COURS ELECTROMAGNETISME Semestre 1

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1 COURS ELECTROMAGNETISME Semestre 1 V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 1 sur 62

2 Chapitre 1 LE CHAMP D INDUCTION MAGNETIQUE DANS LE VIDE I HISTORIQUE La pierre d aimant découverte dans l antiquité dans une région d Asie Mineure appelée Magnésie a la propriété naturelle d attirer le fer. Ce minerais de fer Fe 2 O 3 s est ainsi appelé Magnétite et ses propriétés physiques sont le magnétisme. Au XI ème siècle les marins chinois utilisaient les premières boussoles (des aimants flottants) pour s orienter. La première étude sur les aimants date de Elle est due à Pierre de Maricourt qui utilisa une aiguille magnétisée pour tracer les lignes de forces autour d une pierre aimantée sphérique. S apercevant que ces lignes se refermaient sur deux régions privilégiées de chaque côté de la sphère, il nomma ces deux régions les pôles par analogie avec les lignes de longitude de la terre. En 1600 William Gilbert émet l idée que la terre est un gigantesque aimant. En 1820, Le danois Hans Christian OERSTED découvre qu un courant produit un effet magnétique. II SPECTRE MAGNETIQUE D UN AIMANT 1 / EXPERIENCE 2 / LE CHAMP D INDUCTION MAGNETIQUE La notion de Champ s impose alors. En tout point, on peut définir une direction, un sens et une intensité à ce champ magnétique. V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 2 sur 62

3 N On remarque ainsi que le pôle Nord géographique de la terre est en fait actuellement un pôle Sud magnétique. Notons que le champ magnétique terrestre varie dans le temps (de la minute à plusieurs millions d années selon les causes) et s inverse. 3 / LIGNES DE CHAMP Sous l action du champ d induction magnétique les grains de limaille se transforment en petites boussoles qui s orientent parallèlement à. S alignant les uns derrière les autres, ils matérialisent les lignes de champ magnétique : dm M Produit vectoriel : 4 / LES POLES 2 régions privilégiées d où partent et arrivent les lignes de champ apparaissent sur le spectre. Ce sont les pôles. Les pôles ne sont pas des points précis, ces régions mal définies sont proches des extrémités du barreau aimanté. Un aimant brisé donne naissance à deux aimants et donc à 4 pôles. Le monopôle magnétique n existe pas. V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 3 sur 62

4 III CHAMP D INDUCTION MAGNETIQUE PRODUIT PAR DES CHARGES EN MOUVEMENT Au printemps 1820, Oersted découvre en plaçant une boussole sous un fil de cuivre parcouru par un courant qu un courant électrique produit un effet magnétique. 1 / CHAMP MAGNETIQUE PRODUIT PAR UN FIL RECTILIGNE INFINI I M Son expression est : champ d induction magnétique en Tesla créé par un fil rectiligne infini en un point M µ 0 perméabilité du vide = 4π 10 9 SI I courant traversant le circuit en A r distance du point considéré au centre O 2 / LOI DE IOT ET SAVART Cette loi donne l expression générale du champ magnétique d créé par un fil élémentaire de longueur dl parcouru par un courant I. Idl θ r R d M d doit être en 1/r 2 puisque l intégration ramène au cas du fil infini dont l expression de est en 1/R. On a d champ d induction magnétique en Tesla créé par un fil élémentaire en un point M µ 0 perméabilité du vide = 4π 10 9 I courant traversant le circuit en A r distance du point considéré au fil élémentaire Cette loi permet par intégration de calculer le champ d induction magnétique créé par n importe quelle forme de conducteur parcouru par un courant. V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 4 sur 62

5 3 / OINE CIRCULAIRE PLATE I Les sens des vecteur dessinés sur les lignes de champ sont donnés par la règle du tire bouchon. Au centre de la bobine on a : = µ 0 I / (2R) Pour une bobine comportant N spires, on a N nombre de spires R rayon de la bobine 4 / SOLENOIDE a) Spectre du solénoïde Les lignes de champ sont parallèles à l axe du solénoïde. Elles s orientent selon la règle du tire bouchon Le champ peut être considéré comme uniforme à l intérieur du solénoïde b) Force magnétomotrice V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 5 sur 62

6 c) Faces de l électroaimant I I d) Champ magnétique sur l axe du solénoïde M α 1 α 2 : Champ magn en M (Tesla) N : Nombre de spires L : longueur du solénoïde en m Ainsi à l extrémité d un très long solénoïde : Ainsi au centre d un très long solénoïde : En tout point à l intérieur d un solénoïde infiniment long : V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 6 sur 62

7 Chapitre 2 LE CHAMP D INDUCTION MAGNETIQUE DANS UN MILIEU FERROMAGNETIQUE I AIMANTATION INDUITE 1 / 1ère expérience I = 0 I 0 I 0 2 / 2 ème expérience Les matériaux ayant de telles propriétés sont dits ferromagnétiques : alliages à base de fer, cobalt, nickel. Les matériaux ferromagnétiques perdent leurs propriétés à température élevée. V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 7 sur 62

8 II COURE DE PREMIERE AIMANTATION On relève la courbe en fonction de NI / l (noté H) NI / l III EXCITATION MAGNETIQUE Pour la zone linéaire, on peut écrire : = µ r µ 0 NI / l Cette relation correspond au cas du solénoïde. On généralise cette relation entre et ce qui créé le champ magnétique en introduisant le vecteur excitation magnétique H. Ainsi on a : = µ r µ 0 H en Tesla (T) et H en A m -1 V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 8 sur 62 µ r : perméabilité relative du milieu fer doux : µ r = 1600 Acier au silicium : µ r = => obtention de champ magn intense à partir d une excitation faible

9 IV HYSTERESIS MAGNETIQUE On reprend le dispositif du II : Après avoir dans un premier temps augmenté I, on le diminue dans un second temps. On constate alors que la courbe d aimantation se dédouble : Lorsque i varie entre Imax et + Imax, on voit apparaître une courbe fermée appelée cycle d hystérésis. Champ magnétique rémanent qui subsiste alors que I = 0 Excitation coercitive : celle qu il faut appliquer pour annuler H Lorsque l amplitude I max des variations de I varie, le sommet du cycle se déplace sur la courbe de 1 ère aimantation. H Un milieu ferromagnétique subissant des cycles répétés s échauffe. L énergie calorifique dégagée est proportionnelle à l aire du cycle, à la fréquence et au volume du matériaux. Ce phénomène engendre des pertes de puissance appelées pertes par hystérésis. La puissance perdue par hystérésis par unité de volume est p h = k f max 2 Ainsi à 50 Hz, pour un acier doux dont la constante k = 100, la puissance perdue par hystérésis dans un champ magnétique variable d amplitude 1 Tesla sera de 5000 W/m 3. Les matériaux ferromagnétiques à cycle étroit sont ferromagnétiquement doux. Ceux à cycle large (forte aimantation rémanente) sont ferromagnétiquement durs. V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 9 sur 62

