiser des informations numériques ou géométriques, justifier et apprécier la vraisemblance d un résultat ; lire, interpréter et construire quelques représentations simples : tableaux et graphiques. B) La culture scientifique et technologique L élève est capable de : pratiquer une démarche d investigation : savoir observer, questionner ; manipuler et expérimenter, formuler une hypothèse et la tester, argumenter ; mettre à l essai plusieurs pistes de solution ; exprimer et exploiter les résultats d une mesure ou d une recherche en utilisant un vocabulaire scientifique à l écrit et à l oral ; mobiliser ses connaissances dans des contextes scientifiques différents et dans des activités de la vie courante. Compétence 6 : Les compétences sociales et civiques L élève est capable de : respecter les règles de la vie collective ; prendre part à un dialogue : prendre la parole devant les autres, écouter autrui, formuler et justifier un point de vue ; coopérer avec un ou plusieurs camarades. Circonscription de Sainte Suzanne Page 1

2 Rallye mathématiquesguide méthodologique Année scolaire 2012/ 2013 Compétence 7 : L autonomie et l initiative L élève est capable de : montrer une certaine persévérance dans toutes les activités ; commencer à savoir s autoévaluer dans des situations simples ; s impliquer dans un projet individuel et/ou collectif. B. COMPETENCES DES PROGRAMMES DE 2008 CE2 CM1 CM2 Lire des consignes de travail, les énoncés de problèmes dont le vocabulaire difficile ou nouveau a été élucidé par le maître. Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations. Reproduire des figures (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d un modèle. Construire un carré ou un rectangle de dimensions données. Résoudre des problèmes dont la résolution implique les grandeurs cidessus. Organisation et gestion de données Savoir organiser les données d un problème en vue de sa résolution. Utiliser un tableau ou un graphique en vue d un traitement de données. Lire sans aide les consignes de travail scolaire, les énoncés de problèmes. Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. Compléter une figure par symétrie axiale. Tracer une figure simple à partir d un programme de construction ou en suivant des consignes. Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions. Organisation et gestion de données Construire un tableau ou un graphique. Interpréter un tableau ou un graphique. Lire les coordonnées d un point. Placer un point dont on connaît les coordonnées. Utiliser un tableau ou la «règle de trois» dans des situations très simples de proportionnalité. Lire à haute voix avec fluidité et de manière expressive un texte de plus de dix lignes, après préparation Résoudre des problèmes de plus en plus complexes. Tracer une figure (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d un programme de construction ou d un dessin à main levée (avec des indications relatives aux propriétés et aux dimensions). Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions. Résoudre des problèmes dont la résolution implique simultanément des unités différentes de mesure. Organisation et gestion de données Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et notamment des problèmes relatifs aux pourcentages, aux échelles, aux vitesses moyennes ou aux conversions d unité, en utilisant des procédures variées (dont la «règle de trois»). Circonscription de Sainte Suzanne Page 2

3 Rallye mathématiquesguide méthodologique Année scolaire 2012/ DESCRIPTIF A) VADEMECUM DU PROBLEME Définition d un problème «Un problème est généralement défini comme une situation initiale, avec un but à atteindre, demandant au sujet d élaborer une suite d actions ou d opérations pour atteindre ce but. Il n y a problème que dans un rapport sujet/situation où la solution n est pas disponible d emblée, mais possible à construire. C est dire aussi qu un problème pour un sujet donné peut ne pas être un problème pour un autre sujet, en fonction de leur niveau de développement intellectuel par exemple.» BRUN Jean, MathEcole n 141. Les types de problèmes : Typologie basée sur les temps d apprentissage 1 ) Problèmes dont la résolution vise la construction d une nouvelle connaissance. (Des problèmes pour apprendre les mathématiques début d apprentissage) 2 ) Problèmes destinés à permettre le réinvestissement de connaissances déjà travaillées, à les exercer. (Des problèmes d application) 3 ) Problèmes plus complexes que les précédents dont la résolution nécessite la mobilisation de plusieurs catégories de connaissances. (Des problèmes d application : combinaison de plusieurs connaissances / procédures et résolution par étapes intermédiaires) Typologie basée sur la nature de l opération à effectuer (d après Vergnaud) 1 ) Problèmes «additifs» (qui se résolvent avec une addition ou une soustraction) Problèmes avec deux parts mises ensemble (problèmes de réunion d états) [remarque : dans l exemple proposé on cherche une des parts] Exemple : Sur le parking, il y a des voitures et des camions. Il y a un total de cinquantedeux véhicules et il y a dixsept camions. Combien y atil de voitures? Problèmes avec quelque chose qui diminue dans le temps (problèmes de changement d état avec diminution) [remarque : dans l exemple proposé on cherche ce qu il y avait au début (l état initial)] Exemple : J ai 123 billes. Je viens d en perdre 67. Combien avaisje de billes avant? Problèmes avec quelque chose qui augmente dans le temps (problèmes de changement d état avec augmentation) [remarque : dans l exemple proposé on cherche ce qu il y avait au début (l état initial)] Exemple : Durant la récréation Jean a gagné 6 billes. Maintenant il a 15 billes. Combien avaitil de billes avant la récréation? Problèmes avec «de plus que» ou «de moins que» (problèmes de comparaisons d états) Exemple : Jean a sept ans de plus que Paul. Jean a quinze ans. Quel est l âge de Paul? Problèmes avec deux changements successifs (problèmes où l on compose deux changements d états) Circonscription de Sainte Suzanne Page 3

