MAT 1732 A - DGD (partie 2) 31 octobre 2016

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Christophe Lamothe
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1 1. Écrire les équations différentielles et les conditions initiales qui modélisent les situations suivantes et esquisser les graphes des solutions à l aide du champ de phases. a) Une citerne contient 1000L d eau pure. De la saumure (eau saline) qui contient 0.05 Kg de sel par litre y est introduite à raison de 10L/min. La solution est bien mélangée et rejetée à raison de 10L/min. On veut modéliser Q(t) la quantité de sel dans la citerne après t minutes. Solution : La fonction Q(t) satisfait l équation différentielle du réservoir ; où a = 0.05, v = 10 et V = 1000, donc dq = av Q V v, dq = Q, et la condition initiale est Q(0) = 0. La solution d équilibre (stable) est Q = 500. Graphe de Q(t) 1

2 b) Un thermomètre qui sort d une pièce où il fait 20 C est placé à l extérieur où la température n est que de 15 C. La constante de proportionnalité est de k = 0.1. On veut modéliser T (t) la température du thermomètre après t minutes. Solution : La fonction T (t) satisfait l équation différentielle de la LRRN ; où k = 0.1 et L = 15, donc dt = k(l T ), dt = 0.1( 15 T ), et la condition initiale est T (0) = 20. La solution d équilibre (stable) est T = 15. Graphe de T (t) 2

3 2. L idée derrière le modèle de metapopulation de Levin est la suivante ; On divise notre région (notre habitat) en échiquier. On s intéresse à la fraction p de cases habitées. On suppose que lorsque qu une case est habitée, alors elle se vide à un taux proportionnel e de la population (ex : désastre naturel, vieillissement ou chasse). On suppose aussi que la population colonise les cases vides avoisinantes à un taux proportionnel c de la population. La fraction des cases vides est donc 1 p. Maintenant, supposons que seulement une fraction H des toutes les cases est habitable (fraction maximale), ainsi H p est la fraction des cases vides habitables. L équation p satisfait l équation différentielle Supposons que c = 4 et e = 3. dp = cp(h p) ep. (a) Si H = 1, donc toute la région est habitable. Calculer les deux solutions d équilibre et étudier leur stabilité à l aide du tableau des signes et dessiner le champs de pente approximatif et tracer les solutions typiques pour p(t). (b) Refaire a) avec H = 0.5. (c) Si H = 0, clairement la population serait en péril. Par contre même avec s il y a de l espace habitable, H > 0, il se peut que la population soit en péril. Calculer la plus grande valeur possible pour H où la seule solution d équilibre valide est zéro (donc qui laisse encore la population en péril). 3

4 Solutions : (a) Ici dp = 0 lorsque 4p(1 p) 3p = p(1 4p) = 0 donc p = 0 et p = 0.25 sont les solutions d équilibre. Avec un tableau des signes, p p < 0 p = 0 0 < p < 0.25 p = 0.25 p > 0.25 dp, donc p = 0 est instable et p = 0.25 est stable. Ici il y a 5 cas typiques de solutions ; p < 0 (non représentatif au modèle), p = 0, 0 < p < 0.25, p = 0.25 et p > 0.25 (quoique p > 1 est aussi non représentatif). Si la condition initiale est p ]0, 1] alors p(t) tendra vers 0.25, donc éventuellement 25% de la région sera habitée. 4

5 (b) Ici dp = 0 lorsque 4p(0.5 p) 3p = p( 1 4p) = 0 donc p = 0 et p = 0.25 sont les solutions d équilibre. Avec un tableau des signes, p p < 0.25 p = < p < 0 p = 0 p > 0 dp, donc p = 0.25 est instable et p = 0 est stable. Ici il y a 5 cas typiques de solutions ; p < 0.25, p = 0.25, 0.25 < p < 0, p = 0 et p > 0. Ici seuls les cas où p [0, 1] sont représentatifs au modèle. Si la condition initiale est p ]0, 1] alors p(t) tendra vers 0, donc éventuellement la population disparaîtra! (c) En général, dp = 0 lorsque 4p(H p) 3p = p(4h 3 p) = 0 donc p = 0 et p = 4H 3 sont les solutions d équilibre. Pour que la solution d équilibre p = 4H 3 soit représentative il faut qu elle soit positive, donc H > 0.75 (toujours en gardant H 1). Il faut au moins que 75% de la région soit habitable pour qu une population puisse y survivre, et éventuellement 4H 3 de la région sera occupée. 5