10 V- THEOREME D AMPERE 1 / CIRCULATION D UN VECTEUR a) Sur un élément dl de longueur d un contour On considère un vecteur A. L élément de longueur considéré étant petit, on considère que ce vecteur est constant (direction, sens et intensité). Par définition la circulation élémentaire dc du vecteur A sur l élément de longueur dl est : A dc = Rappel de Maths : Produit scalaire. dl On a donc dc = A θ A cos θ b) Sur un arc A n est pas constant le long de l arc MN. On calcule donc la circulation élémentaire et on fait la somme intégrale. N M A dl N N C = dc = A. dl M M Remarque : Si le contour est fermé, l intégrale est notée : V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 10 sur 62

11 2 / COURANTS ENLACES PAR UN CONTOUR On considère un certain nombre de conducteurs parcourus par des courants I 1 n I 2 I 3 On entoure ces conducteurs par un contour fermé orienté s appuyant sur une surface hachurée. Le vecteur unitaire n perpendiculaire à la surface est orienté selon la règle du tire bouchon. 3 / THEOREME D AMPERE H. dl = Σ I 4 / EXEMPLE Cas d un conducteur rectiligne infini parcouru par I placé dans le vide. Le contour doit être judicieusement choisi : forme symétrique simple. I On a d après le théorème d Ampère : = r Or H est constant le long du contour, d où : dl H D où le champ d induction magnétique : = µ 0 H = V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 11 sur 62

12 Chapitre 3 : ACTION D UN CHAMP MAGNETIQUE SUR DES PARTICULES CHARGEES EN MOUVEMENT I FORCE DE LORENTZ 1 / MISE EN EVIDENCE v Trajectoire de l e - si = 0 Trajectoire de l e - si non nul On considère un canon à électron. Le faisceau d électrons est accéléré et atteint la vitesse v. On applique un champ magnétique uniforme à l aide d électro-aimants dans la zône délimitée. Quand =0, l écran fluorescent montre le spot (pont d impact des e - ) en O. Quand non nul, le pont d impact se déplace en O. 2 / INTERPRETATION Les électrons sont déviés par l action du champ magnétique. Les électrons sont soumis à une force appelée force de Lorentz. 3 / FORCE DE LORENTZ Force subie par une particule de charge q se déplaçant à la vitesse v dans un champ magnétique : F = q v Cette force est perpendiculaire à v et Son sens suit la règle des 3 doigts de la main droite : qv pouce : qv index : majeur : F F Son intensité est : F = q v sin(q v, ) Comme sin(-x) = sin(x), on peut écrire sin(v,) dans la formule. V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 12 sur 62

13 II FORCE DE LAPLACE Considérons un petit morceau de conducteur de longueur dl parcouru par un courant électrique I. Ce conducteur est placé dans un champ magnétique uniforme. i e - v df e S Chaque électron en mouvement dans le conducteur subit une force de Lorentz : df e- = q e v Si n est le nombre d électrons par unité de volume, la force totale agissant sur l élément de conducteur de section S est : df = n S dl q e v Si l électron se déplace sur la longueur dl pendant une durée dt, on a v = dl/dt df = n S dl q e (dl / dt) = dq / dt dl d où l expression de la force de Laplace élémentaire : df = i dl Cette force est perpendiculaire à la direction du conducteur et au champ magnétique Son sens suit la règle des 3 doigts de la main droite : pouce : dl index : majeur : F dl F Son intensité est : df = i dl sin(dl, ) V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 13 sur 62

14 III CADRE MOILE 1 / FORCES DE LAPLACE I F 3 Un cadre rectangulaire mobile autour d un axe de rotation est parcouru par un courant I et placé dans un champ magnétique. F 1 I I F 2 I F 4 2 / MOMENT DU COUPLE Vue de dessus : I θ M F 2 O θ n I M F 1 θ l 1 I F 2 l 2 F 1 I Surface du cadre : S = l 1 l 2 Le moment du couple est : Forces de Laplace : Avec N spires : 3 / MOMENT MAGNETIQUE Le moment magnétique est définit par : On peut donc écrire : M = N I S n C = M M en A m 2 C en N m en T V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 14 sur 62

15 IV FLUX MAGNETIQUE Dans un champ magnétique uniforme, le flux du champ magnétique à travers une surface dépend de la projection de la surface perpendiculairement aux lignes de champ. ds n ds θ n ds n Flux maximum Flux plus petit Flux nul La surface apparente est définie par : ds cos θ Le vecteur surface est : ds = ds n Le flux élémentaire à travers une surface élémentaire est définit par : en T ds en m 2 dϕ en Weber Wb Propriété du Flux magnétique : Le flux magnétique est conservatif : il garde la même valeur à travers toutes les sections d un même circuit magnétique. Si S diminue, augmente V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 15 sur 62

16 I LES PHENOMENES Chapitre 4 : INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE S N fem fem fem ROTATION TRANSLATION fem Attention : une force électromotrice n est pas une force mécanique en Newton, mais une tension en Volts. II LA LOI DE FARADAY Selon les cas nous avons : - une variation de champ d induction magnétique - un balayage de surface donc un flux coupé - une variation de surface du conducteur Variation de flux : ( Φ =. S ) Fem induite : e = - d Φ / dt V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 16 sur 62

17 III LOI DE LENZ 1 / ENONCE 2 / EXEMPLES S i N fem i fem fem fem 3 / POURQUOI? Si la loi de Lenz était contraire, - i renforcerait => augmentation du flux => e augmente => i augmente etc - La force de Laplace induite renforce l action extérieure => accélération augmentation énergie cinétique Ce serait incompatible avec le principe de conservation de l énergie. V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 17 sur 62

18 IV APPLICATIONS 1 / MACHINE A COURANT CONTINU Fonctionnement en moteur : Une spire mobile autour d un axe, parcourue par un courant est placée dans un champ magnétique. Il apparaît un couple de forces de Laplace provoquant la rotation de la spire (a). Il est nécessaire que le courant s inverse dans les conducteurs après passage de l axe de symétrie pour que le sens de rotation ne s inverse pas! Le flux à travers la spire varie donc il apparaît à ses bornes un fem induite qui s oppose à la circulation du courant I (force contre électromotrice). Fonctionnement en génératrice : On fait tourner une spire autour d un axe dans un champ magnétique. Le flux à travers cette spire variant, il apparaît à ses bornes une fem induite (engendrant la circulation d un courant induit lorsque le circuit est fermé). La fem s oppose à la variation de flux : le courant induit provoque l apparition d un couple de forces de Laplace résistant. 2 / MACHINE A COURANT ALTERNATIF Génératrice : Alternateur Un électroaimant tourne à l intérieur d une spire. La spire est donc soumise à un champ magnétique variable de façon quasi sinusoïdal. Elle subit donc une variation de flux engendrant une fem induite également quasi sinusoïdale. 3 / TRANSFORMATEUR Le champ magnétique variable de façon sinusoïdal créé par le bobinage primaire est canalisé par le circuit magnétique. La bobine secondaire est soumise à un champ magnétique variable et subit donc une variation de flux également sinusoïdale. Il apparaît donc à ses bornes une fem induite sinusoïdale. V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 18 sur 62

