Sujet n 23 : Résolutions de problèmes à l aide des matrices

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1 Sujet n 23 : Résolutions de problèmes à l aide des matrices Programme officiel de la section spécialité selon mon bouquin de TS, chapitre «Matrices et suites» (pas sûr que dernière version) Exemples de problèmes Marche aléatoire simple sur un graphe à deux ou trois sommets Marche aléatoire sur un tétraèdre ou sur un graphe à N sommets avec saut direct possible d un sommet à un autre : à chaque instant, le mobile peut suivre les arêtes du graphe probabiliste ou aller directement sur n importe quel sommet avec une probabilité constante p. Etude du principe de calcul de la pertinence d une page Web. Modèle de diffusion d Ehrenfest : N particules sont réparties dans deux récipients ; à chaque instant, une particule choisie au hasard change de récipient. Modèle proie prédateur discrétisé : - évolution couplée de deux suites récurrentes ; - étude du problème linéarisé au voisinage du point d équilibre Contenus. Matrices carrées, matrices colonnes : opérations.. Matrice inverse d une matrice carrée.. Exemples de calcul de la puissance n-ième d une matrice carrée d ordre 2 ou 3.. Ecriture matricielle d un système linéaire.. Suite de matrices colonnes (U n ) vérifiant une relation de récurrence du type U n+1 =AU n +C : - recherche d une suite constante vérifiant la relation de récurrence ; - étude de la convergence.. Etude asymptotique d une marche aléatoire

2 Extrait du rapport du jury Épreuve de leçon L épreuve de leçon consiste à traiter de façon synthétique un sujet portant sur une ou plusieurs notions mathématiques relevant des programmes des classes de l enseignement secondaire ou des sections de techniciens supérieurs. Cette épreuve est organisée selon trois temps : le plan doit présenter une structure claire permettant d introduire les diverses notions de façon progressive, en les illustrant d exemples pertinents ; le jury doit y trouver des pistes pour le choix d un développement ; le développement d une partie du plan choisie par le jury permet au candidat de montrer sa maîtrise du sujet et sa bonne compréhension des éléments exposés dans le plan, à travers la démonstration d un théorème, la résolution d un exercice, la mise en œuvre d un logiciel, etc. ; l entretien constitue un moment d échange avec le jury, permettant au candidat de clarifier certains éléments du plan ou du développement et de valoriser ses connaissances en prenant du recul par rapport au thème abordé. Une préparation des épreuves solide et sur une durée suffisamment longue reste le meilleur gage de réussite. Fort heureusement, certains candidats l ont bien compris. À l inverse, il est impossible de faire illusion lorsque l on s en remet uniquement aux ressources fournies par le jury et notamment à des manuels scolaires découverts le jour de l épreuve. Un plan de qualité doit être synthétique et cohérent, mais également riche et attrayant. Présenter une succession de titres ne suffit pas et est fortement pénalisé. Le jury attend au contraire des énoncés (définitions, propositions, théorèmes) formulés avec clarté et rigueur et des illustrations (exemples, contre-exemples, exercices d application, schémas et graphiques) riches et variées. Un plan suffisamment hiérarchisé permet aux candidats de valeur de faire la part des choses entre ce qui doit être écrit et ce que l on peut se contenter de dire. Ce dernier élément n est pas sans lien avec une bonne gestion du temps de l épreuve, laquelle dépend également de l entraînement que l on s est imposé en amont. Concernant le choix de la leçon, les sujets les moins bien traités concernent l arithmétique et les probabilités (notamment ce qui a trait aux lois continues), mais aussi les nombres complexes et le traitement de certains thèmes de collège pourtant simples en apparence, comme la proportionnalité. Les «leçons d exemples» sont également source de difficultés. Le jury attend des candidats qu ils soient vigilants quant au statut des énoncés, qu ils distinguent soigneusement conjecture et preuve et qu ils utilisent correctement les quantificateurs.

