LES NOMBRES DECIMAUX

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1 Cours de maths de Mr Jules Sixième, contrat p. LES NOMBRES DECIMAUX Voici le premier chapitre d une longue série à succès. Lisez les attentivement. Appelez moi quand vous ne comprenez pas (en n oubliant pas que je ne peux être partout à la fois!). Remplissez tous les trous (au crayon à papier plutôt). Ecrivez proprement et pas trop gros. Une fois chez vous, apprenez ce cours (tout ce qui est encadré ou en gras doit être su par cœur!). N hésitez pas à utiliser de la couleur (stabilo) pour faire ressortir les choses que vous jugez importantes. Enfin, comparez les cours avec ceux du livre. I. LES NOMBRE DECIMAUX : A. Ecriture des nombres (rappels de primaire) : Dans le monde d aujourd hui, nous écrivons presque tous les nombres avec les. indoarabes. Combien y a-t-il de chiffres indoarabes? Citez les tous :.. Citez un nombre qui ne s écrit pas avec les chiffres indoarabes.. Existe-t-il d autres chiffres que les chiffres indoarabes? Lesquels?. Ainsi donc, il ne faut pas confondre les nombres et les chiffres : «On écrit les mots avec des. On écrit les. avec des» Pour pouvoir écrire une infinité de nombres avec un nombre fini de signes (les 0 chiffres), l Homme a construit petit à petit un système d écriture qui repose sur ces 0 chiffres et en particulier le 0. Cela s est fait en Inde (du 3 ème s. av. JC au 9 ème s. ap. JC). Puis il y a eu passage à Bagdad de ce système aux Arabes au 9 ème s.. Enfin, ce système s est répandu en Occident entre les 0 ème et 3 ème siècles. (grâce aux Croisades notamment et aux traductions par les universités naissantes d œuvres arabes qui étaient elles même issues d œuvres grecques ou indiennes). Ce système s appelle : La Numération Décimale (ou écriture décimale). milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes , La Numération Décimale est un système : de position (par exemple : dans le tableau au dessus le chiffre 3 n a pas la même valeur dans la colonne dizaines que le 3 dans la colonne millièmes). à base 0 (par exemple : dans le tableau, le 7 représente 7 centaines c-à-d 7 00). Remarque : Dans ce système, on a eu besoin d un signe pour indiquer l absence dans une ou plusieurs colonnes du tableau. Ce signe s appelle le et est noté 0. Exemple : dans le tableau ci dessus, on déduit qu il n y a pas d u.. ou de d Vocabulaire : 730, 023 Partie. Partie. Les nombres sans partie décimale s appellent les nombres ou entiers naturels. Citons l un des chefs d œuvre de l Humanité : «Al-jabr wa l muqâbala» écrit par le mathématicien arabe Al Khwarizmi. Ce livre pose le socle de l algèbre (qui vient de Al-jabr) et donc des maths modernes, telles que nous les connaissons.

2 Cours de maths de Mr Jules Sixième, contrat p.2 Exercice : trouvez le nombre incomplet inscrit dans le tableau sachant que : Le chiffre des centaines est le même que celui des dizaines. Qu il n y a pas de chiffre des dixièmes et dans les colonnes plus petites que celle des centièmes. Que le chiffre des unités est le même que le chiffre des millièmes dans 0, Que le chiffre des centièmes est la somme des chiffres des dizaines et des centaines. Que le nombre final est plus petit que dizaines A combien de centièmes est égal ce nombre?.. B. Définition des nombres décimaux : Les nombres entiers ne sont pas suffisants par exemple pour mesurer avec précision le poids d un médicament, le diamètre d un fil ou pour fixer le prix d un kilo de pomme de terre, ou de repérer la position d un point sur une droite graduée. On a besoin de partager l unité d où l apparition des nombres décimaux! Un nombre décimal est un nombre dont l écriture décimale est «finie» Exemples : Tous les nombres entiers sont des nombres décimaux! Par exemple : 25 peut s écrire 25,0. 2,555 est un décimal. 4 est aussi un décimal (car = 0,25). (les deux écritures 4 décimales 2,555 et 0,25 sont finies) Mais 2,55555 n est pas un décimal. 3 non plus (car = 0,33333 ) (les deux écritures 3 décimales 2,55555 et 0,33333 sont infinies!) Exercice : Voici une liste de nombres, barrez ceux qui ne sont pas des nombres décimaux : 5 π 0,2424 0, C. Lecture d une graduation ; comparaison. Placez sur cette droite graduée 5,6 4,7 6,5 7, Mettez les nombres sous les 2 flèches. Quel est le plus grand nombre entre 5,6 et 5,25?. Comment cela se voit sur le dessin? Le symbole pour écrire qu un nombre est plus grand qu un autre est : > Le symbole pour écrire qu un nombre est plus petit qu un autre est : On peut donc écrire dans notre exemple que : 5,6 > 5,25 ou bien que 6,5 < 6,8 Ecrivez deux autres comparaisons grâce au dessin :.. >. et.. <.

