Etude Bibliographique sur la Programmation Linéaire

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1 Etude Bibliographique sur la Programmation Linéaire Rapport pour l Etude Métiers «Algorithmes de Programmation Linéaire Embarquable pour le Rendez-Vous Orbital» Convention CNES N /00 Note NT 1.0 Version 1.0 D. Arzelier, N. Jozefowiez, P. Lopez, C. Louembet CNRS; LAAS; 7 avenue du colonel Roche, F Toulouse, France Université de Toulouse; UPS, INSA, INP, ISAE; LAAS; F Toulouse, France

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3 Notations - N : ensemble des nombres entiers ; - Z : ensemble des nombres relatifs ; - R : ensemble des nombres réels ; - co{a 1,,A N } : enveloppe convexe des N éléments A 1,,A N ; - A : frontière de l ensemble A; - S n + : cône des matrices semi définies positives de dimension n ; - S n ++ : cône des matrices définies positives de dimension n ; - P : polyèdre des points réalisables pour un problème primal de PL ; - P + : intérieur du polyèdre des points réalisables pour un problème primal de PL ; - D : polyèdre des points réalisables pour un problème primal de PL ; - D + : intérieur du polyèdre des points réalisables pour un problème primal de PL ; - A B : ordre partiel de Löwner défini dans S n ++ i.e. B A S n + ; - u v : inégalité large composante par composante pour les vecteurs u R n et v R n ; - U : vecteur gradient de la fonction scalaire U : R n R - g : matrice gradient du champ de vecteur g : R n R n ; - u t : vecteur transposé du vecteur u R n ; - A t : matrice transposée du vecteur A R m n ; - A t : matrice transposée de l inverse de la matrice A; - A j : colonne j de la matrice A R m n ; - A j : ligne j de la matrice A R m n ; - O m n : matrice nulle de dimension m par n ; - I m : matrice identité de dimension m ; - 1 m : vecteur de R m composé de 1 ; - e i : vecteur unitaire de la base canonique avec 1 sur la ième composante et 0 ailleurs ; - e : vecteur tel que e = [ 1 1 ] t R n ; - diag(x 1,,x n ) : matrice diagonale dont l élément diagonal i,i est x i ; - E I I [ ] : opérateur espérance mathématique ; 1

4 2 Notations

5 Table des matières 1 Introduction Définition et formulations des problèmes de programmation linéaire Variations sur le problème de programmation linéaire Quelques éléments historiques et notes bibliographiques Théorie de la programmation linéaire Géométrie de la programmation linéaire Ensembles convexes, cônes, hyperplans, polyèdres et polytopes Points extrêmes, sommets, solutions réalisables de base d un polyèdre Cas des polyèdres sous forme standard Dégénérescence Existence et optimalité des points extrêmes Théorie de la dualité Construction du dual d un programme linéaire Théorème fondamental de la dualité Théorème des écarts complémentaires Solution de base duale et dégénérescence duale Analyse de sensibilité Théorie de la complexité et programmation linéaire Introduction Complexité d un algorithme et d un problème Classes de complexité Algorithme du simplexe Cas favorable Initialisation Invariants de boucle L itération principale Quelques remarques Fin de l exemple Programme sous forme canonique associé à un tableau simplicial Cas d arrêt particuliers Problèmes bornés Problèmes non bornés Sommets multiples Le problème de l arrêt Complexité de l algorithme Problèmes de démarrage Récapitulatif de l algorithme du simplexe Phase Phase Algorithme du simplexe dual

6 4 Table des matières 4 Méthodes du point intérieur Introduction Rappels sur les conditions d optimalité de Karush-Kuhn-Tucker Fonction barrière logarithmique et chemin central Classification des méthodes du point intérieur Méthodes Primales-Duales Cadre de travail Méthodes de suivi du chemin central Méthodes de suivi de chemin à pas courts Méthodes de Prédiction/Correction Méthodes de suivi de chemin à pas longs Méthodes de réduction de potentiel Algorithme Convergence et complexité polynomiale Itéré initial et détection de programme irréalisable Problème homogène auto-dual Méthode de suivi de chemin à itérés non admissibles A Méthodes du point intérieur historiques 75 A.1 La méthode de Karmarkar A.2 Méthode de mise à l échelle affine A.3 Problème de complémentarité linéaire A.3.1 Problème de complémentarité linéaire monotone A.3.2 Problème de complémentarité linéaire mixte A.4 Rappels sur la méthode de Newton A.5 Minimisation linéaire sous contrainte de norme Références

7 Chapitre 1 Introduction 1.1 Définition et formulations des problèmes de programmation linéaire Un problème de programmation linéaire consiste à maximiser ou à minimiser une fonction linéaire z = f 1 x 1 + +f n x n où x R n est le vecteur des variables de décision appartenant à un domaine P décrit par des contraintes linéaires qui peuvent être des égalités et/ou des inégalités larges (1.1). A 1 x 1 +A 2 x 2 + +A n x n = a B 1 x 1 +B 2 x 2 + +B n x n b C 1 x 1 +C 2 x 2 + +C n x n c (1.1) x i 0 i N 1 x i 0 i N 2 où A j R p, a R p, B j R q, b R q, C j R r, c R r, N 1 et N 2 sont des sous-ensembles de {1,,n}. Si i n appartient ni à N 1 ni à N 2 alors la variable de décision x i est libre en signe. Le système (1.1) définit un domaine P appelé domaine des solutions réalisables. x P est une solution réalisable. z = f t x est appelé la fonction objectif ou fonction économique. Les composantes f i sont les coûts. Soit x P une solution réalisable alors une contrainte d inégalité Bj 1x 1 + +Bj nx n b j est dite active si Bj 1x 1 + +Bj nx n = b j sinon elle est dite inactive. Un problème de programmation linéaire se présente donc sous sa forme matricielle la plus générale : [max] ou [min] f t x sous Ax = a Bx b (1.2) Cx c x i 0 i N 1 x i 0 i N 2 Remarque 1 Un problème de maximisation max f t x pouvant toujours être résolu comme le problème de minimisation min f t x, nous adoptons la convention du minimum pour tous les problèmes abordés dans la suite de ce rapport. Définition 1 (solution optimale-coût optimal) On appelle solution optimale toute solution réalisable x pour laquelle la fonction coût est optimale (f t x f t x, x P). f t x est le coût optimal ou optimum. 5