3 Pour cette épreuve de leçon, le jury n attend pas du candidat qu il se réfère à une situation d enseignement précise ni qu il traite le sujet «comme devant une classe». En revanche, la posture attendue est proche de celle d un enseignant : l aisance, la clarté du discours, la mise en perspective, le souci de se faire bien comprendre et de préciser le contexte de la leçon sont autant de points qui sont systématiquement valorisés. À l inverse, les candidats qui parlent sans regarder le jury, voire en lui tournant le dos de façon systématique ou encore qui tiennent des propos décousus voire incompréhensibles ont été pénalisés, parfois lourdement. Un niveau de langage raisonnablement soutenu est également attendu. Lorsque l on fait un exposé après une préparation de plus de deux heures, il est bienvenu de savoir se référer ponctuellement aux notes prises durant cette préparation, mais il est tout aussi important de savoir s en détacher la plupart du temps. Des candidats de plus en plus nombreux trouvent à cet égard le bon compromis, en s appuyant notamment sur l emploi d un support numérique. Le développement, qui relève du choix du jury, doit constituer une prestation personnelle : se limiter à lire une démonstration directement extraite d un manuel est naturellement sanctionné Enfin, le jury a été sensible aux efforts fournis pour utiliser les outils numériques, désormais employés de façon pertinente y compris les manuels numériques, et a apprécié le recours de plus en plus fréquent à l algorithmique.

4 Résolutions de problèmes à l aide des matrices : Exposé (Commentaires) 1) Plan 1.1) Rappels de cours Définitions : matrice carrée A d ordre n, coefficient d indice a i,j, matrice nulle 0 n, matrice diagonale, matrice colonne d ordre n Opérations sur les matrices : somme A+B, produit par un réel ka, produit d une matrice carrée par une matrice colonne, produit de deux matrices carrées et propriétés (distributivité, associativité, k x (A x B), produit avec la matrice identité, non commutativité) Inverse d une matrice carrée, définition, n existe pas pour toute matrice même non nulle, propriétés (A -1 ) -1 =A et (AxB) -1 =B -1 xa -1 Puissance n-ième d une matrice carrée, cas des matrices diagonales, des matrices identité Hors sujet Exemples de résolution de problèmes 1.2) Résolution d un système d équations. 1.3) Résolution d un problème par l étude d une suite de matrice Total plan 5 min. Beaucoup trop succinct. Les énoncés des problèmes doivent être présentés avec rigueur et précision.

5 2) Développement 2.1) Résolution d un système d équations. On considère 3 plans dans l espace rapporté à un repère orthonormé, d équations respectives : x 2y z = 7 2x -2y + 3z = -3 3x + y -2z = 11 Démontrer que ces 3 plans se coupent en un seul point que l on déterminera en résolvant un système écrit sous forme matricielle et en utilisant la calculatrice. x = [A] x [X] = [B] Donc [A]-1 x [A] x [X] = [X] = [A]-1 x [B] On saisit la première matrice [A] en 3x3 puis la deuxième [B] en 3x1, puis on effectue le calcul et on obtient L attitude naturelle de l élève sera de résoudre la question par la méthode qu il connaît : élimination progressive des variables pour déterminer z et déduire y puis x. Recomposer l énoncé : 1) selon la méthode déjà connue 2) écrire l équation matricielle et sa résolution 3) faire le calcul à l aide de la machine Questions du jury : Trouve-t-on toujours un point? Dans quelles conditions trouve-t-on un plan? Une droite?

6 2.2) Résolution d un problème par l étude d une suite de matrice On étudie l évolution d une maladie sur une population stable. Chaque individu de cette population est soit malade (M) soit sain (S). On suppose pour chaque individu que d une semaine sur l autre : - s il était malade, il le reste la semaine suivante avec une probabilité de 1/4 ; - s il était sain, il le reste la semaine suivante avec une probabilité de 2/3. Au début de l étude, 5% de la population est malade. Question : quelle va être l évolution de cette maladie dans la population après n semaines? Eradication? Epidémie totale? Ou stabilisation à un certain niveau? 2.2.1) On note m n la probabilité qu un individu choisi au hasard soit malade au bout de n semaines et s n celle qu il soit sain. On a : Soit en écriture matricielle : 2.2.2) Démontrons que Avec : ) ) Soit vraie Alors Par le calcul on obtient et D où : Donc

7 2.2.3) Donc par récurrence avec On obtient : Quand n tend vers plus l infini, tend vers la matrice. Si on ne fait rien, environ 31% de la population va finir par être malade et cette proportion va demeurer. Recomposer l énoncé pour préciser les étapes telles qu elles seraient proposées aux élèves, notamment pour trouver le calcul de A n.