4 Rallye mathématiquesguide méthodologique Année scolaire 2012/ 2013 Exemple : Jean vient de faire deux parties de billes de suite. A la seconde partie, il vient de perdre 7 billes. Il a calculé qu il en avait gagné 5 au total. Que s estil passé à la première partie? 2 ) Problèmes «multiplicatifs» (qui se résolvent avec une multiplication ou une division) Problèmes avec plusieurs parts égales mises ensemble Exemple : Un éleveur de poules dispose de 6984 œufs. Combien de boîtes de 12 œufs peutil remplir? (on cherche le nombre de parts) ( problème de regroupement ) Exemple : J ai dépensé 18 euros pour acheter 6 gommes. Quel est le prix d une gomme? (on cherche la valeur d une part) (problème de partage ou de distribution) Exemple : Combien y atil de bouteilles de bière dans 25 caisses de 12 bouteilles de bière? (on cherche le total) Problèmes avec «fois plus que» ou «fois moins que» (problème de comparaison d états) Exemple : Il y a trois fois plus de chaises à la cantine que dans la classe. A la cantine il y a 54 chaises. Combien y atil de chaises dans la classe? 3 ) Problèmes ouverts : des problèmes centrés sur le développement des capacités des élèves à chercher En général, pour résoudre ces problèmes, la solution experte n est pas à la portée des élèves, elle n est en aucun cas le but recherché. Caractéristiques d un problème ouvert (TFM) L'énoncé est choisi de façon à ce que tous les élèves puissent engager une résolution, avec leurs connaissances : la compréhension de l'énoncé ne doit pas présenter de difficulté. Il est souhaitable que plusieurs démarches soient possibles, de niveaux différents du point de vue des connaissances à mettre en œuvre. Le problème doit "résister", donner lieu à des essais et recherches : c'est le contraire d'un problème d'application ; le problème de recherche est lié à l'idée de défi ; les élèves ne connaissent pas a priori de méthode de résolution ; ainsi le problème des trois nombres qui se suivent sera résolu en 3e à l'aide d'une équation du premier degré, et ne sera plus un problème de recherche à ce niveau. Le contexte doit être familier aux élèves, toujours dans l'idée que ceuxci doivent facilement s'approprier l'énoncé ; comme pour les autres problèmes, les problèmes peuvent être issus de la vie courante (trouver comment faire 50 avec des billets de 10, de 5, et des pièces de 2 ), d'autres disciplines, ou porter sur des objets mathématiques. Le domaine mathématique peut être aussi bien d ordre numérique, géométrique, logique, que de l ordre de la mesure. B) POSITIONNEMENT DE L ACTION «RALLYE MATHEMATIQUES» DANS LE CADRE GLOBAL DES APPRENTISSAGES MATHEMATIQUES : Descriptif de l action Le rallye mathématique est une action qui s inscrit dans le plan pour les sciences et les technologies à l école. ( ) La maîtrise du calcul et des ordres de grandeur, l habitude du raisonnement doivent être acquis et régulièrement entretenus. Pour cela, les enseignements de mathématiques à l école doivent privilégier Circonscription de Sainte Suzanne Page 4