19 4 / COURANTS DE FOUCAULT Un volume métallique V est soit : - mobile dans un champ magnétique constant - fixe dans un champ magnétique variable. Le volume peut être considéré comme constitué d un grand nombre de petites boucles de courant C. Ces boucles sont soumises à des variations de flux et donc sont parcourues par des courant induits dits courants de Foucault. Freinage par courant de Foucault Une portion d un disque en rotation est plongée dans un champ magnétique. Le segment PQ de la boucle de courant coupe le flux donc est le siège d une fem induite s opposant à la rotation : le courant induit de Foucault crée une force de Laplace résistante. Le disque freine. Principe du moteur asynchrone Un aimant tourne devant un disque. Les courants de Foucault induits tendent à créer des forces de Laplace s opposant à la variation de flux : le disque va suivre la rotation de l aimant avec un certain décalage angulaire (glissement). Les courants de Foucault provoquent par effet joule un échauffement des pièces métallique dans lesquelles ils circulent, engendrant ainsi des pertes de puissance (pertes fer). Pour limiter l intensité de ces courant, on augmente la résistance électrique des pièces métalliques en les feuilletant (tôles vernies empilées) et en utilisant de l acier au Silicium dont la résistivité est plus élevée. Plaque de cuisson à induction : La plaque crée un champ magnétique variable. Les courant de Foucault circulant dans le fond de la casserole provoquent l échauffement de celleci. La casserole doit évidemment être métallique et de faible résistivité. V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 19 sur 62

20 Chapitre 5 PHENOMENE D AUTOINDUCTION I FLUX PROPRE Soit un circuit électrique constitué d une boucle parcourue par un courant i. Il en résulte un champ magnétique créé par cette spire. i Lignes de champ créé par la spire Surface s appuyant sur le contour de la spire Définition du flux propre : II AUTOINDUCTION 1 / RAPPEL DU PHENOMENE D INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE On a vu au chapitre précédent que le phénomène d induction électromagnétique est : L apparition d une fem induite aux bornes d un circuit subissant une variation de flux à travers sa surface. Cette fem s oppose par ses effets à la cause qui lui donne naissance. 2 / AUTOINDUCTION extérieur variable i fem induite Créé par le circuit considéré Source de tension extérieure Induction électromagnétique Auto-induction : si i varie!!! V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 20 sur 62

21 3 / EXEMPLE : CAS DU SOLENOIDE, établissement du courant Initialement, K est ouvert, donc i = 0. Quand on ferme l interrupteur K : K e < Comment se manifeste ce phénomène? On retient que dans un circuit inductif, le courant s établit progressivement Remarque : i(t) e(t) t t Etablissement du courant dans un circuit inductif V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 21 sur 62

22 4 / EXEMPLE : CAS DU SOLENOIDE, rupture du courant Initialement, K est fermé, donc i = Imax. Quand on ouvre l interrupteur K : K e >> Comment se manifeste ce phénomène? On retient qu il ne faut jamais couper brutalement le courant dans un circuit inductif i(t) t e(t) Danger!! t Etablissement et rupture du courant dans un circuit inductif V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 22 sur 62

23 Le remède : La diode de roue libre On place une diode en parallèle et dans le bon sens pour court-circuiter cette fem induite lors de la coupure du courant : K + - III INDUCTANCE PROPRE D UNE OINE 1 / DEFINITION Soit une bobine sans noyau, de longueur l de section S comprenant N spires. Flux propre à travers une spire : ϕ s = est créé par i : = Flux propre à travers une spire : ϕ s = Flux propre à travers l ensemble de la bobine : ϕ = Le coefficient de proportionnalité entre ϕ et i est appelé inductance propre de la bobine. Noté L, il s exprime en Henry (H) et L = µ 0 N 2 S/ l 2 / INDUCTANCE PROPRE ET FEM AUTO-INDUITE Fem induite aux bornes d une spire : e = - dϕ s /dt Fem totale induite aux bornes de la bobine : 3 / MODELE EQUIVALENT D UNE OINE i i r e = - L di/dt u L u L V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 23 sur 62

24 IV OINE EN REGIME SINUSOIDAL 1 / FEM INDUITE, FORMULE DE OUCHEROT ~ Une bobine (N spires, section S) est reliée à un générateur de tension sinusoïdal. Le courant et donc le flux magnétique sont donc sinusoïdaux : I = I m sin ωt et φ = φ m sin ωt La fem induite autoinduite est donc : e = - N dφ/dt = La fem autoinduite est sinusoïdale et déphasée de -π/2 par rapport au flux. φ E La valeur efficace de le fem autoinduite est : Formule de oucherot : 2 / MODELE EQUIVALENT EN REGIME SINUSOIDAL a) Modèle série i i I r r u u U jlω e = - L di/dt Régime quelconque Régime Sinusoïdal Modèle Série «onne» bobine : r faible par rapport à Lω donc Q >> 1 V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 24 sur 62

25 b) Modèle parallèle Régime Sinusoïdal i I r I u jlω U r p jl p ω U Modèle Série Modèle Parallèle C est la même «onne bobine» donc Q >> 1 Donc r p >> L p ω et r p >> r Q = r p / L p ω facteur de qualité (modèle //) c) Relations entre les deux modèles (voir TD électricité) Il s agit d une seule et même bobine représentée différemment. On a donc nécessairement égalité des admittances (ou des impédances) des deux modèles. 1 / ( r + jlω ) = [ 1/r p + 1 / jl p ω ] En identifiant les parties réelles et parties imaginaires des deux membres de cette équation, on obtient les relations entre les deux modèles : r p = r ( 1 + Q 2 ) L p = L ( 1 + (1/Q 2 ) ) Q = Lω / r = r p / (L p ω) Si Q >> 1 «bonne bobine» L p = L r p = Q 2 r V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 25 sur 62

26 V ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE 1 / Puissance instantanée On sait que : u = ri + L di/dt La puissance instantanée est : p(t) = u(t) i(t) = r i 2 + L i di/dt 2 / Energie mise en jeux pendant dt dw = r i 2 dt + L i (di/dt) dt = r i 2 dt + L i di dw e : énergie électromagnétique 3 / Energie totale pour une variation du courant de 0 à I W e = L i di 0 I Quand I augmente : Cette énergie est dépensée par le générateur (fournie à la bobine) pour vaincre l opposition de la fem autoinduite (Loi de Lenz). Cette énergie est nécessaire pour créer le champ magnétique de la bobine. D où son nom d énergie électromagnétique localisée dans tout l espace où existe le champ magnétique. Quand I diminue : Cette énergie est restituée au reste du circuit : - étincelle lors d une coupure brutale - échauffement de la résistance lors d une coupure moins brusque V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 26 sur 62

27 I RAPPELS Chapitre 6 COURANTS MONOPHASES Soit un dipôle alimenté par un générateur de tension sinusoïdal. U I Z 1 / Caractéristiques des signaux Expressions instantanées : i(t) = I m sin (ωt + ϕ 1 ) u(t) = U m sin (ωt + ϕ 2 ) Valeurs maximales ou amplitudes : U m et I m Valeurs efficaces (valable que pour des signaux sinusoïdaux) : U = U m / 2 et I = I m / 2 (Quand ambiguïté on note U eff et I eff ) Phases à l origine : ϕ 1 pour i(t) et ϕ 2 pour u(t) Déphasage de u par rapport à i : ϕ u/i = ϕ 2 - ϕ 1 Pulsation : ω (en rad.s -1 ) Fréquence (en Hz): f = ω / 2π Période (en s) : T = 1/f 2 / Représentation de Fresnell et représentation complexe Prenons l exemple de u(t) = U m sin (ωt + ϕ 2 ) Pour une fréquence donnée, deux grandeurs caractérisent le signal : Um et ϕ 2. On peut ainsi représenter ce signal à l aide d un vecteur : le vecteur de Fresnell. U eff ϕ 2 Référence de phase On peut aussi associer un nombre complexe au signal et au vecteur de Fresnell : Le nombre complexe est noté U Sous sa forme trigonométrique : U = ( Val efficace ; Phase à l origine ) U = (U eff ; ϕ 2 ) V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 27 sur 62