3 Cours de maths de Mr Jules Sixième, contrat p.3 Pour comparer 2 décimaux, sans droite graduée, on peut faire en sorte que leurs parties décimales aient «même longueur» en rajoutant les 0 nécessaires. Exemple : on veut comparer 32,054 et 32, Pas évident à priori, car les 2 nombres sont tous les deux proches de 32. Les deux parties décimales ne sont pas de même longueur! On va donc rajouter 2 zéros à droite de 32,054. D où 32,054 = 32,05400 à comparer avec 32, Finalement 32,054 > 32,05379 (car 5400>5379). Exercice : complétez soit avec <, soit avec > : 0, ,005 0,2.. 0,9 00,32. 0,4 II. ADDITIONS DE DEUX DECIMAUX : Additionner, c est ajouter. A. Définition et vocabulaire : L addition est l opération qui permet de calculer la somme de deux termes Exemples : =. 5,7 + 6,3 =. 2,25 + 0,75 = = ,6 = B. Poser une addition : Exemple : on veut calculer la somme de 2,54 et 5,068. On peut poser l addition. Attention : il faut que les soient bien placées l une en dessous de l autre. Et on fait attention aux retenues. A votre tour, calculer, en posant l opération, 23,54 + 0,073 2, , , C. Propriétés de l addition : Vous avez 6 et je vous donne 3. Combien avez vous?. Ecrivez l opération : Maintenant, vous avez 3 et je vous donne 6. Combien avez vous?. Ecrivez l opération :. On peut donc écrire : =. Généralisons Dans une addition, l des termes ne...pas. Conséquence : dans une suite d additions, on n est pas obligé de faire les calculs de gauche à droite mais on peut regrouper astucieusement 2 les termes pour faciliter le calcul. Calculer astucieusement : = 0,7 + 2,8 + 0,3 + 0,2 = = = 2 Synonyme?

4 Cours de maths de Mr Jules Sixième, contrat p.4 III. SOUSTRACTION DE 2 DECIMAUX : Soustraire, c est enlever. A. Définition et vocabulaire : La soustraction est l opération qui permet de calculer la différence de deux termes Exemples : =. 5,7 2,7 =. 2,2 0,7 = = 70. 0,6 = Attention : Dans une soustraction, l. compte! B. Poser une soustraction : Exemple : on veut calculer la différence de 5,068 et 2,54. On peut poser la soustraction. Attention : il faut que les soient bien placées l une en dessous de l autre. Et on fait attention aux retenues! A votre tour, calculer, en posant l opération, 23,54 0,073 5, , 5 4 2, C. Lien avec l addition : Calculer la différence de 6 avec 7. De tête vous trouvez pour différence Cette différence 9 est le nombre qu il faut. à 7 pour retrouver 6. Généralisons : Quand on a : er terme 2 ème terme = la différence Alors : er terme = la différence + 2 ème terme Autrement dit : dans une soustraction de 2 termes, la différence est le nombre qu il faut ajouter au 2 ème terme pour retrouver le er terme. Donc, pour trouver un nombre inconnu dans une addition, on utilise une.. En fait, la soustraction et l addition sont 2 opérations inverses. On reverra cela avec les nombres relatifs. Exercice : 28,5 7 =. donc 28,5 = +. 3,3 0,3 = donc.. =. +.. Calculez le nombre manquant : 2,8 +. = 26,5 + 7,2 = 48,

