Question 1- Algèbre de Boole (6 pts-20 minutes) a) Démontrez par l'algèbre de boole que:

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1 ELE1300 Automne Examen intra 2/12 Question 1- Algèbre de Boole (6 pts-20 minutes) a) Démontrez par l'algèbre de boole que: AC +BC AB +BC = A B C AC +BC AB +BC + AC +BC AB +BC = AC +BC AB BC + AC BC AB +BC = AC +BC A +B B +C + A +C B +C AB +BC = AC +BC A B +A C +BC + A B +A C +B C AB +BC = ABC +AB C= A BC +B C = A B C b) Utilisez la décomposition de Shannon afin de démontrer que: A B BC = B A + B A C En décomposant le membre de gauche selon B: F=B A 0 +B A C F=B A +B A C

2 ELE1300 Automne Examen intra 3/12 c) Par la technique de votre choix, démontrer que: minterms / maxterms BD+ABC+A B CD = A +B C+D B+D A+B +D Question 2- Analyse et synthèse de circuits (6 pts-30 minutes) L implantation d une fonction logique Z relativement complexe repose sur un ET-logique de deux autres fonctions F X et F Y comme indiqué sur le schéma suivant : A B C x1 x2 x3 FX X Z B C D x1 x2 x3 FY Y 1) La fonction F X est spécifiée par la table de vérité suivante: A B C X

3 ELE1300 Automne Examen intra 4/12 Trouvez l'expression disjonctive simplifiée de F X au moyen de la table de Karnaugh suivante et évaluez son cout minimal. Fx = Coût minimal: 13 2) Un circuit réalisant la fonction F Y a été réalisé par un consultant d'une firme externe: a) Faites l'analyse de la fonction réalisée par le circuit proposé: B C D F Y B/CD F Y

4 ELE1300 Automne Examen intra 5/12 b) Déterminez sa forme disjonctive optimale au moyen de la table de Karnaugh suivante: F Y = + Coût minimal: c) Déterminez sa forme conjonctive optimale au moyen de la table de Karnaugh suivante: F Y = + + Coût minimal: d) À la lumière de votre analyse, posez un regard critique sur le circuit proposé pour F Y par la firme externe: Le circuit de la firme externe n'est pas optimal (cout de 14). La fonction peut être réalisée avec un circuit de coût de 9. e) Sachant que finalement, seule la valeur de Z importe, proposez votre meilleur circuit pour implanter Z(A, B, C, D): F z = + Coût minimal: Dessinez le circuit optimisé (vous avez accès aux variables et leurs inverses):

5 ELE1300 Automne Examen intra 6/12 Question 3 - Conceptionn d'un circuit (5 pts 15 minutes) On désire contrôler le guidage d un robot au moyen d une ligne noire sur un sol blanc. Un capteur de lumière, monté sur le robot, est constitué de 4 cellules (C 1 C 2 C 3 C 4 ) alignées sur un segment de droite perpendiculaire à la ligne au sol. Chaque cellule retourne un 1 lorsque la lumière lui parvient (fond blanc) et un `0` autrement (ligne noire). En temps normal, les cellules C 1, C 2 et C 3 sont au dessus de la ligne noire tandis que la cellule C 4 est au dessus du fond blanc tel qu indiqué sur la figure. Si le robot dévie de sa trajectoire vers la gauche, le capteur C 4 va passer au dessus de la ligne noire, indiquant qu il faut tourner à droite. Si le robot dévie de sa trajectoire vers la droite, le capteur C 3 va quitter la ligne noire, indiquant qu il faut tourner à gauche. Nous avons donc pour les combinaisons suivantes de C 1 C 2 C 3 C 4 : 0111 : tourner à gauche (G) 0011 : tourner à gauche (G) 0001 : mode normal 0000 : tourner à droite (D) Si le robot vient à passer de l autre côté de la ligne noire, on aura les combinaisons suivantes : 1000 : tourner à droite (D) 1100 : tourner à droite (D) 1110 : tourner à droite (D) Toutes les autres combinaisons indiquent un problème et le robot doit s arrêter immédiatement (S). On vous demande de concevoir un circuit logique de coût minimal qui calcule les signaux G(auche), D(roit) et S(top), actifs haut. En mode normal, les signaux G et D sont à 0. Lorsque S est vrai, les valeurs de G et D sont sans importance.