28 3 / Loi d Ohm En régime sinusoïdal, on peut utiliser la représentation complexe. La relation entre U et I pour le dipôle s écrit : U = Z I Z est l impédance complexe : Z = U / I Module : Z = U eff / I eff Argument : arg(z) = ϕ u/i 4 / Résistance Réactance Z peut se mettre sous la forme algébrique : Z = R + j X Ré(Z) est une résistance (en Ω) et Im(Z) est une réactance (en Ω) Y = 1/Z est l admittance. 1/R est une conductance (Siemens ou Ω -1 ). 1/X est une suceptance (Siemens ou Ω -1 ) 5 / Exemples de Dipôles Résistance pure : Z = R ϕ u/i = 0 => Z = R purement réelle U I Inductance parfaite : Z = Lω ϕ u/i = π/2 => Z = jlω purement imaginaire U I Condensateur parfait : Z = 1/Cω ϕ u/i = -π/2 => Z = -j/cω = 1/jCω Im pur U I Dipôle Inductif : Z = R + jx avec X = L ω > 0 Z = (R 2 + X 2 ) ϕ u/i = tan -1 (X/R) > 0 U ϕ u/i RI XI I Dipôle Capacitif : Z = R + jx avec X = -1/ Cω < 0 Z = (R 2 + X 2 ) ϕ u/i = tan -1 (X/R) < 0 RI I U ϕ u/i XI V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 28 sur 62

29 II PUISSANCES EN REGIME SINUSOIDAL 1 / PUISSANCE INSTANTANEE Par définition : avec i(t) = I m sin ωt u(t) = U m sin (ωt + ϕ u/i ) Représentation graphique : Simulation pour Um = 2V et Im = 1,5 A P UISSANCE INSTANTANEE 2,5 2 1,5 obine ϕ = ,5 0-0, ,01 0,02 0,03 0,04 0,05 i u p P -1,5-2 -2,5 t(s) P UISSANCE INSTANTANEE Inductif ϕ = 60 2,5 2 1,5 1 0,5 0-0,5-1 -1,5-2 -2,5 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 t(s) p(t) > 0 Dipôle consommateur d énergie i u p P p(t) < 0 Dipôle «restitueur» d énergie P UISSANCE INSTANTANEE 4 3 Résistif ϕ = ,01 0,02 0,03 0,04 0,05 i u p P -2-3 V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 29 sur 62 t(s)

30 P UISSANCE INSTANTANEE 2,5 2 1,5 Capacitif ϕ = ,5 0-0, ,01 0,02 0,03 0,04 0,05 i u p P -1,5-2 -2,5 t(s) P UISSANCE INSTANTANEE 2,5 2 1,5 Condensateur ϕ = ,5 0-0, ,01 0,02 0,03 0,04 0,05 i u p P -1,5-2 -2,5 t(s) 2 / PUISSANCE MOYENNE OU PUISSANCE ACTIVE P = (2/T) 0 T/2 p(t) dt = S exprime en Watt obine parfaite : P = 0 Inductif : P > 0 => Puissance consommée par la partie résistive du dipôle. Résistif : P > 0 Capacitif : P > 0 => Puissance consommée par la partie résistive du dipôle. Condensateur : P = 0 En conclusion : Puissance active consommée par un dipôle Z = R + j X : Un dipôle passif ne peut pas présenter une puissance active P < 0 car il est forcément en moyenne consommateur d énergie. Une puissance P<0 signifie que le dipôle fournit de l énergie au reste du circuit, il est ou se comporte comme un générateur. C est par exemple le cas des dipôles actifs (transistor, ampli op) qui peuvent fonctionner en générateur. V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 30 sur 62

31 III LE WATTMETRE Le wattmètre sert à mesurer la puissance active consommée par un récepteur. 1 / LE SYMOLE i W u 2 / CONSTITUTION Calibres d intensité Calibres tension Le wattmètre comporte deux circuits distincts : Un circuit «gros fil» parcouru par le courant, branché en série avec le récepteur, comme un ampèremètre. Un circuit «fil fin», circuit tension, branché en parallèle sur le récepteur, comme un voltmètre. Chacun de ces circuits est protégé par un fusible. 3 / MESURE On dispose à la fois de calibres tension et de calibres intensité. L appareil mesurant la puissance active P = U eff I eff cosφ, pour U eff et I eff donnés, la déviation de l aiguille dépend de cosφ. L aiguille dévie à pleine échelle quand : U eff mesurée = U cal la tension du calibre I eff mesurée = I cal le courant du calibre et cosφ = 1 Cela correspond à une puissance active de U cal I cal V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 31 sur 62

32 Si l aiguille dévie de N graduations, sur un appareil de N tot graduations au total, la mesure réalisée est : P mesuré = N U cal I cal / N tot Exemple : Calibres 240 V et 5 A soit 240*5 = 1200 W pleine échelle Le nombre total de graduations est de 120. Soit 1200/120 = 10 W / graduation L aiguille dévie de 40 graduations, donc : P mesurée = 40 * 240*5 / 120 = 400 W Attention : Même si Ueff et Ieff sont proches des valeurs des calibres sélectionnés, la déviation de l aiguille reste faible si cosφ est faible. On ne peut cependant pas utiliser des calibres inférieurs cela détériore l appareil! III RANCHEMENT DU WATTMETRE Montage courte dérivation Montage longue dérivation i W i W Montage courte dérivation V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 32 sur 62

33 Procédure de mesure : - Placer un ampèremètre en série avec le circuit «gros fil» - Placer un voltmètre en parallèle sur le circuit fil fin - Régler chaque appareil sur les calibres les plus élevés Attention, le fusible du circuit tension du wattmètre coûte environ 10 euros pièce - Adapter les calibres des différents appareils selon les valeurs mesurées. Si l aiguille dévie du mauvais côté, inverser le sens de branchement du circuit fil fin. IV PUISSANCES APPARENTE ET REACTIVE 1 / PUISSANCE APPARENTE Définition Ce n est pas une puissance reçue par le dipôle, c est pourquoi on ne l exprime pas en Watt. On remarque que P = S cos ϕ u/i S est donc la puissance active maximale que pourrait consommer le dipôle si le déphasage ϕ u/i était nul. La puissance des transformateurs ou alternateurs est souvent donnée en VA en faisant le produit des valeurs nominales : valeurs optimales pour lesquelles est fabriquée la machine. Par exemple : Transfo de 250 kva. C est une caractéristique de construction, la puissance débitée par le transfo dépendra du circuit qu il alimente! 2 / PUISSANCE REACTIVE Définition On a ainsi : S = (P 2 + Q 2 ) tan ϕ u/i = Q/P cos ϕ u/i = P/S obine parfaite : Q > 0 Inductif : Q > 0 => Puissance consommée par la partie réactive du dipôle. Résistif : Q = 0 Capacitif : Q < 0 => Puissance restituée par la partie réactive du dipôle. Condensateur : Q < 0 En conclusion : V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 33 sur 62