8 6 Introduction Exemple 1 (Commande optimale en temps discret) Considérons un système dynamique dont le modèle d état en temps discret est donné par : x k+1 = Fx k +Gu k, x 0 = x y k = Mx k (1.3) où x k R n est le vecteur d état à l instant k, u k R m est le vecteur de commande à l instant k et y k R est la sortie mesurée à l instant k. On suppose que le vecteur de commande doit vérifier les contraintes linéaires à chaque instant : H k u k h k, k = 0,,T 1 (1.4) où H k R l k m, h R l k. Connaissantx 0 = x, le problème de commande optimale associé est de déterminer la séquence de commande u 0, u 1,,u T 1 amenant l état final x T en l origine 0 de l espace d état en minimisant la sortie du système à chaque instant. max y k (1.5) k=0,,t 1 Un tel problème de commande optimale peut être modélisé comme le problème de programmation linéaire suivant : min v, x k, y k, u j k = 1,,T 1 j = 0,,T 1 sous v v y k v x k+1 = Fx k +Gu k y k = Mx k H k u k h k k = 1,,T 1 k = 0,,T 1 k = 1,,T 1 k = 0,,T 1 (1.6) Le problème (1.6) peut être aisément reformulé en le problème (1.2) avec les notations suivantes (le vecteur des variables de décision est noté X pour le distinguer du vecteur d état du système dynamique) : avec : f = X = v x 1. x T 1 y 1. y T 1 u 0. u T 1 A = [ Ã A ] a = Fx 0 O.. O x T O. O [ ] B = B B c = O (T 1) 1 C = [ 1 O (T 1) (T 1) I T 1 O (T 1) (T 1) ] O I O O O G O O O F I O O O G O O A = O O F I O G O O O F O O O G b = O.. O h 0. h T 1 (1.7) (1.8) (1.9)

9 Définitions et formulations 7 O M O O O 1 O O O O M O O O 1 O O Ã = O (1.10) O O M O O 1 B = [ ] 1 T 1 O (T 1) (T 1) I T 1 O (T 1) T O O H 0 O O (1.11) B = O (1.12) O O H T 1 Lorsque P R 2, il est possible d utiliser une méthode graphique afin de résoudre le problème de programmation linéaire en deux variables. Nous nous servirons de ce cas afin d illustrer les différentes notions présentées dans ce rapport. Exemple 2 (2D) Soit l exemple suivant de problème de programmation linéaire en deux dimensions : J = max x,y sous x 0 y 0 x 2 y 2 x+y 3 2x+y = min x,y 2x y (1.13) y 2 J = 5 1 P (x,y ) = (2,1) 0 f 1 2 f x Figure 1.1 Domaine réalisable et solution optimale pour le problème (1.13) La figure 1.1 permet d illustrer clairement l ensemble des notions qui seront présentées dans la suite de ce rapport et qui sont résumées brièvement par : - Chaque contrainte d inégalité est matérialisée par une droite délimitant deux demi-plans. Le domaine P des solutions réalisables est un polytope formé de l intersection de tous les demiplans réalisables issus des contraintes du problème (1.13). Il est ici représenté en couleur sur la figure 1.1.

10 8 Introduction - Les courbes des iso-coûts ou lignes de niveau f t x = k pour k R sont les droites en bleu dont le gradient est représenté par le vecteur f. L ensemble des solutions réalisables pour lesquelles la fonction coût vaut k est l intersection du polytope P avec la droite f t x = k. - La solution optimale x,y ) = (2,1) est obtenue en choisissant la ligne de niveau dont le coût est maximal et qui a une intersection non vide avec P. On obtient le coût optimal J = 5 pour l intersection de la ligne de niveau avec un des sommets du polytope. 1.2 Variations sur le problème de programmation linéaire La formulation très générale du problème de programmation linéaire (1.2) peut se décliner en différentes formes particulières permettant de vérifier les hypothèses et prérequis des méthodes de résolution et de simplifier la présentation des futurs algorithmes. Définition 2 (Forme canonique) Un programme linéaire est dit sous forme canonique s il s écrit min f t x sous Cx c x O (1.14) Dans un programme linéaire sous forme canonique, toutes les inégalités sont dans le même sens, les variables de décision sont positives ou nulles et les contraintes d égalité en sont absentes à l inverse de la formulation standard. Définition 3 (Forme standard) Un programme linéaire est dit sous forme standard s il s écrit min f t x sous Ax = a x O (1.15) Proposition 1 Tout programme linéaire général (1.2) peut être mis sous forme standard (resp. sous forme canonique). Les passages d une forme à l autre sont possibles à l aide des propriétés élémentaires suivantes. - Toute inégalité est équivalente à une inégalité en multipliant ses termes par 1 ; - Toute égalité est équivalente à deux inégalités : a = O, a R n équivaut ainsi aux deux inégalités : a O, a O ; - Toute inégalité (resp. ) peut être transformée en une égalité au moyen de «variables d écart». Ainsi Bx b (resp. Cx c) devient Bx+Z = b (resp. Cx Z = c) avec Z R q et Z O (resp. Z R r et Z O); - Toute variable x i libre en signe peut être remplacée par deux variables positives ou nulles x + i 0 et x i 0 telles que x i = x + i x i ; Exemple 3 (2D) L exemple académique s écrit sous forme canonique comme : J = min 2x y x,y sous x 0 y 0 x 2 y 2 x y 3 (1.16)

11 Quelques éléments historiques 9 La forme standard de l exemple académique est donc donnée par : J = min 2x y x,y sous x 0 y 0 z 1 0 z 2 0 z 3 0 x+z 1 = 2 y +z 2 = 2 x+y +z 3 = 3 (1.17) Dans de nombreux cas (cf. exemple de la commande optimale en temps discret), le critère à minimiser n est pas un critère linéaire mais linéaire par morceaux. Par exemple considérons le problème min x,y n f i x i i=1 sous Ax b (1.18) où f i 0, i = 1,,n. Deux méthodes permettent de mettre le problème d optimisation (1.18) sous forme d un programme linéaire. 1- On remarque que x i est le plus petit nombre z i tel que x i z i et z i x i conduisant à reformuler le problème (1.18) comme : min x,y n f i z i i=1 sous Ax b x z x z (1.19) - Une méthode alternative consiste à séparer chaque variable de décision en deux nouvelles variables non négatives x i = x + i x i, x+ i 0, x i 0 avec la formulation du problème de programmation linéaire qui s en déduit : min x,y n f i (x + i +x i ) i=1 sous Ax + Ax b x + O x O (1.20) 1.3 Quelques éléments historiques et notes bibliographiques Le développement de la théorie et des outils de la programmation linéaire a réellement pris son essor à partir des années 1940 même si les structures mathématiques sous-jacentes ainsi que quelques éléments algorithmiques ont vu le jour durant la période avec les travaux de J.B. Fourier (fondements de la programmation linéaire et de la méthode du simplexe), T. Motzkin (théorie de l élimination, dualité) Farkas (dualité), Minkowski (dualité), Caratheodory (polyèdres et polytopes), de la Vallée Poussin (méthode d élimination de Motzkin), Von Neuman (théorie des jeux). La fondation de la programmation linéaire en tant que domaine d étude est principalement créditée à D.B. Dantzig auteur de l algorithme du simplexe en 1947 dans le contexte du projet SCOOP (Scientific Computation of Optimal Programs) et du complexe militaro-industriel installé au sein de l US Air Force au Pentagone. L algorithme devait répondre aux besoins de planification des transports lors d opérations militaires modélisés comme un problème de programmation linéaire. Signalons que L.V. Kantorovich, mathématicien et économiste soviétique, a proposé des

