Normalité des rendements?

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1 Normalité des rendements? Daniel Herlemont 31 mars 2011 Table des matières 1 Introduction 1 2 Test de Normalité des rendements 2 3 Graphiques quantile-quantile 2 4 Estimation par maximum de vraisemblance pour une loi de Student 5 5 Test statistiques de normalité 9 6 Convergence vers la loi normale 10 7 References 11 1 Introduction L objectif de ce TP est de tester les hypothèses de (non) normalité des rendements : ˆ rappels sur le Théorème Central Limite, ˆ apprendre à utiliser les graphiques quantile-quantile, ˆ effectuer des tests statistiques (Kolmogorov Smirnov, Shapiro, Jarque Bera), ˆ applications à différents type d actifs : indices, devises, fonds,... Ces applications mettent en évidence les queues épaisses des actifs financiers, donc des risques plus 1

2 3 GRAPHIQUES QUANTILE-QUANTILE élevés que dans un modèle normal. Nous constaterons également que les rendements deviennent de plus en plus gaussien lorsque les intervalles d observation augmentent : un autre fait stylisé connu, sous le terme de gaussianité par aggrégation. Le modèle normal n est que l expression du Théorème Central Limite (TCL) : le rendement sur une période T peut être considéré comme la somme de rendements aux sous périodes de durée T/n, avec n le nombre de sous périodes. Si ces rendements sont identiquement distribués et indépendants, alors le Théorème Central Limite s applique et la distribution du rendement converge vers une loi normale. Il est donc logique de tester cette hypothèse. Nous verrons que les rendements sont à peu près gaussiens au centre de distribution (à 1 σ autour de la moyenne), et en diverge au delà, avec des queues épaisses. 2 Test de Normalité des rendements Il existe tout une batterie de tests de Normalité. Le premier des tests est graphique : ˆ Histogramme : nous avons déjà affiché l histogramme des rendements avec un fit gaussien estimé par la moyenne et l écart type : voir TP sur l exploration des données financières. ˆ Une façon plus adaptée est de construire un graphique quantile-quantile : Viennent ensuite les tests statistiques spécifiques : test de Kolmogorov Smirnov, du Chi2. de Shapiro Wilk, de Jarque Bera. 3 Graphiques quantile-quantile Désigné aussi par le terme qq-plot. Un qqplot permet de voir rapidement l adéquation d un échantillon à une distribution, ou comparer deux échantillons. Ci après le graphique du premier exercice : on compare un échantillon d une loi de tstudent à 3 degrés de liberté, à la loi normale. y=rt(1000,3) qqnorm(y,main="t student df=3") qqline(y) Daniel Herlemont 2

3 3 GRAPHIQUES QUANTILE-QUANTILE Il est construit de la manière suivante : soient F, la fonction de répartition estimée construite à partir des observations, représentée sur l axe des y, et G la fonction de répartition théorique, représentée sur l axe x. A chaque observation y, on fait correspondre l abscisse x, tel que x = G 1 F (y). Si F provient de G, alors x = G 1 F (y) y : on devrait observer une droite. Dans le cas contraire, en cas de déviations évidentes, on pourra rejeter l hypothèse de l adéquation de l échantillon à la distribution théorique. R permet de créer des qqplots à l aide des fonctions qqplot pour le cas général et qqnorm pour une comparaison avec une distribution normale. qqnorm utilise une variable centrée réduite sur l axe des x qui représente donc les écarts à la moyenne en nombre de sigma s. A faire : comparer des distributions connues à la distribution normale à l aide de qqnorm, faire des commentaires sur les queues de distribution. Daniel Herlemont 3