34 Puissance réactive pour un dipôle Z = R + j X : Une puissance Q>0 signifie que le dipôle consomme est inductif, il consomme de la puissance réactive destinée à créer le champ magnétique dans l inductance. Une puissance Q<0 signifie que le dipôle est capacitif, il restitue de la puissance réactive. V THEOREME DE OUCHEROT VI FACTEUR DE PUISSANCE 1 / DEFINITION U I Z Z = R + jx cos ϕ u/i est appelé facteur de puissance du récepteur. On remarque que cos ϕ u/i diminue quand ϕ u/i augmente, c est à dire quand la réactance augmente par rapport à la résistance. 2 / IMPORTANCE DU FACTEUR DE PUISSANCE Les installations industrielles sont souvent inductives à cause des bobinages des moteurs des machines. La puissance réactive consommée augmente et cosϕ u/i diminue. Cela coûte cher à la société de distribution de l électricité qui ne facture à priori que la puissance active consommée. V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 34 sur 62

35 Pertes joules en ligne : Elles augmentent quand cosϕ u/i diminue. U I Z récepteur inductif Le remède est de redresser le facteur de puissance en plaçant en parallèle sur l installation des condensateurs qui redonnent de la puissance réactive au réseau et permettent d augmenter le cosϕ u/i. 3 / CALCUL DE LA CAPACITE Un récepteur inductif alimenté sous U consomme une puissance active P. L intensité du courant qu il absorbe est I. On place un condensateur en parallèle sur le récepteur afin d augmenter le facteur de puissance. Soit cos ϕ le nouveau facteur de puissance désiré et I le nouveau courant absorbé qui en découle. On peut alors faire le bilan des puissances et appliquer le théorème de oucherot : Puissances réactives Puissances actives Charge R, L Q = UI sin ϕ = P tanϕ P C seul Q c = - U 2 Cω P c = 0 Charge R, L + C en // Q = UI sinϕ P = UI cosϕ On a : U I sinϕ = P tanϕ - Cω U 2 et : UI cosϕ = UIcosϕ => I = I cosϕ/cosϕ donc : U(I cosϕ/cosϕ ) sinϕ = P tanϕ - Cω U 2 P tanϕ = P tanϕ - Cω U 2 C = P (tanϕ - tanϕ ) / ( ω U 2 ) V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 35 sur 62

36 Chapitre 7 INDUCTANCE MUTUELLE I - DEFINITION Considérons deux circuits filiformes indéformables : 1 2 M est l inductance mutuelle des deux circuits. Contrairement à l inductance propre, M dépend de l orientation : II - FLUX Pour chaque circuit, on a ϕ = ϕ p + ϕ ext Donc : ϕ 1 = ϕ p1 + ϕ 2->1 et ϕ 2 = ϕ p2 + ϕ 1->2 = L 1 i 1 + M i 2 = L 2 i 2 + M i 1 III - FEM INDUITES e 1 = - L 1 di 1 /dt - M di 2 / dt e 2 = - L 2 di 2 /dt - M di 1 / dt Couplage magnétique IV - LOI D OHM GENERALISEE V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 36 sur 62

37 I INTRODUCTION Chapitre 9 LE TRANSFORMATEUR 1 / ROLE DU TRANSFORMATEUR 2 / CONSTITUTION Récepteur Générateur Ceci est un schéma de principe. En réalité les deux enroulements sont imbriqués pour un meilleur couplage magnétique et une réduction des fuites magnétiques. Le circuit magnétique est constitué d un empilement de tôles isolées entre elles (feuilletage) afin de réduire les pertes magnétiques dues aux courants de Foucault. Le dispositif est placé dans l air ou dans un bain d huile pour en assurer le refroidissement. 3 / SYMOLE V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 37 sur 62

38 4 / PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT Tension primaire U 1 sinusoïdale 5 / ORNES HOMOLOGUES I 1 I 2 I 1 U 1 U 2 U 1 U 2 I 2 I 1 donne l orientation de ϕ. ϕ donne l orientation de I 2. La borne du secondaire homologue à la borne primaire est celle par laquelle entre le courant Propriété : Tout courant entrant par deux bornes homologues tendent à produire des flux de même sens. II MODELISATION DU TRANSFORMATEUR 1 / LE SCHEMA EQUIVALENT Tranfo parfait I 1 r 1 l1 I 2 r 2 l2 U R f L 1p e 1 1 U 2 e 2 V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 38 sur 62

39 2 / SIGNIFICATION DES ELEMENTS a) Résistances R 1 et r 2 sont les résistances des enroulements primaires et secondaires. Elles provoquent l échauffement des bobinages et donc des pertes par effet joule : p j = r1 I r 2 I 2 2 b) Répartition des flux U 1 I 1 ϕ f1 ϕ 1 obinage primaire seul : La fmm N 1 i 1 crée un flux ϕ 1 qui se divise en ϕ f1 et ϕ 1 ϕ 1 = ϕ 1 I 2 obinage secondaire seul : La fmm N 2 i 2 crée un flux ϕ 2 qui se divise en ϕ f2 et ϕ 2 ϕ 2 U 2 ϕ 2 = ϕ f2 Ce flux. au flux ϕ 1 car il est créé par le courant induit i 2 ϕ 2 Flux résultants en charge : Avec les deux bobinages : ϕ = I 1 I 2 U 1 U 2 ϕ r1 ϕ r2 ϕ f1 ϕ f2 ϕ ϕ r1 = ϕ r2 = Ce qui donne : ϕ r1 = ϕ r2 = V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 39 sur 62

40 c) Inductances de fuites Au flux de fuites, on associe des inductances de fuites : l 1 = N 1 ϕ f1 / I 1 l 2 = N 2 ϕ f2 / I 2 d) Inductance principale Elle est associée au flux canalisé par le circuit magnétique. Elle est définie par : L 1p = N 1 ϕ / I 1 e) Modélisation des pertes fer Les pertes fer sont modélisées par la résistance R f. A cause d elles, le courant I 1 n est pas déphasé de 90 par rapport à la fem induite dans l enroulement primaire. I 1a I 1 = I 1a + I 1r E 1 Courant actif Courant réacitf magnétisant I 1r I 1 Pertes fer : E 1 I 1a = R f I 1a 2 => R f = E 1 / I 1a Rf ainsi déterminée est valable pour ω donnée car les pertes fer dépendent de la pulsation de la tension primaire, généralement fixe (f = 50 Hz). Cette détermination dépend également de la valeur efficace de U 1. En effet la courbe ϕ (i) n est pas linéaire à cause de la saturation du circuit magnétique. 3 / EQUATIONS ELECTRIQUES Grandeurs instantanées Notation efficace complexe Fem induites : e 1 = e 2 = Rapport de transformation : m = e 2 / e 1 = V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 40 sur 62