5 Rallye mathématiquesguide méthodologique Année scolaire 2012/ 2013 l entraînement aux techniques opératoires ainsi que l acquisition d automatismes, facteurs essentiels de la réussite des élèves dans la résolution de problèmes. ( ) L action se propose d accompagner les enseignants et à fortiori les élèves dans leur enseignement/apprentissage de la résolution de problème en référence au programme De plus, elle contribue au renforcement de la continuité pédagogique écolecollège en visant une articulation des programmes et des enseignements au service de la réussite des élèves. Ce rallye comporte trois épreuves de même nature : des situations problèmes portant sur des champs mathématiques différents sont proposées dès la deuxième période à la classe entière qui dispose de 2 semaines pour retourner son bulletinréponse. La résolution de problèmes sera travaillée tout au long de chaque période dans le cadre d une progression. Méthodologie La démarche suivante est proposée (à l image de la démarche d investigation) : Mise en place de la situation problème Formulation des questions et recueil des représentations initiales Emission d hypothèses Investigation, recherche individuelle/par groupe Mise en commun et verbalisation des stratégies développées Confrontation avec les hypothèses de départ Synthèse et choix d une réponse pour la classe. Appliquée au champ de la résolution de problème, elle peut être schématisée de la manière suivante. Circonscription de Sainte Suzanne Page 5

6 Résoudre un problème : oui, mais comment? Rallye mathématiquesguide méthodologique Année scolaire 2012/ 2013 Circonscription de Sainte Suzanne Page 6

7 Rallye mathématiquesguide méthodologique Année scolaire 2012/ 2013 COMPETENCES DES PROGRAMMES 2008 POLE ENSEIGNANT POLE ELEVE CE2 CM1 CM2 Démarche proposée : la démarche scientifique Connaissances mobilisées Stratégies Elles sont déterminées Lire sans aide les consignes de travail en fonction du domaine scolaire, les énoncés de traité dans les situations problèmes. problèmes proposées. Résoudre des Lire des consignes de travail, les énoncés de problèmes dont le vocabulaire difficile ou nouveau a été élucidé par le maître. Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations. Reproduire des figures (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d un modèle. Construire un carré ou un rectangle de dimensions données. Résoudre des problèmes dont la résolution implique les grandeurs cidessus. Organisation et gestion de données Savoir organiser les données d un problème en vue de sa résolution. Utiliser un tableau ou un graphique en vue d un traitement de données. problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. Compléter une figure par symétrie axiale. Tracer une figure simple à partir d un programme de construction ou en suivant des consignes. Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions. Organisation et gestion de données Construire un tableau ou un graphique. Interpréter un tableau ou un graphique. Lire les coordonnées d un point. Placer un point dont on connaît les coordonnées. Utiliser un tableau ou la «règle de trois» dans des situations très simples proportionnalité. de Lire à haute voix avec fluidité et de manière expressive un texte de plus de lignes, après préparation Résoudre des problèmes de plus en plus complexes. Tracer une figure (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d un programme de construction ou d un dessin à main levée (avec des indications relatives aux propriétés et aux dimensions). Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions. Résoudre des problèmes dont la résolution implique simultanément des unités différentes de mesure. Organisation et gestion de données Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et notamment des problèmes relatifs aux pourcentages, aux échelles, aux vitesses moyennes ou aux conversions d unité, en utilisant des procédures variées (dont la «règle de trois»). La résolution de problème sera travaillée tout au long de chaque période dans le cadre d une progression qui visera les objectifs suivants : Développer des procédures de résolution (agir ou non sur les objets, anticiper sa réponse) Verbaliser ses actions et les résultats obtenus pour prendre conscience des procédures utilisées et leur effets Utiliser les écritures provisoires (dessin, schéma ) pour communiquer une information. TERRIEUX Josette, L école maternelle, Hachette livre 2008 De façon plus globale, l enseignant veillera à développer tout au long de l année les axes de travail suivants : La mise en place d un contrat (qu estce qui est attendu des élèves dans les activités de résolution de problèmes?) L appropriation par l élève du problème proposé, La sélection et le traitement de l information, Le développement des méthodes de résolution par essais. Institut national de recherche pédagogique ERMEL, Apprentissages numériques et résolution de problèmes CP, Hatier 2005 Circonscription de Sainte Suzanne Page 7 Il s agit de demander aux élèves de résoudre des problèmes pour lesquels le modèle expert leur est inconnu, mais où ils peuvent : procéder par essais, faire des hypothèses ; contrôler les essais.