4 3 GRAPHIQUES QUANTILE-QUANTILE ˆ distribution de t student avec un degré de liberté à 7 : utiliser la fonction rt ˆ distribution exponentielle : si on souhaite utiliser la fonction exponentielle pour modéliser des rendements négatifs, on utilisera -rexp ˆ distribution de cauchy, cf rcauchy, la pire, avec moyenne et variance infinies, mais pas si éloigné de la réalité en très haute fréquence. ˆ distribution uniforme, cf runif, une distribution qui n a pas de queues épaisses. ˆ distribution normale utiliser la fonction rnorm, ne présente pas grand interêt, si ce n est de voir à quoi ressemble un graphe lorsqu il y a adéquation a une gaussienne. On pourra constater que même dans le cas d un échantillon issu d une loi normale, il peut y avoir des déviations aux extrêmes. Il ne faut donc pas être trop hatif dans ses conclusions de rejet. note : utiliser la génération pseudo aléatoire en préfixant le nom de la distribution par r : exemple rt, pour la distribution de Student. Après avoir tracé le graphique qqnorm, on pourra ajouter la droite d adéquation. Application aux rendements : ˆ tracer le qqnorm pour le CAC40. ˆ zoomer sur la queue de plus fortes baisses (avec xlim et ylim) ˆ lire directement sur le graphique les rendements théoriques et empiriques à 3σ : ajouter la droite par abline(v=-3), lire les intersections avec la diagonale (valeur theorique) et la courbe des valeurs empiriques. ˆ Tracer les qqplots pour les taux de change Euro/USD, du package VaR (à charger si besoin), charger les données data(exchange.rates) extraire les taux de change EURUSD et tacer le qqnorm des rendements. ˆ Idem pour les indices de hedge funds vus au TP précédent (utiliser la fonction hf.read()) ˆ commenter... Conclusion : Il apparaît que les rendements semblent gaussiens au centre de la distribution (de 1 à 3 sigmas en fonction de l actif et la période), mais s en écartent aux extrêmes avec des queues de distribution plus épaisses. Daniel Herlemont 4

5 4 ESTIMATION PAR MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE POUR UNE LOI DE STUDENT 4 Estimation par maximum de vraisemblance pour une loi de Student Tracer le qqplot avec une loi de student en distribution théorique (abscisse)... On déterminera le degré de liberté de la loi de student qui semble le mieux adapté. Pour ce faire, on pourra visualiser les qqplot pour différents degrés de liberté. Déterminer le meilleur degré de liberté à l aide de la vraisemblance (ou plutot le logarithme) : log L(r 1,...r n ; θ) = log f(r t theta) La densité d une loi de student est t=1,t f n (t) = 1 Γ((n + 1)/2) 1 2πn Γ(n/2) (1 + t 2 /n) (n+1)/2 Attention, la variance de cette distribution est n/(n 2) La kurtosis en excès est K e = 6/(n 4) Pour obtenir une student de moyenne nulle et variance 1, il faut effectuer un changement de variable x = t (n 2)/n et donc considérer la densité 1 Γ((n + 1)/2) 1 2π(n 2) Γ(n/2) (1 + t 2 /(n 2)) (n+1)/2 > r = diff(log(closes)) > r0 = (r - mean(r))/sd(r) > f = function(r, n) ((n - 2) * pi)^-0.5 * (gamma((n + 1)/2)/gamma(n/2))/(1 + + r^2/(n - 2))^((n + 1)/2) > loglik = function(n) sum(log(f(r0, n))) > ns = seq(3, 10, len = 100) > plot(ns, sapply(ns, loglik), type = "l", main = "log vrais. CAC40", + xlab = "degre de liberte", ylab = "log(vrais)") > res = optimize(loglik, lower = 3, upper = 100, maximum = TRUE) > res $maximum [1] $objective [1] Daniel Herlemont 5

6 4 ESTIMATION PAR MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE POUR UNE LOI DE STUDENT log vrais. CAC40 log(vrais) degre de liberte > df = round(res$maximum) > x = rt(1000, df) * sqrt((df - 2)/df) > qqplot(x, r0) > qqline(r0) Daniel Herlemont 6

7 4 ESTIMATION PAR MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE POUR UNE LOI DE STUDENT r x ˆ quel est le quantile à 0.01 de la student correspondante (c est a dire de même variance que le données), comparer au quantile empirique ˆ vérifier les adéquations à l aide des qqplots. em Que penser de cette estimation au niveau des queues de distribution? a droite (perte) et à gauche? ˆ Effectuer la même estimation en ne conservant que les données de queue de distribution. On pourra prendre les données du premier décile pour les pertes, et du dernier décile pour les gains. ˆ On estimera également le degré de liberté a partir de l excès de kurtosis à l aide de la relation kurtosis = 6/(d 4). Comparer et commenter les résultats. Daniel Herlemont 7

