TRAITEMENT DU SIGNAL

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1 Spé y Devoir n TRAITEMENT DU SIGNAL Le but de ce problème est d étudier différentes manière de réaliser une source de tension délivrant une tension sinusoïdale de fréquence rélable, de la forme v(t) = Vcos(ωt) où V est l amplitude et ω la pulsation. Partie I OSCILLATEUR A RESISTANCE NEGATIVE I-) On réalise le circuit A à l aide d une résistance R, d un condensateur de capacité C initialement décharé, d un énérateur de tension supposé idéal et de force électromotrice constante E et d un interrupteur K. A l instant t = 0, on ferme l interrupteur. a) Établir l équation différentielle vérifiée par la chare q(t) du condensateur. b) Donner la solution de cette équation. c) Donner l allure de la courbe représentant la chare q en fonction du temps. Préciser la valeur atteinte par cette chare en réime permanent. I-) On place ensuite ce condensateur charé en série avec une bobine d inductance L et de résistance r (circuit B) a) Établir l équation différentielle vérifiée par la tension U C (t) aux bornes du condensateur. b) Un oscilloscope permet de suivre l évolution temporelle de U C et fournit la courbe ci-dessous (échelles : µs.div et 0,5 V.div ) Cette courbe est-elle en accord avec l équation différentielle obtenue en a? D après cette courbe, déterminer : la pseudo-période T des oscillations ; la valeur de l inductance L sachant que la capacité C est éale à 0, nf et en admettant que la pseudo- -période est éale à la période propre T 0 de l oscillateur ; la valeur maximale de la tension U C et la valeur de la chare q qu il avait accumulée. I-3) On modifie le circuit B en ajoutant le dipôle D appelé «montae à résistance néative». On obtient le circuit C. K E R C circuit A circuit B L, r C i A + R 0 B R F D R M Spé y circuit C pae /5 Devoir n

2 La nouvelle courbe obtenue sur l écran de l oscilloscope est alors celle tracée ci-dessus (échelles 0,5 µs.div et 0,5 V.div ) a) Montrer que la tension U AB et l intensité du courant i dans le circuit vérifient U AB (t) = R 0 i(t) dans un certain mode de fonctionnement de l A.O. On supposera l amplificateur opérationnel idéal. b) En notant ±V SAT les tensions de saturation de l A.O., établir la condition que doit vérifier i(t) pour que le mode de fonctionnement précédent soit vérifié. c) Justifier alors le nom donné au dipôle D et expliquer son rôle. Pourquoi en pratique la résistance R 0 est-elle variable? d) Comment qualifie-t-on l oscillateur ainsi obtenu? e) Établir l équation différentielle vérifiée par la tension U C (t) si R 0 r. Calculer la période T de la tension U C si R 0 = r. Expliquer alors pourquoi l utilisation d un condensateur de capacité C variable permet d obtenir entre ses bornes une tension sinusoïdale de fréquence rélable. Partie II OSCILLATEUR COLPITTS A TRANSISTOR La fiure représente le schéma d un amplificateur à transistor amplifiant la tension v e variable (entrée v e, sortie v s ). T est un transistor à effet de champ (connecté par ses trois bornes G, D et S). En réime variable, le transistor T peut être modélisé par le schéma de la fiure : l impédance entre G et S est considérée comme infinie ; entre les bornes D et S, la source de courant délivre un courant d intensité proportionnelle à la différence de potentiel v s (on note s le facteur de proportionnalité ou transconductance, énéralement exprimée en milliampères par volt). II-) Dans ce qui suit, on ne s intéressera qu au fonctionnement en réime variable. De plus, dans les domaines de fréquence envisaés, les condensateurs C, C et C S peuvent être assimilés à des courts-circuits. On admettra que, dans ces conditions, l amplificateur peut être représenté par le schéma très simple de la fiure 3. Spé y pae /5 Devoir n

3 a) Montrer que l amplificateur de la fiure 3 peut aussi être représenté par le schéma de la fiure 4. Donner les expressions de R s (résistance de sortie) et du coefficient A (amplification) caractérisant la source de tension (attention à l orientation). b) On connecte un appareil de résistance d entrée R U à la sortie de l amplificateur (entre les bornes M et N). Que devient le rapport v s /v e? II-) Oscillateur Colpitts à transistor On complète le montae amplificateur de la fiure 4 avec deux condensateurs de capacité C et une inductance pure L et on connecte les bornes Q et E (fiure 5). a) Montrer que le montae peut être modélisé par le schéma de la fiure 6 où: A est le paramètre de l amplificateur (c est le coefficient A de la source de tension de la fiure 4) B(p) une fonction de transfert que l on exprimera dans le formalisme de Laplace sous la forme: B( p) = + a p + a p + 3 a p 3 (p désine la variable de Laplace; a, a, a 3 sont des coefficients dont on donnera l expression en fonction de R S, L et C). b) En déduire que, pour assurer le fonctionnement du montae en réime sinusoïdal permanent de pulsation ω, la tension v e prenant des valeurs non nulles en l absence de tout énérateur de tension sinusoïdale extérieur (fonctionnement en oscillateur quasi-sinusoïdal), il faut imposer deux conditions: la fréquence doit avoir une valeur f 0 (à déterminer) le paramètre A doit avoir une valeur particulière (à déterminer). II-3) On admet que le montae est un oscillateur quasi-sinusoïdal de fréquence f 0 (déterminée à la question précédente). a) Comment faire pour assurer le démarrae des oscillations (réponse qualitative sur quelques lines)? b) Il y a dissipation d énerie par effet Joule dans les différentes résistances présentes dans le montae et pourtant on n observe pas d amortissement des oscillations. Qui donc fournit cette énerie? c) On utilise des condensateurs dont la capacité C = 00 nf est connue à 5% près et une inductance L = mh évaluée à % près. Calculer la fréquence d oscillation f 0 et l incertitude relative f 0 /f 0 sur cette fréquence. II-4) Quel montae simple à amplificateur opérationnel pourrait remplir la fonction amplification du bloc A de la fiure 6? Représenter ce montae. II-5) Pour obtenir des oscillateurs de fréquence élevée (plusieurs dizaines de méahertz) avec une rande précision sur la fréquence d oscillation (moins de pour 000), on utilise encore le Spé y pae 3/5 Devoir n

