Un jour un problème Cycle 3

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1 Le premier de la classe Un jour un problème Cycle 3 Je fais un tableau dans lequel j écris le nombre de 1 à 99. Dans ce tableau : J entoure le 1, je passe au nombre suivant : c est 2 ; je l entoure et je raye tous les multiples de 2. Je passe au nombre suivant qui n est pas rayé, je l entoure et je raye tous les multiples de ce nombre ; je passe au nombre suivant qui n est pas rayé, je l entoure et je raye tous ces multiples et ainsi de suite jusqu'à ce que tous les nombres soient rayés ou entourés Combien de nombres entourés y aura-t-il dans mon tableau?

2 Document pour l enseignant Dans ce document vous trouverez des indications et des pistes d exploitation pédagogique pour aller plus loin avec les élèves en termes de culture scientifique et technique. Exercice tiré du Tiré du RMEM 2006 Cycle 3 Voici les pourcentages de réussite lors du RMEM 2006 CM1 35,7% CM2 22,2% TOTAL 28,1% Éléments d aides pour ce problème Le mot «multiple» peut ne pas être connu, cela peut-être l occasion de chercher une définition du terme et d élargir à diviseur. Il est possible de définir un multiple comme un nombre étant dans la table de Évidemment la calculatrice peut aussi être une aide, ce qui est intéressant est qu elle ralentit plus qu elle n avance Prolongement aspects culturels Les élèves se rendent compte qu il y a des nombres qui ne sont pas dans plusieurs tables, ils ne sont donc pas multiples d un autre nombre. On les appelle les nombres premiers. Ce qu ils viennent de faire c est le crible d Ératosthène (3 ème siècle avant JC) Pour ceux qui ont un vidéo projecteur ou TNI une petite animation se trouve sur le site : ou Tous les nombres n ont pas le même nombre de diviseurs (piste 2) Tous les diviseurs n ont donc pas le même nombre de diviseurs : 13 n est divisible que par 13 et 1, il est donc ce que l on appelle un nombre premier. Il y a des moments où avoir beaucoup de diviseurs est pratique : Comparons deux systèmes de mesure des angles : le grade et le degré En grade, on découpe le disque en 400 grades

3 En degré, on découpe le disque en 360 degrés Comparons les découpages qui tombent juste En grade ½ ¼ 1/5 1/5 1/6 en degré ½ 1/3 ¼ Le degré permet de faire plus de découpages qui «tombent juste» Trouve une autre «graduation» qui est dans la vie courante et qui n est pas en base 10. Et oui le temps est en base 60 si nous étions en base 10 par exemple les ¼ d heures ne feraient pas un nombre juste. Qui était Ératosthène? (piste 1) Proposition : faire faire une recherche sur Ératosthène à partir d un texte Ce travail peut être l occasion d une petite recherche sur Eratosthène lui-même qui a notamment à son époque calculé la circonférence de la Terre (et oui avant Galilée la Terre était déjà ronde ) Que peut-on tirer de la vie d Ératosthène? Son métier n était pas d être mathématicien. Il n y a que récemment que cela existe par exemple Pierre de Fermat était juriste La même découverte peut se faire à plusieurs endroits du monde et à plusieurs époques, la rotondité de la terre acquise à l époque d Ératosthène a pourtant été perdue et a été source de soucis pour Galilée au XVIIème siècle! Christophe Colomb, parti pour les Indes par l ouest ignora également le calcul d Ératosthène ( km), il avait estimé le trajet à 3000 km, s il n avait pas rencontré les Amériques au bout de 3600 km son équipage serait mort de faim Magellan ( ) fit le premier tour de la terre complet Anecdote : L année 2013 et l année 2014 sont spéciales 2013 plus la somme de ses diviseurs = 2014 plus la somme de ses diviseurs. 2012, 2013 et 2014 ont d ailleurs le même nombre de diviseurs Vérifie-le

4 Fiche élève : Piste 1 : Qui était Ératosthène? ÉRATOSTHÈNE naissance : Cyrène vers 276 mort Alexandrie vers 194 av. J.-C. Ératosthène est un astronome, philosophe, géographe et mathématicien, né à Cyrène, une ancienne ville grecque en actuelle Libye. Cette ville porte maintenant le nom de Shahhat. Le souverain Lagide Ptolémée III Évergète le fait venir à Alexandrie, pour être précepteur de son fils, le futur Ptolémée IV Philopatôr et diriger la grande bibliothèque C est pour lui que le poste de bibliothécaire fut créé. En histoire, Ératosthène propose une méthode de classification des évènements historiques. Il élabore un système chronologique permettant de dater les événements importants survenus depuis la guerre de Troie, facilitant ainsi la distinction entre les légendes et les faits historiques. Astronome aussi ; certains historiens lui attribuent la création d'un catalogue classifiant 675 étoiles Géographe : son savoir pluridisciplinaire lui permet d'envisager une géographie inspirée de mathématique et d'astronomie. Il rassemble toutes les mesures établies pour rénover la cartographie de l'époque et conçoit une véritable carte du monde connu. Ératosthène décrivait le globe terrestre en cinq zones parallèles : la canicule, bande centrée sur l'équateur, deux calottes polaires, une à chacun des pôles, et deux zones tempérées, comprises entre la canicule et les calottes polaires. Ératosthène est aussi célèbre pour son astucieux calcul de la circonférence de la terre. Ces calculs lui permettent d évaluer la circonférence de la terre à km ce qui est remarquable, quand on sait que la valeur retenue de nos jours est à l'equateur d'environ , 017 km Mathématicien, Ératosthène reste surtout célèbre en mathématique pour avoir fourni une méthode de recherche des nombres premiers, c'est-à-dire des nombres (entiers supérieurs ou égaux à 2) qui ne sont divisibles que par 1 et par eux mêmes. (voir exercice) Ératosthène devint aveugle à la fin de sa vie. On raconte qu'il préféra se donner la mort (en se laissant mourir de faim) " ne pouvant plus admirer les étoiles "! Source principale : Questions : Quels étaient les «métiers» d Ératosthène? Qui est célèbre pour avoir montré que la terre était ronde? À quelle époque? Quel navigateur fit le premier le tour de la terre? A ton avis, existe-t-il encore des mathématiciens de nos jours? Peux-tu en citer un? Connais-tu d autres mathématiciens grecs?

5 Fiche élève : Piste 2 : tous les nombres n ont pas le même nombre de diviseurs. 7 a 2 diviseurs : 1 et 7 6 a 4 diviseurs : 1, 2, 3, 6 La taille du nombre ne donne donc pas son nombre de diviseurs mais il est bien pratique d avoir beaucoup de diviseurs. Voici deux unités de mesure d angle (on mesure ainsi l écartement entre deux droites) : Voici un rapporteur dont l unité est le grade. Le cercle est découpé en 400 grades. Voici un rapporteur dont l unité est le degré. Le cercle est découpé en 360 degrés. Comparons les découpages qui tombent juste : Découper le cercle en : En grade, est-ce que ça tombe juste? En degrés, est-ce que ça tombe juste? Trouve un autre système de mesure qui n est pas en base 10.