8 4 ESTIMATION PAR MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE POUR UNE LOI DE STUDENT On pourra vérifier que le degré de liberté correspond à l exposant de la queue de la distribution en utilisant l estimateur de Hill (voir aussi TP sur les valeurs extrèmes). > rstar1 = sort(r[r <= quantile(r, 0.01)]) > ps = (1:length(rstar1))/length(r) > x = log(ps) > y = log(-rstar1) > plot(x, y) > reg = lm(y ~ x) > summary(reg) Call: lm(formula = y ~ x) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) <2e-16 *** x <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 Ś***Š Ś**Š 0.01 Ś*Š 0.05 Ś.Š 0.1 Ś Š 1 Residual standard error: on 52 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: 4720 on 1 and 52 DF, p-value: < 2.2e-16 Daniel Herlemont 8

9 5 TEST STATISTIQUES DE NORMALITÉ y x Effectuer ces memes estimations pour les differents hedge funds (du moins l estimation de Hill). 5 Test statistiques de normalité Il existe plusieurs tests de normalité : ˆ test de Shapiro Wilk, voir?shapiro.test, plus utilisé, et semble aussi plus puissant, car utilisable pour des échantillons de faible taille. ˆ test de Jarque Bera, voir?jarque.bera.test, il est basé sur une statistique relative aux moments d ordre 3 et 4, normalement nul et égaux à 3 dans le cas gaussien. Daniel Herlemont 9

10 6 CONVERGENCE VERS LA LOI NORMALE ˆ test de Kolmogorov Smirnov, voir?ks.test est la traduction statistique des qqplots : il est basé sur les écarts entre les fonctions de répartition. ks.test est très général car il permet de comparer deux échantillons, cependant R n inclut pas les corrections nécessaires dans le cas d une distribution normale dont la variance est inconnue : il faudrait utiliser les corrections de Lilliefors. On pourra tout de même l utiliser avec un échantillon théorique générer par rnorm avec la moyenne et la variance empiriques. Ces tests renvoient une probabilité critique, la p-value. La p-value est la probabilité d obtenir ce type d échantillon sous l hypothese nulle. C est aussi la probabilité de faire une erreur si on rejette l hypothèse nulle. Dans le cas des tests de normalité, l hypothèse nulle est : l échantillon est issue d une loi normale, une p-value de 0.02 signifie que la probabilité de faire une erreur en rejetant le modèle normal est de 2%. Par exemple, on rejète l hyptohèse nulle au seuil de 5% car 5% est supérieur à la p-value. Par contre, on ne rejète pas au seuil de 1% car la p-value est supérieure a 1% A faire : Appliquer les tests de Shapiro Wilk et Jarque Bera ˆ aux rendements du CAC40 ˆ aux rendementss des Hedge Funds Effectuer un test de Kolmogorov Smirnov sur le CAC40 en utilisant la loi de Student et le degre de liberté trouvés précédemment. 6 Convergence vers la loi normale Dans cette partie, nous montrons, à l aide de quelques exemples, que les rendements finissent par devenir gaussiens lorsque les durées entre les observations augmentent. A faire : ˆ Afficher sur un même graphique les qqnorm pour le CAC40 en rendements journaliers, mensuels, trimestriels, et semestriels. Constater que les rendements sur 3 mois sont assez proches d une gaussienne. Inversement, plus on réduit la fréquence et plus les queues de distribution seront épaisses. ˆ Effectuer un test de Shapiro Wilk sur les differents rendements pour les différentes fréquences. Conclusions? Pour calculer les rendements mensuels, trimestriels, semestriels, on pourra utiliser la méthode suivante : Daniel Herlemont 10

11 closes=rev(read.csv("^fchi.csv")[,"close"]) rday=diff(log(closes)) n=length(closes) ind=seq(1,n,by=20) rmonth=diff(log(closes[ind])) On peut également prendre les prix tous les 20 jours en commençant par la fin : rev(seq(n,1,by=-60)) On peut également utiliser la fonction window (voir aide). 7 References [1] CONT, R. Empirical properties of asset returns - stylized facts and statistical issues. QUANTITATIVE FINANCE, Daniel Herlemont 11

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