Division euclidienne, division décimale

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1 Division euclidienne, division décimale I. La division euclidienne Définition 1: Effectuer la division euclidienne d un nombre entier (le dividende) par un nombre entier (le diviseur) différent de 0, c est trouver deux nombres entiers, le quotient et le reste tels que : Ex : 26 : 6 26 = (6 4) + 2 dividende = (diviseur quotient) + reste, avec reste < diviseur Le dividende Le reste Le diviseur 0 2 Le quotient Remarque : On utilise souvent l égalité précédente pour vérifier notre division. Application : Effectuer la division euclidienne de 278 par Dès que le diviseur est supérieur à 10, il est conseillé d écrire la table du diviseur. Vérification / Preuve : 278 = II. Critère de divisibilité Vocabulaire : Si on effectue la division euclidienne de 36 par 9, on remarque que le reste est nul. On dit que : «36 est divisible par 9» «36 est un multiple de 9» «9 est un diviseur de 36» 1

2 ex : Déterminer les 5 premiers multiples de car : 13 = car : 26 = car : 39 = car : 52 = car : 65 = Ici, le reste est toujours NUL Quels sont les diviseurs de 15? de 17? de 42? 15 = 1 15 = 3 5 Les diviseurs de 15 sont : 1, 3, 5 et = 1 42 = 2 21 = 3 14 = 6 7 Les diviseurs de 42 sont : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 et = 1 17 Les diviseurs de 17 sont : 1 et 17. Propriété 1: Critère de divisibilité Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. Ex : 278 est divisible par 2 car il se termine par est divisible par 2 car il se termine par n est pas divisible par 2 car ce n est pas un nombre pair. Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5. Ex : 275 est divisible par 5 car il se termine par est divisible par 5 car il se termine par 0. Un nombre entier est divisible par 4 lorsque le nombre formé par son chiffre des dizaines et des unités est divisible par 4. Ex : est divisible par 4 car 24 l est est divisible par 4 car 80 l est n est pas divisible par 4 car 34 n est pas divisible par 4. 2

3 Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3. Ex : 747 est divisible par 3 car (= 18) est divisible par est divisible par 3 car (= 15) est divisible par n est pas divisible par 3 car (= 20) n est pas divisible par 3. Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9. Ex : 747 est divisible par 9 car (= 18) est divisible par n est pas divisible par 9 car (= 15) n est pas divisible par 9. Remarques : Si un nombre est divisible par 4, alors il est divisible par 2. De même, si un nombre est divisible par 9, alors il est divisible par 3. Si un nombre n est pas divisible par 2, alors il ne sera pas divisible par 4. De même, si un nombre n est pas divisible par 3, alors il ne sera pas divisible par 9. Application : Remplir le tableau par oui ou non Divisible Divisible Divisible Divisible Divisible par 2 par 3 par 4 par 5 par NON OUI (21) NON OUI NON (21) OUI OUI (12) OUI OUI NON (12) NON NON (17) NON NON NON (17) OUI OUI (27) NON NON OUI (27) La somme des chiffres vaut 21 III. Diviser par 10, 100 ou 1000 Propriété 2: Diviser par 10, 100 ou 1000 revient à multiplier par 0,1, par 0,01 ou par 0,001. Exemple : : 100 = ,01 = 23,04 on déplace la virgule de 2 rangs vers la gauche 58,7 : = 58,7 0,001 = 0,058 7 on déplace la virgule de 3 rangs vers la gauche Ce qu on pense dans sa tête 3

4 IV. Division décimale Définition 2: Effectuer la division décimale d un nombre (le dividende) par un nombre entier (le diviseur) différent de 0, c est chercher le nombre appelé QUOTIENT tel que : On note : quotient = dividende : diviseur Remarque : Ici, il n y a plus de reste. dividende = diviseur quotient Méthode : Le début de la division décimale consiste à effectuer la division euclidienne de la partie Exemples : entière du dividende par le diviseur. 3 2, , On rajoute des ZEROS inutiles pour continuer la division 1 8, , On place la virgule au quotient, quand on descend le chiffre des dixièmes 1 9, , Ici, le chiffre 3 se répète indéfiniment, on dit 9 alors que la division ne s arrête jamais 0 1 Remarque : Dans une division décimale, le quotient peut-être : un nombre entier. Ex : 26 : 2 = 13 un nombre décimal non entier. Ex : 25 : 4 = 6,25 un nombre non décimal, et dans ce cas la division ne s arrête jamais. Ex : 16 : 11 = 1,4545 4

5 Applications : Donner une valeur approchée au dixième près du quotient de la division décimale de 85 par , , 16 On a effectué la division décimale de 85 par jusqu à ce que le quotient possède 2 chiffres après la virgule (le chiffre des centièmes) Donc une valeur approchée au dixième près du quotient de la division décimale de 85 par 6 est : 14,2 (car le chiffre des centièmes est 6). Donner une valeur approchée au centième près du quotient de la division décimale de 9,4 par 7. 9, , 342 On a effectué la division décimale de 9,4 par jusqu à ce que le quotient possède 3 chiffres après la virgule (le chiffre des millièmes) Donc une valeur approchée au centième près du quotient de la division décimale de 9,4 par 7 est : 1,34 (car le chiffre des millièmes est 2). 5

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