Généralités sur les fonctions

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1 Généralités sur les fonctions Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Droites des réels Intervalles de R Définitions Intersection et réunion d intervalles Notion de fonction 4 3 Représentation graphique d une fonction Définition Images, antécédents Équations et inéquations Table des figures 1 Droite des nombres réels Intervalles Exemple Intervalles Exemple Intervalles Exemple Intersection et réunion d intervalles Schéma Exemple de courbe représentative de fonction Schéma Recherche graphique d image est d antécédents Résolution graphique d équations Résolution graphique d inéquations Liste des tableaux 1 Différents types d intervalles Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA 1

2 1 DROITES DES RÉELS INTERVALLES DE R 1 Droites des réels Intervalles de R 1.1 Définitions Définition : L ensemble de tous les nombres connus en Seconde est appelé ensemble des nombres réels. Cet ensemble est noté R. 1. On appelle entiers naturels les nombres : 0 ; 1 ; 2 ; 3... Leur ensemble est noté N. On a donc : N = {0 ; 1 ; 2 ; 3...} 2. On appelle entiers relatifs les nombres :... 3 ; 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3... Leur ensemble est noté Z. On a donc : Z = {... 3 ; 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3...} 3. On peut représenter l ensemble des réels sur une droite graduée (voir figure 1). Figure 1 Droite des nombres réels Exemples : 1. On a représenté sur la droite des nombres réels de la figure 2 tous les nombres réels x tels que 1 x 3. Cet ensemble est noté [ 1 ; 3]. Figure 2 Intervalles Exemple 1 2. On a représenté sur la droite des nombres réels de la figure 3 tous les nombres réels x tels que 1 < x < 3. Cet ensemble est noté ] 1 ; 3[. Figure 3 Intervalles Exemple 2 3. On a représenté sur la droite des nombres réels de la figure 4 tous les nombres réels x tels que x 1. Cet ensemble est noté [ 1 ; + [. Figure 4 Intervalles Exemple 3 1. «+» se lit «plus l infini». 2

3 1 DROITES DES RÉELS INTERVALLES DE R 1.2 Intersection et réunion d intervalles Ensemble des x vérifiant Représentation Intervalle a x b [a ; b] a x < b [a ; b[ a < x b ]a ; b] a < x < b ]a ; b[ x a x > a [a ; + [ ]a ; + [ x b ] ; b] x < b ] ; b[ Table 1 Différents types d intervalles 2. Plus généralement, les différents types d intervalles sont donnés dans le tableau 1 (où a et b représentent deux réels, avec a < b). 1. L ensemble des nombres réels R est l intervalle ] ; + [. 2. Un intervalle est une partie de R «sans trou», en «un seul morceau» et ne sont pas des nombres. Ce ne sont que des notations (ce qui explique qu ils soient toujours exclus). 4. Les intervalles correspondants aux quatre premières lignes du tableau sont dits bornés. Exercices : 1, 2, 3, 4 page 27 et 53, 57 page 43 1 [TransMath] 1.2 Intersection et réunion d intervalles Définitions : Soit I et J deux intervalles. 1. On appelle intersection des intervalles I et J l ensemble des nombres appartenant aux deux intervalles à la fois, c est-à-dire à l intervalle I et à l intervalle J. Cet ensemble est noté I J. Le symbole se lit «inter». 2. On appelle réunion des intervalles I et J l ensemble des nombres appartenant à l un au moins des deux intervalles c est-à-dire à l intervalle I ou à l intervalle J. Cet ensemble est noté I J. Le symbole se lit «union». Exemple : On cherche l intersection et la réunion des intervalles I = [1 ; 3] et J = ]2 ; + [ (voir figure 5). Figure 5 Intersection et réunion d intervalles l intersection des intervalles I et J correspond aux nombres qui sont coloriés à la fois en rouge et en bleu. On a donc : [1 ; 3] ]2 ; + [ = ]2 ; 3]. 1. Intervalles de R. 3

