CONVERSION DE PUISSANCE

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1 Spé ψ Devoir n 5 CONVERSION DE PUISSANCE Une locomotive électrique moderne est capable de circuler avec deux types de tension d alimentation rencontrés sur le réseau ferroviaire : 5 kv à 50 Hz et 1,5 kv continu. Les trois parties de ce problème peuvent être traitées indépendamment. Pour les grandeurs électriques, les lettres minuscules représentent des valeurs instantanées et les majuscules des grandeurs efficaces ou continues. PREMIERE PARTIE Étude du transformateur, alimentation 5 kv, monophasée, 50 Hz (figure 1). Le primaire est alimenté à partir du réseau 5 kv, 50 Hz, et le secondaire est constitué de quatre enroulements considérés comme identiques, débitant le même courant dans des charges identiques. Sa puissance apparente totale (c est-à-dire pour tous les enroulements secondaires) est de 5,76 MVA. Des essais ont donné les résultats suivants : Essai à vide : U 10 = U 1N = 5,0 kv ; U 0 = 1,60 kv (par enroulement). Essai en court-circuit (les enroulements secondaires sont tous en court-circuit) : U 1CC vaut 37% de U 1N, I CC = 900 A (par enroulement), P 1CC = 10 kw. On néglige le courant primaire absorbé à vide. u 1 i 1 i 1 n 1 figure 1 n i n i 3 n i 4 n u 1 u u 3 u 4 I-1) Que signifient les points sur la figure 1? I-) Quelle est la valeur de m, rapport de transformation par enroulement? I-3) Quelle est l intensité du courant nominal I N pour un enroulement secondaire? I-4) Dans un fonctionnement quelconque du transformateur, exprimer i 1 (t) en fonction des courants i k (t) avec (k = 1,, 3, 4). Le schéma équivalent du transformateur est donné figure pour un des enroulements secondaires. L enroulement R P RS i 1 L primaire possède une résistance R P. Les résistances R P et R S S sont proportionnelles à la longueur des fils des enroulements, u 1 u 1, PARF m c est-à-dire à leurs nombres de spires, avec le même coefficients de proportionnalité pour toutes. P 1CC représente la puissance totale absorbée au primaire lorsque les quatre secondaires sont en court-circuit. figure u, PARF u I-5) Donner l expression de P 1CC en fonction de R S et de I CC, valeur efficace commune aux quatre courants de court-circuit. En déduire la valeur de R S. Pour la suite, on négligera l impédance de l enroulement primaire. I-6) Calculer Z S la valeur de l impédance de chaque enroulement secondaire et en déduire L S. Pour la suite, on négligera la résistance R S devant L S ω et l on prendra L S =,1 mh (L S ω = 0,66 Ω ). i k Spé ψ page 1/6 Devoir n 5