12 10 Introduction modèles de programmation linéaire pour des applications industrielles en économie planifiée ainsi qu une méthode expérimentale de résolution par des variables duales, malheureusement non soutenue par une théorie formelle. Cela lui a valu de partager «le prix Nobel» d économie avec T. Koopmans en 1975 [21], [12]. Aussi performant et largement utilisé que peut être l algorithme du simplexe, le fait qu il appartienne à la classe des algorithmes non polynomiaux a incité les chercheurs à proposer d autres algorithmes dont la polynomialité était avérée. Le premier algorithme polynomial pour la programmation linéaire est dérivé de la méthode générale de l ellipsoïde défini par A. Nemirovski (Prix John von Neumann 2003), D. B. Yudin et N. Shor en L. Khachiyan a ainsi construit un algorithme de l ellipsoide adapté à la programmation linéaire en 1979 dont le mérite tient plus à la contribution en théorie de la complexité et à l ouverture ainsi réalisée vers les méthodes polynomiales plutôt qu en son efficacité pratique jugée médiocre. Une nouvelle avancée décisive a été réalisée en 1984 par N. Karmarkar [14], chercheur à IBM qui a proposé, pour la première fois, une méthode des points intérieurs dont il a démontré la complexité polynomiale dans le pire des cas. La majorité des solutions logicielles actuelles sont construites autour de l algorithme du simplexe et d algorithmes des points intérieurs. Sur un sujet devenu une matière d enseignement indispensable dans la majorité des écoles d ingénieurs et des universités, la bibliographie est nécessairement très riche. Nous nous sommes essentiellement appuyés sur les monographies classiques telles que [4], [20], [16], [2], [5], [30], [26], [3], [17], [25].

13 Chapitre 2 Théorie de la programmation linéaire 2.1 Géométrie de la programmation linéaire Cette section a pour but principal de definir les notions géométriques mais également leur interprétation algébrique qui seront nécessaires à la compréhension des solutions algorithmiques utilisées en programmation linéaire. En particulier, nous verrons que la notion de convexité et la géométrie des polyèdres et polytopes vont jouer un rôle prépondérant en programmation linéaire Ensembles convexes, cônes, hyperplans, polyèdres et polytopes Définition 4 (Ensemble convexe) Un sous-ensemble C V d un espace vectoriel V est convexe ssi : x C, y C (1 λ)x+λy C λ [0, 1] Cette définition signifie qu un ensemble C est convexe si le segment joignant deux de ses points quelconques est contenue dans l ensemble C Figure 2.1 Deux ensembles convexes et un ensemble non convexe Propriété 1 - L intersection d une collection arbitraire d ensembles convexes est un ensemble convexe. est convexe. - Si C est convexe et β R, l ensemble : C = i I C i βc = {x R n : x = βc c C} est convexe. - Si C, D sont deux sous-ensembles convexes de V alors l ensemble : est convexe. C +D = {x R n : x = c+d, c C, d D} 11

14 12 Théorie de la programmation linéaire Définition 5 (Combinaison convexe) Soient x 1,,x k R n, une combinaison convexe de x 1,,x k est le vecteur k λ i x i, λ i 0, i=1 k λ i = 1 (2.1) Définition 6 (Enveloppe convexe) - Soit S V, l enveloppe convexe de S, notée co(s), est l ensemble défini comme l intersection de tous les ensembles convexes contenant S. L enveloppe convexe est le plus petit ensemble convexe de V contenant S. co(s) = { λ i x i : x i S λ i 0 λ i = 1} i i - L enveloppe convexe des vecteurs x 1,,x k R n, co{x 1,,x k } est l ensemble de toutes les combinaisons convexes (2.1). Propriété 2 L enveloppe convexe d un nombre fini de vecteurs de R n est un ensemble convexe Figure 2.2 Enveloppes convexes de points et d un ensemble i=1 Définition 7 (Cône) Un sous-ensemble K V est un cône ssi x K, λ 0 λx K. Un cône qui possède la propriété de convexité est un cône convexe Figure 2.3 Deux cônes non convexes et un cône convexe

15 Géométrie de la programmation linéaire 13 Définition 8 (Hyperplan) Soit a 0 R n et c R. L ensemble défini par : est un hyperplan de R n. H = { x R n : a t x = c } x 1 a x 0 x x 2 Figure 2.4 Hyperplan et demi-plan x H, x 1 H, x 2 H + H est une variété linéaire de dimension n 1 de R n. Un hyperplan est la frontière du demi-plan correspondant et le vecteur a est perpendiculaire à l hyperplan. Définition 9 (Demi-plans fermés) Soient a 0 R n, c R. On considère l hyperplan : H = { x R n : a t x = c } On définit alors, à partir de H les demi-plans fermés positif et négatif, donnés par : H + = { x R n : a t x c } qui sont des espaces convexes. H = { x R n : a t x c } Définition 10 (Hyperplan support) Un hyperplan support d un ensemble convexe C tel que int(c) en un point x C est défini par : a 0 R n : a t (x x) 0 x C H S = {x R n a t (x ˆx) = 0} x a H S C Figure 2.5 Hyperplan support d un ensemble convexe C

