Programme ESSEC Gestion de patrimoine. Eléments de mathématiques financières

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1 Programme ESSEC Gestion de patrimoine Séminaire «L investissement immobilier» Eléments de mathématiques financières François Longin 1

2 Capitalisation (1) Un euro aujourd hui n a pas la même valeur qu un euro demain car l argent peut être prêté, le prêteur recevant des intérêts de la part de l emprunteur. L opération de capitalisation permet de calculer la valeur future d une somme d argent présente. Exemple : une entreprise dispose de 100 euros aujourd'hui. Quelle est la valeur de ces 100 euros dans un an sachant que l entreprise peut les placer au taux de 10% l'an? A la date 0 : C 0 = 100 A la date 1: C 1 =100 (1 + 0,10) = 110 François Longin 2

3 CAPIALISAION (2) CAPIALISAION D'UN SEUL FLUX : La valeur à la date d'un capital F 0 à la date 0 est donnée par : A la date 0 : F 0 A la date : F 0 (1+r) CAPIALISAION D'UNE SEQUENCE DE FLUX : La valeur à la date d'une séquence de flux financiers F 0, F 1,..., F est donnée par : Aux différentes dates 0, 1,..., : F 0, F 1,..., F A la date : ( ) t= 0 F 1 +r t François Longin 3 t

4 CAPIALISAION (3) Remarque : l opération de capitalisation suppose l existence d un placement pour chaque maturité (1, 2,, ). De plus, le taux r du placement est supposé identique pour toutes les maturités (1, 2,, ). Exercice : un capital de 200 euros placés à un taux annuel de 15%. Calculer combien il rapporte au bout de 6 mois et au bout de 6 ans? On précisera la convention choisie pour transformer le taux annuel en taux période. François Longin 4

5 VALEUR FUURE DEFINIION La valeur future (VF) d une séquence de flux financiers F 1,, F est la somme capitalisée de ces flux au taux d actualisation r : F 1 VF { F } (, r ) t= 1, ( ) 1 ( ) 2 + r +F 1 + r +...+F ( 1 + r ) +F t Question : que représente la valeur future d un placement? = François Longin 5

6 VALEUR NEE FUURE DEFINIION La valeur nette future est la valeur future de la séquence de flux nette du flux initial. La valeur nette future (VNF) d une séquence de flux financiers F 0, F 1,, F est la somme actualisée au taux d actualisation r : F 0 VF { F } (, r ) t= 1, ( ) ( ) 1 ( ) 2 + r + F 1 + r + F 1 + r F ( 1 + r ) + F t Question : que représente la valeur nette future d un placement? = François Longin 6

7 ACUALISAION (1) Un euro demain n a pas la même valeur qu un euro aujourd hui car l argent peut être emprunté, l emprunteur versant des intérêts au prêteur. L opération d actualisation permet de calculer la valeur présente d une somme d argent future. L opération d'actualisation est l opération inverse de la capitalisation. Elle est fondée sur la même idée: l argent placé rapporte intérêt. Exemple : une entreprise disposera de 100 euros dans un an. Quelle est la valeur de ces 100 euros aujourd'hui sachant que l entreprise peut emprunter cet argent au taux de 10% l'an? A la date 1 : C 1 = 100 A la date 0: C 0 = 100/(1+0,10) = 90,91 François Longin 7

8 ACUALISAION (2) ACUALISAION D'UN FLUX : La valeur à la date 0 d'un flux d'argent F à la date est donnée par : A la date t : F t A la date 0 : F t ( ) 1+r t François Longin 8

9 ACUALISAION (3) ACUALISAION D'UNE SEQUENCE DE FLUX : La valeur à la date 0 d'une séquence de flux d'argent F 0, F 1,..., F est donnée par : Aux différentes dates 0, 1,..., : F 0, F 1,..., F A la date : F t ( 1 ) t t= 0 +r Exercice : déterminer le montant qu il faut placer à 5% pour obtenir euros au bout de 10 ans? François Longin 9