4 2 NOTION DE FONCTION la réunion des intervalles I et J correspond aux nombres qui sont coloriés en rouge ou en bleu. On a donc : [1 ; 3] ]2 ; + [ = [1 ; + [. Exercices : Exercice 5 page 27 et 52, 54, 55 page 43 2 [TransMath] 2 Notion de fonction Activité : Activité 1 3 de la feuille polycopiée. Définition : Définir une fonction f d un ensemble D de réels dans R, c est associer à chaque réel x de D un unique réel noté f (x). On dit que D est l ensemble de définition de f. f (x) est l image de x par f. x est un antécédent de f (x) par f. Cette situation est résumée sur la figure 6. Figure 6 Schéma 1 Notation : On peut noter : f : D R x f (x) Ce qui se lit : «la fonction f qui à x associe f (x)». Exemple : Dans l activité 1 La fonction est f : x f (x). Son ensemble de définition est l intervalle [0 ; 10]. L image de 1 par f est 3. On note f (1) = 3. L image de 10 par f est 0. On note f (10) = 0. Les antécédents de 0 par f sont 0 et 10 car ce sont les seules valeurs de x telles que f (x) = 0. Les antécédents de 3 par f sont 1 et 9 car ce sont les seules valeurs de x telles que f (x) = 3. 6 n a pas d antécédent par f car, pour tout x [0 ; 10], f (x) 5. Remarque : Le nombre x ne peut avoir qu une seule image par la fonction f (voir définition), mais un nombre y peut avoir plusieurs antécédents, voire aucun. 2. Intersection et réunion d intervalles. 3. D une situation géométrique au fonctions. 4

5 3 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D UNE FONCTION Méthode : Soit f la fonction suivante : f : [ 4 ; 5] R x 1 2 x + 3 Pour déterminer l image d un nombre x par f, il faut que ce nombre soit dans l ensemble de définition de f. Dans ce cas, on remplace x par ce nombre dans l expression de f (x). Image de 2 : f ( 2) = 1 2 ( 2) + 3 = = 4 Image de 6 : Impossible car 6 / [ 4 ; 5]. Pour déterminer le (ou les) antécédent(s) d un nombre a par f, il faut résoudre l équation f (x) = a. Antécédents de 1 : Il faut résoudre l équation f (x) = 1 Le seul antécédent de 1 par f sont x + 3 = x = x = 2 x = = 2 ( 2) = 4 Exercices : 9, 10, 11, 12 page 29 et 59 page , 16, 18 page page et 67 page page page 44 9 [TransMath] 3 Représentation graphique d une fonction Activité : Activité 2 10 de la feuille polycopiée. 3.1 Définition Définition : Soit f une fonction définie sur l ensemble D. Le plan est muni d un repère (O ; I ; J). La représentation graphique ou courbe représentative C f de la fonction f dans le repère (O ; I ; J) est l ensemble des points de coordonnées (x ; f (x)), où x D. 1. En général, le repère sera orthogonal ou orthonormal. 2. Le tracé d une courbe représentatif est toujours approximatif : on fait un tableau de valeurs (voir exemple), on place les points correspondants dans un repère et on les relie par une courbe régulière (sans utiliser la règle, sauf dans certains cas particuliers). 3. On peut utiliser la calculatrice pour remplir des tableaux de valeurs et tracer des courbes représentatives de fonctions. Voir exercice 51 page 42 [TransMath]. 4. Certaines fonctions ne sont connus que par leur courbe représentative (par exemple, la fonction de l activité 2). 4. Détermination d images par le calcul. 5. Détermination d antécédents par le calcul. 6. Ensemble de définition. 7. Détermination de fonctions. 8. Différentes utilisation du signe égal. 9. Fonction définie par un algorithme. 10. Température en fonction de l heure. 5