8 Rallye mathématiquesguide méthodologique Année scolaire 2012/ 2013 C) MODALITES DE CORRECTION/VALIDATION DES REPONSES A l issue du temps imparti pour résoudre la ou les situations problèmes proposées, la classe transmettra son bulletinréponse collectif à l équipe de circonscription pour correction/validation. L attribution des points s appuiera sur la démarche des élèves et non sur la démarche pédagogique de l enseignant. Pour chaque épreuve, chaque classe pourra obtenir 40 points au maximum : * 10 points pour les deux premiers problèmes dont seule l étape de résolution est demandée (8 points pour la réponse et 2 points pour la présentation) * 20 points pour le troisième problème pour lequel les élèves doivent rédiger les diverses étapes de leur recherche (10 points pour la compréhension et la démarche, 8 points pour la réponse et 2 points pour la présentation). Les classes sont réparties en 3 catégories : CE2 CM1 CM26 ème. A l issue des trois épreuves, un classement est établi par catégorie. 4. ECHEANCIER Date Activités Observations Septembre 2012 Novembre 2012 Fin novembre 2012 Mars 2013 Fin mars 2013 Mai 2013 Fin mai 2013 Juin 2013 Remise du guide méthodologique Informations/Formation par l équipe de circonscription Première épreuve S appuyer sur la démarche scientifique pour mener la résolution de problème mathématique Retour des bulletinsréponses Production des réponses sur papier ou à la circonscription de Sainte envoi de la version numérique Suzanne complétée à l Inspection Deuxième épreuve S appuyer sur la démarche scientifique pour mener la résolution de problème mathématique Retour des bulletinsréponses Production des réponses sur papier ou à la circonscription de Sainte envoi de la version numérique Suzanne complétée à l Inspection Troisième épreuve S appuyer sur la démarche scientifique pour mener la résolution de problème mathématique Retour des bulletinsréponses Production des réponses sur papier ou à la circonscription de Sainte envoi de la version numérique Suzanne complétée à l Inspection Proclamation des résultats : classement par catégorie Circonscription de Sainte Suzanne Page 8

9 Rallye mathématiquesguide méthodologique Année scolaire 2012/ CHAMPS DISCIPLINAIRES CONCERNES CE2 CM1 CM26ème : : : Première épreuve : : : Deuxième épreuve Grandeurs et mesure : Grandeurs et mesure : Grandeurs et mesure : Troisième épreuve 6. ECRITS DE TRAVAIL ET TRACE MEMOIRE DE LA CLASSE Lors de la phase «d investigation, recherche individuelle», l enseignant de CE2, de CM1, de CM2 ou de 6ème incitera l enfant à utiliser son cahier de brouillon afin de favoriser le tâtonnement et de disposer d un espace de recherche visualisable par l enseignant (repérage des procédures et de l utilisation du langage mathématique). La mise en commun permettra d élaborer une trace écrite de groupe qui fera le point sur les procédures adoptées et leur valorisation, sans porter de jugement sur leur efficacité. 7. OUTILS MEN, Les nouveaux programmes de l école primaire 2008 Télé Formation en Mathématiques : résolution de problèmes Espace «notions essentielles Champ théorique : Exploitation de données numériques et résolution de problèmes) TERRIEUX Josette, L école maternelle, Hachette livre 2008 Circonscription de Sainte Suzanne Page 9

10 Rallye mathématiquesguide méthodologique Année scolaire 2012/ 2013 Institut national de recherche pédagogique ERMEL, Apprentissages numériques et résolution de problèmes CP, Hatier 2005 PERNOUX Dominique : et et Préparation de la rentrée scolaire 2011 (encart, BO n 18 du 5 mai 2011) 8. POUR ALLER PLUS LOIN Circonscription de Sainte Suzanne Page 10

11 Rallye mathématiquesguide méthodologique Année scolaire 2012/ 2013 LA BOITE A OUTILS CHAMPS CE2 CM1 CM26ème Nombres Calculs Réalisation d une mosaïque murale Range ta chambre Les couronnes Range ta chambre Qui est le plus grand? Weekend à la neige Le nombre mystérieux Le sudoku Retrouve le chemin Combien de jouets? Range ta chambre Espace Temps La promenade du lapin de Pâques Réalisation d une mosaïque murale Mathus, le dragon Les cocottes Le puzzle L arrosoir Le nombre de triangles Grandeurs Mesures L escargot Le barbecue Mon anniversaire L heure La course d escargots Organisation et gestion des données Le masque La tour Le clown Le masque Numérius, Toutankalkul et Matsup Gelati Trois sortes de fleurs Qui est le plus grand? Le sudoku Message pour agent secret L animal extraordinaire A chacun son biscuit Circonscription de Sainte Suzanne Page 11