6 ELE1300 Automne Examen intra 7/12 C1 C2 C3 C4 G D S x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1 D(roite) C 3 C 4 C 1 C

7 ELE1300 Automne Examen intra 8/12 Plusieurs circuits sont possibles, par exemple, avec la forme disjonctive : G = C 3 C 4 (juste une porte NOR) D = /C 4 (gratuit) S = /C 1 C 2 /C 3 + C 1 C 4 + /C 1 C 3 /C 4 + C 1 /C 2 C 3 (circuit avec des NAND) Question 4 Circuits usuels (4 pts 20 minutes) Considérez la fonction F décrite par sa table de vérité ci-dessous. A B C F ) Déterminez l expression algébrique de chacun des signaux ci-dessous aux points d interrogation sachant que la sortie du circuit implante la fonction F demandée.

8 ELE1300 Automne Examen intra 9/12 2) Considérant le circuit suivant composé d une porte XOR et d un décodeur 2 vers 4, indiquez à la place de chacun des points d interrogation l expression algébrique de la sortie. Ensuite, ajoutez un circuit de coût minimal pour réaliser la fonction F.

9 ELE1300 Automne Examen intra 10/12 Question 5 - Quine McClusky (8 pts - 40 minutes) Soit la fonction logique F(,,, ) = Σm(0,2,6,7,8,10,11,13,15) + δ(1,9), où δ donne les minterms facultatifs. Pour écarter toute ambiguïté, la table de vérité de la fonction F(,,, ) vous est fournie: a b c d F

10 ELE1300 Automne Examen intra 11/12 1) Procédez par la méthode Quine-McCluskey pour simplifier la fonction F(a, b, c, d) et identifier les impliquants premiers x0 * x0x0 x000 * x00x x 1000 * 10xx 0001 * 0x10 x010 * 1xx x x x * 011x x x01 101x 1111 * x111 1x11 11x1 2) Identifiez les impliquants premiers sous forme binaire : 0x10, 011x, x111, x0x0, x00x, 10xx, 1xx1

11 ELE1300 Automne Examen intra 12/12 3) Utilisez la table suivante pour identifier les impliquants premiers essentiels de F(a, b, c, d) a 0x10 * * b 011x * * c x111 * * d x0x0 * * * * e x00x * * f 10xx * * * g* 1xx1 * * * Impliquants essentiels : 1xx1 4) Utilisez la méthode de Petrick pour trouver toutes les solutions (couvertures) optimales, et donnez leur coût. P = (d+e)(a+d)(a+b)(b+c)(d+f) P = bd + acd+ bdf + acdf + abde + acde + abef + acef Une seule solution optimale, bd. F =!ABC +!B!D + AD cout = (4+3+3)+4 = 14

12 ELE1300 Automne Examen intra 13/12 5) Écrivez l'expression disjonctive d'une solution optimale obtenue au point 4) et illustrez votre résultat en utilisant une table de Karnaugh : F =!ABC +!B!D + AD Question 6 Bonus Cette question est facultative. Toutefois, la réussir montrerait que vous maitrisez la matière à un niveau supérieur à ce qui est normalement attendu de vous et nous permettrait de le prendre en note à votre avantage. Pour un problème à N variables, combien y a-t-il d implicants différents possibles? Justifiez votre réponse. Dans la méthode de Quine et McCluskey, un implicant peut toujours s écrire sous la forme X 1 X N dans laquelle chaque symbole X i peut prendre une des trois valeurs «1», «0» ou «-». Il y a donc 3 N implicants différents possibles. Bon travail!