6 3.1 Définition 3 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D UNE FONCTION Exemple : On reprend la fonction de l exercice 51 page 42 [TransMath] f : R R x 4x + 3 x On commence par faire, à l aide de la calculatrice, un tableau de valeurs. Pour placer des points dans un repère, des valeurs approchées suffisent. On place les points correspondants dans le repère choisi, et on les joints par une courbe régulière (voir figure 7). Figure 7 Exemple de courbe représentative de fonction 1. On peut aussi visualiser la courbe représentative d une fonction sur l écran de la calculatrice (voir exercice 51 page 42 [TransMath]). 2. On peut donc compléter le schéma explicatif des fonctions (voir figure 8). Figure 8 Schéma 2 Exercices : 60, 61 page 43 et 72 page , 24, 25 page 33 et 70 page , 69 page page page [TransMath] 11. Utilisation de la calculatrice. 12. Appartenance d un point à une courbe. 13. Vocabulaire Changement de cadre. 14. Choix de courbe. 15. Un algorithme. 6

7 3 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D UNE FONCTION 3.2 Images, antécédents 3.2 Déterminer graphiquement une image, un antécédent Méthode : On se reportera à la figure 9. L image de a est l ordonnée du point de la courbe d abscisse a. Les antécédents de b sont les abscisses des points de la courbe dont l ordonnée est b. Figure 9 Recherche graphique d image est d antécédents Exercices : 6 page 28 et 8 page [TransMath] 3.3 Résolution graphique d équations et d inéquations Méthode 1 : Résolution graphique d équation Soit f une fonction et k un nombre réel. On note C la courbe représentative de f dans un repère et D k la droite d équation y = k (parallèle à l axe des abscisses). Les solutions de l équation f (x) = k sont les abscisses des points d intersection entre C et D k. Exemple 1 : On reprend la courbe de l activité 2 (température en fonction de l heure). Chercher les heures auxquelles la température est de 2 C revient à résoudre l équation f (t) = 2. On trace sur le graphique la droite d équation y = 2 (voir figure 10). Les solutions sont : t = 6, t = 9 et t = 22. La température est donc de 2 C à 6 heures, 9 heures et 22 heures. Chercher les heures auxquelles la température est de 7 C revient à résoudre l équation f (t) = 7. On trace sur le graphique la droite d équation y = 7 (voir figure 10). Il n y a pas de solution. La température n est donc jamais de 7 C. Méthode 2 : Résolution graphique d inéquation Soit f une fonction et k un nombre réel. On note C la courbe représentative de f dans un repère et D k la droite d équation y = k (parallèle à l axe des abscisses). Les solutions de l inéquation f (x) k sont les abscisses des points de C situés au-dessous de D k. Exemple 2 : On reprend la courbe de l activité 2 (température en fonction de l heure). Chercher les heures auxquelles la température est inférieure à 5 C revient à résoudre l inéquation f (t) 5. On trace sur le graphique la droite d équation y = 5 (voir figure 11). Les solutions sont : t [6 ; 14] et t [18, 5 ; 22]. On peut noter S = [6 ; 14] [18, 5 ; 22] (le symbole se lit «union», pour plus de détails, voir l exercice résolu A page 27 [TransMath]). 16. Détermination graphique d image. 7

8 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES Figure 10 Résolution graphique d équations Figure 11 Résolution graphique d inéquations La température est donc inférieure à 5 C de 6 heures à 14 heures et de 18 heures 30 à 22 heures. Remarque : On peut résoudre de façon analogue les inéquations de la forme : f (x) <k : abscisses des points de C situés strictement au-dessous de D k ; f (x) k : abscisses des points de C situés au-dessus de D k ; f (x) >k : abscisses des points de C situés strictement au-dessus de D k. Exercices : 14, 17, 19 page 31 et 77 page , 21 page 32 et 74 page , 49 page 41 ; 75 page 45 et 76 page , 80 page page [TransMath] Références [TransMath] Transmath Seconde, Nathan (édition 2010) 3, 4, 5, 6, 7, Résolution graphique d équations. 18. Résolution graphique d inéquations. 19. Positions relatives de deux fonctions. 20. Applications. 21. Utilisation d un tableur. 8