Étude du reste d une division euclidienne

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1 sujet 073 Épreuve pratique de mathématiques Descriptif Situation On considère un entier naturel n et deux nombres entiers N et D déterminés par : N = a n 2 + b n + c et D = d n + e, a, b, c, d et e étant des nombres entiers donnés. enclidienne de N par D. Compétences évaluées Compétences TICE Élaborer un processus itératif ; Représenter graphiquement des données. Compétences mathématiques Déterminer une expression du premier degré à partir d informations graphiques et numériques ; Mettre en place une démonstration par disjonction des cas.

2 Sujet 073 Épreuve pratique de mathématiques (spécialité) Fiche élève Énoncé Pour tout entier naturel non nul n on considère les deux nombres entiers N = 3n 2 n + 1 et D = 2n 1. enclidienne de N par D. Expérimentation 1. Déterminer, à l aide d un logiciel, les valeurs du reste de la division euclidienne de N par D, pour toutes les valeurs de n comprises entre 1 et Représenter graphiquement ce reste en fonction de n. Appeler l examinateur pour une vérification de la représentation obtenue. 3. Conjecturer, suivant les valeurs de n, l expression du reste de la division enclidienne de N par D. Appeler l examinateur pour une vérification de la conjecture trouvée. Justifications 4. La conjecture formulée est-elle vraie? Justifier. Production demandée Obtention à l écran de la représentation demandée dans la question 2. de la partie I. La conjecture faite dans la question 3. de la partie I. La stratégie prévue pour valider ou invalider la conjecture faite. 1/1

3 Sujet 073 Épreuve pratique de mathématiques (spécialité) Fiche professeur Énoncé Pour tout entier naturel non nul n on considère les deux nombres entiers N = 3n 2 n + 1 et D = 2n 1. euclidienne de N par D. Expérimentation 1. Déterminer, à l aide d un logiciel, les valeurs du reste de la division euclidienne de N par D, pour toutes les valeurs de n comprises entre 1 et 50. S assurer que l élève ne bloque pas pour obtenir, avec le logiciel choisi, le reste de la division euclidienne de deux entiers. Par exemple ne pas hésiter à lui indiquer comment utiliser la fonction MOD() d un tableur. 2. Représenter graphiquement ce reste en fonction de n. Appeler l examinateur pour une vérification de la représentation obtenue. 3. Conjecturer, suivant les valeurs de n, l expression du reste de la division enclidienne de N par D. Appeler l examinateur pour une vérification de la conjecture trouvée. Il s agit de laisser l élève identifier par lui-même l aspect affine de deux ensembles de points : celui des points du nuage d abscisse un entier pair, celui des points du nuage d abscisse un entier impair distinct de 1 et 3). Au cas où un élève ne parviendrait pas à déduire de l observation du nuage une information utile, ne pas hésiter à attirer son attention sur la particularité des abscisses des points d une partie du nuage. Si nécessaire ne pas hésiter à demander à l élève ce qu il pourrait faire avec les deux droites d équation y = 3 2 x et y = 1 2 x + 1. En dernier recours, attirer son attention sur le rôle de la parité de n. 1/2

4 Sujet 073 Épreuve pratique de mathématiques (spécialité) Fiche professeur Justifications 4. La conjecture formulée est-elle vraie? Justifier.. Situations menant à une valorisation du travail du candidat : l élève a énoncé la conjecture en distinguant bien trois cas : n = 1 et n = 3 ; n pair ; n impair. l élève explique que quelques cas ne suffisent pas pour prouver une loi générale. l élève écrit, de façon autonome, un entier pair sous la forme 2p et un entier impair sous la forme 2p + 1. l élève cherche à écrire N sous la forme D... + r(n). Production demandée Obtention à l écran de la représentation demandée dans la question 2. de la partie I. La conjecture faite dans la question 3. de la partie I. La stratégie prévue pour valider ou invalider la conjecture faite. Compétences évaluées Compétences TICE Élaborer un processus itératif ; Représenter graphiquement des données. Compétences mathématiques (enseignement de spécialité) Déterminer une expression du premier degré à partir de diverses informations graphiques et numériques ; Mettre en place une démonstration par disjonction des cas. 2/2

5 Épreuve pratique de mathématiques Fiche évaluation Numéro du sujet 073 Titre : Étude du reste d'une division euclidienne Enseignement de Spécialité Nom Prénom : NOTE : On ne cherchera pas à noter chacune des compétences. Pour établir la note finale on prendra en compte les performances globales du candidat en respectant la grille de lecture suivante : La capacité à expérimenter (qui prend en compte de façon dialectique les performances dans l utilisation des outils et la faculté de proposer des conjectures) doit représenter les trois quarts de la note finale. La capacité à rendre compte des résultats établis à partir de cette expérimentation (démonstration, argumentation ) représentera le quart restant. La capacité à prendre des initiatives et à tirer profit des échanges avec l examinateur sera globalement prise en compte de façon substantielle. Il n est pas nécessaire qu une compétence soit totalement maîtrisée pour être considérée comme acquise. Les exemples cités ci-dessous ne sont pas exhaustifs Compétences Évaluées L élève est capable de représenter la situation : il réalise un tableau donnant les valeurs de n et le reste R de la division de N par D, et il obtient une représentation graphique de R en fonction de n. L élève tire profit des indications éventuellement données à l oral. L élève est capable d expérimenter, de faire des essais, il cherche à utiliser les fonctionnalités du logiciel pour conjecturer une expression de R, il crée d'autres colonnes pour distinguer les cas n pair et n impair. Il est capable d émettre une conjecture en cohérence avec ses essais. L élève tire profit des indications éventuellement données à l oral. Suite à un éventuel questionnement oral, l élève est capable d affiner ses explorations, afin de conjecturer l'expression de R en fonction de n. Il fait preuve d esprit critique avec un retour éventuel sur sa conjecture. L élève montre un certain nombre de connaissances, de savoir faire mathématiques sur le sujet : écriture des nombres pairs et impairs, d'une division euclidienne avec vérification des hypothèses sur le reste. L élève propose une résolution correcte de l exercice et il est capable d émettre un retour critique sur ses observations, il utilise éventuellement l outil informatique pour conforter ou invalider ses résultats. Autres observations : Éléments permettant de situer l élève (à remplir par l examinateur)