41 III TRANSFORMATEUR A VIDE 1 / EQUATIONS ELECTRIQUES A VIDE On a alors I 2 = 0. Les équations électriques deviennent : Puissance absorbée : P 1v très petite. En conséquence, le courant absorbé au primaire est faible. On le notera I 1v. I 1v << I 1 n nominal : utilisation normale. On a alors U 1 E 1v (en valeur efficace) 2 / RAPPORT DE TRANSFORMATION Par suite le rapport de transformation devient : Cette approximation est pratique expérimentalement car on ne peut ne peut acceder aux fem induites. 3 / PUISSANCES MISES EN JEU A VIDE P 1V = U 1 I 1v cos ϕ 1v = + pertes joules a vide + pertes fer Q 1V = U 1 I 1v sin ϕ 1v = + pertes magnétiques (fuites) + puissance magnétisante Approximation : P 1v pertes fer et Q 1v puissance magnétisante. IV COMPARAISON DES FLUX EN CHARGE ET A VIDE 1 / FLUX RESULTANT A VIDE ET EN EN CHARGE A vide I 2 = 0 Le flux canalisé par le circuit magnétique ϕ v = est dû uniquement à la fmm En charge : I 2 0 Le flux canalisé par le circuit magnétique est dû aux fmm ϕ = avec ϕ 2 qui s oppose à ϕ 1 V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 41 sur 62

42 On peut écrire les lois d Hopkinson en faisant apparaître la réluctance R du circuit magnétique : N 1 i 1v = R ϕ 1v N 1 i 1 + N 2 i 2 = R ϕ Le flux en charge est légèrement plus faible qu à vide, mais on néglige cette petite différence : N 1 i 1 + N 2 i 2 = R ϕ Ζ R ϕ 1v = N 1 i 1v Ainsi on peut écrire : En notation complexe : N 1 i 1 + N 2 i 2 = N 1 i 1v N 1 I 1 + N 2 I 2 = N 1 I 1v C est l équation des ampères-tours V HYPOTHESE DE KAPP 1 / HYPOTHESE DE KAPP On néglige le courant primaire à vide : I 1v << I 1 => On néglige les pertes fer. 2 / EQUATION DES AMPERES TOURS En notation complexe : N 1 I 1 + N 2 I 2 = 0 m = N 2 / N 1 - U 2v / U 1 = - I 1 / I 2 3 / SCHEMA EQUIVALENT Tranfo parfait I 1 r 1 l1 I 2 r 2 l2 e 1 U 1 U 2 e 2 Equations électriques : V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 42 sur 62

43 4 / EQUATIONS RAMENEES AU SECONDAIRE On a vu que : I 1 = - m I 2 ; U 2v = - m U 1 et E 2 = m E 1 D où : - E 2 = - U 2 - r 2 I 2 - j l 2 ω I 2 L Equation électrique s écrit finalement : Avec : R s = r 2 + m 2 r 1 et X s = ( l 2 + m 2 l 1 ) ω Le schéma équivalent ramené au secondaire devient : I 1 I 2 R s X s U 1 E 1 U 2v U 2 Chute de tension en charge : U 2v U 2 ϕ 2 R s I 2 X s I 2 U 2v U 2 K H ϕ 2 ϕ 2 A I 2 I 2 V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 43 sur 62

44 5 / DETERMINATION EXPERIMENTALE DES ELEMENTS DU MODELE EQUIVALENT a) Détermination de m par essai à vide m Ζ U 2v / U 1 (val eff) Il suffit de mesurer à l aide d un voltmètre en AC la valeur efficace de la tension secondaire à vide et celle de la tension primaire, puis de calculer le rapport des deux. La puissance consommée par le transformateur correspond alors au pertes fer : P 1v = p fer b) Détermination de Rs et Xs par essai en court circuit Attention : cet essai est réalisé sous tension primaire réduite!!! sinon I 2CC >> I 2nominal => le tranfo fume I 1cc I 2cc R s X s U 1cc réduite E 1 U 2v = - mu 1cc U 2 = 0 La puissance absorbée par le transformateur est alors : P 1cc = R1 I 1cc 2 + p fer cc + R 2 I 2cc 2 = R1 (mi 2cc ) 2 + R 2 I 2cc 2 = (m 2 R 1 + R 2 ) I 2cc 2 Négligeable car sous tension primaire réduite = Rs I 2cc 2 Ainsi, on déduit Rs de la mesure de la puissance absorbée lors d un essai en court-circuit sous tension réduite : L équation électrique du secondaire donne : On peut donc déduire Xs : Pythagore donne : X s = - mu 1cc Rs I 2cc Xs I 2cc c) Rendement Le rendement du transformateur peut alors être calculé pour un fonctionnement normal : η = U 2 I 2 cos ϕ 2 / ( U 2 I 2 cos ϕ 2 + pertes fer + R s I 2 2 ) V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 44 sur 62

45 Chapitre 10 LE TRIPHASE I TENSIONS SIMPLES Le tableau d arrivée d une alimentation triphasée comporte 4 bornes : 1,2,3 et N. Les bornes 1,2 et 3 sont reliées aux fils de phase. La borne N est reliée au fil neutre. Cela permet de définir trois tensions appelées tensions simples (notées V 1, V 2 et V 3 entre chaque phase et la masse. Les chronogrammes de ces trois tensions simples sont les suivants : On constate que chaque tension simple est en retard de 2π/3 par rapport à la précédente. Ce qui permet de tracer le diagramme de Fresnell : V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 45 sur 62

46 On peut écrire les relations instantanées suivantes : On constate qu à chaque instant : v 1 + v 2 + v 3 = 0 : le système triphasé est dit équilibré. II TENSIONS COMPOSEES Ce sont les tensions entre deux fils de phase. Ainsi, à chaque instant : u 12 = v 1 v 2 D ou la relation Le diagramme de Fresnell complet a l allure suivante : On peut écrire les expressions instantanées suivantes : u 12 = U m sin (ωt + π/6) u 23 = U m sin (ωt - π/2) u 31 = U m sin (ωt - 7π/6) On remarque que le système des tensions composées constituent également un système triphasé équilibré : à chaque instant leur somme est nulle. Réseau EDF : V = 220 V entre phase et neutre (installation domestique) U = = 380 V entre phases (installations industrielles). V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 46 sur 62

47 III COUPLAGE ETOILE 1 / Récepteur symétrique Le diagramme de Fresnell présente l allure suivante : Chaque phase du récepteur est soumise à une tension simple. Le système d alimentation est triphasé équilibré. Si les trois phases du récepteurs sont identiques, il est dit symétrique. Le système des courants est alors un système triphasé équilibré et : i 1 + i 2 + i 3 = i N = 0 Chaque tension simple est déphasée de ϕ par rapport au courant dans la phase considérée. Ce déphasage est apporté par l impédance Z de la phase. i 1 = I m sin (ωt - ϕ) i 2 = I m sin (ωt -2π/3 - ϕ) i 3 = I m sin (ωt -4π/3 - ϕ) 2 / Récepteur dissymétrique Le système d alimentation est triphasé équilibré. Si les trois phases du récepteurs sont différentes, il est dit dissymétrique. Les déphasages tension-courant pour chaque phase et les valeurs efficaces des courants sont différents. Le système triphasé de courant n est plus équilibré. On a alors : i 1 + i 2 + i 3 = i N 0 V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 47 sur 62