4 montae de la fiure 5 mais l inductance est alors remplacée par un quartz piézo-électrique. Peut-on encore employer le montae amplificateur à amplificateur opérationnel de la question précédente? Justifier votre réponse. Partie III OSCILLATEUR A SOURCE DE COURANT NON LINEAIRE Le fonctionnement d un oscillateur est décrit par le dispositif représenté sur la fi.7 Le énérateur de courant i = f(v) attaquant le circuit R-L-C parallèle est un énérateur linéaire par morceaux (et donc lobalement non linéaire), commandé par la tension v(t). Sa caractéristique, impaire, est la suite de sements de droite précisée sur la fiure 8 ; par hypothèse, on a V 0 > 0 et <. fiure 7 Oscillateur fiure. 8 : Caractéristique du énérateur III--a) En distinuant les cas v(t) < V 0 et v(t) > V 0, écrire les deux formes de l équation différentielle relative à v(t). b) L instant initial est défini par i(0 ) = 0 et v(0 ) = 0. À quelle condition sur R le système est-il instable? c) En supposant cette condition réalisée, montrer que l apparition d oscillations stables, c est-à-dire d amplitude bornée, est subordonnée à une seconde condition, portant maintenant sur R. III-) La fiure 3 représente le schéma-bloc de la fiure ; elle v(p) e(p) = 0 précise successivement le sinal de commande e(p) = 0, le sinal NL d erreur v(p) et le sinal de sortie i(p). Ce schéma-bloc est constitué d un orane non linéaire NL et d un filtre de fonction de transfert opérationnelle F(p) qu on précisera en fonction de R, L et C. Pour une fré- v(p) F(p) 0 quence propre f 0 = ω = 00 khz et un facteur de qualité fiure. 9 : Représentation en Q = RCω 0 = 5, tracer le diaramme de Bode, en amplitude et en phase, schéma-bloc de la fi. 7 F( jω) de la fonction de transfert réduite h( ω) = (j = ). On donne R L = 00 µh ; calculer R et C. III-3-a) La détermination de la pulsation d accrochae et de l amplitude d éventuelles oscillations se fera en utilisant l approximation dite du premier harmonique, que nous allons établir proressivement. On commence par supposer que le énérateur de courant est commandé par la tension sinusoïdale Vsin(ωt), de pulsation ω, avec V > V 0. On pose V 0 = Vsin(θ 0 ), avec 0 θ0. Exprimer formellement, dans ces conditions, le développement en série de Fourier du courant i en sortie du énérateur de courant. Montrer que la moyenne du courant i est nulle et que le premier harmonique de son développement en série de Fourier (appelé aussi fondamental de i(t)) est en phase avec Vsin(ωt). b) Décrire avec précision, mais sans effectuer les calculs, la méthode permettant de calculer l amplitude I de ce premier harmonique en fonction de,, θ 0 et V. Le ain du premier harmonique, défini par G = I, s en déduit et l on admettra la solution, qui définit H(θ 0 ) V i(p) Spé y pae 4/5 Devoir n

5 G = G = + ( θ0) sin( θ0) + θ0 = + H ( θ0). III-4-a) L approximation du premier harmonique suppose que tous les sinaux dans le schéma-bloc de la question 4 sont sinusoïdaux de même pulsation ω et que la fonction de transfert non linéaire i ( p ) f v( p) = ) est remplacée par le ain du premier harmonique du énérateur de v( p) v( p) courant, c est-à-dire G(θ 0 ). Dans ce cadre, établir l équation différentielle linéaire portant sur la tension v(t). En déduire la pulsation d accrochae des oscillations et montrer que la sélectivité du filtre conditionne la léitimité de la méthode. l équation b) Montrer qu en réime d oscillations purement sinusoïdales, θ 0 est solution de θ0 + sin( θ0) = c) Déduire de l étude de H(θ 0 ) = θ 0 + sin(θ 0 ) les inéalités établies dans la question III-. d) En examinant la manière dont le système, en réime d oscillations d équilibre, réait à une petite perturbation d amplitude V et en utilisant le fait que H(θ 0 ) soit croissante pour 0 θ0, montrer la stabilité de l amplitude des oscillations lorsque les conditions de leur existence sont respectées. III-5) Sans effectuer les calculs, et en supposant le énérateur de courant autonome, décrire et justifier une méthode «énerétique» permettant de retrouver la condition d oscillations d équilibre. F HG R I KJ Spé y pae 5/5 Devoir n