16 14 Théorie de la programmation linéaire Définition 11 (Polyèdre) Un polyèdre P R n est un ensemble décrit par où C R r n et c R r. P = {x R n : Cx c} (2.2) Un polyèdre est formé comme l intersection d un nombre fini de demi-espaces fermés. Définition 12 (Ensemble borné) Un ensemble S R n est borné s il existe K R tel que la valeur absolue de chaque composante de chaque élément de S est plus petite que K. Définition 13 (Polytope) Un polyèdre convexe et borné est un polytope convexe Figure 2.6 Polyèdre convexe et polytope Ce qui précède permet de définir une des proriétés fondamentales des problèmes de programmation linéaire utilisée en particulier par la méthode du simplexe. Théorème 1 L ensemble réalisable du problème de programmation linéaire (1.2) est un polyèdre convexe borné ou non borné Points extrêmes, sommets, solutions réalisables de base d un polyèdre Nous définissons la notion de point extrême ou de sommet d un polyèdre de deux manières complémentaires. Définition 14 (Point extrême et sommet) - Etant donné un polyèdre P, un vecteur x P est un point extrême de P s il n existe pas deux vecteurs y,z x P et λ ]0,1[ tels que x = λy +(1 λ)z - Etant donné un polyèdre P, un vecteur x P est un sommet de P s il existe un vecteur c tel que c t x < c t y, y x P.

17 Géométrie de la programmation linéaire 15 A 4 A 3 C 1 C 2 A 5 A 2 C A 6 A 1 C 4 C 3 Figure 2.7 Sommets (points extrêmes) de différents ensembles convexes La figure 2.7 présente différents cas de figure d ensembles de points extrêmes. Dans le cas du disque, l ensemble des points extrêmes est C, soit le cercle définissant la frontière du disque alors que pour les deux polytopes, on retrouve classiquement les sommets {A 1,A 2,,A 6 } et {C 1,C 2,C 3,C 4 }. Considérons un polyèdre P défini par les contraintes inégalités et égalités : P = { x R n : a t i x = a i, b t j x b j, i M 1, j M 2 } (2.3) où M 1 et M 2 sont des ensembles finis d indice. Définition 15 (Contrainte active) Si le vecteur x R n vérifie a t i x = a i (resp. b t i x = b i) pour i M 1 (resp. i M 2 ) alors la contrainte associée est dite active en x. Définition 16 (Solution de base) x R n est une solution de base du polyèdre P si : - Toutes les contraintes égalités i M 1 sont actives en x ; - Parmi toutes les contraintes actives en x, n sont linéairement indépendantes i.e. il existe n vecteurs {a i, b i,i I} linéairement indépendants (I ensemble des indices des contraintes actives). Si x est une solution de base satisfaisant toutes les contraintes définissant le polyèdre P alors x est une solution de base réalisable. A E D P F C B Figure 2.8 Solutions de base d un polyèdre

18 16 Théorie de la programmation linéaire La figure 2.8 représente un polyèdre borné en deux dimensions (un polytope en deux dimensions) pour lequel les points A, B, C, D, E, F sont des solutions de base car pour chacun de ces points, deux contraintes sont actives et linéairement indépendantes. Les points C, D, E, F sont des solutions de base réalisables pour le polyèdre P. Le résultat suivant unifie les points de vue géométrique et algébrique définissant la même notion. Théorème 2 SoitP un polyèdre non vide et x R n alors tout sommet (ou point extrême) de P est une solution de base réalisable. De plus, il ne peut exister qu un nombre fini de solutions de base ou de solutions de base réalisables. Définition 17 (Solutions de base adjacentes) Pour un polyèdre P R n donné, deux solutions de base distinctes sont dites adjacentes s il existe n 1 contraintes linéairement indépendantes actives simultanément en ces deux sommets. Si deux solutions adjacentes sont également réalisables alors le segment liant ces deux sommets est une arête de l ensemble réalisable. Dans l exemple de la figure 2.8, A et F sont adjacentes à E et [E, F] est une arête de l ensemble réalisable Cas des polyèdres sous forme standard La définition très générale donnée pour les solutions de base réalisable peut être précisée dans le cas des polyèdres définis sous forme standard. avec les hypothèses suivantes. Hypothèse 1 - Le polyèdre P est non vide ; - A R m n avec m n ; - A est une matrice de rang plein i.e. rang(a) = m. P = {x R n : Ax = a, x O} (2.4) L hypothèse de rang sur A n est pas une hypothèse restrictive. Dans le cas contraire, cela signifie que le système d équations linéaires contient des contraintes redondantes qui peuvent être éliminées pour obtenir un systèmes d équations linéaires vérifiant l hypothèse de rang et définissant un polyèdre identique au polyèdre initial. On définit l ensemble d indices b(1),,b(m), N. Proposition 2 En reprenant la définition 16 et en l appliquant à la forme standard (2.4), il est toujours possible de construire une solution de base x de P sous les hypothèses 1 : - Extraire de la matrice A une sous-matrice A B = [ A b(1) A b(m) ] R m m inversible ; - Choisir x i = 0 i b(1),,b(m); - Résoudre le système linéaire en x B = [ x b(1) x b(m) ] t : La solution de base est alors donnée par : A B x B = a x B = A 1 B a (2.5) x = x b(1). 0 x b(m) 0 (2.6)

19 Géométrie de la programmation linéaire 17 Définition 18 (Matrice de base) Toute sous-matricea B composée des colonnes de base (linéairement indépendantes)a b(1),,a b(m) est appelée matrice de base et ses colonnes forment une base de R m. Cette base sera notée par l ensemble d indices qu elle contient {b(1),, b(m)}. Deux bases sont considérées comme différentes si elles ne sont pas formées à partir des mêmes ensembles d indices (sans tenir compte de l ordre) {b(1),,b(m)}. Exemple 4 (2D) Reprenons l exemple académique défini dans le chapitre introductif. J = min 2x y x,y sous x 2 y 2 x+y 3 x 0 y 0 (2.7) Nous rappelons que la forme standard de l exemple académique est donnée par : J = min 2x y x,y z 1,z 2,z 3 sous x+z 1 = 2 y +z 2 = 2 x+y +z 3 = 3 x 0 y 0 z 1 0 z 2 0 z 3 0 (2.8) Les données de ce programme linéaire sous forme standard s écrivent sous forme matricielle comme : A = a = 2 2 (2.9) En choisissant les colonnes (3,4,5) de A, on obtient la matrice de base A B1 = = [ ] A 3 A 4 A (2.10) La solution de base est donnée par [ ] t [ ] t x y z 1 z 2 z 3 = qui est une solution de base réalisable puisque tous ses éléments sont positifs ou nuls. Par contre, la solution de base x 2 = [ ] t associée à la matrice de base A B2 = = [ A 1 A 2 A 5 ] (2.11) n est pas réalisable. Définition 19 (Variables de base) Les variables dont les indices appartiennent à la base {b(1),, b(m)} sont appelées variables de base. Les autres sont appelées variables hors base.