48 IV COUPLAGE TRIANGLE 1 / Récepteur symétrique Chaque phase du récepteur est soumise à une tension simple. Le système d alimentation est triphasé équilibré. Si les trois phases du récepteurs sont identiques, il est dit symétrique. Chaque courant de ligne i peut être exprimé en fonction des courant circulant dans les phases du récepteur. On peut écrire : i 1 = j 12 j 31 i 2 = j 23 j 12 i 3 = j 31 j 23 D où la représentation de Fresnell suivante : Les courants de ligne i 1, i 2, i 3 constituent un système triphasé équilibré. Les valeurs efficaces des courants dans les lignes et dans les phases du récepteur sont reliées par la relation : I = J 3 2 / Récepteur dissymétrique Les trois phases du récepteur sont différentes. Il faut à partir des tensions composées, déterminer les courants dans les phases du récepteur et en déduire les courant dans les lignes. V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 48 sur 62

49 V PUISSANCES EN TRIPHASE 1 / Récepteur en étoile On a : P = 3 P 1 = 3 VI cos ϕ = 3 (U/ 3) I cos ϕ => P = 3 UI cosϕ De même : Q = 3 UI sin ϕ 2 / Récepteur en triangle On a : P = 3 P 1 = 3 UJ cos ϕ = 3 U (I/ 3) cos ϕ => P = 3 UI cosϕ De même : Q = 3 UI sin ϕ 3 / En conclusion Dans tous les cas : P = 3 UI cosϕ Q = 3 UI sin ϕ => S = 3 UI Avec : U tension entre phase de la ligne I courant dans la ligne ϕ déphasage apporté par une phase du récepteur V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 49 sur 62

50 IUT ELFORT MONTELIARD Dpt Mesures Physiques TD ELECTROTECHNIQUE n 1 Avec l aide du cours, faire une fiche faisant apparaître les points essentiels du chapitre 1 et les formules accompagnées de leurs conditions d application. Exercice 1 Champ magnétique créé par un fil rectiligne parcouru par un courant I. I θ 1 θ R 2 M En utilisant la loi de iot et Savart, on souhaite exprimer le champ magnétique créé au point M situé à la distance R du fil. dl -x O 1 / Exprimer le champ magnétique d créé par un élément de longueur dl en fonction de dl et θ. r θ R 2 / La position de dl étant repérée par l abscisse x, exprimer dl en fonction de θ. M 3 / En déduire d en fonction de la seule variable θ. (I et R interviennent comme constantes du problème). 4 / En déduire l expression de en fonction de θ 1 et θ 2. Exercice 2 Spire circulaire parcourue par un courant I dl I α M dl R 1 / Sur la figure ci-dessus, représenter les vecteurs d et d créés par les éléments de longuer dl et dl du fil. 2 / Que peut-on dire du vecteur champ magnétique d quand l élément de longueur décrit la spire? En déduire la direction du champ magnétique résultant. V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 50 sur 62

51 3 / Exprimer le champ magnétique élémentaire d créé par dl et sa projection sur l axe de la spire. 4 / En déduire l expression du champ magnétique total au point M. 5 / Exprimer le champ magnétique au centre de la boucle. Exercice 3 Champ magnétique sur l axe d un solénoïde de rayon R, comportant N spires uniformément réparties sur une longueur L. 1 / Exprimer le nombre de spires dn que comporte un élément de longueur dx du solénoïde. dx P α R 0 x 2 / Exprimer le champ magnétique d créé au point P par les dn spires. 3 / En déduire l expression du champ magnétique au point P en fonction de α 1 et de α 2. P α 1 α 2 V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 51 sur 62

52 IUT ELFORT MONTELIARD Dpt Mesures Physiques TD ELECTROTECHNIQUE n 2 Avec l aide du cours, faire une fiche faisant apparaître les points essentiels du chapitre 2 et les formules accompagnées de leurs conditions d application. Exercice 1 Fil conducteur rectiligne infini Utiliser le théorème d Ampère pour exprimer le champ magnétique créé par un conducteur rectiligne infini en un point M situé à une distance R du fil. Exercice 2 obine torique On considère un tore en matériaux ferromagnétique sur lequel est enroulé un bobinage constitué de N spires. Soit R le rayon moyen du tore. Exprimer le champ magnétique à l intérieur du tore en appliquant le théorème d Ampère. Exercice 3 Solénoïde infini On considère un solénoïde sans noyau, comportant n spires par unité de longueur. En utilisant le théorème d Ampère, exprimer le champ magnétique à l intérieur du solénoïde. IUT ELFORT MONTELIARD Dpt Mesures Physiques V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 52 sur 62

53 TD ELECTROTECHNIQUE n 3 Exercice 1 Mouvement d une particule chargée dans un champ magnétique On considère une particule de charge q et de masse m est placée dans un champ magnétique uniforme et animée d une vitesse initiale v 0. v 0 q 1 / Déterminer les caractéristiques de la force agissant sur cette particule. 2 / Justifier le type de trajectoire suivie par la particule, on négligera l action de la pesanteur. Préciser les caractéristiques de son accélération. 3 / Exprimer le rayon R de la trajectoire en fonction de m, v, et q. 4 / Exprimer la période et la fréquence du mouvement. 5 / Application numérique : La particule est un proton de vitesse v = m/s, = 0,05 T, m = 1, kg, q = 1, C Principe spectrographie de masse Exercice 2 Effet Hall Un morceau parallélépipédique de matière conductrice ou semi-conductrice est parcourue par un courant et placée dans un champ magnétique perpendiculaire à la vitesse des électrons (voir figure). 1 / Dessiner puis déterminer les caractéristiques de la force agissant sur les électrons. V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 53 sur 62

54 I v L l 2 / La déviation des électrons sous l action des forces de Lorentz, fait apparaître une accumulation de charges sur les faces supérieures et inférieures du parallélépipède. Dessiner le vecteur champ électrique qui apparaît et la force électrostatique agissant sur l électron. 3 / Expliquer pourquoi en régime permanent, la force résultante est nulle. En déduire l expression de la différence de potentiels U apparaissant entre les deux faces en régime permanent. 4 / Exprimer le courant électrique I en fonction de la densité volumique n de charges. 5 / En déduire l expression de U en fonction de I,, q, n et l. Exercice 3 Effet Hall Une plaquette de cuivre d épaisseur 3 mm est parcourue par un courant de 12 A et est placée perpendiculairement à un champ magnétique. La tension de Hall mesurée est de 1,5 µv. Sachant que la densité volumique d électrons est n = 8, e-/m 3, déterminer le module du champ magnétique. Exercice 4 Galvanomètre Un galvanomètre est un appareil permettant de mesurer des courants électriques de très faible intensité. Il est constitué d un cadre bobiné, mobile autour d un axe, parcouru par le courant électrique à mesurer et placé dans un champ magnétique extérieur. Un système de ressort engendre un couple de torsion dont le moment est proportionnel à l angle de rotation du cadre : C = kα V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 54 sur 62

55 α Montrer que quand le cadre est en position d équilibre, l angle α dont il a tourné est proportionnel au courant mesuré I. V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 55 sur 62