6 Exercices supplémentaires 1. (Décroissance exponentielle) Le Polonium-214 a une demi-vie de secondes. Soit Q(t) la masse de Polonium-214 après t secondes. On suppose que le taux de variation de Q(t) décroît proportionnellement à Q(t). Nous avons un échantillon avec une masse initiale de 50 mg. a) Ècrire l é.d. qui modélise Q(t). b) Trouver la solution Q(t). c) Calculer Q(0.01). d) Calculer le temps où la masse sera réduite à 40 mg. e) Esquisser le graphe de Q(t). 6

7 2. (Décroissance exponentielle) Les scientifiques sont capables de déterminer l âge d objects très anciens par une méthode appelée datation par le carbone radioactif. Le bombardement par les rayons cosmiques de la haute atmosphère transforme les noyaux d azote en un isotope radioactif du carbone, 14 C, dont la demi-vie est de 5730 ans. La végétation absorbe le dioxide de carbone et l animal vivant assimile le 14 C à travers la chaîne alimentaire. Quand une plante ou un animal meurt, il cesse de renouveler son carbone et la quantité de 14 C qu il contient commence à diminuer par désintégration radioactive. Soit Q(t) la masse de 14 C après t années. On suppose que le taux de variation de Q(t) décroît proportionnellement à Q(t). a) Ècrire l é.d. qui modélise Q(t). b) Trouver la solution Q(t). c) Un fragment de parchemin a été découvert et il ne contient qu environ 74% de la radioactivité en 14 C de la matière végétale sur Terre aujourd hui. Estimez l âge du parchemin. 7

8 3. (Loi de refroidissement-réchauffement de Newton) Nancy sort un gros morceau d orignal rôti du four au moment où il atteint 85 C et le place sur une table dans une pièce où il fait 23 C. Soit T(t) la température du gros morceau d orignal après t minutes (de la sortie du four). On suppose que T(t) satisfait la loi de refroidissement-réchauffement de Newton. a) Ècrire l é.d. qui modélise T (t). b) Si la température du gros morceau d original est de 65 C après une demiheure, à quelle température est-il après trois quarts d heures? c) Quand la température du gros morceau d original sera-t-elle à 37 C? d) Esquisser le graphe de T (t). 8

9 4. (Modéle de réservoir) Une citerne contient 1000 litres de saumure (eau salée) avec 15 kg de sel dissout. De l eau pure est ajoutée à raison de 10 L/min. La solution est parfaitement mélangée et s écoule au même débit. Soit Q(t) la quantité de sel après t minutes. a) Écrire l é.d. qui modélise Q(t). b) Résoudre l é.d., avec Q(0) = 15. c) Calculer Q(20). d) Esquisser le graphe de Q(t). 9

10 5. (Modéle de réservoir) Une citerne contient 1000 litres d eau pure. De la saumure qui contient 0.05 kg par litre est ajoutée à un débit de 5 L/min. De plus, de la saumure qui contient 0.04 kg par litre est ajoutée à un débit de 10 L/min. La solution est parfaitement mélangée et s écoule à un débit de 15 L/min. Soit Q(t) la quantité de sel après t minutes. a) Écrire l é.d. qui modélise Q(t). b) Résoudre l é.d., avec Q(0) = 0. c) Calculer Q(60). d) Esquisser le graphe de Q(t). 10

11 6. Une solution de glucose est introduite dans le sang par injection intraveineuse selon un débit constant r. Lorsque le glucose pénètre, il est métabolisé et éliminé de la circaulation sanguine à un taux proportionel à la concentration à ce moment. Soit C(t) la concentration du glucose dans le sang au temps au temps t, alors où k est une constante positive. a) Résoudre cette é.d. si C(0) = C 0. dc = r kc, b) Si 0 C 0 r/k, calculer lim t C(t) et interpréter votre réponse. 11

12 Réponses : 1. a) dq = ln(2) Q = Q. b) Q(t) = 500(0.5) t c) Q(0.01) mg. d) t secondes. 2. a) dq = ln(2) 5730 Q. b) Q(t) = Q 0 (0.5) t 5730, où Q(0) = Q 0. c) Le fragment de parchemin a environ 2500 ans! 3. a) dt = k(23 T ). b) T (45) C. c) t minutes. 4. a) dq = Q. b) Q(t) = 15e 0.01t. c) Q(20) 12.3 kg. 5. a) dq = Q. b) Q(t) = e 0.015t. c) Q(60) kg. 6. a) C(t) = (C 0 r k ) e kt + r k. b) lim t C(t) = r k. 12

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