2 I-7) Combien valent la valeur efficace U de la tension u (t) et le déphasage δ de u (t) par rapport à i k (t) lorsque les trois conditions suivantes sont réalisées : U 0 vaut 1,6 kv; I k = 689 A (k = 1,, 3, 4); le déphasage de i k (t) par rapport à u 0 (t) est nul. (On peut utiliser un diagramme de Fresnel représentant les vecteurs associés aux amplitudes complexes des grandeurs étudiées). I-8) Que valent alors le courant I 1 et le facteur de puissance au primaire lorsque les grandeurs électriques des quatre enroulements secondaires sont dans les conditions décrites en I-6. DEUXIÈME PARTIE Alimentation en 1500 V continu Étude du hacheur élévateur en conduction ininterrompue. Sous caténaire 1,50 kv continu, des hacheurs associés dans une configuration élévateur de tension maintiennent la tension d alimentation des onduleurs triphasés à 750 V continu. Ces onduleurs sont nécessaires pour la motorisation, étudiée dans la partie suivante. Les interrupteurs sont supposés parfaits. Étude du hacheur simple (figure 3). i 1 D i D G 1 est commandé à la fermeture de l instant L i G1 t = 0 à l instant t = αt, et à l ouverture de t = αt V u G1 G 1 E C 0 jusqu à T où T est la période de fonctionnement (f = 1/T = 300 Hz). figure 3 E sera considéré comme constant (E =,75 kv) et i 1 ininterrompu, variant entre les valeurs extrêmes I 1,MIN et I 1,MAX. V = 1,50 kv ; L = 5,0 mh (bobine idéale)/ II-1) Exprimer u G1 (t) pour 0 < t < T. II-) En exprimant u G1 la valeur moyenne de u G1, en fonction de V d une part, en fonction de α et de E d autre part, établir l expression de E en fonction de α et V. Calculer la valeur de α qui permet d avoir E =,75 kv lorsque V = 1,50 kv. II-3) Déterminer l expression de i 1 lorsque 0 < t < T. Tracer les chronogrammes de i 1 (t) et i G1 (t). I1,MAX I1,MIN II-4) Trouver l expression de l ondulation de i 1, définie par la relation i1 =. Calculer i 1 pour α = 0,45. charge Étude de deux hacheurs à commandes décalées. Afin de réduire les harmoniques de courant côté ligne, on double le montage étudié à la question II-1 d un deuxième hacheur dont la commande sera décalée. La configuration est représentée figure 4. L i 1 D 4 id4 G 1 est commandé à la fermeture de l instant t = 0 à i l instant t = αt et à l ouverture de t = αt jusqu à T. L u G3 i 1 D G 3 est commandé à la fermeture de l instant t = T/ i G1 i G3 i D C 0 à l instant t = T/ + αt, et à l ouverture de t = T/ + αt V u G1 E G 1 G 3 jusqu à T + T/. T est la période de fonctionnement avec figure 4 f = 1/T = 300 Hz. E sera considérée comme constante (E =,75 kv). V = 1,50 kv. Spé ψ page /6 Devoir n 5 charg

3 II-5) i 1 (t) est représenté sur la figure 5 ; en déduire la représentation graphique de i 1 (t). II-6) En déduire la représentation graphique de i(t). Préciser la fréquence de i et la comparer à celle de i 1 du montage étudié à la question III-1. II-7) Déterminer l expression de di( t) dt I 1,MAX I 1,MIN en fonc- IMAX IMIN tion de α, V et L pour 0 < t < αt. En déduire l expression de i, défini par i =. Calculer i pour α = 0,45 et comparer le résultat avec celui de la question III-6). i 1 (t) αt T/ T figure 5 t TROISIÈME PARTIE Moteur synchrone autopiloté Étude du rotor On considère une spire circulaire de centre O, de rayon R, contenu dans le plan Oxy, orthogonal à l axe Oz et parcourue par un courant électrique constant I. Elle est située dans l air assimilable magnétiquement à du vide. Elle est orientée dans le sens trigonométrique comme le montre la figure 6. On considère un point M, de cote z, situé sur l axe Oz. III-1) Par des considérations de symétrie, dé-, terminer la direction du champ magnétique B( M) créé par la spire au point M. Déterminer ensuite son expression en fonction de I, R, z et de la perméabilité magnétique du vide µ 0. figure 6 Étude du stator Le stator est constitué de trois bobines, dont les axes principaux contenus dans le plan xoy sont décalés de π/3 les uns par rapport aux autres. Elles sont alimentées par un système de courant triphasé d amplitude maximale I M, (de valeur efficace I EFF ) et de fréquence f S (de pulsation ω S ). On a : ( ) cos( ) ( ) = cos( ω +ϕ π/3) ( ) = cos( ω +ϕ+ π/3) i1 t = IM ω St+ϕ i t IM St i3 t IM St Chaque bobine crée dans la machine un champ magnétique proportionnel au courant qui la traverse et dirigé suivant son axe principal. On note K le coefficient de proportionnalité et on a : B j ( t) = Kij( t) ej avec j = 1, ou 3 et e1 = ex ; e et e 3 se déduisent de e 1 par les rotations d angle respectif π/3 et π/3. III-) Donner l expression du champ figure 7 Spé ψ page 3/6 Devoir n 5