5 Cours de maths de Mr Jules Sixième, contrat p.5 IV. MULTIPLICATION A. Définition et vocabulaire : La multiplication est l opération qui permet de calculer le produit de 2 facteurs. Exemples :,5 3 =.... = 26 7 = 0,25 = 4. = = = 4 Cas particuliers : 23, = =. Toute multiplication par donne toujours.. Toute multiplication par ne change pas le produit. B. Poser une multiplication : On pose l opération comme si on multipliait 23 par 03. On place la virgule dans le résultat ( chiffre après la virgule avec 2 chiffres après la virgule donnent 3 chiffres après la virgule au résultat). A votre tour : Calculer,24 9,3 en posant l opération. (résultat,532) Calculer 0, en posant l opération. (résultat 58,9) Calculer 24 0,0 en posant l opération. (résultat,24) C. Multiplications par 0, 00, ou 000, ou 0000 ou etc Multiplier par 0, 00 ou 000 etc, c est facile! On déplace la virgule vers la droite d autant de crans qu il y en a de 0 dans 0, 00 ou 000 etc, et on rajoute, si besoin, les 0 manquants à droite de l écriture. Remarque : On n oublie pas que le produit (le résultat) d une multiplication par 0 ou 00 ou 000 etc. doit être plus.. que le nombre de départ! Exercice : = = = 0, =.. 2,257 0 = 0, =. 0, =. 2, =.. 0, =

6 Cours de maths de Mr Jules Sixième, contrat p.6 D. Multiplications par 0, ou 0,0 ou 0,00 etc Avant cela, nous allons revoir comment on divise par 0 ou 00 ou 000 etc.. Divisions par 0 ou 00 ou 000 etc : Pour diviser par 0, 00 ou 000 etc, on fait l inverse des multiplications par 0, 00 ou 000 etc : On décale vers la gauche la virgule d autant de crans qu il y a de 0 dans 0, 00 ou 000 etc., et on rajoute, si besoin, les 0 manquants à gauche de l écriture. Remarque : On n oublie pas que le quotient (le résultat) d une division par 0 ou 00 ou 000 etc, doit être plus. que le nombre de départ! Exercice : 5 0 = 225,5 00 =. 0,5 0 =.. 2. Multiplication par 0, ou 0,0 ou 0,00 etc : Multiplier par 0, ou 0,0 ou 0,00 etc, c est la même chose que diviser par 0 ou 00 ou 000 etc. Multiplier par 0, revient à par 0. Multiplier par 0,0 revient à diviser par......par 0,00 revient à.par Diviser par 0000 revient à par. Et ainsi de suite Remarque : On en déduit que le produit (le résultat) d une multiplication par 0, ou 0,0 ou 0,00 etc, doit être plus. que le nombre de départ! Exemples : 0,5 0,0 = 0,5 = 0, , = = 2,54 0,000 = = ,0027 0,0000 =...=. 200,24 0,0 =. E. Propriétés de la multiplication : Exemple : 5 3 = et 3 5 =. Donc.... = Généralisons : Dans une multiplication, l des facteurs ne...pas. Conséquence : dans une suite de multiplications, on n est pas obligé de faire les calculs de gauche à droite mais on peut regrouper astucieusement 3 les termes pour faciliter le calcul. Exemples : 0,5,3 2 0 = 3 0,2 5 0, 0 =. = 3 =..,5 0, = 25 3,55 4 =. = =..,2 2,54,7 0 =.. 0, , = 3 Synonyme? Comment regrouper astucieusement?