20 18 Théorie de la programmation linéaire Exemple 5 (Exemple 2D (suite)) Dans le premier cas, les variables de base sont les variables d écart z 1, z 2 et z 3 et les variables hors base sont x, y. Définition 20 (Forme canonique) Un programme linéaire sous forme standard est dit sous forme canonique par rapport à une base {b(1),,b(m)} si la matrice A B est l identité et les coûts correspondant aux variables de base sont nuls. Exemple 6 (Exemple académique (suite)) Le programme linéaire de l exemple académique est sous forme canonique par rapport à la basea B1. Remarque 2 La solution de base associée à une base {b(1),,b(m)} est calculée par inversion du sous-système linéaire inversible A B x B = a pour obtenir les variables de base et en posant les variables hors base égales à zéro. Proposition 3 Pour un problème de programmation linéaire sous forme standard et canonique, les valeurs des variables de base dans la solution de base se lisent dans le vecteur a. Cette proposition est une conséquence du fait que la matrice A B est égale à la matrice identité. Définition 21 (Coût réduit) Soit x une solution de base, A B la matrice de base associée et f B le vecteur de la fonction coût associé aux variables de base. Pour j donné, le coût réduit f j de la variable x j est défini par : f j = f j f t BA 1 B Aj (2.12) Il est à noter que la définition (21) implique en particulier que le coût réduit associé à une variable de base est nécessairement nul. Exemple 7 (Exemple 2D (suite)) Reprenons la solution de base B 2 de l exemple académique. Les variables de base sont les variables x, y, z 3 dont les coûts associés sont donnés par le vecteur fb t 2 = [ ]. Cela permet de calculer les coûts réduits associés à la solution de base B 2. f j = f j fb t 2 A 1 B 2 A j = f j [ ] A j, j = 1,,5 (2.13) Le vecteur des coûts réduits est donc donné par f t = [ ] Dégénérescence La définition des solutions de base ouvre la possibilité pour que le nombre de contraintes actives en une solution de base soit supérieure à la dimension de l espace du polyèdre, définissant ainsi la notion de solution de base dégénérée. Cette notion de dégénérescence des solutions de base peut ainsi affecter très fortement le comportement numérique des algorithmes de programmation linéaire. Elle est donc très importante et doit être précisément définie. Définition 22 (Dégénérescence) - Soit un polyèdre P R n donné sous la forme (2.3). Une solution x de base (réalisable) de P est dite dégénérée si le nombre de contraintes actives en x est supérieur strictement à n.

21 Géométrie de la programmation linéaire 19 - Soit un polyèdre P R n donné sous la forme standard (2.4). Une solution x de base (réalisable) de P est dite dégénérée si plus de n m composantes de x sont nulles. La figure 2.9 illustre que le point A est une solution de base dégénérée alors que le point D est une solution de base réalisable dégénérée. A E D P F C B Figure 2.9 Solutions de base dégénérées Remarque 3 - La dégénérescence des solutions de base réalisables n est en général pas une propriété géométrique du polyèdre (i.e. indépendante de sa représentation). Prenons l exemple du polyèdre P défini de manière équivalente sous forme standard et non standard : P = { x R 3 : x 1 x 2 = 0, x 1 +x 2 +2x 3 = 2, x O } = { x R 3 : x 1 x 2 = 0, x 1 +x 2 +2x 3 = 2, x 1 0, x 3 0 } Le sommet est une solution de base réalisable dégénérée dans le premier cas alors qu elle est une solution de base réalisable non dégénérée dans le second. - Dans le cas standard, il est possible d associer, en général, plusieurs bases à une solution de base dégénérée. Dans ce cas, une ou plusieurs variables de base sont nulles. Dans le sens inverse, un point extrême correspond à une unique solution de base réalisable Existence et optimalité des points extrêmes Dans cette section, les conditions d existence et d optimalité d une solution d un problème de programmation linéaire sont rappelées. Les conditions d existence sont essentiellement liées à l existence d une ligne infinie contenue dans le polyèdre définissant le domaine du problème de PL. Définition 23 (Ligne infinie) Un polyèdre P R n contient une ligne infinie si x P et d 0 R n tels que x = λd P, λ R. Théorème 3 Un polyèdre P non vide possède un point extrême si seulement si P ne contient pas de ligne infinie. En particulier, tout polyèdre borné non vide possède au moins un point extrême. Cela permet de déduire un résultat général quant à l optimalité des points extrêmes.

22 20 Théorie de la programmation linéaire Corollaire 1 Pour le problème de programmation linéaire (PL) : J = min x P où le polyèdre P, on a l alternative suivante : - J = ; - Il existe un point extrême optimal. f x Du fait que tout polyèdre non vide sous forme standard est contenu dans l orthant positif, les résultats précédents peuvent être étendus au cas standard de la façon suivante. Théorème 4 Pour un problème de PL donné sous forme standard (1.15) sous les hypothèses 1, i- S il existe une solution réalisable, il existe une solution réalisable de base ; ii- S il existe une solution réalisable et que la fonction objectif f x est bornée inférieurement sur l ensemble des solutions réalisables, il existe une solution optimale ; iii- S il existe une solution réalisable optimale, il existe une solution réalisable de base optimale. Pour un problème de PL sous forme standard, il suffit de s intéresser aux solutions réalisables de base pour déterminer la solution optimale si elle existe car elle sera toujours atteinte en un de ces points. De plus, des conditions d optimalité peuvent être données en termes des coûts réduits. Théorème 5 Soit x une solution de base réalisable associée à une matrice de base A B et soit f le vecteur correspondant des coûts réduits : - Si f O alors x est optimal ; - si x est optimal et non dégénéré alors f O. De plus, nous avons la définition supplémentaire suivante : Définition 24 (Matrice de base optimale) Une matrice de base A B est dite optimale si les deux conditions suivantes sont vérifiées : 1- A 1 B a O ; 2- f t = f t f B A 1 B A O. Exemple 8 (Exemple 2D (suite)) Reprenons la solution de base B 2 de l exemple académique. Les variables de base sont les variables x, y, z 3 dont les coûts réduits sont donc donnés parf t = [ ] qui vérifie la condition 2 d optimalité. Si l on calcule la première condition, on obtient : A 1 B 2 a = O donc cette solution de base n est pas réalisable comme il a été vu précédemment. En revanche, si l on choisit la base B 3 définie par la matrice : A B3 = A 1 B 3 = et les variables de base x, y, z 2, on obtient alors : A 1 B 3 a = O f 3 = f A t A 1 B 3 f t B 3 = O