56 IUT ELFORT MONTELIARD Dpt Mesures Physiques TD ELECTROTECHNIQUE n 4 Avec l aide du cours, faire une fiche faisant apparaître les points essentiels du chapitre 4 et les formules accompagnées de leurs conditions d application. Exercice 1 Flux magnétique Calculer la valeur du flux magnétique traversant une surface plane de surface S = 30 cm 2 placée dans un champ magnétique uniforme = 0,2 T. 1 / Quand cette surface est perpendiculaire aux lignes de champ. 2 / Quand la perpendiculaire à cette surface fait un angle de 30 avec les lignes de champ. Exercice 2 Cadre mobile Un cadre carré de 4 cm de côté comporte 125 spires, est placé parallèlement aux lignes de champ magnétique uniforme = 0,3 T dans lequel il est plongé. Il est suspendu à un fil de constante de torsion C. Parcouru par un courant de 3 A, le cadre tourne de 35, et est alors en équilibre. 1 / Calculer le moment du couple électromagnétique 2 / Calculer la constante de torsion C du fil. Exercice 3 Moteur linéaire Une barre de cuivre est posée perpendiculairement à deux rails horizontaux conducteurs et parallèles, distants de 5 cm et reliés à un générateur. L ensemble est placé dans un champ magnétique uniforme = 25 mt, dont la direction est perpendiculaire aux rails et à la barre. G 1 / Dessiner sur le schéma le sens du courant I pour que la barre dévie sur la droite. 2 / Calculer l intensité de la force agissant sur la barre, sachant que I = 1 A. 3 / On remplace le générateur par une résistance de 10 Ω, et l expérimentateur déplace la barre sur la droite parallèlement à elle même à vitesse v constante : 10 cm en 0,25 s. a) Calculer la fem induite b) Préciser le sens du courant induit (justifier) c) Calculer l intensité du courant induit. d) Déterminer la puissance mécanique fournie par l opérateur pour déplacer la barre. V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 56 sur 62

57 Exercice 4 Solénoïde Un solénoïde de 50 cm de longueur comportant 500 spires est parcouru par un courant i variable. On place une petite spire plate de 2,5 cm 2 de surface à l intérieur du solénoïde perpendiculairement à l axe du solénoïde. i Le courant i a l allure suivante : 5 A -5 A 10 µs t 1 / Expliquer la cause de l apparition d une fem aux bornes de la spire 2 / Dessiner le chronogramme de cette fem, et calculer les valeurs qu elle prend. Exercice 5 Alternateur basique Une bobine plate de 250 spires, de surface 30 cm 2 et de résistance 1,2 Ω, tourne dans un champ magnétique uniforme = 0,3 T perpendiculaire à l axe de rotation, à une vitesse angulaire ω = 12 rad/s. On négligera le champ magnétique créé par la bobine. 1 / Exprimer la fem induite et calculer son amplitude. 2 / Déterminer le moment qu il faut appliquer sur l axe pour entretenir la rotation de la bobine. Exercice 6 circuit triangulaire Un circuit triangulaire se déplace à une vitesse v constante et entre progressivement dans une zone de champ magnétique uniforme. θ Exprimer la fem induite en fonction du temps pendant la phase d entrée dans la zone de champ magnétique. L origine des temps t = 0 est l instant ou le circuit entre juste dans la zone. V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 57 sur 62

58 IUT ELFORT MONTELIARD Dpt Mesures Physiques TD ELECTROTECHNIQUE n 6 Avec l aide du cours, faire une fiche faisant apparaître les points essentiels des chapitres 5 et 6 et les formules accompagnées de leurs conditions d application. Exercice 1 Circuit magnétique avec entrefer I N spires r 1 / Dessiner et justifier le sens de la fmm crée par la bobine 2 / On sait que I = 5 A, N = 50, µ r = 1500, S = 10 cm 2 et r = 40 cm. Calculer le flux φ à travers une section d une circuit magnétique. I N spires e 3 / Un entrefer d épaisseur 2 mm a été réalisé dans le circuit magnétique. Calculer le flux φ à travers une section du circuit magnétique. 4 / Calculer le flux à travers une section de l entrefer. 5 / Mêmes questions avec e = 1 cm. Exercice 2 Association de fmm I 1 N 1 spires I 3 r N 2 spires I 2 N 3 spires 1 / Dessiner le sens des fmm 2 / Calculer le flux magnétique sachant que : µ r = 1500, S = 10 cm 2 et r = 40 cm. N 1 = 50 I 1 = 1 A N 2 = 20 I 2 = 5 A N 3 = 15 I 3 = 6 A Exercice 3 Circuit magnétique hétérogène I N spires µ r1 r µ r2 Exercice 4 Dérivation sur un circuit magnétique l 1 et l 2 sont les longueurs moyennes des deux portions magnétiques constituées de matériaux différents. Exprimer φ sachant que S = 10 cm 2, l 1 = 40 cm et l 2 = 20 cm. µ r1 = et µ r2 = 1000, I = 5 A, N = 50 spires. V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 58 sur 62

59 µ r1 µ r2 Les deux branches en dérivation ont même section mais sont constituées de matériaux différents. µ r1 = et µ r2 = 1 Comparer les réluctances des deux circuits magnétiques en dérivation. Conclusion. Exercice 5 Circuit magnétiques en parallèles I R N spires R 1 R 2 Exprimer R en fonction de R 1 et R 2. V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 59 sur 62

60 IUT ELFORT MONTELIARD Dpt Mesures Physiques TD ELECTROTECHNIQUE n 7 Avec l aide du cours, faire une fiche faisant apparaître les points essentiels du chapitres 7 et les formules accompagnées de leurs conditions d application. Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 60 sur 62

61 Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7 V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 61 sur 62

62 IUT ELFORT MONTELIARD Dpt Mesures Physiques TD ELECTROTECHNIQUE n 8 Avec l aide du cours, faire une fiche faisant apparaître les points essentiels du chapitres 8 et les formules accompagnées de leurs conditions d application. Dans les exercices qui suivent, la ligne triphasée d alimentation est un système triphasé de tension triphasé équilibré : v 1 (t) = V m sin ωt v 2 (t) = V m sin (ωt - 2π/3) v 3 (t) = V m sin (ωt + 2π/3) Exercice 1 La ligne alimente un récepteur triphasé symétrique dont les phases couplées en étoile ont pour impédance complexe : Z = [ 100 Ω ; 20 ] 1 / Calculer la valeur efficace du courant dans chaque phase et dans le fil neutre. Exercice 2 2 / La phase 2 est coupée accidentellement. a) Reprendre la question 1 / en supposant que le centre de l étoile est relié au fil neutre. b) Le neutre est maintenant supprimé. Calculer les valeur efficaces des courants dans chaque phase, le potentiel V 0 au centre de l étoile et la tension V 10 aux bornes de la phase n 1. 3 / Conclusion. La ligne triphasée alimente un atelier comportant lampes de 100 W entre phase et neutre constituant un système équilibré - 1 moteur triphasé M 1 fournissant un couple utile de 150 Nm avec un rendement de 0,9 à une vitesse de tr/min avec un cosϕ = 0,85. - Un moteur triphasé M 2 de puissance mécanique 20 kw de rendement 0,85 et de facteur de puissance cosϕ 2 = 0,8. 1 / Calculer le courant dans la ligne et le facteur de puissance de l atelier (méthode de oucherot). 2 / On monte en triangle entre fils de phase trois condensateurs C. Calculer la valeur de C pour que le facteur de puissance soit de 0,95. Quel est alors le nouveau courant dans la ligne? V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 62 sur 62