7 Cours de maths de Mr Jules Sixième, contrat p.7 V. APPROXIMATIONS D UN NOMBRE : Définition : A. Ordre de grandeur : Il est souvent utile de remplacer un nombre par une valeur approchée à l écriture plus simple (avec plus de zéros) pour avoir une idée du résultat par exemple. Cette valeur approchée s appelle un ordre de grandeur. Remarque : L ordre de grandeur n est pas unique : on peut donner des ordres de grandeurs différents suivant la précision voulue. C est pourquoi on dit UN ordre de grandeur et non L ordre de grandeur! Exemple : Convertissez en franc : = 6,..... FF. Pas facile pour les calculs! Pour faciliter les conversions mentales, on peut prendre comme ordre de grandeur 6 FF pour. Superficie de la France = km 2 Ordre de grandeur : km² Dans les classes de 6 ème, il y a 78 élèves. Ordre de grandeur :.élèves. Dans les classes de 5 ème, il y a 8 élèves. Ordre de grandeur :.élèves. Pour avoir un ordre de grandeur des 2 niveaux, on peut ajouter les ordres de grandeur de chaque niveau. Donc un ordre de grandeur pour l ensemble des deux niveaux sera de.. Exercice : Une entreprise commande 2527 sucettes pour récompenser ses 4985 salariés! Trouvez un ordre de grandeur simple pour le nb de sucettes et le nb de salariés. Le patron décide donc de distribuer 3 sucettes par personne. Le patron est-il généreux et juste? B. Troncature 4 : Définition : La troncature à l unité d un nombre décimal est la partie entière de ce nombre. La troncature à la dizaine ou à la centaine ou au dixième ou au centième etc. d un nombre, est ce nombre «coupé» après le chiffre correspondant, les chiffres venant après étant remplacés par des 0. Exemples : 35,65 a pour troncature à l unité 35 troncature à la dizaine de 52 = 50 0,0254 tronqué au centième donne 0,02 Exercice : Troncature au centième de 5,542 =.. tronquez à l unité 250 :. Quelle est la troncature à la centaine de 00, 25? Et celle de 99,25?.. Donner deux nombres dont la troncature au dixième est 0,6. Donner deux nombres dont la troncature à la dizaine est Cherchez dans un dictionnaire ce que veut dire le verbe tronquer.

8 Cours de maths de Mr Jules Sixième, contrat p.8 C. Arrondi à l unité: Définition et règle : Lorsque le chiffre des dixièmes est compris entre 0 et 4 inclus, l arrondi à l unité est l entier immédiatement inférieur. Lorsque le chiffre des dixièmes est compris entre 5 et 9 inclus, l arrondi à l unité est l entier immédiatement supérieur. Exemples : L arrondi à l unité de,27 est soit soit 2. C est car,27 est le plus proche de que de 2. L arrondi à l unité de 00,57 est soit 00 soit 0. C est 0! car 00,57 est plus proche de 0 que de 00. Exercice : L arrondi à l unité de 2,95 est soit.. soit : c est L arrondi à l unité de 25,07 est. Donner deux nombres dont l arrondi à l unité est 2. Généralisation : Par exemple, pour arrondir au centième, on applique la règle de l arrondi à l unité en regardant cette fois ci le chiffre des millièmes. Exemples : L arrondi au centième de 2,254 est soit 2,25 soit 2,26. En fait, c est 2,25 car le chiffre des millièmes dans 2,254 est 4 (donc entre 0 et 4). Dit autrement, 2,254 est plus proche de 2,25 que de 2,26. L arrondi à la dizaine de 258 est soit 250 soit 260. Puisque 258 est plus proche de 260 que de 250, l arrondi à la dizaine de 258 est 260. Exercice : L arrondi au dixième de 0,245 est soit soit C est... L arrondi à la centaine de 525,68 est soit. soit.. C est.. Arrondi au centième de 00,245 =.. Arrondi au centième de? Exercice : 0,06 5,7 4,25 Troncature à l unité Arrondi à l unité Troncature au dixième Arrondi au dixième

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