23 Théorie de la dualité 21 La base B 3 est donc réalisable et optimale. Du fait de la convexité de l ensemble réalisable non vide d un problème de PL, il est possible de déduire le résultat suivant. Lemme 1 Toute solution d un problème de programmation linéaire qui est une solution minimale locale est une solution minimale globale. Ces résultats ne permettent toutefois pas de se prononcer sur l unicité de la solution optimale du fait de la possibilité de l existence d une infinité de solutions dans le cas où le vecteur f est perpendiculaire à une des contraintes définissant le polyèdre réalisable (lignes de niveau du coût parallèles à une contrainte). 2.2 Théorie de la dualité Pour chaque problème de PL, il est possible de construire un autre problème de PL dit dual à partir des mêmes données (fonction coût, coefficients des contraintes...). Si le problème original, le primal, est un problème de minimisation alors le dual est un problème de maximisation et les valeurs respectives des fonctions objectif sont égales à l optimum si elles sont finies. La construction du programme de PL dual ainsi que l étude de ses propriétés constitue la théorie de la dualité. Elle propose, entre autres, une interprétation économique qui adjoint à chaque contrainte du problème primal une variable duale ou paramètre de Lagrange définissant le prix associé à la violation de la contrainte. La recherche de l ensemble des prix optimaux pour le premier problème peut ainsi se reformuler comme un problème de PL dual opérant sur les variables duales. Elle permet également de comprendre plus profondément les algorithmes de résolution des problèmes de PL et d en proposer de nouveaux Construction du dual d un programme linéaire Reprenons la forme initiale et générale (1.2) du problème de PL présentée en introduction. On note N 3 l ensemble des indices des variables x i qui sont libres et qui ne sont donc pas contraintes en signe. La dualité linéaire est une application particulière de la dualité Lagrangienne qui se définit à partir du Lagrangien construit comme : L(x,λ p,λ q,λ r ) = f t x+λ t p(a Ax)+λ t q(b Bx)+λ t r(c Cx) (2.14) où λ = [ ] λ t p λ t q λ t t r R p+q+r est le vecteur des variables adjointes ou vecteur des variables de Lagrange ou vecteur des variables duales. La fonction L(x,λ p,λ q,λ r ) est construite à partir de la fonction coût du problème (1.2) à laquelle ont été ajoutées des pénalités en cas de violation des contraintes de (1.2). Pour que ces termes additionnels jouent le rôle de pénalités en cas de violation des contraintes, il est nécessaire que les variables de Lagrange vérifient : λ p libre λ q O λ r O (2.15) A partir du Lagrangien, on définit la fonction duale de Lagrange, solution du problème primal relaxé : g(λ) = inf L(x,λ p,λ q,λ r ) = λ t a n [ b + inf fi λ t pa i λ t qb i λ t rc i] x i (2.16) x P x P c i=1 On obtient aisément : inf x P f i λ t M i i N 1 n [ 0, si f i λ t M i i N 2 fi λ t p Ai λ t q Bi λ t r Ci] x i = f i = λ t M i i N 3 i=1 sinon

24 22 Théorie de la programmation linéaire où M i est la ième colonne de la matrice M définie par : M = Ai B i C i De plus, la fonction duale de Lagrange vérifie l inégalité : g(λ) = inf x P λt a n [ b + fi λ t pa i λ t qb i λ t rc i] x i c i=1 (2.17) n [ f t x + fi λ t p Ai λ t q Bi λ t r Ci] x i ft x i=1 Cela signifie que pour chaque valeur du vecteur des variables duales λ, la fonction duale fournit une borne inférieure au coût optimal. Un problème relaxé appelé dual du problème initial peut ainsi être construit afin de trouver la meilleure borne inférieure au coût optimal du problème primal. max g(λ) λ sous λ p libre λ q O λ r O (2.18) On déduit les formulations primale et duale du problème de PL (1.2). Primal min f t x sous Ax = a Bx b Cx c x i 0 i N 1 x i 0 i N 2 x i libre i N 3 Dual max λ t sous a b c λ t M i f i i N 1 λ t M i f i i N 2 λ t M i = f i i N 3 λ p libre λ q O λ r O (2.19) Dans le cas particulier où le problème de PL primal est sous forme standard, on obtient le problème dual suivant : Primal Dual min f t x sous max λ t a sous (2.20) Ax = a λ t A f t x 0 λ libre Exemple 9 (2D) Reprenons l exemple académique (1.13) du chapitre introductif min x,y 2x y sous x 0 y 0 x 2 y 2 x+y 3 (2.21)

25 Théorie de la dualité 23 Avec les notations utilisées dans ce rapport, on a : [ ] 2 f = b = B 1 = B 2 = B = On écrit alors le lagrangien associé : L(x,y,λ) = λ t b+ [ 2 λ t B 1 1 λ t B 2 ][ x y ] (2.22) avec le vecteur des variables duales λ R 3 et λ O. La fonction duale de Lagrange s écrit donc comme : g(λ) = inf x,y P L(x,y,λ) = Le problème dual est donc donné par : λ t b si sinon { 2 λ t B λ t B 2 0 (2.23) max λ sous 2λ 1 +2λ 2 +3λ 3 λ O 2 λ 1 λ λ 2 λ 3 0 (2.24) La construction du problème primal fait apparaître une transformation formelle permettant de passer de la formulation primale à la formulation duale et associe à chaque contrainte du primal, hors contraintes de signe, une variable duale qui aura un signe imposé si la contrainte primale est une inégalité. Pour chaque variable du primal, une contrainte duale inégalité est introduite si la variable est signée ou égalité si la variable est libre. Enfin, la transformation est involutive : Proposition 4 Le dual d un dual est un programme linéaire équivalent au primal. De plus, il est possible de montrer que les opérations permettant de transformer un primal en un primal équivalent ne détruisent pas la dualité. Théorème 6 On suppose qu un problème de PL (P 1 ) a été transformé en un problème de PL équivalent (P 2 ) par les opérations suivantes : - Remplacer une variable libre de (P 1 ) par la différence de deux variables d écart positives ; - remplacer une contrainte inégalité par une contrainte égalité par l introduction d une variable d écart positive ; - éliminer les contraintes égalités redondantes. Les problèmes de PL duaux (P 1 ) et (P 2 ) sont équivalents (ils sont irréalisables ou ont la même solution optimale) Théorème fondamental de la dualité Dans la section précédente, la notion de dualité a été essentiellement présentée du point de vue formel. Les relations et propriétés partagées par le problème de PL primal et son dual peuvent être synthétisées dans le théorème fondamental de la dualité proposé initialement, sans démonstration,

