CINEMATIQUE MOUVEMENTS STANDARDS

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Jérémie Vinet
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1 I ) Mouvements de translation 1 ) Mouvement de Translation Rectiligne Uniforme ( MTRU ) Lorsqu un solide S subit un mouvement de translation (quelconque, rectiligne ou circulaire) par rapport à un repère R, tous les points de ce solide ont la même vitesse par rapport au repère R. 1-a ) Définition Un mouvement de translation rectiligne uniforme se réalise sans accélération (0 m/s 2 ) et avec une vitesse constante au cours du temps. Il est souvent noté M.T.R.U. 1-b ) Equations de mouvement Étudions une voiture (allemande) qui roule à vitesse constante sur une autoroute complètement rectiligne. Soient : t0 : instant initial (en s); x0 : le déplacement initial (en m), à t=t0 ; v0 : la vitesse initiale (en m/s); x(t) : le déplacement x (en m) à l instant t. Origine du repère O x0 Instant t 0 x(t ) Instant t x

2 Mouvement de Translation Rectiligne Uniforme (MTRU) Equations horaires Graphe de l accélération a(t) = 0 m/s 2 v(t) = v0 = Constante x(t) = v0.(t-t0) + x0 t0, x0 et v0 sont les conditions initiales du mouvement. Si le MTRU commence à l instant t0=0s, les équations horaires deviennent: a(t) = 0 v(t) = v0 = Constante x(t) = v0.t + x0 Vos commentaires : a (m/s 2 ) a = 0 Graphe de Vitesse v (m/s) v 0 0 Graphe de Position x (m) v(t) = v 0 = Cte x(t) = v0.t + x0 t t x 0 0 t

3 2 ) Mouvement de Translation Rectiligne Uniforme ( MTRUV ) 2-a ) Définition Ce type de mouvement sert de modèle à de nombreuses études simplifiées. Pour ces mouvements, l accélération reste constante au cours du temps. Il est souvent noté M.T.R.U.V. 2-b ) Equations de mouvement Reprenons notre même véhicule. Le conducteur décide d accélérer. Soient : t0 : instant initial (en s); x0 : le déplacement initial, à t=t0 ; a0 : l accélération initiale (en m/s 2 ) ; v0 : la vitesse initiale (en m/s) ; x(t) : le déplacement (en m) à l instant t. O x0 Instant t0 v0 x(t) Instant t v(t) x

4 Mouvement de Translation Rectiligne Uniformément Varié (MTRUV) Equations horaires Graphe de l accélération a(t) = a 0 = constante v(t) = a 0.(t-t 0) + v 0 a 0 a (m/s 2 ) a(t) = a 0 = Cte x(t) = 2 1. a0.(t-t 0) 2 + v 0.(t-t 0) + x 0 t 0, x 0, v 0 et a 0 sont les conditions initiales du mouvement. Si le MTRUV commence à l instant t 0=0s, les équations horaires deviennent a(t) = a 0 = constante v(t) = a 0.t + v 0 0 Graphe de vitesse v (m/s) v(t) = v 0 + a 0.t t x(t) = 2 1. a0.t 2 + v 0.t + x 0 Vos commentaires : v 0 0 Graphe de position t x(t) = 2 1

5 II ) Mouvements de rotation 1 ) Introduction 1-1 ) Rotation d un solide Pour connaître, à tout instant t, la position d un solide indéformable subissant un mouvement de rotation, il nous suffit de définir sa position angulaire θ(t). O M 2 θ2=θ( t2) θ θ 1=θ( t 1) Instant t 2 M 1 Instant t1 x 1-2 ) Vitesse angulaire, ou vitesse de rotation ω Entre deux instants t1 et t2, nous pouvons définir une vitesse angulaire moyenne: ω moy = θ 2 θ1 t2 t1 = θ t ω moy s exprime en rad/s Si l intervalle de temps (t2 t1) devient très petit, nous obtenons, à un instant t, la vitesse angulaire instantanée : ω(t) = lim( θ t 0 t ) = dθ(t) dt =θ ' (t) La vitesse angulaire ω s exprime en rad/s Par conséquent, la vitesse angulaire est la dérivée par rapport au temps de la position angulaire. 1-3 ) Accélération angulaire α En dérivant la vitesse angulaire, nous obtenons l accélération angulaire : α(t) = dω(t) dt = d 2 θ(t) dt 2 =θ '' (t) L accélération angulaire α s exprime en rad/s 2 Remarquez que l analogie avec l étude du mouvement en translation rectiligne est évidente. Nous retrouvons les mêmes grandeurs cinématiques (position, vitesse, accélération) suivies du terme angulaire. Nous allons donc, de la même façon, étudier des cas particuliers de mouvement de rotation.

6 2 ) Mouvement de Rotation Uniforme ( MRU ) 2-1 ) Définition L accélération angulaire α(t) est nulle. Ce mouvement est noté M.R.U. 2-2) Equations horaires de mouvement Les équations horaires d un MRU sont : α(t) = θ (t) = 0 rad/s2 ω(t) = ω0 = Constante θ(t) = ω.(t-t0) + θ0 t0, ω0 et θ0 sont les conditions initiales du mouvement. 3 ) Mouvement de Rotation Uniformément Varié ( MRUV ) 3-1 ) Définition L accélération angulaire α(t) est constante. Ce mouvement est noté M.R.U.V. 3-2) Equations horaires de mouvement Les équations horaires d un MRUV sont : α(t) = α0 = Constante ω(t) = α0.(t-t0) + ω0 θ(t) = 2 1.α0.(t-t0) 2 + ω0.(t-t0) + θ0 t0, α0, ω0 et θ0 sont les conditions initiales du mouvement. 4 ) Vitesse et Accélération d un point d un solide en mouvement de rotation Parfois, il nous est nécessaire de s intéresser à un point M appartenant au solide en rotation.

7 4-1 ) Vitesse d un point En dérivant (par rapport au temps) le vecteur position obtenons : OM (t), dans le repère R, nous V(M S/R) = dom dt = OM.ω(t).t = r.ω(t).t R Remarque : puisque ω(t) a même valeur pour tous les points du solide, la vitesse linéaire V(M S/R) varie linéairement avec la distance r à l axe de rotation. 4-2 ) Accélération En dérivant (par rapport au temps) le vecteur vitesse V(M S/R), dans le repère R, nous obtenons : Γ(M S/R) = dv(m S/R) dt = r.α(t).t r.ω 2 (t).n R t T (M S / R) V(M S / R) n M _VP _VN P O N θ( t) r=om x

8 Résumé Cours

11 Compléments

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