4 magnétique BS ( t) créé par le stator à l intérieur de la machine dans la base ( ex, ey). On exprimera chaque composante en fonction de K, I M, ω S t et ϕ. III-3) Montrer que ce champ est de norme constante et porté par un vecteur unitaire dont on ex, ey. Justifier l appellation de champ tournant et précisera le sens et la direction dans la base ( ) préciser son sens de rotation. III-4) Que se passe t il si on inverse les phases 1 et de la machine c est à dire si l on a : BS ( ) cos( /3) ( ) = cos( ω +ϕ) ( ) = cos( ω +ϕ+ π/3) i1 t = IM ω St+ϕ π i t IM St i3 t IM St III-5) On donne K = 0,05 T A 1, I EFF = 15 A, f S = 50 Hz. Calculer la valeur numérique de et la vitesse de rotation de ce champ tournant en tr/min. Couple exercé sur le rotor : Dans la suite du problème, on pose BS ( t) = B u( t), où Bs est l amplitude du champ ma- ex, ey tel que l angle gnétique créé par le stator et u( t) e u =ω t+ϕ. ( x, ) S S le vecteur unitaire de la base ( ) Ω=Ωe z. D un point de Le rotor tourne autour de l axe Oz, à la vitesse angulaire constante vue électrique, il est assimilable à une bobine plate rectangulaire de surface géométrique S = r 0 H, de largeur r 0 et de longueur H suivant Oz. Cette bobine comporte p spires en série. Elles sont géométriquement confondues. Chaque spire est parcourue par le courant continu d intensité I. Soit nt ( ) le vecteur unitaire de la base ( ex, ey) rotor. On note θ l angle ( ex, n). On pose θ ( t ) =θ 0 +Ω t., normal à la surface S orientée du figure 8 III-6) Déterminer le moment mécanique Γ ( t) =Γ( t) ez exercé sur le rotor. des actions électromagnétiques, III-7) La pulsation ω S étant imposée et constante, établir, suivant les valeurs de Ω, le couple moyen Γ SYN, associé à Γ(t). Pourquoi ce type de moteur est il qualifié de synchrone? Ce type de moteur, connecté à un réseau de fréquence fixe peut il démarrer seul? Spé ψ page 4/6 Devoir n 5

5 III-8) Tracer la courbe représentant Γ SYN en fonction du décalage angulaire ψ = ϕ θ 0. Délimiter les intervalles de ψ correspondant aux fonctionnements moteur et générateur. Que vaut ψ lorsque Γ SYN est maximum? Donner l expression de ce couple maximum, noté Γ MAX. Que vaut le flux magnétique Φ MAG créé par le stator, c est à dire le flux de rotor lorsque Γ SYN = Γ MAX? BS à travers le III-9) Pour un couple 0 Γ SYN Γ MAX donné, il existe deux valeurs (éventuellement une valeur double) de l écart angulaire ψ = ϕ θ 0. Discuter de la stabilité du fonctionnement de la machine pour chacune de ces deux valeurs. Cette étude doit aussi prendre en compte la valeur double. On étudiera l effet sur le couple moteur d une perturbation (motrice ou non) de la position du rotor, c est à dire la répercussion d une variation de l angle ψ sur le couple moteur. $$$$$$$$$ FIN DU DEVOIR EN TEMPS LIMITÉ $$$$$$$$$$ QUATRIÈME PARTIE Autopilotage de la machine synchrone Le principe de l autopilotage de la machine consiste à mesurer, à l aide d un capteur de position angulaire, appelé résolveur, la position θ du rotor de la machine. On alimente alors le stator de la machine par un onduleur (ou alimentation à fréquence variable) qui délivre trois courants triphasés : i 1 (t), i (t) et i 3 (t). Ces courants sont asservis en fréquence et en phase de sorte que : ω s = Ω et que ϕ = θ 0 + π. On obtient alors un fonctionnement intrinsèquement stable de la machine et un couple maximum. Dans toute cette partie, on supposera que la machine tourne à une vitesse angulaire dθ( t) Ω=Ω ez = ez. Compte tenu de l inertie de la machine et des échelles de temps considérées dt ici, Ω sera supposée constante. Ω [0, Ω MAX ], Ω MAX est la vitesse maximale de rotation de la machine. On supposera la relation θ = Ωt + θ 0 toujours valable. Le résolveur s insère autour de l arbre reliant la machine et sa charge. Il est composé d une partie tournante, solidaire de l arbre de la machine, appelée roue polaire, et de deux autres bobines fixes dans le référentiel (O, x, y, z) lié au stator de la machine. On définit le référentiel (O, u, v, z) lié à l arbre de la machine et qui se déduit du référentiel (O, x, y, z) par la rotation autour de l axe Oz. La roue polaire, solidaire de l arbre de la machine, est assimilable à une bobine B 0 parcourue par un courant j. Cette bobine crée à l intérieur du résolveur un champ magnétique B, dont l intensité est proportionnelle au courant j et dont le sens et la direction dépendent de la position de l arbre. B t =α ju t est le vecteur On pose ( ) ( ) où α est un coefficient de proportionnalité connu et u( t) unitaire de l axe Ou du référentiel (O, u, v, z) lié à l arbre de la machine, en rotation à la vitesse ( ) angulaire Ω par rapport au référentiel fixe (O, x, y, z) lié au stator. On a ( t) ex, u( t) θ =. Les deux autres bobines B 1 et B sont fixes, identiques et ont pour axe principal respectif Ox et Oy. Les spires de ces bobines ont pour vecteur normal respectif e x et e y. Elles ne sont parcourues par aucun courant. Elles possèdent chacune n spires de surface Σ. IV-1) La bobine B 0 est ici alimentée par un courant continu j = J 0. Déterminer en fonction de α, J 0, θ, n et Σ les expressions des tensions V 1 (t) et V (t) aux bornes des bobines B 1 et B. Ces deux tensions permettent elles toujours de déterminer la position θ du rotor? Spé ψ page 5/6 Devoir n 5