26 24 Théorie de la programmation linéaire par John Von Neumann en 1947 puis démontré rigoureusement par Gale, Kuhn et Tucker en s appuyant sur le lemme de Farkas en Pour présenter ce résultat, nous reprenons la formulation symétrique de Von Neumann du problème de PL et de son dual. Primal min f t x sous Ax b x O Dual max b t λ sous A t λ f λ O (2.25) où A R m n. Théorème 7 (Dualité faible) Si x est une solution réalisable du problème primal (2.25) et λ est une solution réalisable du problème dual (2.25) alors : λ t b f t x (2.26) Ce résultat montre qu une solution réalisable d un des problèmes de PL qui sont en relation de dualité fournit une borne à la valeur de l autre problème. De ce premier résultat, il est possible d établir le résultat fondamental du à Von Neumann. Théorème 8 (Dualité forte) Si l un ou l autre des problèmes de PL (2.25) ont une solution optimale finie alors l autre a nécessairement une solution optimale finie et les valeurs respectives des fonctions objectif sont égales. f t x = λ t b (2.27) Théorème 9 Quand deux problèmes de PL sont en dualité, seuls les trois cas suivants peuvent se produire. 1. Le problème de Pl primal et le problème dual ont chacun au moins une solution réalisable. Les deux problèmes sont bornés et réalisent le même objectif à l optimum (principe de la dualité de Von Neumann); 2. L un des deux problèmes de PL n a pas de solution réalisable et l autre a une solution réalisable. Ce dernier est non borné. 3. Aucun des deux problèmes de PL n a de solution réalisable. Exemple 10 (2D) Si nous reprenons l exemple en 2 dimensions dont les formes primale et duale sont rappelées cidessous : Primal 2x y min x,y sous x 0 y 0 x 2 y 2 x+y 3 Dual max λ sous 2λ 1 +2λ 2 +3λ 3 λ 1 0 λ 2 0 λ λ 1 λ λ 2 λ 3 0 Le problème primal une solution réalisable optimale donnée par (x,y ) = (2,1) alors que le problème possède également une solution réalisable optimale calculée comme(λ 1,λ 2,λ 3 ) = ( 1,0, 1).

27 Théorie de la dualité 25 Exemple 11 Considérons le problème de PL primal suivant : p = min x [ ] 1 1 µ sous [ ] 0 1 x = 1 x 0 Il apparaît clairement que ce problème primal ne peut avoir de solution réalisable puisque la contrainte linéaire conduit à x 2 = 1 qui est en contradiction avec la contrainte de positivité des variables de décision. On a donc p =. Si l on calcule le dual de ce problème de PL, on obtient alors : d = max λ λ sous [ 0 1 ] [ 1 λ 1 qui est un problème non borné et pour lequel on obtient d = confirmant l irréalisabilité du problème primal. Remarque 4 Si le problème primal est donné sous la forme standard suivante : ] le problème dual associé sera défini par : min x sous max λ sous f t x Ax = a x O a t λ A t λ f (2.28) (2.29) Cette paire de problèmes de PL correspond à la forme asymétrique de la dualité en programmation linéaire Théorème des écarts complémentaires La relation entre les solutions d un problème primal et les solutions du problème dual associé est définie par le théorème connu sous le nom de «théorème des écarts complémentaires» ou «théorème des relations d exclusion». Pour le formuler, nous reprenons la paire de problèmes de PL primal-dual donnée par la formulation symétrique de Von-Neumann : Primal min f t x sous Ax b x O Dual max b t λ sous A t λ f λ O (2.30) où A R m n.

28 26 Théorie de la programmation linéaire Théorème 10 (Théorème des écarts complémentaires) Soient x et λ deux solutions respectivement réalisables du problème primal et du problème dual. Les vecteurs x et λ sont des solutions respectivement optimales pour le problème primal et le problème dual si et seulement si : λ i (A i x b i ) = 0 i = 1,,m (f j λ t A j )x j = 0 j = 1,,n (2.31) Remarque 5 Le théorème des écarts complémentaires a été donné pour la paire de problèmes sous la formulation symétrique de Von-Neumann mais il peut être donné pour n importe quelle paire duale. Différents commentaires peuvent être faits sur le théorème des écarts complémentaires : - Si l on introduit des variables d écart z i 0, i pour les contraintes inégalités du problème primal et des variables d écarts w i 0, i pour les contraintes inégalités du problème dual, les conditions de complémentarité (2.31) deviennent : λ i z i = 0 i = 1,,m w j x j = 0 j = 1,,n (2.32) - La première condition est toujours vérifiée si le problème primal est sous forme standard. Si le problème primal a une solution optimale x telle que l inégalité A i x > b i est vérifiée alors le théorème de complémentarité implique nécessairement que la variable duale associée à cette inégalité est telle que λ i = 0. Toute contrainte inactive à l optimum peut être supprimée du problème primal sans modifier la valeur du coût optimal et il est donc inutile d y associer une pénalité λ i non nulle. - Si le problème primal est sous forme standard alors pour toute variable de base réalisable optimale non dégénérée x j 0, la seconde condition de complémentarité λ t A j = c j permet d obtenir le vecteur des variables duales par l inversion d un système linéaire : λ t = f B A 1 B où f B est le sous-vecteur du critère primal correspondant aux variables de base. Théorème 11 (Théorème des écarts complémentaires stricts) Si un problème de PL a une solution optimale alors il existe une solution optimale (x,z ) du problème primal et une solution optimale (λ,w ) du problème dual telles que x + w > 0 et λ +z > 0. Exemple 12 (2D) Si nous reprenons l exemple en 2 dimensions dont les formes primale et duale sont rappelées cidessous : Primal 2x y min x,y sous x 0 y 0 x 2 y 2 x+y 3 Dual max λ sous 2λ 1 +2λ 2 +3λ 3 λ 1 0 λ 2 0 λ λ 1 λ λ 2 λ 3 0 Le problème de PL primal a une solution optimale donnée par(x,y ) = (2,1) alors que le problème de PL dual a une solution optimale donnée par (λ 1,λ 2,λ 3 ) = ( 1,0, 1). Les deux solutions optimales primale et duale montrent que les variables d écart primales(z1,z 2,z 3) et duales(w1,w 2) optimales sont calculées comme : z 1 = 0 w 1 = 0 z 2 = 1 w 2 = 0 z 3 = 0