10 VALEUR PRESENE DEFINIION La valeur présente (VP) d une séquence de flux financiers F 1,, F est la somme actualisée des flux au taux d actualisation r : ({ } ) 1 2 t t= 1, ( 1 + r ) ( 1 + r ) VP F, r = F r + F F. François Longin 10

11 VALEUR NEE PRESENE DEFINIION La valeur nette présente est la valeur présente de la séquence de flux nette du flux initial. La valeur nette présente (VNP) d une séquence de flux financiers F 0, F 1,, F est la somme actualisée de tous les flux au taux d actualisation r : VNP F F ({ } ) 1, r = F r + 2 t t= 0, ( 1 + r ) ( 1 + r ) Question : quelles sont les hypothèses sous jacentes au calcul de la VNP? F F. François Longin 11

12 APPLICAIONS DE LA VALEUR NEE PRESENE (1) Le concept de VNP peut être utilisé pour évaluer l aspect financier d un investissement. Il peut s agir d un investissement financier (placement bancaire par exemple) ou d un investissement immobilier (achat d un appartement). François Longin 12

13 APPLICAIONS DE LA VALEUR NEE PRESENE (2) EVALUAION D UN INVESISSEMEN Un investissement est caractérisé par la séquence de flux suivante : Un investissement initial de (F 0 = ) Des revenus annuels perçus en fin d année de 500 sur 6 ans (F 1 =F 2 =F 3 =F 4 =F 5 =F 6 =+500 ). Le taux de rentabilité anticipé pour ce type d investissement (en termes de risque) est 10% (r=0,10). Que faire? Pour répondre à cette question, il faut calculer la VNP du placement en utilisant comme taux d actualisation le taux de rentabilité attendu pour ce type d investissement. François Longin 13

14 APPLICAIONS DE LA VALEUR NEE PRESENE (3) EVALUAION D UN INVESISSEMEN FINANCIER (suite) , 10 ( 1 + 0, 10 ) ( 1 + 0, 10 ) ( 1 + 0, 10 ) ( 1 + 0, 10 ) ( 1 + 0, 10 ) 6 = 1.177,63. La VNP s interprète comme le gain financier du produit bancaire par rapport au placement sur le marché. Il s agit d un gain actualisé (au taux du marché). Ce gain est exprimé en euros d aujourd hui (date 0). En investissant dans le produit bancaire, l investisseur va gagner 1 177,63 de plus qu en investissant sur le marché (montant actualisé). François Longin 14

15 CALCUL PRAIQUE DE LA VNP Il existe plusieurs moyens de calcul de la VNP en pratique : Une simple calculatrice Les tables financières (historique!) Les calculatrices financières Les tableurs Les logiciels François Longin 15

16 AUX DE RENABILIE INERNE DEFINIION Le taux de rentabilité interne (RI) d une séquence de flux est la valeur du taux d actualisation qui annule la VNP de la séquence de flux: VNP (( F ) RI ) t t = 1, ; = 0, soit: F 0 + F 1 F 2 F 2 1 RI ( 1 + RI ) ( 1 + RI ) = 0. François Longin 16

17 PROBLEMES AVEC LE RI NON EXISENCE DU RI La valeur nette présente de certaines séquences de flux ne s annule jamais. Le RI n existe alors pas. Exemple: F 0 = + 10 et F 1 = MULIPLICIE DE VALEURS DU RI La valeur nette présente de certaines séquences de flux s annule plusieurs fois. Il existe alors plusieurs valeurs du RI. Question : pour quel type de séquence de flux obtienton plusieurs valeurs du RI? François Longin 17

18 LE RI : BONNE MESURE DE RENABILIE? Exercice: considérons les deux projets A et B mutuellement exclusifs. Les flux des deux projets sont donnés par: Projet A : F 0 = 100, F 1 = +60 et F 2 = +60 Projet B : F 0 = 100, F 1 = 100 et F 2 = +230 Déterminer dans quels cas l application des critères du RI et de la VNP conduisent au choix du même projet. Exer cice: quel est le RI d un cadeau? François Longin 18