6 IV-) On alimente maintenant la bobine B 0 par un courant sinusoïdal de fréquence f P ou de j t = J cos ω t. pulsation ω P. On a ( ) ( ) 0M P Dans le cas où la pulsation ω P est très grande devant Ω, montrer que V t = nσαω J sin ω t cos θ. Puis, déterminer l expression de la tension V (t). ( ) ( ) ( ) 1 P 0M P Dans toute la suite du problème on supposera ω P >> Ω. IV-3) Tracer les deux graphes représentant l allure des tensions V 1 (t) et V (t) lorsque la machine est à l arrêt. On choisira une valeur quelconque de θ. IV-4) Reprendre ces graphes lorsque la machine tourne à vitesse constante. On donnera la valeur numérique de l amplitude de ces tensions. On prendra α = 4T / A, J 0M = 00mA, n = 10, Σ = 0,1 cm 3 et f P = 10 khz. IV-5) On rappelle que pour un multiplieur de constante multiplicative k, on a V s (t) = k.v e1 (t).v e (t). Préciser l unité et la valeur numérique de k, pour le multiplieur que vous avez utilisé en travaux pratiques. IV-6) On considère le montage de la figure 10. Donner l expression de la tension de sortie s m (t) et représenter son spectre en amplitude. IV-7) Quelle est l opération de traitement du signal nécessaire pour retrouver un signal proportionnel à cos(θ)? Proposer un montage ne comportant que des composants passifs permettant d effectuer cette opération. IV-8) Donner la (ou les) contraintes) sur les composants, pour que les composantes résiduelles hautes fréquences soient atténuées de 40 db. IV-9) Donner alors l expression figure 9 figure 10 de la tension relevée, en pratique, en sortie de ce dernier montage. On précisera son amplitude et sa phase. En déduire la valeur de l erreur commise sur θ lorsque la machine tourne à Ω = 3000 tr/min. IV-10) Quelle est alors la perte relative de couple, exprimée en %, par rapport à un autopilotage parfait où ϕ vaut exactement θ 0 +π/. Commenter. Formulaire : p+ q p q cos( p) + cos( q) = cos cos p+ q p q cos( p) cos( q) = sin sin ( θ ) = ( θ) cos 1 sin ( a+ b) = ( a) ( b) ( a) ( b) cos cos cos sin sin ( a+ b) = ( a) ( b) + ( a) ( b) sin sin cos cos sin Spé ψ page 6/6 Devoir n 5

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