29 Théorie de la dualité 27 Il est donc possible de retrouver les conclusions du théorème des écarts complémentaires stricts. z 1 λ 1 = 1 > 0 w 1 +x = 2 > 0 z 2 λ 2 = 1 > 0 w 2 +y = 1 > 0 z 3 λ 3 = 1 > 0 Notons que, dans le contexte général de l optimisation sous contraintes, le système de conditions nécessaires et suffisantes d optimalité donné par le théorème des écarts complémentaires peut être obtenu par application des conditions d optimalité de Karush-Kuhn-Tucker (KKT). Reprenons le problème de PL sous forme standard et son dual où l on a introduit les variables d écartw i 0, i. Primal Dual min f t x sous Ax = a x O max sous a t λ A t λ+w = f (2.33) où A R m n. L application des conditions de KKT au problème primal nous dit que la solution du problème primal (4.1) doit vérifier le système de conditions suivant : (λ R m,w R n ) tels que Ax = a A t λ+w = f x i w i = O, i = 1,,n (x,w) O (2.34) avec λ et w définis comme les multiplicateurs de Lagrange associés aux contraintesax = a et x 0 respectivement. On retrouve que la seconde équation de ce système est identique à la contrainte d égalité du problème dual défini par (2.33). De plus, en vérifiant que pour toute paire de vecteurs u et v tels que (u,v) 0 u i v i = 0, i i u i v i = 0 u t v = 0, il vient alors qu une solution x est optimale si et seulement si Ax = a (λ R m,w R n A t λ+w = f ) tels que x t w = O (x,w) O (2.35) Ces dernières conditions expriment la propriété de dualité forte : une condition nécessaire et suffisante d optimalité d une solution au problème primal est l existence d une solution admissible (λ,w) au problème dual telle que le saut de dualité est nul. Le saut de dualité étant l écart entre le coût primal et dual, f t x a t λ, un saut de dualité nul se déduit facilement de la condition x t w = 0 : w t x = (f A t λ)x = f t x λ t (Ax) = f t x a t λ. De façon similaire, les conditions KKT pour le problème dual sont données par le système d équations (2.35), imposant ainsi l existence d une solution primale x admissible avec un saut de dualité nul.

30 28 Théorie de la programmation linéaire Solution de base duale et dégénérescence duale Soit un problème primal de PL donné sous forme standard. min x sous f t x Ax = a x O (2.36) où A R m n est de rang plein en ligne. Son dual s écrit alors comme : max λ sous a t λ A t λ f (2.37) Il est alors possible d établir des relations entre les solutions de base primales, les solutions de base duales et de déduire une condition de dégénérescence du dual. Théorème 12 - Toute solution de base primale de matrice de base A B détermine également une solution de base duale donnée par : λ = A t B f B (2.38) - La solution de base duale est réalisable si et seulement si tous les coûts réduits associés f j sont non négatifs. - Pour cette solution de base duale, les coûts réduits tels que f j = 0 correspondent à des contraintes actives du problème dual. - Cette solution de base duale est dégénérée si et seulement si au moins une des variables hors base a un coût réduit nul. Exemple 13 Soit le problème primal de PL sous forme standard : min 14x 1 10x 3 sous x 1 x 2 +x 3 +z 1 = 3 2x 1 +x 2 +4x 3 +z 2 = 8 5x 1 x 2 +x 3 +z 3 = 5 x 1, x 2, x 3, z 1, z 2, z 3 0 (2.39) dont le dual A B = max 3λ 1 +8λ 2 +5λ 3 sous λ 1 +2λ 2 +5λ 3 14 λ 1 +λ 2 λ 3 0 λ 1 +4λ 2 +λ 3 10 λ 1, λ 2, λ 3 0 x B = A 1 B a = (2.40) Si l on choisit une base donnée par sa matrice de base A B, ses variables de base x B et sa solution x : x =

31 Théorie de la dualité 29 une solution de base duale associée est calculée par : λ = A t B = Le calcul des coûts réduits associés à cette solution de base donne : 0 0 f = On en déduit que la solution de base duale est réalisable mais dégénérée. Les quatre premières contraintes du problème dual sont actives en cette solution de base pour un espace paramétrique de dimension Analyse de sensibilité L analyse de sensibilité se définit comme l étude de l influence de perturbations dans les données d un problème de PL sur la solution et le coût optimaux. Elle s intéresse également à l évolution de la solution et du coût optimaux quand on ajoute/supprime une contrainte/variable. Cette section présente un résumé de quelques résultats d analyse de sensibilité. Un exposé détaillé des résultats d analyse de sensibilité et de programmation linéaire paramétrique pourrait en effet faire l objet d un chapitre complet [2], [25], [7]. Pour cette présentation, nous reprenons le problème de PL primal écrit sous forme standard (2.36) et son dual (2.37). On suppose qu une base optimale donnée par la matrice A B a été calculée ainsi que sa solution optimale de base x B = A 1 B a. Les deux conditions suivantes sont alors vérifiées : x B = A 1 B a O f At A t B f B O (2.41) La première condition correspond à la réalisabilité de la solution optimale du problème primal alors que la seconde traduit son optimalité. Le principe de l analyse de sensibilité consiste à étudier comment ces conditions sont affectées par des perturbations dans les données (A, a, f) du problème de PL ou par des additions/suppressions de contraintes/variables. Nous omettons ici les résultats concernant les perturbations sur la matrice A qui sont plus complexes à appréhender. Théorème 13 - Si un des éléments de a ou de f est altéré par une perturbation δ, l intervalle de valeurs de δ pour lesquelles la base de départ reste optimale peut être calculé explicitement. 1- Le second membre perturbé est donné par ã = a + δe i. La condition d optimalité n est pas affectée par ce changement alors que la condition de réalisabilité est toujours vérifiée pour δ tel que : ( ) ( ) max {j a B ji >0} x b(j) a B ji δ min {j a B ji <0} x b(j) a B ji (2.42) où a B ji est l élément ji de la matrice A B. Pour δ vérifiant cette condition, le coût optimal associé au problème perturbé devient : λ t a+δλ i (2.43) Si δ est en dehors de cet intervalle, la solution optimale initiale vérifie la condition d optimalité primale (duale réalisable) mais n est pas réalisable pour le primal.