Le triangle de Pascal & le triangle de Sierpiński

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1 Séminaire de Mathématique Le triangle de Pascal & le triangle de Sierpiński Triangle de Pascal Qu est-ce que le triangle de Pascal?. C est une représentation des coefficients binomiaux dans un triangle. La construction du triangle est liée aux coefficients binomiaux selon la règle suivante : Nous obtiendrons ceci : (x + y) n = n k=0 ( ) n x n k y k (1) k Il faut noter ici que l on se père dans notre triangle par n qui indique la ligne à laquelle nous faisons références. Propriété liée au dénombrement Si l on souhaite connaître le coefficient de la n ième ligne à la pième colonne, il suffit d appliquer cette formule : 0! = 1 ( ) n = p n! p!(n p)! (2) Séminaire de mathématique 1

2 Arithmétique modulaire Afin de continuer, il nous apparaît important de revenir sur la notion de code binaire ou de modulo. Définition Deux entiers a et b sont dits congruents modulo n, où n est un entier supérieur ou égale à 2, si l une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée : 1. Il existe un entier k tel que a - b = kn 2. Le reste de la division euclidienne de a par n est égal à celui de la division de b par n 3. a - b nz Notation Si l on note mod k, cela indique que l on applique un modulo k. Exemple Mod Mod Mod Mod Cette notation nous permet de savoir si un nombre est divisible par 2, 3 ou tout autre nombre. Par exemple, si en appliquant un modulo 3 et que l on tombe sur 0, on est sûr que ce nombre est divisible par 3. Triangle de Sierpiński Activité 1 Dessinez le triangle suivant avec les codes suivants. Attention les hexagones qui sont en pointillés restent blanc Code 1 Code 2 Code 3 Séminaire de mathématique 2

3 Les élèves devront se mettront en phase de recherche, afin d énoncer des conjectures. L idée ici étant qu une case blanche peut représenter un numéro et une case noir un autre numéro. Donc nous somme typiquement dans une numérotation dite binaire. Question de relance : Quelle est l intérêt de poser des nombres en binaires? Pourquoi les écrire sous la forme mod 2? Ici nous pourrons faire un bref rappel de l abaque en base 2, puis de faire intervenir notre triangle de pascale. Séminaire de mathématique 3

4 Triangle de Sierpiński Activité 2 Pourquoi obtient-on un triangle de Sierpiński? Afin de les aider nous pouvons faire intervenir les coordonnées suivantes : x y 3 3 Exprimer les coordonnées en binaire, et trouver des liens entre les cases noircies de celles qui ne le sont pas. Questions de relance : Quelles sont les opérateurs pour créer notre triangle de Sierpiński? Voici la configuration de notre triangle de Sierpiński avec les carrés : 1 W 1 W 3 0 W 0 W 2 y 0 1 x Ici W 3 à un sens, il est le nombre pair. Dans le triangle de Sierpiński, il sera blanc, mais dans notre triangle de Pascal il représente un nombre. Les coordonnées sont : Donc lorsque l on obtient une coordonnée 1,1 dans notre code on peut déterminer si celui-ci est pair ou impaire. Nous faisons à partir de ce moment un lien avec le triangle de pascal, où l impression que la forme, en mod 2 de notre triangle de Pascal, est bien un triangle de Sierpiński. Nous pourrons même aller plus loin, concernant la transformation. Séminaire de mathématique 4

5 Questions : Quel est le nombre que je pointe lorsque j ai appliqué comme transformation ceci : ? Ici l idée est déjà de comprendre que les nombres vont par paires, c est à dire qu ici on aura appliqué 3 itérations. Nous somme parti du triangle W 2 puis dans cette partie nous avons appliqué une transformation W 3 puis une transformation W 1. (x,y) (011, 110) (3,5) qui est le nombre 56. Comme son code comporte un x et un y qui sont égale à 1 en même temps, il est d office un nombre pair. Cousins éloignés du triangle de Sierpiński Activité 3 Question : Voici un nouveau code, 1112, sera-t-il colorié ou non? Ici les élèves devrons tout d abord imaginer quelle serait le modulo que l on a choisi, à partir des données, ils sont sûr d une chose, ce n est pas en mod 2. Là, chacun utilisera un modulo qu il souhaite, car l idée de cette activité vise à transférer ce que nous venons de découvrir dans d autres fractals. Mod 3 Si nous sommes en mod 3, alors nous aurons 9 W i, qui rempliront notre carré. Et les W i que nous éliminerons seront les W i ayant comme coordonnées ( x, y ) (1,2) ou (2,2) ou (2,1). Ici notre nombre comporte 12, ce qui correspond à une abscisse de 1 et à une ordonnée de 2, donc oui ce nombre sera divisible par 3 et à pour coordonnées base 3 : (11,12) (4,5) = 126 et 126 est bien divisible par 3. Mod 5 Si nous sommes en mod 5, nous procéderons de la même manière, c est-à-dire que nous aurons 25 carrés et nous ne voudrons pas de ( x, y ) (1,4) ou (2,4) ou (3,4) ou (4,4) ou (2,3) ou (3,3) ou (4,3) ou (3,2) ou (4,2) ou (4,1). Donc ici il est clair que nous ne tomberons pas sur un nombre divisible par 5. Séminaire de mathématique 5

6 Java Question subsidiaire : Es-ce toujours un triangle de Sierpiński?, il suffit en connaissant les emplacements de nos W i de les entrer dans le programme JAVA. Par exemple pour le mod 5 nous obtiendrons cette figure : Qui n est pas un triangle de Sierpiński mais plutôt un cousin éloigné. Bibliographie - Le triangle de pascal, Wikipedia, http : //f r.wikipedia.org/wiki/t riangledep ascal, dernière consultation le 14 mai 2012 à 17h43. - P.JÜRGENS et M.PERCIANTE, Fractals for the classroom,3nd édition, Springer, New-York, P.JÜRGENS, SAUPE et PEITGEN, Chaos and fractals, new frontiers of science, 2nd édition, Springer, New-York, B. MANDERLBROT, Les objets fractals. Forme, hasard et dimension, Flammarion, M. BASSA, Une nouvelle manière de voir le monde, la géométrie fractale, Le monde des mathématiques, Séminaire de mathématique 6